Hệ thức lượng giác trong tam giác với phép biến đổi tuyến tính góc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phùng Thị Oanh HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH GĨC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Một số phép biến đổi tuyến tính góc 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.2 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.3 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.4 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.5 Biến đổi tuyến tính góc dạng dạng 17 28 32 38 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng quát 45 2.1 Một số biến đổi tuyến tính dạng tổng quát 45 2.2 Một số toán khác 49 Kết luận 56 Các cơng trình có liên quan 57 Tài liệu tham khảo 58 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Những tốn liên quan đến hệ thức tam giác thường có mặt đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học Số lượng hệ thức tam giác tài liệu dành cho học sinh phổ thông lớn, học sinh dễ bị chống ngợp, cảm thấy khó khăn giải dạng tốn Học sinh thường khơng khơng thấy mối liên hệ hệ thức lượng giác Do cần có phương pháp giúp học sinh phân loại thấy mối quan hệ hệ thức lượng giác tam giác Như số lượng hệ thức lượng giác tam giác cần chứng minh giảm cách đáng kể Một phương pháp phân loại tạo hệ thức lượng giác tam giác phương pháp biến đổi tuyến tính góc Ý tưởng phương pháp biến đổi tuyến tính góc (xem [9]): Sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc để tạo tam giác A1 B1 C1 từ tam giác ABC Từ hệ thức biết cho tam giác A1 B1 C1 ta có hệ thức tam giác ABC Dạng tổng quát phép biến đổi tuyến tính góc là: A1 = k11 A + k12 B + k13 C + λ1 π , B1 = k21 A + k22 B + k23 C + λ2 π , C1 = k31 A + k32 B + k33 C + λ3 π , A1 + B1 + C1 = π, A1 > 0, B1 > 0, C1 > Hệ bốn phương trình ba bất đẳng thức chứa 12 hệ số kij , λi (i, j = 1, 2, 3) Do đó, cách chọn hệ số, ta có nhiều phép biến đổi tuyến tính góc Các phép biến đổi tuyến tính góc khai thác luận văn là: π−A π−B π−C 1) A1 = , B1 = , C1 = (4A1 B1 C1 nhọn), 2 2) A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C (với 4ABC nhọn), 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A B π+C π , B3 = , C3 = (4A3 B3 C3 tù có góc C3 > ), 2 π2 4) A4 = 2A, B4 = 2B, C4 = 2C − π (với 4ABC tù có C > ), π π 5) A5 = − A, B5 = − B, C5 = π − C , 2 Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng Chương đưa số phép biến đổi tuyến tính góc dạng nhằm tạo hệ thức lượng giác tam giác Các hệ thức tam giác lựa chọn từ đề thi học sinh giỏi, tạp chí Tốn học, đề thi Đại học sáng tạo từ có Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng quát Chương xét phép biến đổi tuyến tính góc dạng khơng đối xứng sáng tạo dựa có Một số phần nội dung luận văn đưa vào [3] thông báo [1], [2] Tất tập giải chi tiết [3] Hy vọng Luận văn cung cấp cho Thầy giáo, em học sinh tài liệu hệ thức lượng tam giác theo phương pháp biến đổi tuyến tính góc, thơng qua đó, học sinh sáng tạo nhiều hệ thức Tác giả luận văn hi vọng tiếp tục bổ sung hoàn thiện thêm đề tài q trình giảng dạy tốn trường phổ thơng Luận văn hồn thành hướng dẫn PGS-TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới người Thầy nghiêm khắc tận tụy với công việc, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học Thầy cô giáo tham gia giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, thầy tổ Tốn - Tin trường Phổ thơng Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tơi hồn thành luận văn Để hoàn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu cách nghiêm túc suốt khóa học Tuy nhiên, hạn chế 3) A3 = 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thời gian, trình độ hiểu biết nên q trình thực khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo thầy giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên 2011 Phùng Thị Oanh 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng Trong đại dương mênh mông đẳng thức bất đẳng thức lượng giác tam giác (và đại dương sách lượng giác nay), thường quan sát thấy “cặp trùng”, tức chúng giống Thí dụ, với tam giác ta ln có: 1) (Vơ địch Cộng hoà dân chủ Đức, 1965) cos A + cos B + cos C ≤ ; (1.1) 2) (Đại học An ninh, 1996, Khối A) B C A + sin + sin ≤ ; 2 2 (1.2) A + 3B B + 3C C + 3A + cos + cos ≤ ; 4 (1.3) sin 3) cos 4) cos π+B π+C π+A + cos + cos ≤ ; 4 (1.4) Giải thích giống bất đẳng thức trên?Có lẽ có nhiều cách giải thích Với cách nhìn, ta phát qui luật ẩn tàng bên giống vẻ ngồi hệ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thức Trong luận văn này, cố gắng giải thích giống cặp trùng dựa nhận xét sau đây: Thực chất hệ thức lượng giác giống chúng nhận từ qua biến đổi đại số, cụ thể phép biến đổi tuyến tính góc Chương xét số phép biến đổi tuyến tính góc dạng 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng A + (n − 1)B B + (n − 1)C C + (n − 1)A , B1 = , C1 = n n n Mệnh đề 1.1 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi A1 = A1 = A + (n − 1)B B + (n − 1)C C + (n − 1)A , B1 = , C1 = n n n với n = 2, 3, ba góc tam giác Chứng minh Thật vậy, A, B, C ba góc tam giác nên < A, B, C < π A + B + C = π A + (n − 1)B π + (n − 1)π Suy < A1 = < < π n n Tương tự, < B1 , C1 < π A1 + B1 + C1 = A + (n − 1)B B + (n − 1)C C + (n − 1)A + + =π n n n Chứng tỏ A1 , B1 , C1 ba góc tam giác Mệnh đề 1.2 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi A1 = A + (n − 1)C B + (n − 1)A C + (n − 1)B , B1 = , C1 = n n n với n = 2, 3, ba góc tam giác Mệnh đề 1.3 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi A1 = B + (n − 1)C C + (n − 1)A A + (n − 1)B , B1 = , C1 = n n n với n = 2, 3, ba góc tam giác Với n = ta có 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.1 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi B+C C +A A+B A1 = , B1 = , C1 = ba góc tam giác 2 B+C π−A π−A π Chú ý 1.1 Vì A1 = = nên < A1 = < phép 2 2 C +A A+B B+C , B1 = , C1 = biến đổi tuyến tính góc A1 = 2 π−A π−B π−C , B2 = , C2 = phép biến đổi tuyến tính góc A2 = 2 A2 B2 C2 tam giác có ba góc nhọn π−A A π−A nên sin A1 = sin = cos Nhận xét 1.1 Vì A1 = 2 A A A (cos A1 = sin , tan A1 = cot , cot A1 = tan ) Như vậy, từ hệ 2 thức chứa sin A1 , sin B1 , sin C1 (tương ứng, chứa cos A1 , cos B1 , cos C ; tan A1 , tan B1 , tan C1 ; cot A1 , cot B1 , cot C1 cho tam giác A1 B1 C1 A B C A ta suy hệ thức chứa cos , cos , cos (tương ứng, chứa sin , 2 2 B C A B C A B C sin , sin , cot , cot , cot , tan , tan , tan ) cho tam giác 2 2 2 2 ABC Sử dụng Nhận xét 1.1, từ hệ thức lượng giác tam giác biết, ta tạo (một số) hệ thức lượng giác khác mà chứng minh theo cách truyền thống (biến đổi lượng giác) Dưới số ví dụ minh họa Bài toán 1.1 Chứng minh với tam giác ta ln có cos A + cos B + cos C ≤ Chứng minh Ta có cos A + cos B + cos C ≤ ⇔ − cos A − cos B − cos C ≥ ⇔ + cos(B + C) − cos B − cos C ≥ ⇔ + cos B cos C − sin B sin C − cos B − cos C ≥ ⇔ + sin2 B + cos2 B + sin2 C + cos2 C + cos B cos C − sin B sin C − cos B − cos C ≥ 0, ln 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC Bài toán 1.2 Chứng minh với tam giác ABC ta ln có sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 Chứng minh (Biến đổi lượng giác) B C A sin + sin + sin ≤ 2 2 A B C ⇔ − sin − sin − sin ≥ 2 2 π − (B + C) B C ⇔ − sin − sin − sin ≥ 2 B+C B C ⇔ − cos − sin − sin ≥ 2 C C B B + cos + sin + cos2 ⇔ + sin 2 2 C B C B C B − 2(cos cos − sin sin ) − sin − sin ≥ 2 2 2 B C B C ⇔ (cos − cos ) + (1 − sin − sin ) ≥ 0, 2 2 Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) π−A π−B π−C Đặt A1 = , B1 = , C1 = Khi A1 , B1 , C1 ba 2 góc tam giác Do Bài 1.1 cho tam giác A1 B1 C1 Vì A B C cos A1 = sin , cos B1 = sin , cos C1 = sin nên ta có: 2 B C A sin + sin + sin = cos A1 + cos B1 + cos C1 ≤ , (đpcm) 2 2 Lời bình: Chứng minh (biến đổi tuyến tính góc) đơn giản gần khơng địi hỏi kiến thức gì, ngồi cơng thức quan hệ lượng giác hai góc phụ Bài tốn 1.3 Chứng minh với tam giác ABC có ba góc nhọn ta có sin A + sin B + sin C ≤ (tan A tan B tan C) cos A + cos B + cos C π Chứng minh Không tổng quát, giả sử > A ≥ B ≥ C > Do tính đồng biến hàm số tan tính nghịch biến hàm số cos khoảng 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng qt Ta thay bất đẳng thức (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), bất đẳng thức tam giác với vế trái biểu thức dạng tổng quát x cos A + y cos B + z cos C; (2.1) A B C x sin + y sin + z sin ; (2.2) 2 A + 3B B + 3C C + 3A x cos + y cos + z cos ; (2.3) 4 π+A π+B π+C x cos + y cos + z cos ; (2.4) 4 Khi đẳng thức, bất đẳng thức nêu Chương I trường hợp riêng đẳng thức, bất đẳng thức Ý tưởng phép biến đổi tuyến tính góc tam giác trình bày minh họa qua nhiều ví dụ, tập Chương I Trong Chương II, phát biểu chứng minh số hệ thức lượng giác nhờ sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc có dạng tổng quát 2.1 Một số biến đổi tuyến tính dạng tổng quát Bài toán 2.1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: x2 + y + z yz cos A + zx cos B + xy cos C ≤ , ∀x, y, z ∈ R 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Chứng minh (Biến đổi lượng giác) Ta có x2 + y + z yz cos A + zx cos B + xy cos C ≤ , ∀x, y, z ∈ R ⇔ x2 + y + z − 2(yz cos A + zx cos B + xy cos C) ≥ ⇔ x2 + y + z + 2yz cos(B + C) − 2zx cos B − 2xy cos C ≥ ⇔ x2 +y +z +2yz(cos B cos C −sin B sin C)−2zx cos B −2xy cos C ≥ ⇔ (z sin2 B + y sin2 C − 2yz sin B sin C)+ (x2 + z cos2 B + y cos2 C − 2xz cos B − 2xy cos C + 2yz cos B cos C) ≥ ⇔ (z sin B − y sin C)2 + (x − z cos B − y cos C)2 ≥ 0, x y z Dấu đẳng thức xảy = = sin A sin B sin C Nhận xét 2.1 Cho x = y = z = 1, ta có bất đẳng thức cos A + cos B + cos C ≤ (2.5) Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: B C x2 + y + z A , ∀x, y, z ∈ R yz sin + zx sin + xy sin ≤ 2 2 Chứng minh (Biến đổi lượng giác) B C x2 + y + z A yz sin + zx sin + xy sin ≤ 2 2 B + C B C ⇔ x2 + y + z − 2yz cos − 2zx sin − 2xy sin ≥ 2   B C B C ⇔ x2 + y + z − 2yz cos cos − sin sin 2 2 B C −2zx sin − 2xy sin ≥ 2  C B 2  C B 2 ⇔ y cos − z cos + x − y sin − z sin ≥ 0, 2 2 x y z Dấu đẳng thức xảy = = A B C cos cos cos 2 Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) π−A π−B π−C Đặt A1 = , B1 = , C1 = 2 A B C Vì cos A1 = sin , cos B1 = sin , cos C1 = sin , áp dụng Bài 1.1 cho 2 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 tam giác A1 B1 C1 ta A B C yz sin + zx sin + xy sin = yz cos A1 + zx cos B1 + xy cos C1 2 2 2 x +y +z ≤ (với x, y, z ∈ R) Hệ 2.1 Cho x = y = z = 1, ta có bất đẳng thức sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 (2.6) Bài toán 2.3 Cho tam giác ABC Chứng minh yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − x2 + y + z , ∀x, y, z ∈ R Chứng minh (Biến đổi lượng giác) x2 + y + z yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − , ∀x, y, z ∈ R ⇔ x2 + y + z + 2(yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C) ≥ ⇔ x2 + y + z + 2yz cos(2B + 2C) + 2zx cos 2B + 2xy cos 2C ≥ ⇔ x2 + y + z + 2yz(cos 2B cos 2C − sin 2B sin 2C) + 2zx cos 2B + 2xy cos 2C ≥ ⇔ (z sin 2B − y sin 2C)2 + (x + z cos 2B + y cos 2C)2 ≥ 0, x y z Dấu đẳng thức xảy = = sin 2A sin 2B sin 2C Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) Giả thiết thêm ABC tam giác có ba góc nhọn Đặt A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C A2 , B2 , C2 ba góc tam giác A2 B2 C2 Vì cos A2 = − cos 2A, cos B2 = − cos 2B, cos C2 = − cos 2C nên x2 + y + z yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − , ∀x, y, z ∈ R x2 + y + z ⇔ −yz cos A2 − zx cos B2 − xy cos C2 ≥ − , ∀x, y, z ∈ R Áp dụng Bài 1.1 cho tam giác A2 B2 C2 ta điều phải chứng minh Nhận xét 2.2 1) Thay cos 2x = − sin2 x, ta được: yz sin2 A + zx sin2 B + xy sin2 C ≤ (x + y + z)2 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 2) Cho x = y = z = 1, ta có bất đẳng thức quen thuộc: +) cos 2A + cos 2B + cos 2C ≥ − +) sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ Bài toán 2.4 Cho tam giác ABC Chứng minh A B C x2 + y + z yz cos + zx cos − xy sin ≤ , ∀x, y, z ∈ R 2 2 (2.7) Chứng minh (Biến đổi lượng giác) B C x2 + y + z A yz cos + zx cos − xy sin ≤ 2 2 B + C B C ⇔ x2 + y + z − 2yz sin − 2zx cos + 2xy sin ≥ 2  C B 2  C B 2 ⇔ y cos − z sin + x + y sin − z cos ≥ 0, 2 2 x y z Dấu đẳng thức xảy = = A B C sin sin cos 2 Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) A B π+C Đặt A3 = , B3 = , C3 = 2 A B C Vì cos A3 = cos , cos B3 = cos , cos C3 = − sin nên theo Bài 1.1 ta 2 có: A B C yz cos + zx cos − xy sin 2 x2 + y + z = yz cos A3 + zx cos B3 + xy cos C3 ≤ với tam giác A3 B3 C3 Vậy (2.7) chứng minh Bài toán 2.5 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: x2 + y + z yz cos 2A + zx cos 2B − xy cos 2C ≤ , ∀x, y, z ∈ R (2.8) Chứng minh (Biến đổi lượng giác) x2 + y + z yz cos 2A + zx cos 2B − xy cos 2C ≤ ⇔ x2 + y + z − 2yz cos 2A − 2zx cos 2B + 2xy cos 2C) ≥ ⇔ x2 + y + z − 2yz cos(2B + 2C) − 2zx cos 2B + 2xy cos 2C ≥ 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 ⇔ (z sin 2B + y sin 2C)2 + (x − z cos 2B + y cos 2C)2 ≥ 0, x y z Dấu đẳng thức xảy = =− sin 2A sin 2B sin 2C Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) Coi góc C tù Khi A4 = 2A, B4 = 2B, C4 = 2C − π ba góc tam giác Áp dụng Bài 1.1 cho tam giác A4 B4 C4 ta yz cos 2A + zx cos 2B − xy cos 2C x2 + y + z = yz cos A4 + zx cos B4 + xy cos C4 ≤ , Vậy (2.8) với tam giác ABC Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: yz sin A + zx sin B − xy cos C ≤ x2 + y + z , ∀x, y, z ∈ R (2.9) Chứng minh (Biến đổi lượng giác) x2 + y + z yz sin A + zx sin B − xy cos C ≤ ⇔ x2 + y + z − 2yz sin(B + C) − 2zx sin B + 2xy cos C ≥ ⇔ (z cos B − y sin C)2 + (x − z sin B + y cos C)2 ≥ 0, x y z Dấu đẳng thức xảy = = cos A cos B sin C Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) π Coi A, B hai góc nhọn tam giác ABC nên A5 = − A, π B5 = − B, C5 = π − C ba góc tam giác Ta có: yz sin A + zx sin B − xy cos C x2 + y + z = yz cos A5 + zx cos B5 + xy cos C5 ≤ , với tam giác A5 B5 C5 Vậy (2.9) chứng minh 2.2 Một số toán khác Bài toán 2.7 (ĐH An ninh, ĐH Cảnh sát, 1998) 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Tính góc tam giác ABC biết sin A sin B sin C = √ = sin A sin B sin C = √ = = t > Ta có:  sin A = sin(B + C) = sin B cos C + sin C cos B sin B = sin(A + C) = sin A cos C + sin C cos A  sin C = sin(A + B) = sin A cos B + sin B cos A √ √   = cos C + cos B t√= 3t cos C + 2t cos B √ ⇒ 3t = 2t cos A√ + t cos C ⇔ = cos A√+ cos C   2t = t cos√B + 3t cos A = cos B + cos A   π   A=     6π  cos A = ⇔ B= ⇔ cos B =       C = π  cos C = π π π Vậy tam giác ABC có A = , B = , C = Bài tốn 2.8 Tính góc tam giác ABC có ba góc nhọn biết Giải Đặt sin 2A sin 2B sin 2C = √ = Giải sin 2A sin 2B sin 2C = √ = = t Ta có:  sin 2A = − sin 2B cos 2C − sin 2C cos 2B sin 2B = − sin 2A cos 2C − sin 2C cos 2A  sin 2C = − sin 2A cos 2B − sin 2B cos 2A √ √   = − cos 2C − cos 2B t√= − 3t cos 2C − 2t cos 2B √ ⇒ 3t = −2t cos 2A√ − t cos 2C ⇔ = −2 cos 2A√ − cos 2C   2t = −t cos 2B − 3t cos 2A = − cos 2B − cos 2A √   5π   A=     cos 2A = −  12 π ⇔ ⇔ B= cos 2B = −   12      C = π cos 2C = Cách Đặt 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Cách Vì tam giác ABC có góc nhọn nên t > Suy A, B, C ba góc nhọn Do A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C ba góc tam giác A2 B2 C2 Ta có sin 2A sin 2B sin A2 sin B2 sin 2C sin C2 = √ ⇔ = √ = = 2 3 π π π Vậy tam giác A2 B2 C2 có A2 = , B2 = , C2 = 5π π π Suy tam giác ABC có A = ,B = ,C = 12 cos A cos B sin C Bài toán 2.9 Cho tam giác ABC Biết = √ = π π π Chứng minh A = , B = , C = cos A cos B sin C = √ = = t > Suy cos A > 0, cos B > 0, hay tam giác ABC có góc A góc B nhọn Ta có: √   π √    A =     t = − 3t cos C + 2t sin B 3π √ sin A =  ⇔ ⇔ B= 3t = 2t sin A√ − t cos C sin B =        2t = t sin B + 3t sin A  C = π cos C = Chứng minh Đặt Chứng minh Vì tam giác ABC có góc A góc B nhọn nên π π A5 = − A, B5 = − B, C5 = π − C ba góc tam giác Ta có: 2 cos A cos B sin C sin A5 sin B5 sin C5 = √ = ⇔ = √ = 2 3 π π π Suy tam giác A5 B5 C5 có A5 = , B5 = , C5 = π π π Vậy tam giác ABC có A = , B = , C = Bài tốn 2.10 (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ) Nhận dạng tam giác ABC biết √ √ cos A + cos B + cos C = 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Giải Ta có: √ √ cos A + cos B + cos C = √ √ ⇔ − 2( cos A + cos B + cos C) = √ √ ⇔ + cos(B + C) − cos B − cos C = √ √ √ ⇔ + cos B cos C − sin B sin C − cos B − cos C = √ √ √ ⇔ + cos B cos C − sin B sin C − cos B − cos C + sin2 B + cos2 B + sin2 C + cos2 C = √ ⇔ (sin2 B − sin B sin C + sin2 C) + (4 + cos2 B + cosB −4 cos B − √ √ cos C + cos B cos C) = √ √ sin C) + (2 − cos B − cos C)2 = ⇔ (sin B − √  sin B = sin √C ⇔ 2 − cos B − cos C = sin B √   = sin C ⇔  2 − cos B − sin B = ⇔ sin C = sin(B + C) = sin A sin C Suy (theo Bài 2.7): sin A sin B sin C π π π = √ = hay A = , B = , C = 2 Bài tốn 2.11 Hãy nhận dạng tam giác ABC có ba góc nhọn, biết √ √ cos 2A + cos 2B + cos 2C = −4 Giải Cách Ta có: √ √ cos 2A + cos 2B + cos 2C = −4 √ √ ⇔ + 2( cos 2A + cos 2B + cos 2C) = √ √ ⇔ (sin 2B − √3 sin 2C)2 + (2 + cos 2B + cos 2C)2 = sin 2B = sin √ 2C ⇔ + cos 2B + cos 2C = ( sin 2B √ ⇔ sin 2C = sin 2C = − sin(2B + 2C) = sin 2A Suy (theo Bài 2.8): sin 2A sin 2B sin 2C π π 5π = √ = hay A = , B = , C = 12 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Cách Đặt A2 = π −2A, B2 = π −2B, C2 = π −2C Vì A, B, C ba góc nhọn tam giác ABC nên A2 , B2 , C2 ba góc tam giác A2 B2 C2 Ta có: √ √ √ √ cos 2A+2 cos 2B+2 cos 2C = cos A2 +2 cos B2 +2 cos C2 = −4 π π π Theo Bài 2.10 tam giác A2 B2 C2 có A2 = , B2 = , C2 = π π 5π Vậy tam giác ABC có A = , B = , C = 12 Bài toán 2.12 (Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, năm 2003) Cho tam giác ABC Chứng minh     C 13 A C B C sin + sin + sin + sin + 13 sin8 ≥ 2 2 32 (2.10) Chứng minh Ta chứng minh sin4 A B C 13 + sin6 + 24 sin8 ≥ 2 32 Áp dụng bất đẳng thức ta có: r Cauchy     A 4 4A 2A sin4 + ≥2 sin = sin 2 r 2  6  6  6  6 B B B 6 sin +8 +8 ≥ 64 sin = sin2 2 2 2 r 2        8 24 C 1 C C 24 sin8 +24 +24 +24 ≥ 4 244 sin8 = sin2 2 2 2 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta  23 3 A A B C B C sin + sin + 24 sin ≥ sin + sin + sin − Với 2 2 2 32 M ABC ta lại có sin2 A B C + sin2 + sin2 ≥ 2 Suy ra: sin4 B C 13 A + sin6 + 24 sin8 ≥ (đpcm) 2 32 Bài toán 2.13 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng: 3(cos4 A + cos8 C) + 8(cos6 B + cos8 C) + 13 cos8 C ≥ 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 32 (2.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Chứng minh Ta có 13 3(cos4 A + cos8 C) + 8(cos6 B + cos8 C) + 13 cos8 C ≥ 32 13 ⇔ cos4 A + cos6 B + 24 cos8 ≥ 32 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 23 3 cos4 A + cos6 B + 24 cos8 C ≥ (cos2 A + cos2 B + cos2 C) − 32 Nhưng cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ với M ABC nên 3 23 13 = (đpcm) cos4 A + cos6 B + 24 cos8 C ≥ · − 32 32 π − A2 π − B2 π − C2 Chứng minh Đặt A = ,B = ,C = 2 B2 C2 A2 , cos C = sin nên với hệ thức Vì cos A = sin , cos B = sin 2 chứa cos A, cos B, cos C tam giác ABC ta có hệ thức chứa A2 B2 C2 sin , sin , sin tam giác A2 B2 C2 Áp dụng Bài 2.12 cho Bài 2 2.13 ta được:     C2 13 A2 C2 B2 C2 sin + sin + sin + sin + 13 sin8 ≥ (đpcm) 2 2 32 Kết luận Các ví dụ cho thấy, ta sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc cho đẳng thức, bất đẳng thức dạng đối xứng mà cịn áp dụng phép biến đổi tuyến tính góc cho đẳng thức, bất đẳng thức dạng tổng quát Như vậy, phép biến đổi tuyến tính góc tam giác cho phép sáng tạo thêm nhiều hệ thức lượng giác tam giác BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài toán 2.14 Chứng minh với tam giác ABC r √ A B C cos cos cos ≤ 2 Bài toán 2.15 Chứng minh với tam giác ABC √ √ sin A sin B sin C ≤ 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Bài toán 2.16 Chứng minh với tam giác ABC ta có √ √ cos A cos B sin C ≤ Bài toán 2.17 Cho tam giác ABC , chứng minh cos A cos B cos C + + ≤ 12 Bài toán 2.18 Cho tam giác ABC ,chứng minh cos 2A cos 2B cos 2C + + ≥− 12 Bài toán 2.19 Chứng minh với tam giác ABC, √ n n √ cos A cos B cos C ≤ 2(n + 1) n n + Bài toán 2.20 Chứng minh với tam giác ABC có ba góc nhọn, ta có A B sin sin 2 r n sin C n √ ≤ 2(n + 1) n n + Bài toán 2.21 Cho số dương m, n, p Chứng minh tam giác ABC ta ln có: n+p A p+m B m+n C tan2 + tan2 + tan2 ≥ m n p Bài toán 2.22 Cho số dương m, n, p Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn ta ln có: p+m m+n n+p cot2 A + cot2 B + cot2 C ≥ m n p 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Kết luận Luận văn Hệ thức lượng giác tam giác với phép biến đổi tuyến tính góc nhằm thể ý tưởng sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc tam giác sáng tạo chứng minh hệ thức lượng giác Luận văn đạt kết sau: 1) Đưa chứng minh định lí, mệnh đề, hệ số phép biến đổi tuyến tính góc tam giác từ có số ý nhận xét có liên quan 2) Thông qua số đề thi học sinh giỏi, đề thi vào Đại học, số tốn tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tốn sách giáo khoa phổ thơng, sách tham khảo hệ thức lượng giác tam giác, tác giả luận văn cố gắng minh họa chứng minh số hệ thức thông qua ý tưởng sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc tam giác Nhiều tốn hệ thức tam giác chứng minh cách qn nhờ phép biến đổi tuyến tính góc Tương tự, thay biến đổi tuyến tính góc phép biến đổi đơn điệu ta nhận chứng minh cho nhiều hệ thức biết Hy vọng thời gian tới, tác giả sâu nghiên cứu khai thác nhiều đề tài này, nhằm làm rõ vai trò giá trị ý tưởng biến đối tuyến tính góc biến đổi đơn điệu sáng tạo chứng minh hệ thức tam giác, phục vụ tốt cơng tác giảng dạy 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Tài liệu tham khảo [1] Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh, Tạ Duy Phượng, (2010), ”Chứng minh sáng tạo hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc”, Kỷ yếu hội thảo Các chuyên đề chuyên toán bồi dưỡng HSG THPT [2] Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh, Tạ Duy Phượng, (2011), ”Chứng minh sáng tạo hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc”, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, số [3] Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh, Tạ Duy Phượng, Chứng minh sáng tạo hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc, (Bản thảo), 280 trang 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Tài liệu tham khảo [1] Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh, Tạ Duy Phượng, (2010), ”Chứng minh sáng tạo hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc”, Kỷ yếu hội thảo Các chuyên đề chuyên toán bồi dưỡng HSG THPT [2] Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh, Tạ Duy Phượng, (2011), ”Chứng minh sáng tạo hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc”, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, số [3] Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh, Tạ Duy Phượng, Chứng minh sáng tạo hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc, (Bản thảo), 280 trang [4] Võ Giang Mai, Chuyên đề hệ thức lượng tam giác, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2001 [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên),Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [6] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn - Hệ thức lượng giác, Nhà xuất Hà Nội, 2004 [7] Tạ Duy Phượng, Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, Nhà xuất Giáo dục, 2006 [8] Các tạp chí, tuyển tập đề thi Olympic 30-4, trang WEB sách Tốn phổ thơng 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 [9] D S Mitrinovic, J E Pe¸caric, Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 1989 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn