Đề số 180(đã sửa)

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2000 - 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG Câu 1: (2 điểm) Cho dãy số (an), a1 = a n 1 a n  Lời giải 1 a 2k 1 a k2     a i2  a 2j    2(n  1) ak i 2 j1 j1 a j n +) a lim n  a n Chứng minh: n   n n a 2n 2n    n n 1 a 2j Vậy an > 2n  , n 2 1 1 1 1 a 2k  2k  k 2         2 a k (2k-1) (2k-1)  4k(k+1)  k  k  +) n n 1 1 1  (1  )    1    4 a n1 4 j1 a j +) Suy ra: k 2 k +) j1 n +) Suy ra: +) Vậy: n 1  (n  1)  (n  1) (n 2)   4 j1 a j j1 a j a 2n  2n   n 2; +) Suy ra: lim Câu 2: +) Do đó: (3 điểm) n  5(n  1) (n 2) 2n-1 p a i 1 i 1 Lời giải Câu a (1 đ)  p   p 1 16   x i     p  p 4  i 1   i 1 x i  +) Do: +) p = 4: Khi đó: xi = 1, i 1, Vậy hệ có nghiệm  x  x 3  x x 1 +) p = 3: Chọn x1 =  có nghiệm Nên (x1, x2, x3) nghiệm hệ  x1  x 4  x x 1 +) p = 2:  có nghiệm Nên (x1, x2) nghiệm hệ +) p = 1: Vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm p = 2, p = 3, p = Câu b (2 đ) a i2  +) Ta có: f(a1, a2,.,ap) = i 1 a i (1  a1 ) p  x +) Xét hàm: g(x) = x(1 - x2), < x < 1; g’(x) = max g(x)  Ta có: (0;1) 3 3 p 3 p  1 hay p =  i 1 Dấu đẳng thức xảy khi: +) Do đó: f(a1, a2,.,ap) a1 a  2 2 2 2 a a1 a1.a +) p = 2: f(a1,a2) = a1  a 1 Dấu đẳng thức xảy  a1 a   a12 a f (a1 , a )    a1 a12 2, liên tục (0;1).Khi a1  f (a1 , a )     2;  Vậy p = 2, tập giá trị là:  +) p = 3: Chọn a1   2x ; a  x ; a  x , 0