Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và sấp xỉ hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM VĂN MẠNH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 46 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG THỊ OANH THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng ký hiệu Danh mục bảng hình vẽ Kiến thức sở 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2.1 Chuẩn ma trận, chuẩn vectơ 1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) 1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) 1.3 Bài toán nội suy hàm số 1.3.1 Bài toán nội suy hàm số 1.3.2 Sự tồn đa thức nội suy 1.4 Khái niệm sai phân tỉ sai phân 1.4.1 Sai phân 1.4.2 Tỉ sai phân 1.5 Cơ sở toán nội suy với liệu phân tán 1.5.1 Nội suy hàm số với liệu phân tán 1.5.2 Ma trận xác định dương 1.5.3 Hàm xác định dương 1.5.4 Hàm sở bán kính 1.5.5 Hàm bán kính xác định dương 9 10 10 11 14 16 16 16 16 16 17 19 19 20 20 21 21 Một số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số 2.1 Phương pháp nội suy Lagrange 2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange 2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange 2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu 2.2.1 Đa thức Chebyshev 2.2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu 2.3 Phương pháp nội suy Newton 2.3.1 Nội suy lưới không 22 22 22 23 25 25 26 27 27 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.4 2.5 2.6 2.3.2 Nội suy lưới cách Phương pháp bình phương bé 2.4.1 Trường hợp y phụ thuộc tuyến tính vào tham số 2.4.2 Trường hợp y phụ thuộc phi tuyến vào tham số Phương pháp nội suy RBF 2.5.1 Nội suy hàm sở bán kính (RBF) 2.5.2 Vấn đề tham số hình dạng tối ưu nội suy hàm sở bán kinh (RBF) 2.5.3 Nội suy với độ xác đa thức 2.5.4 Sai số, ổn định hội tụ hàm nội suy theo bán kính Kết luận Ứng dụng phương pháp nội suy 3.1 Tính đạo hàm 3.2 Tính tích phân số 3.2.1 Cơng thức hình chữ nhật trung tâm 3.2.2 Cơng thức hình thang 3.2.3 Công thức Simson (công thức Parabol) 3.2.4 Công thức cầu phương Gauss 3.2.5 Công thức Newton - Cotet 3.3 Giải phương trình vi phân thường 3.3.1 Bài toán Cauchy 3.3.2 Phương pháp Euler 3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy 3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta 3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần với sai số cho trước 3.4 Ứng dụng nội suy RBF 3.4.1 Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson miền giới nội Ω ⊂ Rd vectơ trọng số 3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson 29 30 31 33 34 34 36 36 37 39 40 40 42 42 44 46 48 50 51 51 52 54 55 57 58 58 59 61 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Trong q trình hoàn thành luận văn "Nghiên cứu số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số" nhận hướng dẫn, giúp đỡ, động viên cá nhân tập thể Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tất cá nhân tập thể tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Trước hết xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, thầy cô Trường Đại học khoa học – ĐHTN, thầy giáo Viện tốn học Việt Nam tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học tập nghiên cứu Có kết tơi vơ biết ơn tỏ lịng kính trọng sâu sắc TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học công nghệ thông tin truyền thơng – ĐHTN người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp người thân gia đình động viên, chia sẻ, giúp tơi vượt qua khó khăn trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Người thực Đàm Văn Mạnh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu const RBF Gauss MQ IM Q Mk E ||A|| ∀x ∃x ∈ ∆ ∇ Ln (x) f (xi , xi+1 , , xi+n ) Pf Rd Rn (x) max ICN Iht Isim Ξ Ξint ∂Ξ Σ Q Ω hx, yi NΦ (Ω) Cond(A) Hằng số Radianl Basis Funtion Hàm Gaussian Hàm Multiquadric Hàm Inverse Multiquadric Giá trị lớn đạo hàm cấp k Sai số tích phân Chuẩn A Với x Tồn x thuộc Sai phân tiến Sai phân lùi Đa thức nội suy bậc không n Tỉ sai phân cấp n hàm f (x) điểm xi , xi+1 , , xi+n Hàm xấp xỉ hàm f Không gian thực d chiều Sai số đa thức nội suy bậc không n Giá trị lớn Giá trị nhỏ Xấp xỉ tích phân xác định cơng thức hình chữ nhật trung tâm Xấp xỉ tích phân xác định cơng thức hình thang Xấp xỉ tích phân xác định cơng thức sim son Bộ tâm phân tán Tập tâm nằm Tập tâm nằm biên Tổng Tích Bao đóng tập Ω Tích vơ hướng x y Khơng gian sinh Φ Số điều kiện ma trận A Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Danh mục bảng hình vẽ Bảng 1.1 Bảng tỉ sai phân Bảng 1.2 Bảng số hàm sở bán kính với tham số hình dạng ε>0 Hình 2.1 Hình biểu diễn điểm M (ti , log k) hệ trục Oxy Hình 2.2 Đồ thị hàm sở bán kính Gauss Hình 2.3 Đồ thị hàm sở bán kính MQ Hình 2.4 Đồ thị hàm sở bán kính IMQ Hình 2.5 Đồ thị hàm sở bán kính Cơsi (CauChy) Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong hình chữ nhật trung tâm đoạn chia Hình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong hình thang đoạn chia Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài toán nội suy xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học không đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5] Bài tốn nội suy mơ tả sau [4]: Cho D ⊂ Rn , hàm số f : D → Rm xác định  N tập liệu xk , y k k=1 xk ∈ Rn , y k ∈ Rm (k = 1, , N ) f (xk ) = y k (∀k = 1, , N ), hàm số f chưa xác định biểu thức giải tích biểu thức giải tích phức tạp yêu cầu đặt cho tốn Cần tìm tìm hàm Pf “đủ tốt” có biểu thức giải tích cụ thể thỏa mãn hệ điều kiện P f (xk ) = y k (∀k = 1, , N ), điểm x ∈ D khơng trùng với xk P f (x) ≈ f (x) Từ lâu nhà toán học quan tâm đến việc xây dựng phương pháp, thuật toán nội suy tìm kiếm ứng dụng thực tiễn Một số phương pháp nội suy tìm nhiều ứng dụng phải kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy hàm sở bán kính (Radial Basis Function – RBF), phương pháp bình phương bé Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy với thuật tốn đơn giản, hai phương pháp nơi suy Lagrange phương pháp Newton giải đầy đủ toán nội suy hàm biến Đối với toán nội suy hàm nhiều biến hai phương pháp cho thấy phức tạp thuật tốn kết khơng tốt Phương pháp nội suy RBF phương pháp nội suy dựa hàm sở bán kính đề xuất Powell vào năm 1987 Thuật toán sử dụng phương pháp phức tạp, khối lượng tính tốn lớn kết thu tốt, đặc biệt toán nội suy hàn nhiều biến Việc giải yêu cầu toán hàm biến thường đơn giản nhiều thực hàm nhiều biến, ưu lớn phương pháp chuyển toán hàm nhiều biến toán hàm biến Các toán thực tiễn như: Bài tốn dự báo Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khơi phục hình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, toán không gian nhiều chiều Việc giải toán cần đến phương pháp nội suy hàm nhiều biến Một số cơng trình nghiên cứu Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười, cho thấy: Sử dụng nội suy hàm sở bán kính (Radial Basis Function-RBF) giải toán cho kết tốt Phương pháp cho thấy độc lập phân bố nút nội suy Vì phương pháp nội suy phù hợp với nút nội suy phân tán Mặc dù khối lượng tính tốn lớn, với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, phương pháp nội suy RBF ứng dụng cho nhiều toán nhiều lĩnh vực Trong luận văn chúng tơi trình bày số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số số ứng dụng chúng Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Kiến thức sở Nội dung chương hệ thống kiến thức sở cho phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số như: Hệ phương trình đại số tuyến tính số phương pháp giải, khái niệm toán nội suy, khái niệm sai phân, tỉ sai phân, sở toán nội suy với liệu phân tán Chương 2: Một số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số Nội dung chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF phương pháp bình phương bé Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng phương pháp nội suy như: tính đạo hàm, tính tích phân số, giải phương trình vi phân thường giải phương trình poisson miền giới nội với biên Dirichlet Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở cho toán nội suy xấp xỉ hàm số, khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính số phương pháp giải như: phương pháp Gauss, phương pháp lặp đơn Các khái niệm nội suy như: toán nội suy hàm số, tồn đa thức nội suy hàm biến, khái niệm nội suy với liệu phân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính, hàm sở bán kính 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn hệ có dạng Ax = b (1.1)  a11  a21 A =  an1 a12 a22 an2   a1n a2n   ; b =   ann   b1  b2  ; x =   bn  x1 x2   xn Với aij ; bi (i = 1, n, j = 1, n) số thực biết, xi (i = 1, n) ẩn số phải tìm, A ma trận hệ số Nếu ma trận A khơng suy biến nghĩa detA 6= hệ (1.1) có nghiệm x = A−1 b Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Π − xi + ≤ n b−a b−a b − a n 2(x − xi ) ≤ ⇒ Π b − a 2n i=0