Nghiên cứu phép biến hình bằng phương pháp đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Trần Thị Phương Lâm NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Trần Thị Phương Lâm NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Các phép biến hình mặt phẳng 1.1 Phép dời hình 1.2 Các phép dời hình thường gặp 1.2.1 Phép tịnh tiến 1.2.2 Phép đối xứng trục 1.2.3 Phép đối xứng tâm 1.2.4 Phép quay quanh điểm 11 1.2.5 Định lý dạng tắc phép dời hình 13 1.3 Phép đồng dạng 1.3.1 1.3.2 14 Phép vị tự 14 Phép đồng dạng tỉ số k 15 1.4 Phép nghịch đảo 16 1.5 Phương trình đại số phép biến hình phẳng 18 1.5.1 Phương trình phép tịnh tiến 19 1.5.2 Phương trình phép đối xứng trục 20 1.5.3 Phương trình phép đối xứng tâm 22 1.5.4 Phương trình phép quay 25 i Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.5.5 Phân loại phép dời hình mặt phẳng 27 1.5.6 Phương trình phép vị tự 29 1.5.7 Phương trình phép đồng dạng 32 1.5.8 Kết hợp phép biến hình phẳng 33 1.5.9 Phép nghịch đảo mặt phẳng 37 Các phép biến hình không gian 2.1 Nhắc lại khái niệm 2.1.1 2.3 48 Phép đối xứng qua điểm, đường thẳng, mặt phẳng 50 2.1.2 Phép quay quanh đường thẳng 52 2.1.3 Điểm bất động vectơ bất động phép biến đổi đẳng cự 53 Phân loại phép biến đổi đẳng cự E 55 Các phép đồng dạng E 64 2.2.1 Phép vị tự E 64 2.2.2 Phép đồng dạng E 65 2.2.3 Phân loại phép đồng dạng E 66 Phép nghịch đảo E 67 2.3.1 Định nghĩa tính chất 67 2.3.2 Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch 2.1.4 2.2 48 đảo Tài liệu tham khảo 74 ii Số hóa Trung tâm Học liệu 69 http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo khoa học, khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học, Đại Học Thái Nguyên, thầy, cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập Tôi xin cảm ơn thầy giáo, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ nhiều để tơi hồn thành luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, Tháng năm 2013 Học viên Trần Thị Phương Lâm iii Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Phép biến hình đề tài nhiều tác giả khai thác khía cạnh khác nhau: chứng minh cách sử dụng biến hình, tìm quĩ tích biến hình, dựng hình nhờ dời hình phép nghịch đảo, Nhiều tập hình học đơn giản nhờ biến hình trở thành cổ điển đẹp hồn hảo Đề tài ”Nghiên cứu phép biến hình phương pháp đại số” lại tiếp cận phép biến hình theo cách khác hẳn: sử dụng công cụ đại số, đặc biệt phương pháp tọa độ để nghiên cứu ứng dụng phép biến hình Phép biến hình nội dung chương trình tốn bậc Trung học sở Trung học phổ thơng Việc đưa nội dung phép biến hình vào chương trình tốn THCS THPT khơng cung cấp cho học sinh công cụ để giải tốn mà cịn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận Tuy nhiên cách giải phương pháp hình học túy Với việc áp dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học giúp cho hình học khỏi lối tư cụ thể trực quan Đặc biệt việc ứng dụng phương pháp đại số giúp giải toán cách đơn giản nhiều so với việc giải phương pháp hình học túy Việc lựa chọn cơng cụ, phương pháp giải thích hợp cho Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ tốn giúp ta tiết kiệm thời gian cơng sức để giải tốn cách có hiệu Đó lý tơi chọn đề tài luận văn ”Nghiên cứu phép biến hình phương pháp đại số” Phạm vi luận văn nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng cơng cụ đại số Chứng minh lại tính chất phép biến hình cơng cụ đại số đồng thời giải tốn liên quan Từ thấy ưu việc đại số hóa phép biến hình Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương 1: Các phép biến hình mặt phẳng Chương 2: Các phép biến hình khơng gian Chương đề cập đến phép biến hình phẳng từ phép tịnh tiến đến phép nghịch đảo với cách làm hệ thống kiến thức phép biến hình, sau xây dựng phương trình đại số( biểu thức tọa độ ) tương ứng Việc ứng dụng phương trình đại số cho phép giải loạt tốn hình học có hiệu Chương đề cập đến phép biến hình khơng gian cách đưa phương trình phép biến hình khơng gian như: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay quanh điểm, phép vị tự, phép đồng dạng, phép nghịch đảo Kết quan trọng chương mô tả đặc trưng số phép biến hình phức tạp Các ví dụ tính tốn chi tiết kết có ích luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Các phép biến hình mặt phẳng Trong đại số hay giải tích ta có khái niệm hàm số, tương tự ta có khái niệm phép biến hình hình học Kiến thức chương tập hợp từ tài liệu [2] Định nghĩa 1.1 Phép biến hình (trong mặt phẳng không gian) qui tắc với điểm M (thuộc mặt phẳng không gian) xác định điểm M (thuộc mặt phẳng không gian) Điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Kí hiệu phép biến hình f , M ảnh M qua phép biến hình f ta viết M = f (M ) Với hình H gồm điểm M = f (M ), M ∈ H ảnh hình H qua f , ta viết H = f (H) Lưu ý: f song ánh Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.1 Phép dời hình Định nghĩa 1.2 Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kì, tức M = f (M ), N = f (N ) d(M , N ) = d(M, N ) Tính chất : tính chất sau chứng minh [1;5] Phép biến hình biến: Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm Một đường thẳng thành đường thẳng Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác Đường trịn thành đường trịn có bán kính, tâm thành tâm Góc thành góc Định lý 1.3 Tập hợp phép dời hình mặt phẳng với phép hợp hai ánh xạ tạo thành nhóm Đó nhóm phép dời hình Định nghĩa 1.4 Phép đồng phép biến hình biến điểm M thành Id : M 7→ M 1.2 Các phép dời hình thường gặp 1.2.1 Phép tịnh tiến − Định nghĩa 1.5 Trong mặt phẳng cho vectơ → v Phép biến hình biến − − − → − điểm M thành M cho M M = → v gọi phép tịnh tiến − theo vectơ → v Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ − Kí hiệu: T→ v Tính chất: tính chất sau chứng minh [1;2], ta kí hiệu T1, ,T6 T1: Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm T2: Phép tịnh tiến bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng T3: Phép tịnh tiến biến: Tia thành tia Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác Đường trịn thành đường trịn có bán kính T4: Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định biết vectơ tịnh tiến T5: Tích hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến T6: Tập hợp phép tịnh tiến lập thành nhóm Ví dụ 1.6 Cho dây cung AB cố định khơng đường kính đường trịn (O, R), C điểm thay đổi đường tròn H trực tâm tam giác ABC Gọi M N giao điểm hai đường trịn tâm C tâm H có bán kính CH −−→ −→ a, Chứng minh I trung điểm AB CH = 2OI b, Tìm quĩ tích điểm M điểm N Giải −−→ −→ a Lấy B ảnh B qua O 2OI = B A Ta cần chứng minh −−→ −−→ B A = CH Vì B A⊥AB, CH⊥AB ⇒ B A//CH nên suy B CHA hình bình 0 B C⊥BC, AH⊥BC ⇒ B C//AH Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ − sin ϕ + cosϕ vô số nghiệm, tồn đường thẳng có phương trình (1 − cosϕ)x − sin ϕy − b1 = 28 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Khi f phép đối xứng trục với trục đường thẳng có phương trình trên(điều phải chứng minh) − Ví dụ 1.24 Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ → v = (3; 1) đường thẳng d có phương trình d : 2x − y = Tìm ảnh d qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay 900 − phép tịnh tiến theo vectơ → v = (3; 1) Giải O − Ta cần tìm ảnh d qua phép dời hình T→ v Q900 Phép dời hình    cosα sin α      trận là:  thay vào ta có − sin α cosα 0   acosα + b sin α a sin α + bcosα    x0 = −y +  − x0 = y ta có hệ phương trình ⇔  y0 = x +  y0 − = x có ma  −1 0  , thay vào phương trình đường thẳng d ta 2(y − 3) − (1 − x0 ) = ⇔ x0 + 2y − = Vậy phương trình x0 + 2y − = phương trình đường thẳng d0 1.5.6 Phương trình phép vị tự Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(xo ; yo ) phép vị tự tâm I tỉ số k I kí hiệu VKI M (x0 ; y ) ảnh M (x; y) qua  VK , ta có  x0 − x = k (x − x )  x0 = kx + (1 − k) x −−→0 −−→ 0 IM = k IM ⇔ ⇔  y = ky + (1 − k) y0  y − y0 = k (y − y0 )   x0 = kx + (1 − k) x Biểu thức tọa độ gọi phương trình phép  y = ky + (1 − k) y0 vị tự tâm I tỉ số k 29 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/  Ta chứng minh tính chất V1 phép vị tự V1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành −−−→ −−→ M , N M N = k M N M N = |k| M N Thật vậy, giả sử M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ), ảnh chúng qua phép vị tự tâm −−→ I tỉ số k có tọa độ M (x01 , y 01 ), N (x02 , y 02 ) Khi M N = (x2 −x1 ; y2 −y1 ) Khi −−− → M N = (x0 − x0 ; y − y ) = (k(x2 − x1 ); k(y2 − y1 )) −−→ = k(x2 − x1 ; y2 − y1 ) = k M N −−→ −−→ Từ suy M0 N0 = k MN Theo định qnghĩa khoảng cách ta có q 2 0 2 M N = k (x2 − x1 ) + k (y2 − y1 ) = k ((x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ) q = |k| (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = |k| MN Vậy M N = |k| M N Ví dụ 1.25 Tìm ảnh điểm A(1;2) qua phép vị tự tâm I(3;-1) tỉ số k=2 Giải Gọi A0 (x0 ; y ) ảnh  A qua phép vị tự tâm I(3;-1) tỉ số k=2,  x0 = kx + (1 − k) x = 2.1 − 1.3 = −1 áp dụng biểu thức tọa độ ta có  y = ky + (1 − k) y0 = 2.2 + = Vậy A0 (−1; 5) Ví dụ 1.26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y − = Hãy viết phương trình đường thẳng d0 ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 Giải: Do Vko (d) = d0 ⇒ d0 //d ⇒ d0 có phương trình: 3x+2y +C = Lấy M (0; 3) thuộc d Gọi M 0 (x0 ; y ) ảnh M qua phép vị tự  x0 = −−→0 −−→ cho, ta có OM = −2OM ⇔ suy M (0; −6)  y = −6 30 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ M thuộc d0 suy C = 12 Do phương trình d0 là: 3x + 2y + 12 = Ví dụ 1.27 Đường thẳng Ơle: tam giác, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm tam giác thẳng hàng Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Ơle Giải G Xét phép vị tự tâm G, tỉ số -1/2, ta có V−1/2 :