Phần 7 ok

NHÓM : DÃY SỐ - GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ (TÁCH TỪ ĐỀ THI) II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP x  Bài Cho dãy số n xác định : x4 1 xn 1  xn  1 n     n  3   n       n   1, với n 4 xn Tính giới hạn n   n lim Hướng dẫn giải 1 n     n  3   n     n   Ta có:   n  1  1    n        n  1  3    n     n  1   n     n  1       n     12  2  32    n       n    n  1   n    n  1  2m  3  n  n  1  n    n  1 6 = n  n  1  n   xn 1  xn   xn  Cn3  * Do ta suy : Ta chứng minh xn Cn4 Thật với n 4 , ta có x4 1 C44 Giả sử với n 4 ta có : xn Cn 4 Ta có : xn 1 xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn Cn  Cn Cn x n! lim n  lim  n   n n   4! n   ! n Bài f :  0;     0;   Cho hàm số f  x  x Chứng minh với x  1  f  3x   f  f  x    x 2  thỏa mãn điều kiện với x  Hướng dẫn giải 1  f (3x )  f  f (2 x)   x (1) 2  Ta có:   x   2x 2x f ( x)  f  f      f ( x)  , x     Từ (1) suy (2)   2x   2x  2x  2x  x  x   f ( x)  f  f      f    f     x 3 3 3 3 27 3          Khi 2 a  an  n   n 1, 2, xác định sau: 3 Xét dãy (an ) , * Ta chứng minh quy nạp theo n với n   ln có a1  f ( x )  an x với x  (3) Thật vậy, n 1 theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n k Khi   2x   2x f ( x)  f  f      a f    k a2   k x ak 1.x 2x 2x  2x  2x  a a      k k Vậy (3) với n k  * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1 Thật vậy, ta thấy an  n   Do đó: an 1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt 2 l  l  3 với l 1 , suy l 1 Vậy Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an l lim an 1 Do từ (3) suy f ( x ) x với x  (đpcm) Bài Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  y  f  x  f  y với x, y   f  x  e x  với x   Hướng dẫn giải f  x    f  x   f    f   0 f   e0  0 f  x    x    f  x   f   x   f  x   f   x  0  x f  x  f     2  1  x   x f   2  e  1  2    x   x f  x  2  e  1  f  x   f     2    x   x f   4  e  1 2    2xn  f  x  2  e  1   Dùng quy nạp theo n 1, 2, ta CM n f   0  2x0n  f  x0  2  e  1   Cố định x0   ta có n  x0n  an 2n  e  1   ta có: Xét dãy  x0n   e2   lim an lim  x0  x0 x  0n    Vậy f  x0   x0 x0   Vậy f  x   f   x   x    x  0 Kết hợp (1) (3) ta Từ (2)  3 f  x   f   x  0  f   x   x  f  x   x thấy Vậy  2   Kết hợp (2) (4) ta f  x  xx   Thử lại f  x  x f  x   f   x   x    x  0 Kết hợp (1) (3) ta ta  3 f  x   f   x  0  f   x   x  f  x   x Từ (2) thấy   Kết hợp (2) (4) ta f  x  xx   Thử lại f  x  x ta 1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Bài hạn 2015   x1  2016    x x   xn  , n 1 n    n1  n Cho dãy số xác định Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n 1 dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1 ; x3  x2  x22  x1  x12  x1 ; Giả sử xk  kx1 với k  Ta có: xk 1  xk  xk2  kx1  x12  (k  1) x1 k Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  Ta có : xm  m  m 2017 : mx1  m   m   x1    m  Do 1  m  m  2016 2015  x1 1 2016 ; x m