1)Cho A tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Giải: Ký hiệu X số phần tử tập hữu hạn X Gọi B1, B2,…, Bn tập A thỏa mãn: Bi 3, Bi B j 2 i, j 1, 2, , n Giả sử tồn phần tử a A mà a thuộc vào tập số tập B1, B2,…, Bn (chẳng hạn a B1, B2, B3, B4), đó: Bi B j 1 i, j 1, 2,3, Mà Bi Bj i j, tức Bi B j 3 Do Bi B j 1 (i, j = 1, 2, 3, 4) Từ A +4.2 = 9, điều mâu thuẫn Như vậy, phần tử A thuộc nhiều ba số tập B1, B2,…, Bn Khi 3n 8.3 n Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét tập A là: B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4}; B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7} Tám tập hợp tập gồm ba phần tử A thỏa mãn Bi B j 2 Vì số n cần tìm n = 2) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình chiếu B AK, F trung điểm BC, biết KAB Chứng 2 KAC minh FL vng góc với AC Giải: A L C F K B Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC 2 ; BAC 3 Khi đó: KAB Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK ACK, ta được: BK AK CK AK ; sin 2 sin B sin sin C Do BK=2CK, nên từ đẳng thức ta có: cos sin B (*) sin C Lại có: b2 c2 a a b2 c a FA2 FC bc.cos A bc cos 3 (1) LC LA2 b 2b.LA.cos LA2 b 2bc cos 2 cos LA2 LC 2bc cos cos 2 b bc cos cos3 b bc cos b bc cos 3 (**) Thay (*) vào (**), ta được: LA2 LC bc cos 3 (2) Từ (1) (2) suy ra: FA2 FC LA2 LC Theo bổ đề định lí carnot, suy CA vng góc với FL 3) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x y z 3 z x2 1 3 x2 y 33 y2 z2 1 Giải: Nhận xét x z xz 3 x z đề thức kì thi chn học sinh giỏi tỉnh thái nguyên năm học 2010-2011 Môn thi : toán học Lớp 10 Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (4đ) Chứng minh : 1 1001 1002 2000 Bài (3đ) Trong tam giác ABC dựng ba đường cao AH, BK, CL Chứng minh AK.BL.CH = AL.BH.CK = HK.KL.LH Bài (3đ) Giải phương trình : x3 2 x Bài (3đ) Tìm hàm số f(x) g(x) xác định hệ f ( x 1) g (2 x 1) 2 x f (2 x 2) g (4 x 7) x Bài (4đ) Tính giá trị nhỏ hàm số f ( x ) x 2000 x 2002 x 2004 x 2006 x 2008 x 2010 Bài (3đ) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a b c 3 b c a c a b a b c ….Hết… Họ tên : Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 Thi Học sinh giỏi năm học 2010-2011 Chứng minh : 1 1001 1002 2000 LG: a 2000 1 1 ( )( ) 1001 2000 1002 1999 k 1001 k 3001 3001 500.3001 1001.2000 1002.1999 1001.2000 S b 2000 1 1 ( )( ) 1001 1500 1501 2000 k 1001 k S 1 1 1 ( )( ) ( )( ) 1002 1499 1502 1999 1001 1500 1501 2000 2501 3501 3501 2501 ( 1250.1251 1501.2000 1750.1751 1001.1500 2501 3501 2500 3500 250 250 1250.1251 1750.1751 5.1251 7.1751 1 1501000 500.( ) 1251 1751 2190501 2.Trong tam giác ABC dựng ba đường cao AH, BK, CL Chứng minh AK.BL.CH = AL.BH.CK = HK.KL.LH LG: Vì AK = AB.│cosA│; AL = AC │cosA│ nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác AKL Do KL = BC │cosA│ Hồn tồn tương tự, cuối xác định tích AB.AC.BC │cosA│.│cosB│.│cosC│ 3.Giải phương trình : x3 2 x LG: Đặt x 2 y 2x y ( x y)( x y xy 2) 0 x y (do x y xy 0x, y y x 1 Thay lại x3 -2x + = => x 1; x f ( x 1) g (2 x 1) 2 x 4.Tìm hàm số f(x) g(x) xác định hệ f (2 x 2) g (4 x 7) x LG: Đặt x 2t x 2t 3; x 4t 7; x 4t f (2 x 2) g (4 x 7) 4 x f (2 x 2) 7 x 13 Hệ cho f (2 x 2) g (4 x 7) x g ((4 x 7) x u 7u 7x x 13 f ( x) - Đặt x u x 2 v 3v 3x 3x g ( x) - Đặt x v x 4 5.Tính giá trị nhỏ hàm số f ( x ) x 2000 x 2002 x 2004 x 2006 x 2008 x 2010 LG: f ( x) x 2000 x 2002 x 2004 x 2006 x 2008 x 2010 ( x 2000 x 2010 ) ( x 2002 x 2008 ) ( x 2004 x 2006 ) Vì x 2000 x 2010 x 2000 x 2010 x 2000 x 2010 10 x 2000; 2010 x 2002 x 2008 x 2002 x 2008 x 2002 x 2008 6 x 2002; 2008 x 2004 x 2006 x 2004 x 2006 x 2004 x 2006 2 x 2004; 2006 Nên f(x) đạt giá trị nhỏ 18 x 2004; 2006 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a b c 3 b c a c a b a b c LG: Đặt x = b+ c – a, y = c + a – b, z = a + b – c yz zx x y ,b ,c , x 0, y 0, z 2 1 yz zx x y Ta có : VT = 3 Dấu “=” xảy x = y = z a = b = 2 x y z Khi a c hay tam giác cho Chú ý : Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa