Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - NGÔ VĂN GIANG TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Möc löc Mởt số kỵ hiằu Mð ¦u Mët sè kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 Khổng gian Sobolev 1.1.1 Ôo hm yáu 1.1.2 Khæng gian Sobolev 1.1.3 Khæng gian H −1 1.1.4 Khỉng gian phư thc thíi gian Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 11 1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy vỵi  11 1.2.2 B§t ¯ng thùc Holder 12 1.2.3 B§t ¯ng thùc nởi suy ối vợi chuân Lp 12 1.2.4 B§t ¯ng thùc Gronwall 12 1.2.5 B§t ¯ng thùc Sobolev 12 Phữỡng trẳnh Stokes 13 1.3.1 ành ngh¾a 13 1.3.2 Tẵnh chĐt 13 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4 1.5 To¡n tû Stokes 14 1.4.1 ành ngh¾a 14 1.4.2 Tẵnh chĐt 14 BĐt ng thực cho số hÔng phi tuy¸n 16 Nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 2.1 2.2 Mởt số bĐt ng thực ữợc lữủng nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 19 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 26 Nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 3.1 3.2 19 29 Sỹ tỗn tÔi nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 29 3.1.1 Trong tr÷íng hđp chi·u 30 3.1.2 Trong tr÷íng hđp chi·u 33 Sỹ nhĐt cừa nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh NavierStokes 35 3.2.1 Sỹ nhĐt nghiằm trữớng hủp chi·u 35 3.2.2 Sü nh§t nghi»m trữớng hủp chiÃu 36 Kát luên 39 T i li»u tham kh£o 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mởt số kỵ hiằu ã R = (; +) : têp cĂc số thỹc ã R+ = [0; +) : têp cĂc số thỹc khổng Ơm ã Rn : khổng gian vectỡ tuyán tẵnh thỹc n chiÃu vợi kỵ hiằu tẵch vổ hữợng l < , > v chuân vectì l  || || • C([a; b], Rn ) : têp tĐt cÊ cĂc hm liản tửc trản [a; b] v nhên giĂ tr trản Rn ã C(U ) = {u : U → R | u liản tửc} ã C(U ) = {u C(U ) | u liản tửc Ãu} ã C k (U ) = {u : U → R | u l  li¶n tửc khÊ vi k lƯn} ã C k (U ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u l liản tửc Ãu vợi mồi || k } ) thẳ D u thĂc trin liản tửc tợi U vợi mồi a ch Do õ: náu u C k (U sè α, |α| ≤ k • L2 ([a, b], Rm ): têp cĂc hm khÊ tẵch bêc hai trản [a, b] v lĐy giĂ tr Rm k ∞ ¯ • C ∞ (U ) = {u : U → R | u kh£ vi vổ hÔn} = k=0 C (U ), C (U ) = k ¯ ∩∞ k=0 C (U ) • Cc (U ), Cck (U ), ,, kỵ hiằu cĂc h m C(U ), C k (U ), , vỵi gi¡ comp­c • Lp (U ) = {u : U → R | u l  o ÷đc Lebesgue, kukLp (U ) < ∞} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong â kukLp (U ) Z = ( |u|p dx) p U (1 ≤ p < ∞) • L∞ (U ) = {u : U → R | u l  o ÷đc lebesgue, kuk < ∞} Trong â kukLp (U ) = ess sup |u| U • Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ), vợi mồi V U } ã H k (U ), Wpk (k = 1, 2, ) kỵ hiằu c¡c khỉng gian Sobolev Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mð ¦u Hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes lƯn Ưu tiản ữủc nghiản cựu vo nôm 1822, cho án  cõ rĐt nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu viát và phữỡng trẳnh ny nhiản nhỳng hiu biát cừa ta và phữỡng trẳnh ny cỏn quĂ khiảm tốn Muốn hiu ữủc hiằn tữủng sõng dêp sau uổi tu chÔy trản mt nữợc hay hiằn tữủng hộn loÔn cừa khổng khẵ sau uổi mĂy bay bay trản bƯu trới Ãu phÊi tẳm cĂch giÊi hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes Do nhu cƯu cõa Khoa håc v  Cỉng ngh» m  vi»c nghi¶n cùu hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes cng tr nản thới sỹ v cĐp thiát Hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes mổ tÊ sỹ chuyn ëng cõa ch§t läng Rn (n = ho°c n = 3) Ta giÊ thiát rơng chĐt lọng khổng nn ữủc lĐp Ưy Rn Ta i tẳm mởt h m vectì vªn tèc u(x, t) = (ui (x, t)), i = 1, 2, , n v  h m ¡p su§t p(x, t), xĂc nh tÔi v trẵ x Rn v thới gian t > 0, thọa mÂn hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes nhữ sau: n ui X ui p + uj = ν4ui − + fi (x, t) ∂t ∂x ∂x j i j=1 (x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u1 , u2 , , un ), n X ∂ui = (x ∈ R, t > 0) div u = x i i=1 Vợi iÃu kiằn ban Ưu u(x, 0) = uo (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ð ¥y, h m vectỡ uo (x) l hm khÊ vi vổ hÔn vợi div uo = 0, fi (x, t) l  nhúng h m  biát biu th cĂc lỹc tĂc ởng ngoi, l mởt hằ số dữỡng Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng v ti liằu tham khÊo Cử th l Chữỡng 1: Mởt số kián thực chuân b Chữỡng 2: Nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes Chữỡng 3: Nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-stokes Cuối cũng, tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy giĂo PGS TSKH Nguyạn Minh Trẵ, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, tÔo mồi iÃu kiằn giúp ù tổi hon thnh luên vôn ny Tổi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm Khoa ToĂn  Trữớng H Sữ phÔm  H ThĂi Nguyản cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo  tham gia giÊng dÔy khoĂ hồc, xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v cĂc bÔn lợp cao hồc ToĂn K17  luổn quan tƠm, ởng viản v giúp ù tổi suốt thới gian hồc têp v lm luên vôn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny trẳnh by sỡ bở và khổng gian Sobolev, mởt số bĐt ng thực cỡ bÊn, phữỡng trẳnh Stokes, toĂn tỷ Stokes v mởt số bĐt ng thực và số hÔng phi tuyán 1.1 Khổng gian Sobolev Trong phƯn ny tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm v kát quÊ liản quan án khổng gian Sobolev, phƯn chùng minh chi ti¸t câ thº xem [5] 1.1.1 Ôo hm yáu nh nghắa 1.1.1 GiÊ sỷ u, v ∈ L1loc(U ) v  α l  mët a ch¿ sè Ta nõi rơng v l Ôo hm yáu cĐp cõa u n¸u Z Z α |α| uD φdx = (−1) vφdx U U óng vỵi måi h m thû φ ∈ Cc∞ (U ) K½ hi»u Dα u = v Bờ à 1.1.2 (Tẵnh nhĐt cừa Ôo hm yáu) Mởt Ôo hm yáu cĐp cừa u náu tỗn tÔi thẳ ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt (sai kh¡c tr¶n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tªp câ ë o khỉng) 1.1.2 Khỉng gian Sobolev ành ngh¾a 1.1.3 Cè ành ≤ p ≤ ∞ v  cho k l  sè nguyản khổng Ơm Khổng gian Sobolev Wpk l têp tĐt c£ c¡c h m kh£ têng àa ph÷ìng u : U → R cho vỵi méi a ch¿ sè α, || k , Ôo hm yáu D u tỗn tÔi v thuởc Lp (U ) Chú ỵ 1.1.4 Náu p = ta câ H k (U ) = W2k (U ) (k = 1, 2, ) l  khæng gian Hilbert Chú ỵ rơng H (U ) = L2 (U ) nh nghắa 1.1.5 Náu u Wpk (U ), ta nh nghắa chuân cừa nõ l kukWpk := ( XZ |α|≤k |Dα u|p dx)1/p (1 ≤ p < ∞) U v  kukWpk := X ess sup |Dα u| (p = ∞) |α|≤k U ành ngh¾a 1.1.6 Bao âng cõa Cc∞(U ) H k (U ) ÷đc kẵ hiằu l H0k (U ) Nhữ vêy, ta coi H0k (U ) nhữ l têp cĂc hm u H k (U ) cho Dα u = trản U vợi mồi || k Chúng ta kỵ hiằu |u| = kukL2 () Chuân Dirichlet k∇ukL2 (Ω) Z X n =( |Di u|2 dx)1/2 Ω i=1 s ữủc kỵ hiằu l kuk S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Khỉng gian H −1 ành ngh¾a 1.1.7 Khỉng gian ối ngău cừa H01(U ) ữủc kẵ hiằu l H −1 (U ), tùc l  f ∈ H −1 (U ) náu f l mởt phiám hm tuyán tẵnh b chn trản H01 (U ) nh nghắa 1.1.8 Náu f ∈ H −1(U ) th¼ kf kH −1 (U ) = sup{< f, u > |u ∈ H01 (U ), kukH01 (U ) ≤ 1} Ta vi¸t º k½ hi»u gi¡ trà cõa f ∈ H −1 (U ) trản u H01 (U ) nh lỵ 1.1.9 (CĐu trúc cừa H 1) (i) GiÊ thiát f H (U ) Khi õ tỗn tÔi cĂc h m f , f , , f n L2 (U ) cho Z < f, v >= f v+ U n X f i vxi dx (v ∈ H01 (U )) i=1 (ii) Hìn núa, kf kH −1 (U ) Z X n = inf{( |f i |2 dx)1/2 | f U i=0 thäa m¢n (i) vỵi f , , f n ∈ L2 (U )} 1.1.4 Khỉng gian phư thc thíi gian ành nghắa 1.1.10 Khổng gian Lp (0, T ; X) gỗm tĐt cÊ cĂc hm o ữủc u : [0, T ] → X vỵi Z T kukLp (0,T ;X) := ( ku(t)kp dt)1/p < ∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kym k1 = Tø X1 l  copact y¸u Chóng ta cõ th giÊ sỷ rơng ym hởi tử yáu X1 tỵi y Tø ph²p nhóng X1 ,→ X0 l compact nản ym hởi tử mÔnh tợi y X0 Tø kym k0 l  bà ch°n n¶n kym k−1 hëi tư tỵi suy y = Nh÷ng kym k0 ≥  → kyk0 ≥  i·u ny l mƠu thuăn Vêy ta cõ iÃu phÊi chựng minh Bê · 2.1.4 Cho um l  d¢y bà ch°n Lp (0, T ; X1) Gi£ sû r¬ng dum dt l  bà ch°n Lp2 (0, T ; X0 ), < p1 , p2 < ∞ Th¼ tỗn tÔi mởt dÂy um0 cừa um hởi tử Lp1 (0, T ; X0 ) Chùng minh Khæng gian Lp1 (0, T ; X1 ) l  t¡ch, ph£n ( ối ngău cừa Lp1 (0, T ; X1 ) l  Lp1 (0, T ; X10 ) â p1 + p01 = 1, X10 l  èi ngău cừa X1 ) Do õ tỗn tÔi dÂy cõa um hëi tư y¸u Lp1 (0, T ; X1 ) Chóng ta gi£ sû r¬ng um0 hëi tử yáu Lp1 (0, T ; X1 ) tợi Muốn chựng minh sỷ hởi tử l mÔnh Lp1 (0, T ; X0 ) Chóng ta sû dưng bê · (2.1.3), ta câ k x kpX10 ≤  k x kpX11 +C k x kpX1−1 , ∀x ∈ X1 ,  > v  tø RT k um0 kpX11 l  bà ch°n Vỵi  > ta câ Z T Z p1 k um0 kX0 dt ≤  sup m0 T k um0 kpX11 Z dt + C T k um0 kpX1−1 dt Suy um0 hởi tử mÔnh Lp1 (0, T ; X0 ) R Náu I [0, T ] thẳ dÂy I um (s)ds hởi tử yáu tợi X1 Gåi χI l  h m °c tr÷ng cõa I, â vỵi ∀L ∈ X10 , χI (s)L l  mët ph¦n tû cõa Lp1 (0, T ; X1 ) v  Z Z < um , χI L >= < um (s), L > ds =< um (s)ds, L > I I 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn hëi tư tỵi Tø ph²p nhóng X1 ,→ X0 l  compact n¶n ta biát rơng R I um (s)ds hởi tử mÔnh tợi ∈ X0 Rt Cho t ∈ [0, T ], ta câ um (t) − um (t1 ) = t1 dudsm ds Cho Z Z dum0 t t um0 (t1 )dt1 + (s − t + ) ds um0 (t) =  t−  t− ds Sû dưng b§t ¯ng thùc Holder ta câ Z Z Z t dum0 dum0 p2 p1 t t |s − t + |k kX−1 ds ≤ ( (s − t + )p2 ) p2 ( k k )2  t− ds  t− ds t− Z T 1 1 dum0 p2 p1 p2 p2 p2 ≤( )  ( k k ) ≤ c p2 + ds Trong â p2 + p2 = 1 p2 Cho trữợc 0 > chồn  cho c < 20 Khi â ta câ i·u sau ¥y Z t 0 um0 (t1 )dt1 kX−1 k um0 kX−1 ≤ + k  t Tứ hai số hÔng vá phÊi cừa bĐt ng thực Ãu hởi tử tợi m0 → ∞ suy k um0 (t) kX−1 −→ 2.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes nh nghắa 2.2.1 Nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes l  mët h m u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ Cw (0, T ; H) thäa m¢n < du dt ∈ L1loc (0, T, V ) v  du , v > +ν((u, v)) + b(u, u, v) = (f, v), ∀v ∈ V dt u(0) = u0 Khæng gian Cw (0, T ; H) l  khæng gian cõa L∞ (0, T ; H) bao gỗm cĂc hm liản tửc yáu : (u(t), h) l hm liản tửc vợi h H 26 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nh lỵ 2.2.2 (Leray) Tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes vợi u0 H, f ∈ L2 (0, T ; V ) Hìn núa, du dt ∈ L (0, T ; V ) vỵi d = 3, du dt ∈ L2 (0, T ; V ) vỵi d = 2, v  câ b§t ¯ng thùc Z t Z t 1 2 |u(t)| + ν ku(s)k ds ≤ |u(t0 )| + < f (s), u(s) > ds, 2 t0 t0 ≤ t0 ≤ t ≤ T Chùng minh Cho um (t) l  nghi»m cừa hằ phữỡng trẳnh Galerkin vợi gm = Pm f, u0m = Pm u0 Tø bê · (2.1.1) v  (2.1.4) giÊ sỷ rơng um0 l mởt dÂy cõa um hëi tư y¸u L2 (0, T ; V ), mÔnh L2 (0, T ; H) v  C(0, T ; V ) tỵi u Hìn núa, du dt L (0, T ; V ) tợi dum0 dt hởi tử yáu Cho v V tũy ỵ NhƠn vổ hữợng cừa (2.4) vợi v v tẵch phƠn ta ữủc: Z t (um0 (t), v) + ν t Z ((um0 (s), v))ds + t0 b(um0 (s), um0 (s), Pm v)ds t0 Z t = (um0 (t0 ), v) + < f (s), Pm v > ds t0 Tø um0 hëi tö y¸u v· u L2 (0, T ; V ) nản cõ th trẵch mởt dÂy cừa um0 Chóng ta câ thº gi£ sû um0 (t0 ) hởi tử yáu tợi u(t0 ) V vợi t0 ∈ [0, T ] \ E , E l  tªp câ ë o b¬ng khỉng lim um (t0 ) = u(t0 ), hởi tử mÔnh H, t0 E B¥y gií ta câ Z t lim m→∞ t Z ((um (s), v))ds = ((u(s), v))ds t0 t0 v  Z t b(u(s), u(s), v)ds lim b(um (s), um (s), Pm v) = m→∞ t0 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn t ≥ t0 , t, t0 6∈ E , Z t (u(t), v) − (u(t0 ), v) + ν t Z ((u(s), v))ds + b(u(s), u(s), v)ds t0 Z t0 t = < f (s), v > ds t0 i·u n y k²o theo tẵnh liản tửc yáu cừa u(t) H bi V l  trị mªt H v  supt∈[0,T ] |u(t)| l hỳu hÔn Chúng ta cõ bĐt ng thực sau ¥y: |um (t)|2 + ν Z t t0 t Z k um (s) k2 ds ≤ |um (t0 )|2 + < f (s), um (s) > ds t0 Gi£ sû t0 6∈ E , chuyºn qua giợi hÔn m cừa vá phÊi ta ÷đc Z t |u(t0 )|2 + < f (s), u(s) > ds t0 Ta lÔi cõ lim(am + bm ) ≥ lim am + lim bm v  n¸u xm x yáu khổng gian Banach X thẳ kxk limkxm k Chúng ta ữủc bĐt ng thực nông lữủng sau: |u(t)|2 + Z t t0 k u(s) k2 ds ≤ |u(t0 )|2 + Z t < f (s), u(s) > ds, t0 vỵi t0 6∈ E, t ≥ t0 du/dt ∈ L2 (0, T ; V ) vỵi d=2 ta cõ ữợc lữủng sau |A1/2 B(u, u)| c|u|kuk ( (A−1/2 B(u, u), v) = b(u, u, A−1/2 v) = −b(u, A−1/2 v, u) suy |A−1/2 B(u, u), v| ≤ c|u|kuk|v| i·u n y cịng vỵi um bà ch°n L2 (0, T ; V ) v  L∞ (0, T ; H) suy A−1/2 B(um , um )) l  bà ch°n L2 (0, T ; V ) 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng Nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 3.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes Cho um l nghiằm cừa hằ Galerkin dum + νAum + Pm B(um , um ) = Pm f dt (3.1) um (0) = Pm u0 (3.2) NhƠn vổ hữợng (3.1) vợi um ta ữủc 1d |f |2 νλ1 |um |2 + ν k um k2 = (f, um ) ≤ + |um |2 dt 2νλ1 Tø λ1 |um |2 ≤k um k2 ta câ 1d |f |2 ν 2 |um | + ν k um k = (f, um ) ≤ + k um k2 dt 2νλ1 Suy d |f |2 2 |um | + ν k um k ≤ , dt νλ1 v  ta câ Z t 2 Z k um k ds ≤ |u0 | + ν 0 t (3.3) |f |2 ds νλ1 (3.4) 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall ta ÷đc Z t |f |2 |um (t)|2 ≤ |u0 |2 e−νλ1 t + e−νλ1 (t−s) ds (3.5) NhƠn vổ hữợng (3.1) vợi Aum ta ÷đc 1d k um k2 +ν|Aum |2 + b(um , um , Aum ) = (f, Aum ) dt (3.6) Chúng ta s nghiản cựu nghiằm mÔnh cừa phữỡng trẳnh hai trữớng hủp khổng gian chiÃu v  khỉng gian chi·u 3.1.1 Trong tr÷íng hđp chi·u Gi£ sû f ∈ L∞ (R+ , H) v  ành ngh¾a (3.7) |f |∞ = sup |f (t)| t≥0 ìợc lữủng (3.4),(3.5) tr thnh Z t |f |2 2 t, ν kum (s)k ds ≤ |u0 | + νλ1 |um (t)|2 ≤ |u0 |2 + (3.8) |f |2 21 (3.9) Tẵch phƠn (3.3) giỳa t v  t + τ v  sû döng (3.9) ta ÷đc Z t+τ |f |2 ν kum (s)k2 ds ≤ |u0 |2 + ∞ (τ + ) νλ νλ 1 t (3.10) Do λ l  o ÷đc Lebesgue trản R nản ta ữủc |u0 |2 |f |2 λ({s ∈ [t, t + τ ]|kum (s)k ≥ ρ}) ≤ ( + (τ + ))ρ−2 ν νλ1 νλ1 √ 2 √ Cho ρ = 2[( |uν0 | + |fνλ|∞1 (τ + νλ1 ))]1/2 / τ i·u n y cho th§y λ{s|s ∈ [t, t + τ ], kum (s)k ≥ ρ} ≤ τ 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Do õ mội oÔn cõ ở di tỗn tÔi mởt thới gian t0 [t, t + τ ] cho |u0 |2 |f |2∞ kum (t0 )k ≤ [ + (τ + )] τ ν ν λ1 νλ1 (3.11) ¡nh gi¡ v¸ ph£i cõa (3.6) ta câ |f |2∞ ν |(f, Aum )| ≤ |Aum | + ν v  sû dưng (1.9) vỵi s1 = 1/2, s2 = 1/2, s3 = Ănh giĂ số hÔng b(um , um , Aum ) ta ÷đc |b(um , um , Aum )| ≤ c|um |1/2 kum k|Aum |3/2 (3.12) N¶n (3.6) trð th nh 1d ν |f |2∞ ν c 2 kum k + ν|Aum | = |Aum | + + |Aum |2 + |um |2 kum k4 , dt ν ν d |f |2∞ c 2 (3.13) kum k + ν|Aum | = + |um |2 kum k4 dt R NhƠn vợi e t c |u |2 kum k2 ds t0 ν m ta ÷đc Rt c d 2|f |2∞ − Rtt νc3 |um |2 kum k2 ds − t0 ν |um |2 kum k2 ds ]≤ [kum k e e dt Tẵch phƠn vá ta ữủc 2 kum k ≤ kum (t0 )k e Rt c |u |2 kum k2 ds t0 ν m Rt c 2|f |2∞ |u |2 ku k2 ds + (t − t0 )e t0 ν m m , ν (3.14) vợi t0 t BƠy giớ ta Ănh gi¡ mơ cõa h m e, sû dưng (3.9), (3.10) ta câ c c |f |2∞ |f |2∞ 2 2 |u | ku k ds ≤ [|u | + ][|u | + (t − t + )] m m 0 ν3 ν4 ν λ21 νλ1 Náu t0 ữủc chồn [t , t] (giÊ sỷ t ) thọa mÂn (3.11) thẳ chóng ta câ 2|f |2∞ B kum (t)k ≤ Ae + τe ν B 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong â A l  v¸ ph£i cõa (3.11) v  B l  c |f |2∞ |f |2∞ 2 [|u | + ][|u | + (τ + ) 0 ν4 ν λ21 νλ1 νλ1 B¥y gií gi£ sû rơng 1 Thẳ ta ữủc, vợi t ≥ τ 2 |u0 |2 2|f |2∞ 2|f |2∞ νc4 (|u0 |2 + ν|f2|λ∞2 )2 kum (t)k ≤ ( [ + ] + )e τ ν ν λ1 ν λ1 (3.15) M»nh · 3.1.1 Cho m ≥ l  sè nguy¶n Cho u0 ∈ H, f ∈ L∞(R, H), um l  nghi»m cõa h» Galerkin dum + νAum + Pm B(um , um ) = Pm f dt um (0) = Pm u0 Khi õ, tỗn tÔi mởt hơng số ởc lêp vợi , , |u0 | cho sup νλ1 tkum (t)k2 ≤ ρ20 (3.16) 0 Khi õ tỗn tÔi mởt nghiằm u cừa hằ phữỡng tr¼nh Navier-Stokes du + νAu + B(u, u) = f dt u(0) = u0 , 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∞ thäa m¢n u ∈ L∞ loc (0, T ; V ) ∩ Lloc (0, T ; D(A)) ∩ L (0, T ; H) ∩ L (0, T ; V ) Hìn núa, νλ1 tkum (t)k2 + sup 0 v  u0 ∈ V ¡nh gi¡ (3.6) ÷đc | (f, Aum ) |< | f |2 v | Aum |2 + v Ănh giĂ số hÔng b(um , um , Aum ) v  sû dưng (1.9) vỵi s1 = 1, s2 = 21 , s3 = 3 | b(um , um , Aum ) |≤ c k um k | Aum | (3.21) Tø (3.6) câ 3 v | f |2 1d 2 k um k +v | Aum | ≤ | Aum | + + c k um k | Aum | 2 dt v ν |f |2 c ≤ |Aum | + + k um k6 ν ν Suy d |f |2 c 2 k um k +ν|Aum | ≤ + k um k6 dt ν ν (3.22) 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gi£ sû k um (0) k + ν T Z c−1/2 1/2 ν λ1 |f (t)|2 dt ≤ (3.23) Th¼ ∀ ≤ t ≤ T ta câ 1/2 (3.24) k um k2 < c1/2 ν λ1 1/2 V¼ tø (3.23) suy k um (0) k2 < c−1/2 ν λ1 Tø k um (t) k l  h m trìn 1/2 n¶n k um (t) k2 < c−1/2 ν λ1 vỵi t õ nhä 1/2 Tø k um (t) k2 < c−1/2 ν λ1 → ν|Aum |2 − c ν3 k um k6 > V¼ c c k u k ≥ νλ k u k − k um k6 m m 3 ν ν c ≥ νλ1 k um k2 (1 − k um k4 ) ν λ1 ν|Aum |2 − Tø (3.22) ta câ 1/2 c−1/2 ν λ1 2 2 2 k um (t) k ≤ R t |f | ds+ k um (0) k ≤ R T |f | ds+ k um (0) k ≤ ν ν Chuyºn qua giợi hÔn vá m ta ữủc nh lỵ 3.1.3 Cho R3 l têp m, b chn cừa lợp C Khi õ tỗn tÔi mởt hơng số C > cho, vợi u0 ∈ V v  f ∈ L2 (0, T ; H) thäa m¢n Z T k u0 k2 2 √ + |f (t)| dt ≤ (3.25) 1/2 1/2 C ν λ1 ν λ1 Khi õ tỗn tÔi mởt nghiằm u(t) cừa hằ phữỡng tr¼nh du + νAu + B(u, u) = f dt (3.26) u(0) = u0 (3.27) u(t) ∈ L∞ (0, T ; V ) ∩ L2 (0, T ; D(A)) v  thäa m¢n Z T k u(t) k2 2 √ + |Au(s)| ds ≤ 1/2 1/2 C ν λ1 νλ1 (3.28) vỵi ∀ ≤ t ≤ T 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Sü nh§t cõa nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes 3.2.1 Sỹ nhĐt nghiằm trữớng hủp chiÃu nh lỵ 3.2.1 Cho Ω ⊂ R2 l  tªp mð, bà ch°n, cõa lỵp C Cho f ∈ L2 (0, T ; V ) Hai nghi»m thuëc L2 (0, T ; V ) ∩ Cw (0, T ; H) cõa du + νAu + B(u, u) = f dt (3.29) u(0) = u0 ∈ H (3.30) ph£i tròng Chùng minh Gi£ sû hai nghi»m l  u1 , u2 °t w = u1 − u2 Tø (3.29) ta suy du1 + νAu1 + B(u1 , u1 ) = f dt v  du2 + νAu2 + B(u2 , u2 ) = f dt Trứ hai vá cừa hai phữỡng trẳnh ta ữủc dw + Aw + B(u1 , w) + B(w, u2 ) = 0, dt (3.31) (v¼ B(u1 , w) + B(w, u2 ) = B(u1 , u1 − u2 ) + B(u1 − u2 , u2 ) = B(u1 , u1 ) − B(u2 , u2 )) Tø (3.30) ta suy w(0) = u1 (0) − u2 (0) = u0 − u0 = (3.32) Nh¥n vổ hữợng (3.31) vợi w ta ữủc < dw , w > +νkwk2 + b(w, u2 , w) = 0, dt (3.33) 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (v¼ b(u1 , w, w) = 0) Ta câ ¡nh gi¡ sau b(w, u2 , w) ≤ c|w|kwkku2 k Chóng ta th§y < dw dt , w d 2 dt |w| >= ∈ L1 (0, T ) Tø (3.33) ta ÷đc 1d |w|2 + νkwk2 ≤ c|w|kwkku2 k dt p döng b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ c|w|kwkku2 k ≤ 21 (2νkwk2 + c2 2 2ν ku2 k |w| ) Do â ta ÷đc d c2 |w|2 ≤ ku2 k2 |w|2 dt 2ν Theo b§t ¯ng thùc Gronwall ta suy c2 |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 e 2ν Rt ku2 (s)k2 ds Tø |w(0)| = n¶n w = Vªy u1 ≡ u2 3.2.2 Sü nhĐt nghiằm trữớng hủp chiÃu nh lỵ 3.2.2 Cho Ω ⊂ R3 l  tªp mð, bà ch°n, cõa lỵp C Cho f ∈ L2 (0, T ; H), u0 ∈ V Hai nghi»m thuëc L2 (0, T ; D(A)) ∩ Cw (0, T ; V ) cõa (3.29) (3.30) ph£i tròng Chùng minh Ta chùng minh sỹ nhĐt cừa nghiằm trữớng hủp chi·u t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hđp chi·u v  ta công câ (3.33) < dw , w > +νkwk2 + b(w, u2 , w) = dt Ta câ ¡nh gi¡ sau b(w, u2 , w) ≤ c|w|kwkku2 k1/2 |Au2 |1/2 p dưng b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ 1/2 c|w|kwkku2 k 1/2 |Au2 | c2 ≤ (2νkwk + ku2 k|w|2 |Au2 |) 2ν 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tø â suy d c2 |w|2 ≤ ku2 k|w|2 |Au2 | dt 2ν Theo b§t ¯ng thùc Gronwall ta suy c2 |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 e 2ν Rt ku2 (s)k|Au2 (s)|ds Tø u2 ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ Cw (0, T ; V ) nản tẵch phƠn l xĂc nh Do õ tứ |w(0)| = nản w = Vêy u1 u2 Vêy ta  chựng minh ữủc sỹ nhĐt cừa nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes c£ hai tr÷íng hđp l  khỉng gian chi·u v chiÃu Chú ỵ 3.2.3 Theo chựng minh trản ta thĐy rơng náu trữớng hủp u1 , u2 câ mët nghi»m l  nghi»m y¸u, mët nghi»m l  nghi»m mÔnh thẳ ta văn chựng minh ữủc chúng la trũng Tuy nhiản trữớng hủp cÊ hai nghiằm l nghiằm yáu thẳ vĐn à văn cỏn  ngọ 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Kát luên Luên vôn trẳnh by mởt số kát quÊ cỡ bÊn và sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes Qua õ giợi thiằu mởt số kát quÊ sau: CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn l: - Trẳnh by mởt số bĐt ng thực ữợc lữủng nghiằm qua õ chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes - Trẳnh by và sỹ nhĐt cừa nghiằm mÔnh cừa hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes, trữớng hủp mởt nghiằm mÔnh v mởt nghiằm yáu thẳ ta văn chựng minh ữủc sỹ nhĐt nhiản trữớng hủp nghiằm l nghiằm yáu thẳ vĐn à văn cỏn ang ữủc nghiản cựu Cuối mởt lƯn nỳa tổi xin ữủc by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ngữới thƯy PGS.TSKH Nguyạn Minh Trẵ, ngữới  tên tẳnh giúp ù v tÔo mồi iÃu kiằn  tổi hon thnh luên vôn ny 38 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T i li»u tham kh£o [1] P.Constantin and C.Foias, Navier-Stokes equations , the University of Chicago Press, 1988 [2] O.A Layyzhenskaya, The mathematical theory of viscous incom- pressible Flow , 1963 [3] R Temam, Navier-Stokes equations and nonlinear functional anal- ysis, SIAM, Philadelphia, 1983 [4] C.Foias, O.Manley, R.Rosa, R.Temam, Navier-Stokes equations and turbulence , Cambridge University Press, 2004 [5] R.A.Adams, Sobolev Spaces , Academic Press, 1975 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn