2 3sin x.( + cosx) - 4cosx.sin2 2sin x - Lời giải Câu Giải phương trình: x - =0 ìï p ï ïï x ¹ + kp sin x ¹ Û í , k,l ẻ  ùù 5p +lp ùù x ïỵ Điều kiện: (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: x 3sin x.( + cosx) - 4cosx.sin2 - = Û 3sin x + 3sin x.cosx - 2cosx ( 1- cosx) - = ( Û ) ( ) 3sin x - cosx - 3sin2 x - 3sin x.cosx + cos2 x = é 3sin x - cosx = ê Û 3sin x - cosx 3sin x - cosx - = Û ê ê 3sin x - cosx = ë p 3sin x - cosx = Û cot x = x = + kp, k ẻ  TH1: ổ ổ pữ p pử ữ ỗ ữ ữ 3sin x - cosx = 2ỗ sin x cos cos x sin = Û sin x =1 ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ 6ứ 6÷ è è ø TH2: p p 2p Û x= + k2p x = + k2p, k ẻ  Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có họ nghiệm 7p 2p x= + k2p, x = + k2p, k ẻ  Câu Tính giới hạn sau ( )( L = lim x®0 ( L = lim x®0 + lim ( ) 2x + 1.3 2.3x + 1.4 3.4x + 2013 2012.2013x + - x Lời giải ) 2x + - 2.3x + 1.4 3.4x + 2013 2012.2013x x 2.3x + - 3.4x + 2013 2012.2013x ) x x®0 Chứng minh cơng thức: Áp dụng (1) ta thu lim n x®0 L = + + + + 2012 = 2013 + + lim x®0 ax + - a = a 0;n ẻ Ơ * x n (1) ( ) 2011.2012 = 2011.1006 = 2023066 Câu Cho khai triển: ( 1+ x + x + x3 + + x10 ) 11 2012.2013x - x = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a110x110 Chứng minh đẳng thức sau: 10 11 C a - C 11 a1 + C 11 a2 - C 11 a3 + +C 11 a10 - C 11 a11 = 11 11 Lời giải Xét x ¹ x - 1) từ khai triển nhân hai vế với ( (x 11 ) - 11 = ( x - 1) 11 (a 11 k 11k VT (2) = å C 11 x ( - 1) 11 ta có: + a1x + a2x2 + + a110x110 ) (2) 11- k Þ Hệ số x11 vế trái C 11 = 11 k=0 ỉ11 k 11- k kư ữ ữ VP (2) = ỗ C x a0 + a1x + a2x2 + + a110x110 ỗ ( ) ữ 11 ỗ ữ ỗ ốk=0 ứ 11 Þ Hệ số x vế phải ( ) 10 11 C 11 a0 - C 11 a1 + C 11 a2 - C 11 a3 + +C 11 a10 - C 11 a11 Từ suy đẳng thức cần chứng minh Câu Tính tổng: S= - C n1 2.3 + 2C n2 3.4 - n ( - 1) nC + + 4.5 ( n + 1) ( n + 2) 3C n3 n n Lời giải C k+1 ( n + 1) ! C nk n! = = = n+1 k + k !( k + 1) ( n - k) ! n + ( k + 1) !é( n + 1) - ( k + 1) ù! n + ê ú ë û Ta có (3) k k ( - 1) kC ( - 1) kC = ( k + 1) ( k + 2) ( n + 1) ( n + 2) Áp dụng lần công thức (3) ta được: k n k+2 n+2 Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có ( n + 1) ( n + 2) S = - C ( ) n+2 n + 2C n4+2 - 3C n5+2 + + ( - 1) nC nn++22 ( ) ( ) n = - C n2+1 + C n3+1 + C n3+1 + C n4+1 - C n4+1 + C n5+1 + + ( - 1) nC nn++11 n = - C n2+1 +C n3+1 - C n4+1 + + ( - 1) C nn++11 n+1 ỉ0 = C n0+1 - C n1+1 - ỗ C n+1 - C n1+1 + C n2+1 - C n3+1 + C n4+1 - C n5+1 + + ( - 1) C nn++11ữ ỗ ữ= è ø 1- ( n + 1) - ( 1- 1) S= Vậy n- =- n -n ( n + 1) ( n + 2) BB ' = 5;CC ' = Câu Cho tam giác ABC có độ dài đường cao diện tích tam giác ABC Lời giải cosÐCBB ' = Tính Xét hai trường hợp: +) B C khơng tù Khi 2 cosÐCBB ' = Þ sinC = ,cosC = 5 BB ' BC = = cosÐCBB ' CC ' sin B = = ,cosB = BC 5 Suy A B’ C’ H C B Þ sin A = sin B cosC + sinC cosB = Þ AB = BB ' 5 = Þ S = AB CC ' = sin A 2 +) B C tù Do BB ' > CC ' nên B < C C tù Þ sinC = ,cosC = - 25 25 Þ sin A = , AB = sin B = ,cosB = S= 5 5 (giống trường hợp 1) Còn Suy p A£ B£C £ Tính góc tam giác Câu Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = 2cos4C + 4cos2C + cos2A + cos2B Lời giải p p A£ B£C Þ £ C £ Þ £ cosC £ 2 Ta có cos2A + cos2B = 2cos( A + B ) cos( A - B ) = - 2cocC cos( A - B ) ³ - 2cosC cos( A - B ) £ ( Do cosC ³ ) C = (3) p Dấu (3) xảy A = B é ù P ³ 2cos2 C - + ê2cos2 C - - 1ú- 2cosC = ê ú ë û Từ 2 = 8cos C 2cos C - - 2cosC ( ( ) ( ) ) ( ) 16cos4 C - 8cos2 C + + 1- 2cosC - = 4cos2 C - + ( 1- 2cosC ) - ³ - Dấu (4) xảy C = p Vậy P đạt giá trị nhỏ Câu Cho hình chóp SABC có (4) A = B =C = SC ^ ( ABC ) p tam giác ABC vng B Biết góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC) a với Lời giải sin a = AB = a; AC = a 13 19 Tính độ dài SC theo a Gọi H, K hình chiếu C lên SA, SB Ta chứng minh CK ^ (SAB ), SA ^ (CHK ) Suy D CHK vuông K SA ^ K H Do a = ÐCHK Đặt SC = x > Trong tam giác vng SAC ta có 1 3a2x2 = + Þ CH = CH CA CS 3a2 + x2 CK = 2a2x2 2a2 + x2 Tương tự, tam giác vuông SBC ta có 2 13 CK 13 Û 2(3a + x ) = 13 sin a = Û = 3(2a2 + x2) 19 Û x = 6a , x > Vậy SC = 6a 19 CH 19 Ta có ìï ïï a = ïí " n 1, n ẻ Ơ ïï ï ( n + 2) an = n an+1 - ( n + 1) anan+1 (a ) Câu Cho dãy số n thỏa mãn: ïỵ liman Tìm Lời giải ( n + 2) an ¹ 0, " n ẻ Ơ * n2 = - ( n + 1) an an+1 Từ giả thiết ta có 1 yn = + * y =1 an n ẻ Ơ Vi mi , t ta cú ỉ ỉ 2 ÷ ữ = n2 ỗ yn - ữ - ( n + 1) Þ ( n + 2) yn+1 = n2yn ị yn+1 = ỗ ( n + 2) ỗỗỗyn+1 - 14ữ ữ ữ ỗ ữ ữ 4ứ ố ứ ố Dễ thấy n2 ( n + 2) æ æ ö æö 4n2 ( n + 1) n - 1ö n - 2ữ 1ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ yn = ỗ ị an = ỗ ữ ữ ỗ ữy1 = 2 ỗ ỗn - 1ữ ç3÷ ÷è èn + 1ø ø è ø 16 - n2 ( n + 1) ( n + 1) n2 Do liman = Vậy 2 yn