SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH NĂM HỌC 2006-2007 Câu 1: Tìm giới hạn: a) lim 2006 x- x- x®1 2006 b) lim 2005 x®1 x- 2007 x x- 2006 x Lời giải a) Ta có: 2006 lim x 2006 x1 x1 lim x 2006 x ( x 1).( 2006 x 2005 2006 x 2004 2006 x 1) lim x 2006 x 2005 2006 x 2004 2006 x 2006 b) Biến đổi tương tự câu a) sử dụng kết câu a) ta có: 2006 x1 2006 2007 x x x lim 2005 lim x x 2006 x x 2005 x x 2007 x1 1 x 2006 2007 2005 2006 1 2007 x1 2005 2006 x Câu 2: a) Chứng minh phương trình: 1+ cos2x = 2m.sinx ln có nghiệm với giá trị tham số m b) Giải phương trình: cos2x.( cosx + sinx) = cos8 x - sin8 x Lời giải a) cos x 2 m.sinx (1) 2sin x 2m sinx sin x m.sinx 0 (2) Đặt t sinx , với t 1;1 phương trình (2) trở thành Ta có (1) f (t ) t mt 0 Ta cần chứng minh f (t) 0 có nghiệm t 1;1 m Do f ( 1) f (1) m.m m 0, m f (t ) hàm liên tục có nghiệm 1;1 m , đpcm cos x( cosx sinx ) cos x sin x (1) Điều kiện: cosx 0;sinx 0 (2) b) Khi nên f (t ) (1) cos x( cosx sinx ) cos x(cos x sin x) cos x 0.(3) cosx sinx cos x sin x (4) Ta có: k (3) x k x Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm cosx cos x cosx (1 cos3 x cosx ) 0 ( cosx 1 ) Ta có: Tương tự x k 2 , k sinx sin x 0 cosx sinx cos x sin x (4) cosx cos x sinx sin x cosx 1 sinx 1 x k 2 x k 2 , k Đáp số: x k 2 ; x k 2 ; x k 2 ( k ) Câu 3: Tam giác ABC không tù, thỏa mãn A ³ B ³ C Tính góc tam giác đại lượng P = cosA + cosB+ cosC- 2sinA sinB đạt giá trị lớn Lời giải Ta có: P cosA cosB cosC 2sinA.sinB cosA cosB cos(A B) cos(A B) cos(A B) cosA cos B cos( A B) (1) sin A sin B sin A sin B cos( A B) 2sin( A B ) 2sin C 2sin C sin A sin B cosA cos B sin C sin C Từ giả thiết ta có: C B A sin A sin B 1, 1, cos A 0, cos B sin C sin C Nên cos( A B ) cos A cos B P 0 Từ (1) suy Dấu xảy sin A 1 cos A0 sin C sin B 1 (2) sin B 1 (3) sin C sin C (2) tương đương với A 90 B C 45 (3) tương đương với sinA=sinB=sinC Vậy P lớn A B C 60 A 90 , B C 45 A B C 60 Câu 4: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ÐACB = a cạnh BC = a Mặt bên SBC vng góc với đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với đáy góc b Các góc SBC SCB nhọn a) Cho a = 450 b = 600 , xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC theo a b) Khi a b khơng đổi, tìm giá trị a để đường cao SH hình chóp có độ dài lớn Lời giải Do mp(SBC) vng góc với đáy ABC góc SBC, SCB nhọn nên H thuộc cạnh BC tam giác ABC Vẽ HM AC , HN AB suy AC SM , AB SN nên SMH SNH tam giác vng: SMH,SNH nhau, suy MH=NH, từ ta có tứ giác AMHN hình vng a) Khi a 45 tam giác ABC vng cân A nên AH BC , AH Vẽ tia phân giác góc SMH cắt SH K mp(KAC) mp(KAB) thứ tự mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh AC,AB hình chóp S.ABC Dễ thấy giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng AK Vẽ tia phân giác góc SHA cắt AK I I cách mặt hình chóp S.ABC nên tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp a Dễ thấy HM sin 45 a 2 Xét tam giác vuông KHM: a (doKMH 30 ) 2 Vẽ IE AH , IF HK IE IF r với r bán kính mặt cầu nội tiếp hình KH HM tan 30 chóp S.ABC Ta có: IE AH a IF HK AH HK ( vế lần diện tích AHK ) a a AH HK a 2 r AH HK a a 2( 1) 2 b) Đặt HM HN x Xét tam giác vuông NBH: BH NH x BH (1) cos cos HM x HC (2) sin sin x(sin cos ) a cos sin x Từ (1) (2) ta có: a cos sin sin cos Xét tam giác vuông MCH: HC Xét tam giác vuông SHM: SH x.tan a sin cos tan sin cos Do a, không đổi nên SH lớn sin cos lớn sin cos Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta được: sin cos ) sin cos 2 (sin cos ) sin cos sin cos 4 ( Dấu xảy Gía trị thỏa mãn sin cos sin cos 45 Vậy đường cao SH hình chóp S.ABC lớn 45 Câu 5: Ba số a,b,c Ỵ (0; ) a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức: - 2a + - 2b + - 2c ³ ab + bc + ca Lời giải 1 2a 2b 2c ab bc ca Đặt 2a x, 2b y, 2c z ( x, y , z ) Khi x 3 2a y 3 2b z 3 2c z2 x2 y2 2 c ,a ,b , x y z 3 2 (3 x ) (3 y ) (3 y ) (3 z ) (3 z ) (3 x ) ab bc ca 2 2 2 3.3.3 3.2( x y z ) x y y z z x x y y z z x 4 Bất đẳng thức ban đầu tương đương với 1 36 x y z x2 y y z z x2 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 1 x y z xyz x y y z z x 3 x y z 36 12 x2 y y z z x2 x4 y4 z Đặt xyz t (t 0) Khi ta cần chứng minh 12 2 ( t 1) ( t 2t 3) 0 t 12 t t 3t ( Đúng t 0 ) 1 2a 2b 2c ab bc ca Dấu xảy x y z 1 hay a b c 1 Vậy