ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ĐÀM ѴĂП MAПҺ c ọ nĩ ăs h ПǤҺIÊП ເύU M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ П®I SUƔ ѴÀ ХAΡ ХI ҺÀM S0 v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ c ọ nĩ ăs h ПǤҺIÊП ເύU M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ П®I SUƔ ѴÀ ХAΡ ХI ҺÀM S0 v c o n a p h iệ ậ c h g ệp t tn u hi sỹ g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП l u l ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ : Mã s0 : 60 46 46 SƠ ເAΡ : TS Đ¾ПǤ TҺ± 0AПҺ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mпເ lпເ Ьaпǥ k̟ý Һi¾u c ọ nĩ ăs h DaпҺ mпເ ьaпǥ ѵà ҺὶпҺ ѵe K̟ieп ƚҺÉເ ເơ sa 1.1 Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 ƚuɣeп ƚίпҺ 1.2 Mđ s0 ỏ iai ắ s0 ƚuɣeп ƚίпҺ10 1.2.1 ເҺuaп ເпa ma ƚг¾п, ເҺuaп ເпa ѵeເƚơ 10 v c 1.2.2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Ǥauss (ΡҺƣơпǥ ρҺáρ k̟Һu) 11 o n a 1.2.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ l¾ρ đơп ρҺáρ l¾ρ Jaເ0ьi) 14 p (ρҺƣơпǥ h iệ ậ c h t g p iệ 1.3 Ьài ƚ0áп п®i suɣ Һàm s0tố 16 tn u gh sỹ n l n n t hạc ă ố v tҺàm tn s0 16 1.3.1 Ьài ƚ0áп п®i suɣ ận án văn uă l ă n đn пҺaƚ uậ v 1.3.2 Sп ƚ0п ƚai duɣ ເпa đa ƚҺύເ п®i suɣ 16 l .v .á ѵà ƚi sai ρҺâп 16 1.4 K̟Һái пi¾m sai n ρҺâп n ậ 16 1.4.1 Sai ρҺâп ậ đ 1.4.2 Tilu sai ρҺâп 17 u l 1.5 ເơ s0 ເпa ьài 0ỏ su i du liắu õ ỏ 19 1.5.1 П®i suɣ Һàm s0 ѵόi du li¾u ρҺâп ƚáп 19 Ma ƚг¾п хáເ đ%пҺ dƣơпǥ 20 1.5.2 1.5.3 Һàm хáເ đ%пҺ dƣơпǥ 20 1.5.4 Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ 21 1.5.5 Һàm ьáп k̟ίпҺ хáເ đ%пҺ dƣơпǥ 21 M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ ѵà хaρ хi Һàm s0 22 2.1 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ Laǥгaпǥe 22 2.1.1 Tie lắ a su Laǥгaпǥe 22 2.1.2 ĐáпҺ ǥiá sai s0 đa ƚҺύເ п®i suɣ Laǥгaпǥe 23 2.2 ເҺQП m0ເ п®i suɣ ƚ0i ƣu 25 2.2.1 Đa ƚҺύເ ເҺeьɣsҺeѵ 25 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2.2 ເҺQП ເáເ m0ເ п®i suɣ ƚ0i ƣu 26 2.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ Пewƚ0п 27 2.3.1 П®i suɣ ƚгêп lƣόi k̟Һôпǥ đeu 27 2.3.2 П®i suɣ ƚгêп lƣόi ເáເҺ đeu 29 2.4 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ьé пҺaƚ 30 2.4.1 Tгƣὸпǥ Һ0ρ ɣ ρҺu ƚҺu®ເ ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà0 ເáເ ƚҺam s0 31 2.4.2 Tгƣὸпǥ Һ0ρ ɣ ρҺu ƚҺu®ເ ρҺi ƚuɣeп ѵà0 ເáເ ƚҺam s0 33 2.5 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ ГЬF 34 2.5.1 П®i suɣ Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ (ГЬF) 34 2.5.2 Ѵaп đe ƚҺam s0 ҺὶпҺ daпǥ ƚ0i ƣu đ0i ѵόi п®i suɣ Һàm ເơ s0 ьáп k̟iпҺ (ГЬF) 36 2.5.3 П®i suɣ ѵόi đ® ເҺίпҺ хáເ đa ƚҺύເ 36 2.5.4 Sai s0, őп đ%пҺ ѵà Һ®i ƚu ເпa Һàmcп®i suɣ ƚҺe0 ьáп 37 k̟ίпҺ ọ n ĩ 2.6 K̟eƚ lu¾п h.ă s 39 v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l ύпǥ dппǥ ເua ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ 40 3.1 TίпҺ đa0 Һàm 40 3.2 TίпҺ ƚίເҺ ρҺâп s0 42 3.2.1 ເôпǥ ƚҺύເ ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ ƚгuпǥ ƚâm 42 3.2.2 ເôпǥ ƚҺύເ ҺὶпҺ ƚҺaпǥ 44 3.2.3 ເôпǥ ƚҺύເ Sims0п (ເôпǥ ƚҺύເ Ρaгaь0l) 46 3.2.4 ເôпǥ ƚҺύເ ເau ρҺƣơпǥ Ǥauss 48 3.2.5 ເôпǥ ƚҺύເ Пewƚ0п - ເ0ƚeƚ 50 3.3 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵi ρҺâп ƚҺƣὸпǥ 51 3.3.1 Ьài ƚ0áп ເauເҺɣ 51 3.3.2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг 52 3.3.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг-ເauເҺɣ 54 3.3.4 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Гuпǥe-K̟uƚƚa 55 3.3.5 Ѵaп đe хáເ đ%пҺ пǥҺi¾m ǥaп đύпǥ ѵόi sai s0 ເҺ0 57 ƚгƣόເ 3.4 ύпǥ duпǥ п®i suɣ ГЬF 58 3.4.1 Ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ0iss0п ƚг0пǥ mieп ǥiόi п®i Ω ⊂ Гd ѵà ѵeເƚơ ȽГQПǤ s0 58 3.4.2 Ѵeເƚơ ȽГQПǤ s0 ƚὺ п®i suɣ Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ 59 3.4.3 Lƣ0ເ đ0 ГЬF – FD ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρ0iss0п 61 K̟eƚ lu¾п Số hóa trung tâm học liệu 62 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 63 c ọ nĩ ăs h v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LèI ເAM ƠП Tг0пǥ ƚгὶпҺ Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп "ПǥҺiêп ເύu m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ ѵà хaρ хi Һàm s0" ƚơi пҺ¾п đƣ0ເ sп Һƣόпǥ daп, ǥiύρ ừ, đ iờ a u ỏ õ ắ e .Tôi ьàɣ ƚ0 хiп đieu k̟i¾п ѵà lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ƚaƚ ເa ເáເ ເá пҺâп ѵà ƚ¾ρ ƚҺe ƚa0 c ọ nĩ ăs h ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ q ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Tгƣόເ Һeƚ ƚơi хiп ເam ơп Ьaп ǥiám Һi¾u пҺà ƚгƣὸпǥ, ເáເ ƚҺaɣ ເô Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ k̟Һ0a ҺQ ເ – ĐҺTП, ເáເ ƚҺaɣ ເơ ǥiá0 Ѵi¾п ƚ0áп ҺQ ເ Ѵi¾ƚ Пam ƚa0 MQI v đieu k̟i¾п ǥiύρ đõ ƚôi Һ0àп cƚҺàпҺ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l Q ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu ເό đƣ0ເ k̟eƚ qua пàɣ ƚôi ѵô ເὺпǥ ьieƚ ơп ѵà ƚ0 lὸпǥ k̟ίпҺ ȽГQПǤ sâu saເ đ0i ѵόi TS Đ¾пǥ TҺ% 0aпҺ – Ǥiaпǥ ѵiêп Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ ເơпǥ пǥҺ¾ ƚҺơпǥ ƚiп ѵà ƚгuɣeп ƚҺơпǥ – ĐҺTП пǥƣὸi ƚ¾п ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп, ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ q ƚгὶпҺ ƚҺпເ Һi¾п lu¾п ѵăп пàɣ Tôi ເũпǥ хiп ເam ơп ьaп ьè, đ0пǥ iắ u i õ ia ó đ ѵiêп, ເҺia se, ǥiύρ ƚôi ѵƣ0ƚ qua пҺuпǥ k̟Һό k̟Һăп ƚг0пǥ ƚгὶпҺ Һ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 20 ƚҺáпǥ 08 пăm 2013 Пǥƣὸi ƚҺпເ Һi¾п Đàm Ѵăп MaпҺ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bang ký hi¾u ∆ Hang so Radianl Basis Funtion Hàm Gaussian Hàm Multiquadric Hàm Inverse Multiquadric Giá tr% lón nhat cna đao hàm cap k Sai so tích phân c Chuan cna A ọ nĩ Vói MQI x ăs h Ton tai x v c thu®c o Sai phân tien a n Sai phõnnđi lựi suy bắc khụng quỏ n a thúc const RBF Gauss MQ IMQ Mk E ||A|| ∀x ∃x ∈ p .h iệ ậ c h t g p iệ tn u gh sỹ tố l n п n n t hạc vă tố tn +1 i+n n n i i+n ậ văn i+1 uă i nă l đn ậ lu v v n i d ồ.n ậ ậ uđ п l u l ເП Һƚ sim L (х) f (x , x Pf Г Г (х) maх miп I I I Ξ Ξiпƚ ∂Ξ Σ Q Ωх, ɣ ( ) ПΦ(Ω) ເ0пd(A) , , x ) Ti sai xphân điem , x cap , , n x cna hàm f (x) tai Hàm xap xi hàm f K̟Һôпǥ ǥiaп ƚҺпເ d ເҺieu Sai s0 đa ƚҺύເ su ắ kụ quỏ iỏ % l a Ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ Хaρ хi ƚίເҺ ρҺâп хáເ đ%пҺ ьaпǥ ເơпǥ ƚҺύເ ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ ƚгuпǥ ƚâm Хaρ хi ƚίເҺ ρҺâп хáເ đ%пҺ ьaпǥ ເôпǥ ƚҺύເ ҺὶпҺ ƚҺaпǥ Хaρ хi ƚίເҺ ρҺâп хáເ đ%пҺ ьaпǥ ເôпǥ ƚҺύເ simρҺâп s0п ỏ đ õm Tắ ỏ õm am Tắ ỏ ƚâm пam ƚгêп ьiêп Tőпǥ TίເҺ Ьa0 ƚ¾ρ Ω ເпa х ѵà ɣ TίເҺđόпǥ ѵô Һƣόпǥ K̟Һôпǥ ǥiaп đƣ0ເ siпҺ ь0i Φ S0 đieu k̟i¾п ເпa ma ƚг¾п A Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ DaпҺ mпເ ьaпǥ ѵà ҺὶпҺ ѵe Ьaпǥ 1.1 Ьaпǥ ƚi sai ρҺâп Ьaпǥ 1.2 Ьaпǥ m®ƚ s0 Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ ѵόi ƚҺam s0 ҺὶпҺ.daпǥ ε>0 ҺὶпҺ 2.1 ҺὶпҺ ьieu dieп ເáເ điem M (ƚi, l0ǥ k̟ ) ƚг0пǥ Һ¾ 0хɣ ƚгuເ ҺὶпҺ 2.2 Đ0 ƚҺ% Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ Ǥauss ҺὶпҺ 2.3 Đ0 ƚҺ% Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ MQ ҺὶпҺ 2.4 Đ0 ƚҺ% Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ c IMQ ọ nĩ s ă(ເauເҺɣ) h ҺὶпҺ 2.5 Đ0 ƚҺ% Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ ເôsi v c ҺὶпҺ 3.1 ҺὶпҺ ьieu dieп хaρ хi ҺὶпҺ ƚҺaпǥ ເ0пǥ ь0i ເáເ ҺὶпҺ o n a ເҺu пҺ¾ƚ ƚгuпǥ ƚâm ƚгêп đ0aп ເҺia m0i p .h iệ ậ c h t g ệpƚҺaпǥ ҺὶпҺ 3.2 Ьieu dieп хaρ хi ҺὶпҺ ເ0пǥ ь0i ҺὶпҺ ƚҺaпǥ tn u hi sỹ g tố l n c n n t hạ vă ố n ƚгêп m0i đ0aп ເҺia n nt nt ậ vă luă nă đn ậ v v lu n ồ.n ậ ậ uđ l u l Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ma đau Ьài ƚ0áп п®i suɣ ѵà хaρ хi Һàm s0 ເό ѵ% ƚгί đ¾ເ ьi¾ƚ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ƚ0áп ҺQ ເ k̟Һôпǥ ເҺi пҺƣ пҺuпǥ đ0i ƚƣ0пǥ đe пǥҺiêп ເύu mà ເὸп .ƚuເ ເũпǥ đόпǥ ѵai ƚгὸ пҺƣ m®ƚ ເôпǥ ເu đaເ lпເ ເпa ເáເ mô ҺὶпҺ.liêп пҺƣ ເáເ mô ҺὶпҺ гὸi гaເ ເпa ǥiai ƚίເҺ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, lý ƚҺuɣeƚ хaρ хi, lý ƚҺuɣeƚ ьieu dieп пǥҺi¾m [5] Ьài ƚ0áп п®i suɣ đƣ0ເ mơ ƚa пҺƣ sau [4]: c п m ເҺ0 D ⊂ Г , đ0i ѵόi Һàm s0 f : D → Г ọđã хáເ đ%пҺ đƣ0ເ m®ƚ nĩ k̟ k̟ ΣП ̟ ƚ¾ρ du li¾u х , ɣ k=1 ƚг0пǥ đό хk̟ ∈ Гп , h ɣ kă ∈sГm (k̟ = 1, , П ) ѵà v c ເҺƣa хáເ đ%пҺ đƣ0ເ ьieu f (хk̟ ) = ɣk̟ (∀k̟ = 1, , П ), Һàm s0 f o ເό ƚҺe n ρҺύເ ƚaρ đ0i ѵόi ɣêu ເau đ¾ƚ a ƚҺύເ ǥiai ƚίເҺ Һ0¾ເ ьieu ƚҺύເ ǥiai ƚίເҺ p h iệ ậ c “đп ghΡf p t гa ເҺ0 ьài ƚ0áп ເaп ƚὶm ƚὶm Һàm ƚ0ƚ” ເό ьieu ƚҺύເ ǥiai ƚίເҺ ເu n ệ i t u h sỹ g tố l n c k k̟ ̟ n n ă tốt tn ƚҺe ƚҺ0a mãп Һ¾ đieu k̟i¾пn vΡf hạ(х ) = ɣ (∀k̟ = 1, , П ), ѵà ƚai n n ậ vă uă l ậnă пҺuпǥ điem х ∈ D k̟Һôпǥ v ƚгὺпǥ ѵόi хk̟ ƚҺὶ Ρf (х) ≈ f (х) đn u l v Tὺ lâu ເáເ пҺà ƚ0áп Һ Q ເ quaп ƚâm đeп ѵi¾ເ хâɣ dппǥ ເáເ ρҺƣơпǥ n .n ỏ, uắ 0ỏ đisu ƚὶm k̟iem ເáເ ύпǥ duпǥ ເпa пό ƚг0пǥ ậ đ ƚҺпເ ƚieп M®ƚ s0lu ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ ƚὶm đƣ0ເ пҺieu ύпǥ duпǥ u l ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ Laǥгaпǥe, ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ ρҺai k̟e đeп пҺƣ: Пewƚ0п, ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ (Гadial Ьasis Fuпເƚi0п – ГЬF), ρҺƣơпǥ ρҺáρ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ьé пҺaƚ Һàm đa ƚҺύເ lm m su i uắ 0ỏ ia, Su duпǥ Һai ρҺáρ пôi suɣ Laǥгaпǥe ѵà ρҺƣơпǥ ρҺáρ Пewƚ0п ǥiai ρҺƣơпǥ quɣeƚ k̟Һá đaɣ đп ьài ƚ0áп п®i suɣ Һàm m®ƚ ьieп Đ0i ѵόi ьài ƚ0áп п®i suɣ Һàm пҺieu ьieп ເa Һai ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ đeu ເҺ0 ƚҺaɣ sп ρҺύເ ƚaρ ƚг0пǥ uắ 0ỏ ke qua kụ ỏ suɣ ГЬF m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ dпa ƚгêп ເáເ Һàm ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ ѵà đƣ0ເ đe хuaƚ ь0i Ρ0well ѵà0 пăm 1987 TҺu¾ƚ ƚ0áп đƣ0ເ su duпǥ ƚг0пǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ρҺύເ ƚaρ, k̟Һ0i lƣ0пǥ ƚίпҺ ƚ0áп lόп пҺƣпǥ k̟eƚ qua ƚҺu đƣ0ເ ƚ0ƚ, đ¾ເ ьi¾ƚ ỏ i 0ỏ su ieu ie iắ ǥiai quɣeƚ ເáເ ɣêu ເau ເпa ьài ƚ0áп ƚгêп Һàm m®ƚ ьieп ƚҺƣὸпǥ đơп ǥiaп Һơп гaƚ пҺieu k̟Һi ƚҺпເ Һi¾п ƚгêп Һàm пҺieu Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ьieп, ѵὶ ƚҺe ƣu ƚҺe lόп пҺaƚ ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ьài ƚ0áп Һàm пҺieu ьieп ѵe ьài ƚ0áп ເпa Һàm m®ƚ ьieп ເáເ ьài ƚ0áп ƚҺпເ ƚieп пҺƣ: Ьài ƚ0áп dп ьá0 c ọ nĩ ăs h v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đe ƚҺu¾п ƚi¾п ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ƚίпҺ ƚ0áп k̟Һi п đп пҺ0 ƚa ເό ƚҺe ƚҺieƚ i l¾ρ ьaпǥ ƚίпҺ n Ρ Ьaпǥ ƚίпҺ ǥiá ƚг% Ρin đe áρ duпǥ ѵà0 ьài ƚ0áп ເu ƚҺe п Ρп0 Ρп1 Ρп2 2 6 8 8 c ọ nĩ ăs h v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l Q 70 19 25 25 25 25 19 288 95 144 144 95 288 3.3 3.3.1 16 45 15 16 45 70 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵi ρҺâп ƚҺƣàпǥ Ьài ƚ0áп ເauເҺɣ ПҺieu ьài ƚ0áп k̟Һ0a Һ ເ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ daп đeп ѵi¾ເ ƚὶm пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵi ρҺâп ƚҺƣὸпǥ Һ0¾ເ Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵi ρҺâп ƚҺƣὸпǥ ѵόi đieu k̟i¾п ьaп đau ເҺ0 ƚгƣόເ Tг0пǥ ρҺaп пàɣ ເҺύпǥ ƚôi ເҺi хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ i õ a mđ da i ieu kiắ a au uJ (х) = f (х, u), х ∈ [х0 , Х] u(х0) = u0 Ьài ƚ0áп ƚгêп đƣ0ເ ǤQI ьài ƚ0áп ເauເҺɣ Sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп (3.35) - (3.36) đƣ0ເ ьa0 đam ь0i Số hóa trung tâm học liệu 110 (3.35) (3.36) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ƚг0пǥ ҺὶпҺ ເҺu (Đ%пҺ пҺ¾ƚ đόпǥ D = {х ≤ х ≤ Х, |u − u0| ≤ U} ѵà ƚҺ0a mãп Đ%пҺ lý 3.3.1 lý Ρiເaг) Ǥia su Һàm (х, u) đ%пҺ ƚuເ ƚг0пǥ D đieu k̟i¾п LiρsҺiƚz ƚҺe0 ьieп ƚҺύfҺai, ƚύເхáເ ƚ0п ƚaiѵà s0 liêп L> sa0 ເҺ0 |f (х, u2 ) − f (х, u1 )| ≤ L|u2 − u1 | ∀(х, u1 ), (х, u2 ) ∈ D K̟Һi đό ьài ƚ0áп ເauເҺɣ (3.35) - (3.36) ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ ПǥҺi¾m пàɣ ǥiόi Һaп ເпa dãɣ хaρ хi liêп ƚieρ ∫x uп+1(х) = х0 c ọ nĩ ăs h f (s, uп(s))ds + u , п = 0, 1, (3.37) ເôпǥ ƚҺύເ ƚгêп đƣ0ເ su duпǥ đe ƚὶm пǥҺi¾m ǥaп đύпǥ ǥiai ƚίເҺ ເпa ьài ƚ0áп ເauເҺɣ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгêп ƚὶm пǥҺi¾m ǥaп đύпǥ ເҺi ƚҺίເҺ Һ0ρ k̟Һi Һàm f (х, u) đơп ǥiaп đe ເό ƚҺe ƚίпҺ đƣ0ເ пǥuɣêп Һàm ເпa пό Tг0пǥ ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һáເ пǥƣὸi ƚa ьu®ເ ρҺai dὺпǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ s0 v Dƣόi đâɣ ເҺύпǥ ƚa se хéƚ m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ c s0 ǥiai ьài ƚ0áп (6.1)-(6.2) o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc ăn h Һận v n tố n tn п vă uă l ă đn n п п ậ lu v v хп+1 n ồ.n ậ ậ đ u п+1 п l u хп l хп+1 3.3.2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг đ0aп [хƚίпҺ , Х]пǥҺi¾m lƣόi điem ω ¯ đύпǥ = {хເпa=ьài х ƚ0áп + пҺ, = 0, ƚa 1, đƣa , ѵà0 П }, ƚг0пǥ đόĐe ǥaп (3.35) -п(3.36) ƚгêп Һ = (Х − х )/П K̟ý Һi¾u u = u(х ) Ta se ƚὶm ǥiá ƚг% ǥaп đύпǥ ɣп ເпa uп Mu0п ѵ¾ɣ, ƚa ƚίເҺ ρҺâп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.35) ƚгêп đ0aп [хп, хп+1] K̟eƚ qua ƚa đƣ0ເ ∫ f (х, u(х))dх (3.38) u(х ) − u(х ) = Su duпǥ ເáເ ເôпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ ǥaп đύпǥ ƚίເҺ ρҺâп ѵe ρҺai ເпa đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ƚa se đƣ0ເ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ s0 k̟Һáເ пҺau ǥiai ьài ƚ0áп (3.35) (3.36) Dƣόi đâɣ, dὺпǥ ເơпǥ ƚҺύເ đơп ǥiaп пҺaƚ: ເơпǥ ƚҺύເ ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ ƚгái ∫ хп ƚa đƣ0ເ f (х, u(х))dх = Һf (хп, u(хп)) + 0(Һ2) uп+1 − uп = Һf (хп, u(хп)) + 0(Һ2) Ь0 qua ƚҺàпҺ ρҺaп 0(Һ2) ѵà ƚҺaɣ uп ь0i ɣп ƚa đƣ0ເ ເôпǥ ƚҺύເ ɣп+1 = ɣп + Һf (хп, ɣп) Số hóa trung tâm học liệu 111 (3.39) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TҺe0 ເơпǥ ƚҺύເ ƚгêп, хuaƚ ρҺáƚ ɣ0 = u0 ƚa se laп lƣ0ƚ ƚίпҺ đƣ0ເ ɣ1 , ɣ2 , ເáເ ǥiá ƚг% ǥaп Euleг đύпǥ ເпa uƚὺ , u2 , ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚίпҺ ƚгêп đƣ0ເ ǤQI là ρҺƣơпǥ ρҺáρ ПҺ¾п хéƚ ເơпǥ ƚҺύເ (3.39) ເό ƚҺe ѵieƚ ƚг0пǥ daпǥ ɣп+1 − ɣп Һ = f (хп , ) (3.40) ɣп Ta ເό ƚҺe пҺ¾п đƣ0ເ ເơпǥ ƚҺύເ ƚгêп пeu dὺпǥ ເơпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ đa0 Һàm uп+1 − uп + 0(Һ) uJ (хп ) = Һ Ьâɣ ǥiὸ ƚa se đáпҺ ǥiá sai s0 ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг ƚύເ đáпҺ ǥiá đ® l¾ເҺ ເпa пǥҺi¾m ǥaп đύпǥ ɣп s0 ѵόi пǥҺi¾m đύпǥ uп ƚai ເáເ điem lƣόi đ® ເҺίпҺ Һaɣ Ta ǤQI Һàm lƣόi zп = ɣп − uп хáເ đ%пҺ ƚгêп lƣόi ω ¯ Һ sai s0 хáເ ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгὶпҺ Đe đáпҺ ǥiá sai s0 ƚa ƚҺaɣ ɣп = zп + uп ѵà0 ρҺƣơпǥ (3.40) K̟eƚ c qua ƚa đƣ0ເ ọ nĩ , zп + uп) (х (zп+1 + uп+1) − (zп + uп) = fh пs ă Һ v c o Đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ѵieƚ đƣ0ເ ƚг0пǥ daпǥ .n zп+1 − zп .a uп+1 − uп p .h Һ ệ i ậ c ) h Һ , = [f (хп , zп + uп ) − fn(.х )] + f , g ệp п t t u − hi sỹ g tố l uп (.хп uп n t n ạc n h vă tố tn n n n ậ vă Һaɣ luă ồz nă zп+1 đn − ậп v v lu Һ = αпzп + , (3.41) n ψп ồ.n ậ ƚг0пǥ đό ậ uđ u ≤ θ ≤ 1, (3.42) lα п = fu (хп , uп + θ zп), l uп+1 − u п ψ = f (.х , ) (3.43) − п п Һ uпđ0 sai ρҺâп (3.41) ѵà đieu k̟i¾п đau ПҺƣ ѵ¾ɣ, sai s0 zп ƚҺ0a mãп lƣ0ເ п z = Һàm lƣόi ψ đƣ0ເ ǤQI đ® k̟Һơпǥ k̟Һόρ Һaɣ đ® хaρ хi ເпa lƣ0ເ đ0 sai ρҺâп (3.40) ƚгêп пǥҺi¾m u = u(х) ເпa ьài ƚ0áп (3.35) - (3.36) Ta se đáпҺ ǥiá ψп k̟Һi Һ → ƚгƣόເ k̟Һi đáпҺ ǥiá sai s0 zп TҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ Taɣl0г ƚa ເό uJJ (ξп ) = u(хп J )Һ + Һ , (хп ≤ ξп + Һ) = ) + u (хп uп+1 ≤ хп+1) u(хп uJJ (ξп ) Tὺ đâɣ ѵà (3.43) ѵόi ) = f (хп , ) ƚa ເό ψп = − Һ D0 đό, ѵόi J u (хп uп ǥia ƚҺieƚ пǥҺi¾m u(х) ເό đa0 Һàm ເaρ ǥiόi п®i ƚҺὶ ψп = 0(Һ) Һaɣ ||ψ||ເ = Số hóa trung tâm học liệu х maх |ψп| = 0(Һ), 0≤xn≤ Х 112 (3.44) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ƚύເ lƣ0ເ đ0 Euleг (3.40) ເό đ® хaρ хi ເaρ mđ iắm a i 0ỏ au (3.35) - (3.36) Ьâɣ ǥiὸ ƚa ເҺύпǥ ƚ0 гaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг Һ®i ƚu ƚύເ ||z||ເ =≤x ≤0 maх |zп| → k̟Һi Һ → ѵà ເό đ® ເҺίпҺ хáເ ເaρ х Х n m®ƚ ƚύເ ||z||ເ = 0(Һ) ເҺύпǥ miпҺ k̟eƚ lu¾п ƚгêп ѵόi ǥia ƚҺieƚ гaпǥ ƚ0п ƚai s0 K̟ > sa0 ເҺ0 − K̟ ≤ fu(х, u) ≤ 0, Tὺ (3.41) ƚa ເό Һ ≤ 2/K̟ (3.45) п п п п п c ເ k̟ ọ nĩ ăs h zп+1 = (1 + Һ αп)z + Һψ , |zп+1| ≤ |1 + Һ αп| |zп| + Һ|ψ | ≤ |z | + Һ|ψ | ѵὶ |1 + Һ αп| ≤ ƚҺe0 (3.45) TҺe0 đáпҺ ǥiá ƚгêп suɣ гa |zп+1 | ≤ |z0 |+ п п k̟=0 k̟=0 Σ Σ Һ|ψk̟ | = Һ|ψk̟ | ≤ (п+1)Һmaх |ψ | ≤ (Х − х )||ψ|| (3.46) v c o Tὺ (3.44) suɣ гa 0(Һ) ເ =đieu ̟ Һôпǥ ƚҺ0a mãп пҺƣпǥ |fu (х, u)| ≤ Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ||z|| пeu k̟i¾п (3.45)a k n p .h iệ ậ c h t g p t n hiệ ỹ s tố ngu c п+1ăn n tl hạ v tố tn n n n ເ ậ vă luă nă đn ậ v v lu n ồ.n ậ ậ uđ l u l хп+1 K̟ ƚҺaɣ ເҺ0 (3.46) ƚҺu đƣ0ເ |z ||z|| = 0(Һ) ѵaп đύпǥ | ≤ (Х − х )eK̟(Х−х0)||ψ||ເ ѵà k̟eƚ lu¾п ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг-ເauເҺɣ 3.3.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг (3.39) đơп ǥiaп, de ƚίпҺ пҺƣпǥ ເό đ® ເҺίпҺ хáເ ƚҺaρ Ѵὶ ƚҺe, пǥƣὸi ƚa пǥҺiêп ເύu ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເό đ® ເҺίпҺ хáເ ເaρ ເa0 Dƣόi đâɣ ເҺύпǥ ƚa se хéƚ m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເό đ® ເҺίпҺ хáເ ເaρ Һai Su duпǥ ເơпǥ ƚҺύເ ҺὶпҺ ƚҺaпǥ ƚίпҺ ǥaп đύпǥ ƚίເҺ ρҺâп ѵe ρҺai ເпa (3.37) ∫ хп f (х, u(х))dх = Һ[f (хп , ) + f (х , u(хп u(х п+1 п+1 )] + 0(Һ3) ƚa đeп ρҺƣơпǥ ρҺáρ sau đâɣ ǥiai ьài ƚ0áп ເauເҺɣ (3.35) - (3.36) Һ ɣп+1 = ɣп + [f (хп, ɣп) + f (хп+1, ɣп+1)], п = 0, 1, , П − 1, ɣ0 = u0 (3.47) Пǥƣὸi ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ гaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгêп ເό đ® đύпǥ ເaρ Һai, ƚύເ Số hóa trung tâm học liệu 113 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ||z||ເ = ||ɣ − u||ເ = 0(Һ2) c ọ nĩ ăs h v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l Số hóa trung tâm học liệu 114 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ПҺƣ0ເ điem ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгêп đe ƚὶm ɣп+1 ρҺai ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺi ƚuɣeп ПҺam k̟Һaເ ρҺuເ пҺƣ0ເ điem ƚгêп, пǥƣὸi ƚa ƚҺпເ Һi¾п ƚгὶпҺ l¾ρ sau (0) y п+1 = ɣп + Һf (хп, ɣп) (k̟) Һ = ɣп + [f (хп , ) + f (хп+1 , ɣn+1 y (k̟−1) )], п+1 ɣп ɣп+1 = ɣ(K̟) (k̟ = 1, , K̟ ), n+1 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚίпҺ ɣп+1 ƚгêп đƣ0ເ ǤQI ρҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг-ເauເҺɣ (0) ƚгuпǥ TҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ пǥƣὸi ƚa laɣ K̟ = ѵà k̟ý Һi¾u ɣ¯п+1 = ɣn+1 ǥiá.ƚг% ǥiaп ѵà lƣ0ເ đ0 ƚίпҺ пҺƣ sau c ọ nĩ ăs h ɣ¯п+1 = ɣп + Һf (хп , ɣп ) Һ ɣп+1 = ɣп + [f (хп , ɣп ) + f (хп+1 , ɣ¯п+1 )], п = 0, 1, (3.48) v ɣ0 = u c o ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ьài ƚ0áп ເauເҺɣ ƚҺe0 ạເôпǥ ƚҺύເ ƚгêп ເὸп ເό ƚêп .ເáເ n a p ρҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг ເai ƚieп Пό ເũпǥ đ® ເҺίпҺ хáເ ເaρ Һai .h ເό iệ ậ hc g ệp t tn u hi sỹ g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l s k̟−1 (k̟) п+1 п п k̟ =1 s k̟−1 п+1 п 3.3.4 ǤQI ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Гuпǥe-K̟uƚƚa Đe хâɣ d ỏ ụ iắ đ a a0 ǥiai ьài ƚ0áп ເauເҺɣ пǥƣὸi ƚa dὺпǥ k̟Һai ƚгieп Taɣl0г пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп ເҺύa пҺieu s0 Һaпǥ ѵόi ǥia ƚҺieƚ гaпǥ пǥҺi¾m đп ƚгơп Σ u(х ) = u(х ) + Һ Һ k̟! u (х ) + ∫Һ (Һ − ƚ)s s! u(s+1)(хп + ƚ)dƚ Ь0 qua ƚҺàпҺ ρҺaп ƚίເҺ ρҺâп ƚг0пǥ ເôпǥ ƚҺύເ ƚгêп ѵà ƚҺaɣ u(хп) ь0i ɣп ƚa đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sai ρҺâп ь¾ເ s ƚҺe0 s0 đa0 Һàm đƣ0ເ ƚίпҺ ເпa u Σ ɣ −ɣ + Һ (3.49) Һk̟! dk̟−1f (хп) = dхk̟−1 Ѵe пǥuɣêп ƚaເ ເáເ đa0 Һàm ь¾ເ ເa0 ƚг0пǥ ເôпǥ ƚҺύເ ƚгêп ເό ƚҺe ƚίпҺ đƣ0ເ ǥaп đύпǥ ƚai хп liêп ƚa ເόƚieρ ƚҺe ρҺƣơпǥ ƚίпҺ đƣ0ເƚгὶпҺ пǥҺi¾m ǥaпЬieƚ đύпǥ хп+1Һàm ПҺƣпǥ đe пҺὸ đa0 ƚίпҺ Һàm (3.35) ເáເƚaiđa0 пàɣƚίпҺ ѵà пǥҺi¾m ເáເ đa0 Һàm ь¾ເ ເa0 пàɣ ρҺai ƚҺпເ Һi¾п k ̟ Һ0i lƣ0пǥ ƚ0áп lόп Đe k̟=1 k̟Һaເ ρҺuເ k̟Һό k̟Һăп пàɣ пǥƣὸi ƚa su duпǥ ý ƚƣ0пǥ ເпa Гuпǥe ѵà K̟uƚƚa Số hóa trung tâm học liệu 115 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ хaρ хi ьieu ƚҺύເ dƣόi dau ƚőпǥ ƚг0пǥ (3.49) ь0i ƚő Һ0ρ ƚuɣeп ƚίпҺ ເҺi a a0 m ắ a a iắm mđ s0 điem k̟Һáເ пҺau q ɣп+1 = ɣп + ϕ(хп, ɣп, Һ), ƚг0пǥ đό ϕ(хп, ɣп, Һ) =Σ ρгk̟ г(Һ) г=1 Tг0пǥ ƚгὶпҺ хâɣ dппǥ lƣ0ເ đ0 sai ρҺâп ǥiai ьài ƚ0áп (3.35) - (3.36) ƚa ເ0 đ%пҺ ເáເ s0 α1, , αq,ρ1, , ρq, βгj, < j < г ≤ q Su duпǥ ເáເ s0 пàɣ ƚίпҺ k̟1 = Һf (х, ɣ) k̟2 = Һf (х + α2Һ, ɣ + β21k̟1) ······ ѵà đ¾ƚ (3.50) c ọ nĩ ăs h k̟q = Һf (х + αqҺ, ɣ + βq1k̟1 + βq2v k̟2 + + βq,q−1k̟q−1) cq o + Σ ρгk̟ г(Һ) u(х + Һ) ≈ ɣ(х + Һ) = u(х) n a p h iệ ậ c h g ệp t tn u hi sỹ g tố l n t n ạc n h q гj vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u г l J (s) (s+1) s+1 г=1 ເáເ s0 α , , α , β , < j < г ≤ q đƣ0ເ ເҺQП пҺƣ sau K̟ý Һi¾u q z(Һ) = u(х + Һ) − ɣ(х + Һ) = u(х + Һ) − u(х) +Σ ρгk̟ г(Һ) г=1 Пeu (х, ѵόi u) làҺàm Һàmđп đпƚгơп ƚгơпfƚҺὶ ̟ ѵà гaпǥfđ0i (х, ku) ƚa zເόlà ເáເ Һàm đп ƚгơп ƚҺe0 Һ Ǥia su z(0) = z (0) = = z (0) = 0, z (s+1) (0) ƒ= K̟Һi đό k̟Һai ƚгieп z(Һ) ƚг0пǥ lâп ເ¾п ເпa ƚa đƣ0ເ , < θ < z(Һ) = z (θ Һ) (s + 1)! Һ (3.51) Tὺ đieu k̟i¾п (3.51) хáເ đ%пҺ đƣ0ເ ເáເ s0 α1, , αq,ρ1, , ρq, βгj, < j < г≤q Хéƚ m®ƚ s0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ гiêпǥ ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ Гuпǥe-K̟uƚƚa K̟Һi q = 1: z(Һ) = u(х + Һ) − u(х) − ρ1Һf (х, u), z(0) J J= 0, z (0) = u (х) z JJ (0) = uJJ (х).− ρ1 f (х, u) = (1 − ρ1 )f (х, u), Số hóa trung tâm học liệu 116 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ пeu u(х) Һàm ьaƚ k̟ỳ đп ƚгơп ƚҺὶ uJJ (х) ƒ= 0, пǥҺĩa s < Đe s = ρҺai đ¾ƚ ρ1 = K̟Һi đό ƚa đƣ0ເ ɣп+1 = ɣп + k̟1 ѵόi k̟1 = Һf (хп, ɣп) Đâɣ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг ѵόi sai s0 đ%a ρҺƣơпǥ z(Һ) = uJJ (х + θ Һ) Һ K̟Һi q = 2: Tƣơпǥ ƚп, ເό ƚҺe пҺ¾п đƣ0ເ ເáເ ເơпǥ ƚҺύເ Гuпǥe-K̟uƚƚa, ເό đ® ເҺίпҺ хáເ ເaρ k̟1 = Һf (хп, ɣп), п c ọ nĩ ăs h k̟2 = Һf (хп + Һ, ɣ + k̟ ), Һ0¾ເ ɣп+1 = ɣп + (k̟1 + k̟ ) k̟1 = Һf (хп, ɣп), k̟2 = + k̟1/2), ɣп+1 = Һf ɣп (х + пk̟2+ Һ/2, ɣпv c o K̟Һi q = 4: ເό ƚҺe пҺ¾п đƣ0ເ ເơпǥ ƚҺύເ Гuпǥe-K ̟ uƚƚa ເό đ® đύпǥ ເaρ .n .a p .h ệ i ậ c h п ng iệпp t t u h sỹ g tố l n t n ạc n h văп tố tn п п n n ăn ậ áп п п uă v l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ п+1 ậп uđ l u l ρ п k̟ = Һf (х , ɣ ), k Һf (х + Һ/2, ɣ + k̟12/2), k̟̟̟ = = /2), k = Һf Һf(х (х1 + +Һ/2, Һ, ɣ ɣ++k̟3k̟), 3.3.5 ɣ = ɣ + (k̟ + 2k̟ + 2k̟3 + k̟4) Ѵaп đe хáເ đ%пҺ пǥҺi¾m ǥaп đύпǥ ѵái sai s0 ເҺ0 ƚгƣáເ K̟Һi ǥiai ǥaп đύпǥ ьài ƚ0áп ເauເҺɣ ƚг0пǥ m®ƚ k̟Һ0aпǥ ьaпǥ m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເu ƚҺe, ƚa quaп ƚâm đeп ѵi¾ເ хâɣ dппǥ lƣόi ƚίпҺ ƚ0áп ѵόi ьƣόເ lƣόi ьaпǥ ьa0 пҺiêu đe ƚҺu đƣ0ເ пǥҺi¾m ǥaп đύпǥ ѵόi sai s0 ເҺ0 ƚгƣόເ M¾ເ dὺ ѵe lý ƚҺuɣeƚ ƚa ьieƚ ь¾ເ ເпa sai s0, ເҺaпǥ Һaп ь¾ເ ρ, ƚύເ |z | ≤ MҺ , пҺƣпǥ ѵὶ Һaпǥ s0 M ƚa k̟Һôпǥ ьieƚ пêп k̟Һôпǥ ƚҺe ƚὺ đáпҺ ǥiá sai s0 suɣ гa Һ đe đaƚ đ® ເҺίпҺ хáເ ເҺ0 ƚгƣόເ Tuɣ пҺiêп, ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ƚίпҺ ƚ0áп ƚa ເό ƚҺe k̟iem s0áƚ đƣ0ເ sai s0 dпa ѵà0 k̟eƚ qua ƚίпҺ ƚгêп Һai lƣόi ѵόi ьƣόເ Һ ѵà Һ/2 Đieu пàɣ đƣ0ເ lý ǥiai ь0i пǥuɣêп lý n Гuпǥe sau đâɣ: ǥiá ƚг% ǥaп đύпǥ ເпa uп = u(хп ) ƚίпҺ ƚгêп ເáເ K̟ý Һi¾u n ѵà ɣ(Һ) ɣ(Һ/2) lƣόi Һ ѵà Һ/2, ƚг0пǥ đό хп = х0 + пҺ K̟Һi đό đ0i ѵόi ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເό đ® Số hóa trung tâm học liệu 117 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đύпǥ ເaρ ρ ƚa ເό ɣ(Һ) − uп ≈ MҺ ρ , n h ρ n (Һ/2) − uпгa≈ M ( ) Tὺ ເáເ đaпǥ ƚҺύເ ǥaп đύпǥɣƚгêп suɣ ɣп(Һ) − ɣ(Һ/2) п n ɣ(Һ/2) − uп ≈ (3.52) 2ρ − (Һ) (Һ/2) ɣ − ɣ n ƚҺὶ sai s0 ƚuɣ¾ƚ đ0i se хaρ хi п D0 đό пeu laɣ ɣ(Һ/2) ≈ uп п ρ − Đe ý гaпǥ đ0i ѵόi ρҺƣơпǥ ρҺáρ Euleг ρ = пêп n n (Һ) n (Һ/2) c ọ nĩ ăs h − uп.≈ ɣ − ɣ ɣ cịn đoi vói phương pháp Euler cai tien p = nên (Һ/2) n n (Һ/2) −u ≈ ɣ v c n .n.o (Һ) (Һ/2) − ɣ ɣ n .a p .h iệ ậ c h t g p iệ tn u gh sỹ tố l n n n t hạc vă tố tn n n ậ văn uă nă l đn luậ v v .á d ȽГQПǤ n ồ.n ậ ậ đ u d l u l ∂Ω ȽГQПǤ QП 3.4 3.4.1 ύпǥ dппǥ п®i suɣ ГЬF Ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ѵái ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ0iss0п ƚг0пǥ mieп ǥiái п®i Ω ⊂ Г ѵà ѵeເƚơ s0 a) Ьài ƚ0áп 3.1 Cho Ω ⊂ ΣR , f : Ω → R g : ∂Ω → R hàm liên tuc Tìm hàm sa0 ເҺ0: ∆u = f ƚг0пǥ Ω (3.53) u∈ເ Ω u| =ǥ (3.54) b) Ѵeເƚơ s0 ເua ƚ0áп ƚE ѵi ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ ເҺ0 D ƚ0áп ƚu ѵi ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà Х d = {х1 , х2 , хп } ь® ƚâm ρҺâп ƚuɣeп ƚáп đƣ0ເ ເҺ ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Г M®ƚ хaρ хi ѵi ρҺâп ƚίпҺ đ0i ѵόi ƚ0áп ƚu D п Du (х) ≈ Σ wi (х) u (хi) (3.55) i=1 đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ȽГQПǤ s0 wi = wi (х) K̟Һi đό w = [w1 , w2 , wп ]T đƣ0ເ ǤQI ѵéເ ƚơ ȽГQПǤ s0 Һaɣ ເὸп đƣ0ເ ǤQI sƚeпເil đ0i ѵόi ƚ0áп ƚu ѵi ρҺâп D Số hóa trung tâm học liệu 118 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ c) ΡҺƣơпǥ ρҺáρ sai ρҺâп ҺEu Һaп хáເ đ%пҺ ѵeເƚơ ȽГQПǤ s0 Ξ iпƚ := Ξ\∂Ξ Ѵόi m0i ζ ∈ Ξiпƚ , ƚa ເҺQП m®ƚ ເơпǥ ƚҺύເ ѵi ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ ເҺ0 Ξ ⊂ Ω Һuu ∆: Һaп ເáເ ƚâm гài гaເ K̟ί Һi¾u: ∂Ξ := Ξ ∩ ∂Ω ѵà đ0i ѵόi ƚ0áп ƚu ƚ¾ρ Laρlaເe ∆u(ζ) ≈ Σ wζu(ξ) (3.56) ξ∈Ξζ Ѵόi Ξζ ь® ƚâm đe ƚίпҺ ѵéເ ƚơ ȽГQПǤ s0 [wζ,ξ ]ξ ∈Ξζ , wζ,ξ ∈ Г Ta ƚҺaɣ ƚҺe ເáເ wζ,ξ ѵà0 ьài ƚ0áп (3.53) – (3.54), ເu0i ເὺпǥ ƚa đƣ0ເ Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: Σw ^ (3.57) ζ ∈ Ξζ ζ,ξ u (ξ) = f (ζ) , ζ∈Ξζ ^ u (ξ) = ǥ (ξ) , ζ ∈ ∂Ξ c ọ nĩ ăs h (3.58) хi uПeu : Ξ Һ¾ → ГρҺƣơпǥ ເпa Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ-пàɣ ເό ƚҺe s0 sáпҺ ѵόi ѵéເ ƚơ u |пǥҺi¾m ƚгὶпҺ (3.57) (3.58) k̟Һơпǥ suɣ–đƣ0ເ ьieп, Ξ ^ хaρ пǥҺi¾m ເҺίпҺ хáເ ເпa ьài ƚ0áп (3.53) (3.54).ƚҺὶ ѵéເ ƚơ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ SΡҺҺ ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ ƚгêп пeu mieп Ω ⊂ Г2 ҺὶпҺ ѵпǥ Һ0¾ເ ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ mieп Ω ҺὶпҺ ѵuôпǥ ѵà Ξ ƚ¾ρ ເáເ điem пam ƚгêп lƣόi đeu ѵόi ьƣόເ lƣόi Һ ƚҺὶ ເôпǥ ƚҺύເ v (3.56) sai ρҺâп k̟Һuôп điem đ0i ѵόi o ƚ0áпcƚu Laρlaເe, Һaɣ: n a p h (ζ ∆u (ζ) ≈ u (ζ + (Һ, 0)) + − (Һ, 0)) + u (ζ + (0, Һ)) iệ u c ậ h t ng iệp t h ỹ Σ u h tố ng c s n tl + u (ζ − (0,văn ố h − 4u (ζ) t tn Һ)) ận án văn uă l ă đnn luậ K̟Һi đό, ѵéເ ƚơ ȽГQПǤ s0 v v .á n ồ.n ậ 2 ậ uđ l u l ȽГQПǤ ȽГQПǤ ȽГQПǤ п j Σ w = 1/Һ , 1/Һ , 1/Һ , 1/Һ , −4/Һ , ƚг0пǥ đό wζ,ξ = −4/Һ2 ПҺ¾п хéƚ: Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ mieп Ω ҺເП Һ0¾ເ ҺѴ ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚίпҺ ເáເ ѵéເ ƚơ ѵéເ ƚơs0 ѵà ƚ0ເ Һ®i пҺau ƚu 0пêп Һ2 SΡҺҺ đơп ǥiaп ѵὶ ເáເ s0 đ® ǥi0пǥ k̟ΣҺôпǥ ເaп ເҺi ρҺί 3.4.2 Ѵeເƚơ s0 ƚÈ п®i suɣ Һàm ເơ sa ьáп k̟ίпҺ 2 đ õm õ iắ ụi mđ = {хГ1,làх2Һàm , , хáເ хп} đ%пҺ ⊂ Гd, dƣơпǥ u : Гd → Г Һàm liêп ƚuເ ѵà đп ƚгơп Ǥia su φ : Г → + ѵà đп ƚгơп K̟Һi đό Һàm п®i suɣ ເơ s0 ьáп k̟ίпҺ s (х) ເпa Һàm u (х) đƣ0ເ ѵieƚ dƣόi daпǥ s(х) = Σ a Φ(х − хj), j=1 s(хi) = u(хi), Số hóa trung tâm học liệu Φ(х) := φ(ǁ х ǁ) i = 1, 2, , п 119 (3.59) (3.60) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ƚг0пǥ đό aj đƣ0ເ ເҺQП sa0 ເҺ0 0a mó ieu kiắ su (3.60) T (3.59) (3.60) ƚa ເό: п Σ ajΦ(хi − хj) = u(хi), i = 1, 2, , п (3.61) j=1 K̟ý Һi¾u: Σ Σп,п Φ|Х = Φ(хi − хj ) , u|Х = [u(х1), u(х2 i,j=1 ), , u(хп )]T c Хọ nĩ ăs h a = [a1, a2, , aп]T K̟Һi đό ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ (3.61) dƣόi daпǥ ma ƚг¾п: Φ|Хa = u|Х Ѵὶ φ Һàm хáເ đ%пҺ dƣơпǥ пêп ma ƚг¾п Φ| хáເ đ%пҺ d i đ õm õ iắ ụi mđ D0 đό, ѵéເ ƚơ a đƣ0ເ хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ v c ь0i: o n a p −1 h iệХ ậ c Х h t ng iệp t h ỹ u d tố ng пc s ăn n tl hạ v tố tn ận án văn uă nă l đn luậ v v .á n ồ.n п ậ ậ j j đ u l u j=1 l T −1 x х T п −1 Х Х a = [Φ| ] u| (3.62) Һàm п®i suɣ ເơ s0 ьáп k ̟ ίпҺ s(х) m®ƚ хaρ хi ƚ0ƚ ເпa Һàm u(х) пeu u(х) đп ƚгơп ѵàҺàm ເáເ ƚâm хҺàm , х ,s(х) , хເũпǥ ∈ Гхaρ đпхi daɣ ƚг0пǥ lâп Һàm ເ¾п ເпa хҺàm Һơп пua, đa0 ເпa ƚ0ƚ ѵόi đa0 ເпa Һàm u(х) пeu Һàm φ đп ƚгơп [24] Ѵὶ ѵ¾ɣ пeu D ƚ0áп ƚu ѵi ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ ƚҺὶ Ds(х) хaρ хi ເпa Du(х) đƣ0ເ хéƚ dƣόi daпǥ: Du(х) ≈ Ds(х) = Σ a DΦ(х − х ) = aT DΦ(х − ·)|х = u| [Φ| ] DΦ(х − ·)|х (3.63) K̟ý Һi¾u : w = [w , w , , w ] Ta đ¾ƚ w = [Φ| ] DΦ(х − ·)| (3.64) ƚг0пǥ đό DΦ(х − ·)|Х = (DΦ(х − х1), , DΦ(х − хп))T Tὺ đό ƚa ເό п Du(х) ≈ Ds(х) = Σ wiu(хi) (3.65) i=1 Quaп sáƚ ເôпǥ ƚҺύເ (3.64) ƚa ເό ƚҺe ƚҺaɣ w пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ п Σ wjΦ(хi − хj) = DΦ(х − хi), i = 1, 2, , п (3.66) j=1 Soá hóa trung tâm học liệu 120 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đieu пàɣ ເό пǥҺĩa ѵéເ ƚơ ȽГQПǤ s0 w đƣ0ເ ເҺ0 0i ỏ ắ s0 a su m s0 ьáп k̟ίпҺ ѵόi du li¾u ເҺ0 ь0i Һàm DΦ(х − ·)|Х Ѵὶ Φ(хi − хj ) = Φ((х − хi ) − (х − хj )) пêп пeu ƚa п®i suɣ Һàm DΦ ƚai ເáເ ƚâm х − хj , j = 1, 2, , п ƚҺὶ ƚa ƚҺu ỏ ắ s0 su ụ (3.64) ѵà đό ເҺίпҺ ѵà ѵéເ ƚơ ȽГQПǤ s0 Ѵὶ ѵ¾ɣ ເҺύпǥ ƚa ເό ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚίпҺ ѵéເ ƚơ ȽГQПǤ s0 sau: d Mắ 3.4.1 đ õm õ iắ ụi mđ = {1, 2, , хп} ∈ Г , u : Гđe + → Г Һàm liêп ƚпເ ѵà đu ƚгơп, D ƚ0áп ƚu ѵi ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ dƣái ѵà Һàm п®i suɣ ເơ sá ьáп k̟ίпҺ s(х) ເua Һàm u(х) đƣaເ ьieu dieп daпǥ (3.59) - (3.64) K̟Һi đό ѵeເƚ0 ƚгQПǥ s0 w ເua ѵi ρҺâп s0 ƚai х đƣaເ ƚὶm ьaпǥ ເáເҺ ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.66), Һaɣ ѵeເƚ0 ƚгQПǤ s0 ເáເ Һ¾ DΦ(х − Һàm s0 ເua п®i suɣ Һàm ເơ sá ьáп k̟ίпҺ ѵái du li¾u đƣaເ ເҺ0 ьái ·)|Х [6] 3.4.3 c ọ nĩ ăs h Lƣaເ đ0 ГЬF – FD ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρ0iss0п iắu l = đ õm i ∂Ω, Ξiпƚ mieп = Ξ\∂Ξ ьàiKƚ0áп 3.1, ѵόi гaເ ƚгêп Ω ເҺ0 v cΞ Ьƣόເ 1: Хáເ đ%пҺ ƚ¾ρ ເáເ điem пam ƚг0пǥ mieп iпƚ ѵà ƚ¾ρ ເáເ điem ƚгêп o ьiêп ∂Ξ n .a p ເпa ệ Ьƣόເ 2: Хâɣ dппǥ ma ƚг¾п ເύпǥ ѵehc ƚгái h ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.57) ьaпǥ i ậ .t g ệp i tn u gh sỹ tố l n n n t hạc vă tố tn n QП ă n n iпƚ ζ uậ ă vă l đn n ậ lu v v п ȽГQПǤn ồ.n ậ ậ п uđ jl u i j l j=1 ȽГQПǤ ^ ζ,ξ ເáເҺ: - Ѵόi m0i điem ζ ∈ Ξ , ເҺ ь® ƚâm Ξ = {ζ, ζ1, ζ2, , ζп} ƚг0пǥ đό ζ , ζ , , ζ ເáເ điem lâп ເ¾п ƚ0ƚ a (0 m 0i mđ s0 uắ 0ỏ) - Хáເ đ%пҺ ѵeເƚơ s0 w ьaпǥ ѵi¾ເ ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Σ w Φ (ξ − ξ ) = ∆Φ (ζ − ξi) , i = 1, 2, , п - TҺaɣ ເáເ ѵeເƚơ s0 w ƚὶm đƣ0ເ ѵà0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.57) Ьƣόເ 3: Ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ w u (ξ) = f (ζ) , ζ ∈ Ξζ Σ ζ∈Ξζ ^ u (ξ) = ǥ (ξ) , ζ ∈ ∂Ξ ^ Ta đƣ0ເ пǥҺiêm хaρ хi u Số hóa trung tâm học liệu 121 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ K̟eƚ lu¾п K̟eƚ qua đaƚ đƣaເ ເua đe ƚài: Qua ƚгὶпҺ iờ u iắ e i iờ u mđ s0 Һaп ເҺe ỏ su a i m s0 mắ dὺ ເὸп пҺieu c ọ nĩ ăs h пҺƣпǥ ເҺύпǥ ƚôi đaƚ đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ qua sau: - Tὶm Һieu ѵà ƚőпǥ Һ0ρ đƣ0ເ m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ п®i suɣ Һàm s0 m®ƚ ьieп ѵà ύпǥ duпǥ - S0 sáпҺ ѵà đáпҺ ǥiá đƣ0ເ m®ƚ s0 ƣu, пҺƣ0ເ điem ເпa ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ пôi suɣ v c oпҺieu ьieп ьaпǥ Һàm ເơ s0 ьáп - ПǥҺiêп ເύu đƣ0ເ ເơ ьaп п®i suɣ Һàm s0 .n a p .h k̟ίпҺ ѵà ьƣόເ đau ύпǥ duпǥ iệ ậ c h t g p iệ tn u Һƣáпǥ ρҺáƚ ƚгieп: gh sỹ tố l n n n t hạc vă tố tn n n ậ văn ƚҺam s0 ҺὶпҺ daпǥ ƚ0i ƣu ເҺ0 Һàm ເơ - TҺieƚ l¾ρ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ƣόເ lƣ0пǥ uă nă l đn luậ v v s0 ьáп k̟ίпҺ n ເơ - ύпǥ duпǥ п®i suɣ Һàm s0 ьáп k̟ίпҺ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵόi ເơ s0 du ồ.n ậ ậ li¾u гὸi гaເ пҺƣ: u Ьàiđƚ0áп dп ьá0 ƚҺὸi ƚieƚ, ьài ƚ0áп k̟Һôi ρҺuເ Һàm s0, l u l ҺὶпҺ ьài ƚ0áп k̟Һôi ρҺuເ aпҺ 3D, ƚҺὸi ǥiaп ѵà пăпǥ lпເ ьaп ƚҺâп ເὸп Һaп ເҺe, đ0пǥ ƚҺὸi Ѵὶ đieu k̟i¾п ѵe п®i duпǥ ເύu ເὸп mόi me пêп đe ƚài k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ пǥҺiêп ƚҺieu sόƚ ເaп ρҺai k̟Һaເ ρҺuເ Táເ ǥia m0пǥ đƣ0ເ sп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпa ƚҺaɣ, ເô ǥiá0 ѵà ເáເ ьaп đe đe ƚài пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп ເáເ Số hóa trung tâm học liệu 122 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Đ¾пǥ Quaпǥ Á, Ǥiá0 ƚгὶпҺ ρҺƣơпǥ ρҺáρ s0 , ПХЬ Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп-2009 c ọ nĩ ăs h [2] Ta ѵăп ĐĩпҺ, ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚίпҺ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ ѵi¾ƚ Пam [3] Ǥ.E.FassҺaueг, MesҺfгee Пaп0 [4] Đ¾пǥ TҺ% TҺu Һieп, i 0ỏ su ma F, luắ ỏ ƚieп sĩ 2009, ƚгƣὸпǥ ĐҺ ເơпǥ пǥҺ¾, ĐҺ Qu0ເ ǥia v c [5] ue Mắu, ỏ i ƚ0áп п®i suɣ oѵà ύпǥ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ, Һà n a П®i p ệ .h i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á Q n ồ.n ậ ậ uđ l u l [6] Đ¾пǥ TҺ% 0aпҺ, ΡҺƣơпǥ ρҺáρ k̟Һơпǥ lƣái ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ0iss0п, Lu¾п áп ƚieп sĩ, 2011, Ѵi¾п ເơпǥ пǥҺ¾ ƚҺơпǥ ƚiп, Ѵi¾п Һàп lâm k̟Һ0a Һ ເ ѵà ເơпǥ пǥҺ¾ Ѵi¾ƚ Пam [7] Dƣơпǥ TҺὺɣ Ѵĩ, Ǥiá0 ƚгὶпҺ ỏ , K0a Q K Tuắ, đi, 2001 [8] Һ0lǥeг Weпdlaпd, Saƚƚeгed Daƚa Aρρг0хimaƚi0п [9] Maпρiпǥ ZҺaпǥ, Гadial Ьasis Fuпເƚi0п Iпƚeгρ0laƚi0п iп S0ь0leѵ sρaເes iпd iƚs aρρliເaƚi0пs Số hóa trung tâm học liệu 123 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lu¾п ó a0 ắ am luắ ѵăп пǥàɣ ƚҺáпǥ пăm 2013 ѵà đƣ0ເ ເҺiпҺ sua ѵόi ເáເ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa ເáເ ƚҺaɣ, ເơ ƚг0пǥ Һ®i đ0пǥ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 02 ƚҺáпǥ m 2012 ỏ ắ a ỏ đ da k̟Һ0a ҺQ ເ c ọ nĩ ăs h TS Đ¾пǥ TҺ% 0aпҺ v c o n a p .h ệ i ậ hc t ng iệp t h ỹ u s g tố l n t n ạc n h vă tố tn n ậ án văn uă l ă đnn luậ v v .á n ồ.n ậ ậ uđ l u l Soá hóa trung tâm học liệu 124 http://www.lrc.tnu.edu.vn/