Câu 1: Cho parabol (P): y x x Tìm tất cá giá trị m để đường thẳng d: y x m cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) Lời giải * PT hoành độ giao điểm: x x m 0 (1) * d cắt (P) điểm phân biệt PT (1) có nghiệm phân biệt 13 13 4m m (*) A( x1; x1 m); B( x2 ; x2 m) với x1 ; x2 nghiệm pt (1) x1 x2 Theo hệ thức Viet: x1.x2 m Theo giả thiết ta có OAB vng O OA.OB 0 x1 x2 m x1 x2 m 0 m m m 0 m 2 Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m m m 2 Câu 2: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: m x m 1 x 2m 0 Lời giải * Đặt t x 0 , pt cho trở thành: m t m 1 t 2m 0 (*) * Phương trình cho có nghiệm phân biệt pt (*) có hai nghiệm dương phân biệt hay m 0 m 1 m 2m 1 m 1 0 m 2m 0 m m 2 7 m 3 2 3 m m m m m 3 * Kết luận: m 2; Câu 3: Cho 3sin 8cos 5, Tính P sin cos3 Lời giải 4 * Ta có 3sin 8cos 3sin sin 0 3sin 8sin 0 sin sin ´ sin 3(v o l i ) * Với , ta có cos Khi cos sin 3 3 1 * Ta có P sin cos = Câu 4: Giải phương trình: x x x x x x Lời giải * TXĐ: 2 Ta có x x x x x x * pt x x x x 4 x x 1 x2 x 1 * Đặt a x x 1, b x x Pt cho trơ thành: b 2a ab b 2 b b a 0 b a * Với b 2 , ta có 13 x x 2 x x 0 x * Với b a , ta có x x x x x2 x 1 x2 x 1 x x x x 2 4 x x x x x 2 vô nghiệm x 0 13 13 * Kết luận: Phương trình cho có hai nghiệm x ;x 2 Câu 5: x x y 9 Giải hệ phương trình: 2 3 x x x y xy 18 Lời giải x x y 9 2 3 x x x y xy 18 x x 3x y 9 ( x x )(3 x y ) 18 Đặt u x x; v 3 x y u v 9 u 6 u 3 Hpt trở thành uv 18 v 3 v 6 x x 3 u 3 * Với , ta có v 6 3 x y 6 u 6 * Với , ta có v 3 x x 6 3 x y 3 x 1 x y 3 y 15 x x y 6 y 6 KL:hpt có nghiệm 1;3 , 3;15 , 7;6 , Câu 6: 7;6 Giải bất phương trình: x x 2 3x x Lời giải * Đặt t x x t 0 Ta có bất phương trình: t 2t t 2t 0 t 1 * Kết hợp với điều kiện t 0 ta được: t 1 x 3 x x 0 x x x 0 * Với t 1 , ta có 3 x x 1 x 1 x 0 x 1 2 * Kết luận tập nghiệm bất pt cho là: S ;0 ;1 3 Câu 7: Cho tam giác ABC có BAC 600 , AB 5, AC 10 , trung tuyến AD ( D BC ) M điểm thỏa mãn 3MA MC 0 Tính độ dài đoạn BM chứng minh AD BM Lời giải * Ta có 3MA MC 0 5MA AC 0 MA AC 600 Suy M nằm A C nên AM , AB MAB AM AM AC 4 , BM AM AB BM AM AB AM AB AM AB * AM AB AM AB.cos 600 21 2 1 * Chỉ BM AC AB; AD AB AC 2 2 * BM AD AC AB AB AC 5 2 1 AB AC AC AB 0 10 Suy BM AD Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): x2 y 1 có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm tọa độ điểm M 25 thuộc elip (E) cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1 F2 Lời giải * Ta có a 5;b 9, suyra c 4 , MF1 MF2 2a 10, F1F2 2c 8 * p MF1 MF2 F1 F2 9 Ta có S MF1F2 pr 9 12 Mặt khác S MF1F2 d M , Ox F1F2 4.d M , Ox Từ ta có d M , Ox 3 yM yM 3 * Do M xM ;3 M xM ; 3 Vì M E nên xM 0 Khi ta có M 0;3 M 0; 3 Kết luận : M 0;3 M 0; 3 Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 2 2 y 1 8 đường thẳng d : x y 0 Tìm điểm M nằm d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến tới đường trịn (C) hai tiếp tuyến vng góc với Lời giải * M 2a 3; a d , đường trịn (C) có tâm I 2; 1 , bán kính R 2 * Từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) M nằm ngồi hình tròn (C) IM > R hay IM > 2 (*) * Giả sử từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) tiếp tuyến vng góc với IM = R 4 ( thỏa mãn (*)) hay 2a 2 2 a 1 4 2a a 1 16 5a 18a 10 0 31 a 31 a * Với a * Với a 31 31 31 ; , ta có M 5 9 31 31 31 ; , ta có M 5 31 31 31 31 ; ; * Kết luận : M M 5 5 Câu 10: Cho hình thoi ABCD có tất cạnh tiếp xúc với đường trịn (C), biết A thuộc đường thẳng d hồnh độ A không nhỏ 1, BD 2 AC Tìm tọa độ A Lời giải Từ BD 2 AC , ta có IB 2 IA Trong tam giác vng IAB ta có suy 1 ( H tiếp điểm AB với (C)) IA IB IH IA 10 IA Giả sử A 2t 3; t d x A 1 nên t 2 Ta có IA 10 2t 5 t 1 t 2(tm) 10 t kh o ngtm t 2 , ta có A 1; Kết luận : A 1; Câu 11: Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x y z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 1 xy yz zx Lời giải Với a, b, c số dương Chứng minh : 1 a b c 9 (1) a b c Áp dụng bđt (1) ta có A= 1 xy yz zx xy yz zx x y 0 Ta có y z 0 z x 0 x y z xy yz zx Theo giả thiết x y z 3 x y z x y z 1 Suy A 1.Dấu = xảy 2 x y z 3 Vậy giá trị nhỏ A = x y z 1