Phần 5 ok

II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài Tam giác mà đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Xây dựng dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , cho tam giác A1 B1C1 tam giác cạnh với số nguyên n 2, tam giác An BnCn tam giác trung bình tam giác An  Bn 1Cn Với số nguyên dương n , kí hiệu rn tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn Chứng minh dãy số  rn  cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát cấp số nhân đó? Hướng dẫn giải 1 +  rn  cấp số nhân với công bội q  số hạng đầu r1  + Số hạng tổng quát: rn  3.2n  Bài Cho dãy số  an  xác định bởi: a1 1 an 1 an  2n  với n 1 Xét dãy số  bn  mà: bn an 1  an với n 1 a Chứng minh dãy số  bn  cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng b Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng dãy số  bn  theo N Từ đó, suy số hạng tổng quát dãy số  an  Hướng dẫn giải a Từ giả thiết  bn 2n    bn  cấp số cộng với số hạng đầu b1 1 công sai d 2 b + Tổng N số hạng đầu dãy  bn  là: S N  N + Số hạng tổng quát dãy  an  là: an n  2n  1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 4   * un 1  (un    2un ), n   Tìm cơng thức số hạng tổng qt (un ) ? Hướng dẫn giải Đặt xn   2un  xn2 1  2un , xn 0  un  xn2  Thay vào giả thiết: xn21  1 xn2  2 *  (   xn )  (3 xn 1 ) ( xn  4)  xn 1 xn  4, n  N , xn 0 Ta có 3xn 1  xn 4  3n 1 xn 1  3n xn 4.3n Đặt yn 3n.xn  yn 1  yn  4.3n , n  N *  yn 1  y1  4(3n  3n    3)  yn 1  y1   2.3n 1 Ta có x1 3  y1 9  yn 3  2.3n 1 , n  N *  un  (3  n   n  ), n  N * n 3 un , n  * Bài Cho dãy số  un  xác định bởi: u1 1; un 1  2un  Suy xn 2  Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Hướng dẫn giải * Ta có un  0, n   Khi un 1  Với n  * , đặt  un 1  2  2un  un 1 un  v1 1; 1 vn  2, n  * un Suy ra, dãy số   cấp số cộng có v1 1 cơng sai d 2 Do đó, v1   n  1 d 2n  1, n  * 1 Vậy un   2n  Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1 2un  3n , n  * Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n Hướng dẫn giải Với n  * , ta có un 1 2un  3n  un 1  3n 1 2(un  3n ) Xét dãy số (vn ), với un  3n , n  * Ta có: 1 2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có công bội q 2 số hạng đầu  Suy v1.q n   2n Vậy un vn  3n 3n  2n 3 n4  * Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1   un   , n   Tìm cơng thức số 2 n  3n   hạng tổng quát un theo n Hướng dẫn giải Với n   , ta có * n4 )  2un 1 3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 3 3  2(un 1  ) 3(un  )  un1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 3 dãy số (vn ), un  cấp số nhân có công bội q  v1  n 1 2 2un 1 3(un   3    2 n 1 3  1    , n  *  un     n 1    2 n , n  * u1 3  5un  Bài Cho dãy số (un) xác định bởi:  * un 1  3u  , n   n  Xét dãy số   với  un  , n  * Chứng minh dãy số   cấp số cộng Tìm số hạng un  tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải un    un  Ta có  thay vào hệ thức truy hồi ta có un   v 1 n 3 v  2vn  1   v  2vn   n 1    n 1  1  2vn  1     hay 1 vn  v1 2 Suy dãy số   cấp số cộng có v1 2 cơng sai d 3 Ta có v1   n  1 d 2   n  1 3n  3n   3n  Do un  Thử lại thấy dãy số thỏa mãn 3n   3n  3n Vậy số hạng tổng quát dãy số  un  un  n  * 3n  1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 1.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5 DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC 1.7 CÁC DẠNG KHÁC Bài Cho dãy số dương  xn  thoả mãn: xn  xn 1  xn 2 với số tự nhiên n 1 Chứng minh dãy {xn} hội tụ Hướng dẫn giải Đặt yn max  xn ; xn 1 Từ (1) (2) suy yn  yn 1  0; n  *  a lim(y n ) Với   tuỳ ý, n đủ lớn, ta có   yn  a 0  Nếu yn  a   yn  a  xn  a   Nếu xn a xn 1  a  yn   xn  Mà xn  xn   xn 1  2a  xn  xn   2a  a  x n  2a  xn   a   Tóm lại, hai trường hợp dẫn đến xn  a   Vậy dãy số {xn} hội tụ Bài Cho phương trình x   x  0 với  số nguyên dương Gọi  nghiệm dương phương trình Dãy số  xn  xác định sau: x0  , xn 1   xn  , n 0,1, 2,3, Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn chia hết cho  Hướng dẫn giải  Đầu tiên ta chứng minh số vô tỉ Thật vậy,  số hữu tỉ  số nguyên (do hệ số cao x 1)  ước Do  1 suy  0 , trái giả thiết Do   xn     xn     xn     xn   xn   xn  xn x 1 x  xn   n   xn    n  xn       x    n   xn   (1) Lại có     0 , suy       xn   x  x   xn 1   xn  n   xn   n   xn  xn   (do (1))    Vậy xn 1 xn   (mod  ) Từ quy nạp ta có với k  * , n 2k  1, xn 1 xn  (2 k 1)  (k  1) (mod  ) (2)   xn  xn  * Chọn k  l  l    , n  2l , từ (2) ta có x2l  x0  l   l 0 (mod  ) Vậy x2l chia hết cho  , l  * Bài 10 Cho dãy  an  với n > xác định bởi: a1 1; a2 2; a3 6; a4 12  an 4 2a n 3  an 2  2a n 1  an  n 1 a Chứng minh an chia hết cho n với giá trị nguyên dương n a b Đặt bn  n Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n để 2015 ước bn n Hướng dẫn giải b  1; b  1; b  2; b  a) Ta có Dễ thấy bn Fn với n 1; 2;3; Bằng quy nạp ta chứng minh dãy  bn  trùng với dãy  Fn  Thật vậy: Mệnh đề với n 1; 2;3; Giả sử mệnh đề đến n  Khi ta có:  n   bn4 2  n  3 Fn3   n   Fn 2   n  1 Fn 1  nFn Dùng công thức dãy Fibonaci : Fm 2 Fm 1  Fm ta dễ dàng biến đổi vế phải thành  n   Fn 4 suy bn 4 Fn 4 Vậy mệnh đề với n  , với n nguyên dương Điều chứng tỏ an ln chia hết cho n với n nguyên dương b) Gọi rn số dư bn cho 2015 với n 1; 2;3 Trước tiên ta chứng minh  rn  dãy tuần hồn Thật vậy: Ta có bn 2 bn 1  bn  rn 2 rn 1  rn  mod 2015  Vì có vơ hạn cặp  r1 ; r2  ,  r2 ; r3  , ,  rn ; rn 1  nhận hữu hạn giá trị khác nên tồn hai phần tử dãy trùng Ta giả sử  rm ; rm 1   rmT ; rmT 1  (với T số nguyên dương) Ta chứng minh  rn  tuần hồn với chu kỳ T +) Ta có: rm 2 rm 1  rm  mod 2015  ; rm T 2 rmT 1  rmT  mod 2015  rm 2 rm T 2  mod 2015   rm 2 rm T 2 Tiếp tục ta chứng minh được: rm k rm T k với k 0 (1) +) Ta có: rm  rm 1  rm  mod 2015  ; rm T  rmT 1  rmT  mod 2015   rm  rm T   mod 2015   rm  rm T  Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm  k rm T  k với k 1; 2;3; ; m  (2) Từ (1) (2) suy  rn  , n  dãy tuần hoàn Bổ sung vào dãy  bn  phần tử b0 0 thỏa mãn b0  b1 b2 suy r0 0 Khi dãy  rn  dãy tuần hoàn phần tử r0 0 Do tồn vơ số phần tử dãy  rn  0.Như câu b) chứng minh xong Bài 11 Cho dãy số  un  xác định sau: u0 0, u1 1, un 2 2un 1  un , n 0,1, 2, Chứng 2014 un 22014 n minh Hướng dẫn giải Công thức tổng quát un   Đặt  Ta có un   n  a,  2  1 2  n  n n   1  b  ab   1  a  b  , u2 n  Đặt S n a  b   2 a   1  n n  n  b  un  a  b  Khi ta dãy  Sn  xác định sau: S1 2, S 6, S n 2 2Sn 1  Sn , n 1, 2, Do S1 2  mod  , S 2  mod  nên quy nạp ta được: S n 2  mod  hay a  b 2  mod   a  b 2t ,  t ,  1 Do u2 n 2un t ,  t ,  1 k k Giả sử n 2 t ,  t ,  1  un u2k t 2 ut Ak , ut , Ak lẻ * Bài 12 Cho dãy số  an  : a1   , an 1 an3  2019, n  * Chứng minh có nhiều số hạng dãy số phương Hướng dẫn giải So sánh đồng dư an , an 1 an 2 theo modun ta có (chú ý 2019 3  mod  ) an an 1 3 an 2 Một số phương chia có số dư Vì từ số hạng thứ trở đi, dãy khơng có số phương 2 Nếu a1 a2 phương, giả sử a1 a , a2 b , 3 suy b a  2019   b  a   b  a  2019 Hơn phân tích 2019 thành tích có cách 2019 1.2019 3.673 3 b 1010 b  a 1  Trường hợp 1:  , vơ lí 1009 không lập phương b  a 2019 a 1009 b 338 b  a 3  Trường hợp 2:  , vơ lí 335 không lập phương b  a 673 a 335 Vậy điều giả sử sai, nghĩa dãy có nhiều số phương MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài 13 Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1  3an ) 4 Tính lim an Hướng dẫn giải Đặt an 2  bn Từ giả thiết suy lim (5bn 1  3bn ) 0 Với số dương  bé tùy ý, tồn số N cho với n  N ta có:  5bn 1  3bn  (1)  - Nếu bn 1.bn 0 từ (1) dẫn đến 5bn 1  3bn   bn   b b  b , b - Xét trường hợp n 1 n hay n 1 n dấu, chẳng hạn chúng dương   Nếu 2bn 1  bn 0 kết hợp với (1): 3(2bn 1  bn )  bn 1  dẫn đến bn 1  5   bn   Mà từ (1) ta có 3bn  5bn 1  5  Nếu 2bn 1  bn  kết hợp với (1): (bn 1  bn )  bn  dẫn đến bn   2 Tóm lại ln có bn   , hay lim(bn ) 0 Vậy lim( an ) 2 un2015  2un  , n 1, 2,3 Bài 14 Cho dãy (un ) xác định sau: u1 = un 1  2014 u n  un  n Tìm nlim   4 Hướng dẫn giải 2015 un  2un  (un  2)(un  4) 2  , (*) Đặt  2014 ta có un 1   2014 u n  un  (un  4)  (un  2) Bằng quy nạp ta chứng minh un  3, n  Với số nguyên dương n , đặt  i 1 Xét un 1  un  u 2014 i un 1  2un  (un  2)  u   0, un 3 n un  un  un  un  Do (un ) dãy tăng u1  u2    un    1 un a , a  Khi ta có a  a  a   a 2  (vơ lí), suy Giả sử (un ) bị chặn trên, suy nlim   a  a  un  (un ) không bị chặn Vậy nlim   Từ (*) suy 1 1 1      , hay  un 1  un  un  un  un  un 1  n  1       1  u   2014  i 1  ui  ui 1   i 1 ui n 1  lim (1  ) 1 Vậy nlim   n   un 1  n  u1 3 Bài 15 Cho dãy số  un  xác định  Chứng minh dãy un 1  3un 1   un , n 1  un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải u1 3 Dãy số  un  xác định  un 1  3un 1   un , n 1 Ta chứng minh un  2, n 1 Thật ta có u1 3  Giả sử uk  2, k 1 , uk 1  3uk 1   uk   2 nên uk31  3uk 1     uk 1  1  uk 1     uk 1  Do theo ngun lý quy nạp un  2, n 1 Xét hàm số f  t  t  3t khoảng  2,    Ta có f '  t  3t   0, t  Do hàm số f  t  đồng biến khoảng  2,    Mặt khác ta có u13  3u1 18  u23  3u2  f  u1   f  u2   u1  u2 Giả sử uk  uk 1  k 1   uk   uk 1  uk31  3uk 1  uk32  3uk 2  f  uk 1   f  uk 2   uk 1  uk 2 Do un  un 1 , n 1  Dãy  un  dãy giảm bị chặn nên dãy  un  có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un a  a 2  Từ hệ thức truy hồi un 1  3un1   un chuyển qua giới hạn ta được: 3 a  3a   a   a  3a  2  a   a    a  2a  2a  4a  a  1 0     a   a  a    2a  a  1  a  0  a 2  a 2  Vậy lim un 2 Bài 16 Cho dãy số  xn  thỏa mãn: x1 2015 xn 1 xn n Tìm: lim  i 1   xn   n  N  xi  Hướng dẫn giải * * Ta có: xn  n  N xn 1  xn   n  N *   xn  dãy số tăng Và: xn   * (*) * Đặt un  xn  un xác định xn  n  N * un  n  N *  un 1  xn1  xn1 un21 Nên từ giả thiết (*) ta có: un21 un2  un  1  un  un  1   un 1 un2  un n  N * (1) * Xét dãy số  un  ta có: * un 1  un un  n  N   un  tăng Giả sử  un  có giới hạn a Từ (1) ta có:  a a  a  a 0 (loại) tăng không bị chặn  lim un   un  * Ta có: un2 u u u u 1   2n 1 n  n 1 n   un   un  1 un  un  un  un un 1.un un un 1 n  1  u 1 u i11 i n  lim  i 1  un 1 1 1  lim    ui  2015  u1 un 1  n Vậy: lim  i 1 1  xi  2015 u1 5 Bài 17 Cho dãy số  un  ; (n = 1; 2; ) xác định bởi:  un 1  un  12 Chứng minh dãy số  un  có giới hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dự dốn giới hạn dãy số,bằng cách giải phương trình: a 0 a  a  12    a 4 a  a  12  u  Nhận xét u2  u1  12  17  u1 u3  u2  12  17  12  u2 Ta dự đoán dãy số  un  dãy số giảm bị chặn tức un 4 Chứng minh dãy số un bị chặn: tức un 4 n 1, u1 5 4 n 1 Giả sử uk 4 , ta chứng minh: uk 1 4 Thật ta có: uk 1  uk  12   uk21 uk  12  uk21  12 uk 4  uk21 16  uk 1 4 Vậy dãy số un bị chặn Ta chứng minh dãy số  un  dãy số giảm Ta có: un 1  un  un  12  un   (u  4)(un  3)  un2  un  12  un 1  un  n 0 (vì un 4 ) un  12  un un  12  un Vậy dãy số  un  giảm bị chặn nên có giới hạn Đặt lim un a lim un 1 a Ta có: un 1  un  12  lim un 1 lim un  12  a  a  12  a 4 Vậy lim un 4 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN u1 1  Bài 18 Cho dãy số  an  thỏa mãn  un 1 un   n   *  u n  a u Tìm tất số thực a cho dãy số  xn  xác định xn  n ( n   * ) hội tụ giới hạn n khác Từ giả thiết ta có dãy số  un  Hướng dẫn giải dãy số dương tăng Giả sử  un  bị chặn suy hội tụ Đặt L lim un , ta có L L  Vì  un  khơng bị chặn Từ (1) (2) ta có lim un    v  n  * Xét lim  un31  un3  Đặt n ( ), ta có lim 0 un3   4  4   1  v   v3  4v  6vn  1 n un31  un3   vn4     n n   vn  v4     v  1  v   n n  n  4  43  3 lim u  u Suy  n 1 n   Từ lim un  (sử dụng trung bình Cesaro)   n    a   43   a un un a  43    a  Ta có lim lim  un  0 n  n     4 a  3  Vậy a  giá trị cần tìm  u1  ; u2 3 Bài 19 Cho dãy số  un  xác định sau:  un 2  un 1.un  , n  N * un 1  un  a Chứng minh tồn vô số giá trị nguyên dương n để un  (1) (vô lý) L (2) b Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải  un1  1  un  1 a Trước hết ta ln có un  0, n  N * Xét un 2   un 1  un (1) * Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh u3n , u3n 1  1, n  N u3n 2  1, n  N * Từ suy điều phải chứng minh  un1  1  un  1 b Ta có un 2   (2) un 1  un un 2  un 1  un   , n  N * Chia vế (1) cho (2) có un 2  un1  un  un  n  N * , ta có 2 vn 1.vn n  N * Đặt  un  F F Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh v2 n v1 n , với  F1 F2 1  *  Fn 2 Fn 1  Fn , n  N 1 Hay    2 Fn  1     3 Fn  Fn  dãy số Phibonxi:  n   , dẫn đến lim un 1 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP a  5an  10 , n 1 Bài 20 Cho dãy (an )n 1 : a1 1; an 1  n  an a Chứng minh dãy (an ) hội tụ tính lim an b Chứng minh a1  a2   an   , n 1 n Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: an  , n Đặt A  5 Suy f ( x)  xét hàm f ( x )  10   x x  x  10 10   x, ( x 5) 5 x 5 x   0, x   1;  , f ( x) nghịch biến đoạn    a1  a3  a5   a2 k    A lim a2 k  b  A   Dẫn đến   a2  a4  a6   a2 k   A  lim a2 k c  A Kết hợp công thức xác định dãy ta  c  5c  10 b   5 5 c  b  c   2 c  b  5b  10 5 b  1   ;1 Vậy lim an  5  5  b) Nhận xét: t   1;  t  f (t )     Dẫn đến a2 k   a2 k   5 , k 1  a1  a2   a2 k   a2 k  2k 5 (1) Như bất đẳng thức với n 2k Trường hợp n 2k  , ý a2 k 1  5 , kết hợp với (1) thu được: a1  a2   a2 k   a2 k  a2 k 1  (2k  1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh u e un Bài 21 Cho dãy số thực  un  : u1  , un 1  n un , n  * 1 e Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải Chứng minh   un  0, n 2  1 e n  2, Với u2     1;0  1 e Giả sử  1 với n k 2 , ta chứng minh  1 với n k  u Ta có un   e n    eun   u n e un 0  e un u e un un    eun  ; n u    un eun  eun   eun  un  1   (luôn đúng) e 1 e n Vậy (1) chứng minh ex   x  ex  xe x Xét hàm f  x     ;0  Ta có f '  x    ex 1  ex  x x Hàm g  x  1  x  e có g '  x  1  e  với x    ;0  nên hàm đồng biến   ;0  Suy g  x   g   0 , suy f '  x   ex 1  x  ex  0 x 1 e  hay hàm f  x  nghịch biến   ;0  e e Ta có u2   , u  1 1 e 1 e    e e e 1 e Suy f  u4   f  u2   u5  u3   u1  e 1 e  , e  1 e   u4  u2 Quy nạp ta dãy  u2 n 1  giảm dãy  u2n  tăng Hơn   un  0, n 2 nên dãy tồn giới hạn hữu hạn Giả sử lim u2 n a, lim u2 n 1 b  a, b    1;0   , lấy giới hạn hai vế ta  beb a  aea   eb a a 1 ea    e  e e  a b  ae   e a t    a Đặt e t  t   ;1  , ta phương trình   t  t.t 1 t    t  ln   t     t  ln t  t ln t 0   e  Hàm h  t  2   t  ln   t     t  ln t  t ln t nghịch biến nên phương trình có nhiều nghiệm, nghiệm nên nghiệm 1 Suy a ln , thay vào b ln 2 Vậy lim un ln nhận thấy t  Bài 22 Cho dãy số {un} có số hạng tổng quát: un  n 1  n 2   n n un ? Tìm nlim   3.3 CÁC DẠNG KHÁC Bài 23 Cho phương trình x n  x n    x  0 Chứng tỏ với n nguyên dương phương xn trình có nghiệm dương xn tìm lim x  Bài 24 Tính giới hạn B nlim    1 1        n  1 3 5 n   2n    x1 a Bài 25 Cho a  a 1, xét dãy số xác định sau:   xn 1  3xn  1  xn  xn Hãy chứng minh dãy số  yn  với yn  a  1 xn có giới hạn tìm giới hạn  Bài 26 Cho dãy số  xn  n 1 xác định x1 a  , xn 1  xn  , n 1, 2, 2n  xn theo a Chứng minh với a dãy số cho hội tụ tìm lim n  GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN x x   3x   Bài 27 Tính giới hạn A lim x x2  Bài 28 Tính giới hạn hàm số : L lim x x   x  x Hướng dẫn giải Ta có: 3x   x  3x   x  x   x   lim x x x x 2 x  3x   = lim x 1  lim x x x x (  x  1)  (2  x)   x  1    lim ( x   2)( x   2) 3x 1 = lim x x ( x  1)( 3x   2) ( x  1)  (2  x)   x  1   (2  x  1) (3 x   4) lim x   lim = x ( x  1)  (2  x)   x  1 x  ( x  1)( x   2)    ( x  1)  lim = lim = x  x  ( x   2) 12 (2  x)   x  1   2x   x  Bài 29 Tìm giới hạn A = lim x x lim 2012   2011  Bài 30 Tính giới hạn L lim   2011 x 1  x  x 2012   4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4 CÁC DẠNG KHÁC