SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/12/2020 (Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang) Họ tên thí sinh: Số báo danh: y = x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 1- m) x m (C ) Tìm ( tham số thực) có đồ thị A, B C m để đường thẳng d : y = x - m cắt đồ thị ( ) ba điểm phân biệt C cho tổng hệ số góc (C ) điểm A, B C nhỏ ba tiếp tuyến với Câu (4,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Cho hàm số 5x2 - 10x = 4( x - 1) x2 - 2x + a) Giải phương trình sau tập số thực b) Cho số thực x > 1, y > z > thỏa mãn ( ) log( xy+yz+zx) 5x2 + 16y2 + 27z2 + log12 xy + yz + zx = Tính M = x + y + z Câu (2,0 điểm) Tìm hệ số số hạng không chứa x khai trin n ổ ữ ỗ 1 ỗ ữ - xữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ x + x x x + x + * ỗ ) A2 - nC n2 + 55n = è( ø , với x > n Î ¥ thỏa mãn n Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn ỉ ỉ ỉ Bư Cử ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ 2019sin A + 2020sin B + 2021sinC = 2022cosỗ + 2020cos + 2018cos ì ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ è2 ø è2 ø è2 ø Chứng minh tam giác ABC u = un2 - un + 1, " n ẻ Ơ * u = 2021 (u ) Câu (3,0 điểm) Cho dãy số n thỏa mãn: n+1 , 1 = + +×××+ limvn u1 u2 un đặt Tính Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Gọi H trung æ 5ử ữ Mỗ ; ữ ỗ ữ ỗ ữ 4ø è BC K H AC điểm đoạn , hình chiếu vng góc lên Biết trung điểm đoạn x + y 13 = HK , đường thẳng BK có phương trình Gọi N giao điểm BK AM Tỡm ta ổ 5ữ ữ Iỗ ; ỗ ç2 2÷ ÷ ø trung điểm đoạn AB độ điểm A , biết è Câu (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A ( a ) mặt phẳng qua O không O trung điểm đoạn AH Gọi ( a ) cắt đoạn AB, AC AD M , N P Tìm qua điểm A, B,C D Mặt phẳng giá trị nhỏ AM AN AP theo a xuống mặt phẳng ( BCD ) ( ) f ( x) = ln x + x2 + + 2021x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số , a,b c ba số thực dương cho f é( a + b + c) xù + f 2020 - 3x) = ú ë û ( phương trình ê vơ nghiệm Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a + b+ c × ab + bc + ca Hết - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay; không sử dụng tài liệu khác - Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Đáp án Câu Điểm (C ) Tìm m để đường ( m tham số thực) có đồ thị (C ) ba điểm phân biệt A, B C cho tổng hệ số góc ba tiếp thẳng d : y = x - m cắt đồ thị (C ) điểm A, B C nhỏ tuyến với (C ) d : x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 1- m) x = x - m Xét phương trình hồnh độ giao điểm Û x3 - ( 2m - 1) x2 - mx + m = 0,25 éx = - Û ê 0,5 êx2 - 2mx + m = (1) ê ë -( 1) có hai nghiệm phân biệt Để đồ thị (C ) d cắt ba điểm phân biệt phương trình ìï m2 - m > ï ỉ ỉ1 ïìï D ¢> 1ư ữ ỗ ỗ ữ ữ ùớ m ẻ Ơ ; ẩ ẩ ( 1;+Ơ ) ( *) ỗ ỗ- ;0ữ ữ ữ 0,5 ữ ữ ùù + 2m + m ¹ ïï m ¹ - ỗ ỗ 3 ứ ố ứ ố î ïïî khác - -Cho hàm số (3,0đ) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán – Bảng B y = x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 1- m) x " m thỏa mãn ( *) phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 , ìï x + x = 2m ï í ( 2) ïï x1x2 = m (C ) cắt d ba điểm suy ỵ Khơng tính tổng qt giả sử A ( - 1;- 1- m) , B ( x1;x1 - m) ,C ( x2; x2 - m) y¢(- 1) + y¢(x1) + y¢(x2) < Theo đề bài, ta có 2 Û 3m + + 3x1 - 2( 2m - 1) x1 - m + + 3x2 - 2( 2m - 1) x2 - m + < é ù Û ê( x1 + x2 ) - 2x1.x2ú- 2( 2m - 1) ( x1 + x2 ) + m + < ê ú ë û 0,5 0,5 ( 2) ( * *) -æ 1ử ổ ổ 5ử ữ ữ ữ mẻ ç Èç Èç ç- 1;- ÷ ç- ;0÷ ç1; ÷ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ ữ ỗ 4÷ *) , ( * *) ( 3ø è ø è ø giá trị cần tìm. -Từ suy Û 4m2 - m - < Û - < m < Giải phương trình sau tập số thực a) (2,0đ) (4,0đ) ( ) Û 4( x - 1) x2 - 2x + = x2 - 2x + + x2 - 2x + - ( *) Đặt 0,25 5x - 10x = 4( x - 1) x - 2x + 2 Ta có 5x2 - 10x = 4( x - 1) x2 - 2x + 0,5 a = x - 1, b = x2 - 2x + - éa - 2b = (1) 4ab = a2 + 4b2 - Û ( a - 2b) = Û ê êa - 2b = - (2) *) ( ê ë Khi trở thành -Trang 0,5 0,25 0,5 ìï x …4 x - 2x + = x - Û ïí ị xẻ ặ ùù 3x - = 1) Þ ( ïỵ Từ -é êx = + ì x …- ï ê ï ( 2) Þ x2 - 2x + = x + Û íï 3x2 - 12x + = Û êê ïỵ êx = - ê ë Từ -2 x= 6+ 6- x= × 3 - Vậy phương trình cho có hai nghiệm Cho số thực x > 1, y > z > thỏa mãn ( 0,25 0,25 0,25 ) log( xy+yz+zx) 5x2 + 16y2 + 27z2 + log12 xy + yz + zx = ( 1) M = x + y + z Tính Ta có é1 ù 1 ê ú 22y + 33zú „ 11x2 + 22y2 + 33z2 ( x + y + z) = ê 11x + BCS 22 33 ë 11 û 2 Û 5x + 16y + 27z …12( xy + yz + zx) -log12 ( xy + yz + zx) > Từ giả thiết, suy xy + yz + zx > log( xy+yz+zx) 5x2 + 16y2 + 27z2 …log( xy+yz+zx) 12 + Khi -1 …log( xy+yz+zx) 12 + log12 ( xy + yz + zx) + … 1) ( AM - GM Từ suy ìï 11x = 22y = 33z ïï í1 ïï log ( xy + yz + zx) = log 12 12 ( xy+yz+zx) Suy dấu “=” xảy ïỵ ìï x = 12 ïï ìï x = 2y = 3z Û ïí Þ ïí y = ïï xy + yz + zx = 144 ïï î ïï z = î -Vậy M = 22 ( b) (2,0đ) ( ) ) n (2,0đ) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ổ ữ ỗ 1 ữ ỗ ữ x ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ x + x x x + x + ỗ ( ) è ø x Tìm hệ số số hạng không chứa khai triển , với 2 * x > v n ẻ Ơ tha An - nC n + 55n = ìï n Ỵ ¥ * ï í ( a) ïï n …2 Điều kiện ïỵ n! n! An2 - nC n2 + 55n = Û - n + 55n = Û - n2 + 3n + 108 = 0,5 n - 2) ! 2!( n - 2) ! ( Ta có Trang én = 12 Û ê ên = - Þ n = 12 ( a) ). ê ë (thỏa mãn điều kiện Với n = 12, ta có ỉ ç ç ç ç ç x + x x x + ỗ ) ố( 12 ữ ổ ữ - xữ =ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố x +1 x ữ ứ 12 3k- 24 12 k ÷ k x÷ = C x ) å ÷ 12 ( ÷ ø k=0 0,75 - Từ giả thiết, suy k = hệ số cần tìm Cho tam giác ABC thỏa mãn (2,0đ) C 12 ( - 1) = C 128 = 495 - ỉ ỉ ỉ Bư Cư ÷ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ 2019sin A + 2020sin B + 2021sinC = 2022cosỗ + 2020cos + 2018cos ç ç ç ( a) ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ 2 è ø è ø è ø Chứng minh tam giác ABC ỉ ỉ Cư ỉ A - B÷ Cư ÷ ữ ữ sin A + sin B = 2cosỗ cosỗ 2cosỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ ữ ỗ2 ứ 2ứ è ø è Ta có -ỉ Cư ÷ ÷ 1009( sin A + sin B ) „ 2018cosỗ ỗ ( 1) ữ ỗ ữ 2ứ ố Suy -ỉ ÷ 1011( sin B + sinC ) 2022cosỗ ỗ ( 2) ữ ỗ ữ 2ứ ố Tương tự -æ ö B ÷ 1010( sinC + sin A ) „ 2020cosỗ ỗ ữ ( 3) ữ ữ ỗ 2ứ ố Từ ( 1) ,( 2) ( 3) (3,0đ) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 suy ổ ổ ổ Aữ Bữ Cữ ỗ ç ÷ ÷ ÷ 2019sin A + 2020sin B + 2021sinC 2022cosỗ + 2020cos + 2018cos ỗ ỗ ỗ ( b) ữ ữ ữ ỗ ỗ2 ữ ỗ2 ữ è2 ÷ ø è ø è ø ( a) ,( b) 0,25 - suy A = B = C Vậy tam giác ABC đều. -u = un2 - un + 1, " n Ỵ * u = 2021 (u ) Cho dãy số n thỏa mãn: n+1 , 1 = + +×××+ limvn u1 u2 un đặt Tính * u ¹ 1, un ¹ 0, " n ẻ Ơ Ta cú n v 1 1 un+1 - = un ( un - 1) Û = = un+1 - un ( un - 1) un - un -1 1 Û = , " n ẻ Ơ * un un - un+1 - 1 1 1 1 = + + +×××+ u1 - u2 - u2 - u3 - u3 - u4 - un - un+1 - Do 1 1 = = u1 - un+1 - 2020 un+1 - -Từ 0,25 Trang 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 u = un2 - un + Þ un+1 - un = ( un - 1) > (u ) Ta có n+1 , suy dãy n tăng -limun = a > u1 = 2021 (u ) (u ) (u ) TH1: n bị chặn trên, dãy n có giới hạn, giả sử (vì n tăng) u = un2 - un + Þ limun+1 = lim un2 - un + Û a = a2 - a + Û a = Từ n+1 (loại). Þ limun = +¥ (u ) TH2: n khơng bị chặn ổ1 ữ ữ ỗ limvn = limỗ = ữ ỗ limvn = ì ữ ỗ ữ 2020 2020 un+1 - 1ø è 2020 -Suy Vậy ( ) 0,5 0,5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Gọi H trung im ca on BC , ổ 5ử ữ Mỗ ç ; ÷ ÷ ÷ ç 4 è ø K hình chiếu vng góc H lên AC Biết trung điểm đoạn HK , đường thẳng x + y 13 = BK có phương trình Gọi N giao điểm BK AM Tìm tọa độ điểm A , biết ổ 5ử ữ Iỗ ; ữ ỗ ữ ỗ ÷ è2 2ø trung điểm đoạn AB uuuu r uuur uuur AM = AH + AK uuur uuur uuur uuur uuur A Ta có , BK = BH + HK = HC + HK uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur AM BK = AH + AK HC + HK Suy u u u r u u u r u u u r uuur uuur uuur uuur uuur I 0,5 = AH HC + AH HK + AK HC + AK HK K N uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AH HK + AK HC = AH HK + AH HC + HK HC M 2 C B H u u u r u u u r u u u r u u u r = AC HK + AH HC = Þ AM ^ BK AM : x y - 11 = 0,25 Ta có phương trình ( ) ( (2,0đ) 0,5 ( ( ( )( ) ) ) ) ìï 7x - y - 11 = ï Û í ïï x + 7y - 13 = ỵ ( ) ỡù ùù x = ổ 8ử 5ị Nỗ ữì ỗ ; ữ ớù ữ ùù ỗ 5ữ ố ứ ùù y = ùợ Tọa độ N nghiệm hệ: · · Ta có AHB = ANB = 90 , suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHN -Vì A Ỵ AM nên A ( t;7t - 11) , t ¹ Theo tốn ta có IA = IN = ( *) 0,25 0,25 0,25 10 2 ỉ 1ư ỉ 27ư ữ ữ ỗ ỗ ữ t- ữ +ỗ 7t = Û 5t - 19t + 18 = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 2ứ è 2ø è ét = ( *) ê ê 9Þ t = êt = ê ë Suy -Vậy A(2;3) -Trang 0,25 0,25 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng ( BCD ) O trung điểm đoạn AH Gọi ( a ) mặt phẳng qua O không qua điểm A, B,C D Mặt phẳng ( a ) cắt đoạn AB, AC AD M , N P Tìm giá trị nhỏ AM AN AP theo a Gọi V thể tích tứ diện ABCD V AM AN 0,5 VABCH = V Þ AMNO = × V 6a2 Khi VANPO AN AP VAPMO AP AM , = V 6a 6a2 0,5 AM AN + AN AP + AP AM V 6a2 AM AN AP AM AN + AN AP + AP AM Û = a 6a2 0,5 A Tương tự P M (2,0đ) Suy VAMNP O N B D H = 1 6 + + = Þ … 33 AM AN AP a a AM - GM AM AN AP -a3 a3 Þ AM AN AP … AM AN AP ) = × ( Min Vậy -Û C (2,0đ) V = ( 0,25 0,25 ) f ( x) = ln x + x2 + + 2021x Cho hàm số , a,b c ba số thực dương cho phương trình ù+ f ( 2020 - 3x) = ( 1) fé ê( a + b + c) xû ú ë vơ nghiệm Tìm giá trị nhỏ biểu thức a + b+ c × ab + bc + ca y = f ( x) Hàm số xác định liên tục ¡ f ¢( x) = + 2021 > 0, " x Ỵ ¡ x +1 Ta có -y = f ( x) ( - ¥ ; +¥ ) ( a) Suy hàm số đồng biến khoảng f ( - x) = - f ( x) y = f ( x) ( b) Mặt khác nên hàm số hàm số lẻ M = ( b) Ta có Suy a + b + c = ( 2) - a + a2 … 3a, b + b2 … 3b AM - GM AM - GM ( 0,25 0,25 ( a) ( 1) Û f éêë( a + b + c) xùúû= f ( 3x - 2020) Û ( a + b + c - 3) x = - 2020. -Phương trình Từ giả thiết, suy 0,25 c + c2 … 3c AM - GM ( 2) ) - a2 + b2 + c2 + a + b + c …3( a + b + c) =( a + b + c) Trang 0,25 0,25 0,25 0,25 Û M = a + b+ c …1 M =1 ab + bc + ca Khi Min a = b = c = - Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm trịn Hết Trang 0,25