Một số bài toán về đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lê Bá Cường MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TRỊN Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH, tổ Tốn trường THPT Xn Giang - Sóc Sơn - Hà Nội bạn lớp Cao học K4C, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.1.4 Dạng đại số số phức 1.1.5 Lũy thừa số i 1.1.6 Số phức liên hợp 1.1.7 Mô đun số phức 1.2 Ý nghĩa hình học phép toán đại số 1.2.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.2.2 Ý nghĩa hình học mơđun 1.2.3 Ý nghĩa hình học phép toán đại số Số phức hình học 2.1 Một vài khái niệm tính chất 2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng 2.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số 2.4 Góc định hướng 2.5 Góc hai đường thẳng 2.6 Phép quay điểm 2.7 Điều kiện thẳng hàng, vng góc thuộc đường tròn 2.8 Tam giác đồng dạng 2.9 Tam giác 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 6 10 10 12 13 13 14 15 16 16 16 19 19 20 21 23 26 28 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình học giải tích số phức 3.1 Phương trình đường thẳng 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm 3.3 Diện tích tam giác 3.4 Phương trình đường thẳng xác định điểm qua phương 3.5 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng 3.6 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng Các 4.1 4.2 4.3 34 34 35 36 39 40 41 tốn đường trịn số phức 42 Đường tròn 42 Phương tích điểm đường trịn 43 Góc hai đường tròn 44 Tài liệu tham khảo 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài: Là giáo viên dạy mơn tốn trường THPT 12 năm, tơi thấy tốn học phổ thơng hình học môn học mà nhiều học sinh thấy khó học, hình học khơng gian Để đại số hóa hình học nhà tốn học gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học giải tích Khi học hình học giải tích thấy học sinh dễ học tiếp thu tốt Nay số phức lại giáo dục đào tao đưa vào dạy chương trình THPT, toán số phức toán thường khó Liên quan đến dạng tốn tốn đường trịn Mong muốn có cách khác để trình bầy hình học nhờ số phức nên tơi chọn đề tài Đề tài “ Mơt số tốn đường trịn” nhằm đáp ứng mong muốn tơi đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho trình giảng dạy trường phổ thơng Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, có kiến thức số phức, kiến thức hình học nhiều kiến thức khác 2.Mục đích nghiên cứu: Hệ thống tổng quát toán đường tròn giải số phức ứng dụng khác trường phổ thông Nắm số kĩ thuật tính tốn biến đổi hình học liên quan đến số phức Nhiệm vụ đề tài: Đưa định nghĩa số phức phép toán số phức cách tổng qt có ví dụ minh họa kèm theo, đề tài mở rộng mảng kiến thức số phức với toán đường trịn giải số phức Thơng qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm số nguồn tư liệu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trình dạy học ngiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tốn hình học đường tròn tập số phức xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS – TSKH Hà Huy Khoái, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức hình học Chương III: Hình học giải tích số phức Chương IV: Các tốn đường trịn số phức Tuy cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài viết luận văn, song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn tơi hồn chỉnh có ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Định nghĩa số phức 1.1 1.1.1 Sự biểu diễn đại số số phức Định nghĩa số phức Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất sở tập hợp số thực R Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R } Hai phần tử (x1 , y1 ) v (x2 , y2 ) x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 Và z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 , với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét 1.1.1 1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) 2) Nếu z1 z2 = (x1 x2 , 0) z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp R2 với phép toán cộng nhân gọi tập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C\ {(0, 0)} 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng (a) Tính giao hốn z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C (b) Tính kết hợp (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Chứng minh Thật vậy, z1 = (x1 , y1 ) ∈ C, z2 = (x2 , y2 ) ∈ C, (x3 , y3 ) ∈ C z3 = (z1 + z2 ) + z3 = [(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 ) Và z1 + (z2 + z3 ) = (x1 , y1 ) + [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )) Những khẳng định giống phép cộng số thực (c) Phần tử đơn vị: Có số phức 0=(0,0) để z + = + z = z với z = (x, y) ∈ C (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có số phức –z = (-x,-y) cho z + (−z) = (−z) + z = Ta dễ dàng kiểm tra khẳng định (a),(c),(d) Số phức z1 − z2 = z1 + (−z2 ) gọi hiệu hai số phức z1 , z2 Phép toán z1 , z2 hai số z1 , z2 số z1 − z2 gọi phép trừ định nghĩa sau: z1 − z2 = (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ C 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn tính chất sau: (a) Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 với z1 z2 = z2 z1 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) Tính kết hợp: z1 z2 = z2 z1 với z1 z2 = z2 z1 (c) Phần tử đơn vị: Có số phức = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z với z ∈ C Sử dụng biến đổi đại số dễ thấy z.1 = (x,y)(1,0) = (x.1 - y.0,x.0 + y.1) = (x,y) = z Và 1.z = (1,0)(x,y) = (1.x - 0.y,1.y + 0.x) = (x,y) = z (d) Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = Ta tìm z −1 = (x, , y , ) với ý (x, y) = (0, 0) kéo theo x 6= y 6= hệ x + y 6= Từ hệ thức z.z −1 = ta có (x, y)(x, , y , ) = (1, 0) hay hệ sau thỏa mãn  , xx − yy , = yx, + xy , = y x , y = − x2 + y x2 + y Vì phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C∗ là: Giải hệ phương trình ta có x, = z −1 = x y =( , − ) ∈ C∗ 2 z x +y x +y Bằng cách làm tương tự ta có z −1 z = Hai số phức z1 = (x1 , y1 ) z = (x, y) ∈ C∗ xác định số z1 gọi thương chúng, kí hiệu , định nghĩa sau: z z1 x y = z1 z −1 = (x1 , y1 ).( , − ) z x + y x2 + y x1 x + y1 y −x1 y + y1 x , )∈C =( x + y2 x2 + y Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = ; z = z ; z = z.z z n = z.z z | {z } với số nguyên n > n lâ n n −1 −n z = (z ) với số nguyên n < 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số nguyên m,n ta có tính chất sau n n n 1) z m z n = z m+n 4)  (z1 z ) = z1 z2 z1 n z1 n zm m−n 2) n = z = n 5) z z2 z2 m n mn 3) (z ) = z Khi z = ta định nghĩa 0n = với số nguyên n > e)Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên tính chất phép cộng phép nhân,thấy tập hợp số phức với phép toán lập thành trường 1.1.4 Dạng đại số số phức Mỗi số phức biểu diễn cặp số thứ tự, nên thực biến đổi đại số thường không thuận lợi Đó lí để tìm dạng khác viết Ta đưa vào dạng biểu diễn đại số Xét tập hợp R × {0} với phép tốn cộng nhân định nghĩa R2 Hàm số f : R → R x {0} , f (x) = (x, 0) song ánh (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Người đọc không sai lầm ý phép tốn đại số R × {0} Đồng với phép tốn R; đồng cặp số (x, 0) với số x, với x ∈ R Ta sử dụng song ánh kí hiệu (x, 0) = x Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) Từ ta có mệnh đề Mệnh đề 1.1.3 Mỗi số phức biểu diễn dạng z = x + yi, với x,y số thực i2 = −1 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 7) Từ hệ thức z = ta có |z| = = z −1 = z z z |z| −1 |z|