Tính chính quy của nghiệm của phương trình monge ampere phức trong miền lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRƢƠNG THÚY NGA TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 11 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 16 Chƣơng TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI 27 2.1 Tính qui nghiệm toán Dirichlet miền siêu lồi 29 2.2 C - ước lượng miền lồi 32 2.3 C 2, a - ước lượng tính quy địa phương toán tử Monge- Ampère 35 2.4 Tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền lồi 41 2.5 Tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức đa đĩa 44 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức thường xét miền trơn, giả lồi chặt £ n Đối với toán tử này, tồn nghiệm liên tục yếu Bedford Taylor chứng minh năm 1976, tồn nghiệm trơn chứng minh L Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg, J Spruck năm 1985; N V Krylov năm 1994 Tuy nhiên, không giả thiết tính quy biên Theo hướng nghiên cứu chúng tơi chọn đề tài: “Tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền lồi” Cụ thể C - hàm đa điều hịa trơn, xét phương trình Monge-Ampère phức det (u i j ) = y , u i j = ¶ 2u / ¶ z i ¶ z j , i, j = 1, , n (*) Vấn đề đặt ra tồn C ¥ - nghiệm đa điều hịa u (z ) = , W miền lồi, u phương trình (*) W vi zlim đ ảW b chn Ê n , y C ¥ - hàm W cho y > Dy 1/ n bị chặn Trong trường hợp đa đĩa, tồn C ¥ nghiệm đa điều hịa P phương trình (*) cho lim u(z ) = f (z ) với z Ỵ ¶ P , R đa đĩa Ê n , y l C Ơ zđ z hàm P cho y > D 2y 1/ n bị chặn f C 1,1 - hàm biên ¶ P cho f điều hịa đĩa giải tích nhúng ¶ P Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền lồi 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hồ cực trị, tốn tử Monge-Ampère - Trình bày số kết tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền lồi Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết vị phức - Kế thừa phương pháp kết Zbigniew Blocki Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, tốn tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère miền lồi Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở Giáo dục Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT Cao Lộc - Lạng Sơn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ ộ- Ơ , Ơ ờở ) l mt hm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) ( P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) 1.1.2 nh lý Cho u : Wđ ộờở- Ơ , ¥ trùng - ¥ ) hàm nửa liên tục không thành phần liên thơng WÐ £ n Khi u Ỵ P SH (W) với a Î W b Î £ n cho {a + l b : l } Ỵ £ , l £ Ð W, u(a ) £ l(u;a, b) , ta có l(u ;a, b) = 2p 2p ị u(a + e b)dt it Ngồi ra, tính đa điều hồ tính chất địa phương Chứng minh Phần thứ suy trực tiếp từ định nghĩa hàm đa điều hoà l(u;a, b) = L(v;0,1) , v(l ) = u(a + l b) Phần thứ hai hiển nhiên, tính điều hồ tính chất địa phương Một số tính chất quan trọng hàm đa điều hồ suy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn từ kết Tương tự trường hợp hàm điều hoà dưới, ta gọi Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hoà 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n u Ỵ P SH (W) Nếu e > cho We ặ, thỡ u * l e é C Ơ Ç P SH (We )  Hơn nữa, u * l e đơn điệu giảm e giảm, lim u * l e (z ) = u(z ) với mi z ẻ W eđ Phộp chng minh ging chứng minh Định lý xấp xỉ cho hàm điều hoà Trước tiên ta cần Bổ đề sau: 1.1.4 Bổ đề Cho WÐ £ n tập mở u Ỵ L1loc (W) Giả sử a Ỵ W, { } b Ỵ £ n , a + l b : l Ỵ £ , l £ Ð W Khi (l(u ;., b) * c e )(a ) = l(u * c e ;a, b) (1.1) Chứng minh Vế trái ca (1.1) bng ổ1 ỗ ũn ỗỗỗố2p Ê ữ it ÷ u ( a + e b w ) dt c e ( w)d l ( w) ÷ ò ÷ ÷ ø 2p Định lý Fubini, vế phải (1.1) Bây chứng minh định lý Chứng minh Do [9], Mệnh đề 2.5.2 (i ) , u * l e ẻ C Ơ (We ) nh lý 1.1.2 kết hợp với Bổ đề trên, suy u * l e Ỵ P SH (We ) Sử dụng lập luận [9], Bổ đề 2.5.3, biến riêng, ta chứng minh (bằng quy nạp theo j ) ước lượng sau : u *l e ³ ò I (w , , w , wj + 1, , wn )dl ( w1, , wj - 1, wj + 1, , wn ) , j- C n- Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I ( w1, , wj - 1, wj + 1, , wn ) = ò u (z + e2w1, , z j + e2wj , z j + + e1wj + 1, , z n + e1wn )c ( w)dl ( wj ) , C với £ e2 < e1 z = (z 1, , z n ) Ỵ We Từ ta có (u * l e )(z ) ³ (u * l e )(z ) ³ u (z ) Phần lại chứng minh [9], Định lý 2.5.5 Bây nêu vài hệ định lý xấp xỉ 1.1.5 Hệ Cho W W¢ tập mở £ n £ k , tương ứng Nu u ẻ P SH (W) v f : WÂđ W ánh xạ chỉnh hình, u o f đa điều hồ W¢ 1.1.6 Hệ Nếu W tập mở £ n , P H (W) Ð P SH (W) Ð SH (W) Ð L1loc (W) 1.1.7 Hệ Cho W tập mở £ n , u : W® ¡ hàm số Khi u Ỵ P H (W) u - u đa điều hoà W Vì hàm đa điều hồ điều hồ nên ta phát biểu vài tính chất khác: 1.1.8 Hệ Nếu u, v Ỵ P SH (W) u = v hầu khắp nơi W, u º v 1.1.9 Hệ Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bị chặn, tức W tập mở liên thông bị chặn £ n u Ỵ P SH (W) , u với z Ỵ W, u (z ) < sup lim sup u(y ) wẻ ả W y đ w yẻ W 1.1.10 nh nghĩa Tập hợp E Ð £ n gọi đa cực với điểm a Ỵ E có lân cận V a hàm u ẻ P SH (V ) cho E ầV Ð {z Ỵ V : u (z ) = - ¥ } 1.1.11 Hệ Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) khơng Tính đa điều hồ đặc trưng dạng đạo hàm suy rộng 1.1.12 Định lý Nếu WÐ £ n mở u ẻ P SH (W) thỡ vi mi ả 2u n b = (b1, , bn ) Ỵ £ n , å j ,k = ¶ z j¶ z k bj bk ³ W, theo nghĩa đạo hàm suy rộng, tức ò u(z )áLj (z )b, bðdl (z ) ³ 0, W với hàm khụng õm j ẻ C 0Ơ (W) tựy ý Ngc lại, v Ỵ L1loc (W) cho với n z Ỵ W, b = (b1, , bn ) Ỵ £ , n å j ,k = ¶ 2v ¶ z j¶ z k bj bk ³ W (1.2), theo nghĩa phân bố, hàm u = lim(v * c e ) xác định tốt, đa điều hồ e® W, v hầu khắp nơi W Chứng minh Cho u Ỵ P SH (W) u e = u * c e với e > Lấy hm khụng õm j ẻ C 0Ơ (W) v mt véc tơ b = (b1, , bn ) Ỵ £ n Định lý hội tụ trội Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lebesgue kết hợp với tích phân phần Định lý xấp xỉ suy ị u (z )  Lj (z )b, b  dl (z ) = lim e® W ị u (z )  Lj (z )b, b  dl (z ) e W = lim e® ị Lu (z )b, bðj (z ) dl (z )  e W Phần định lý chứng minh Giả sử v Ỵ L1loc (W) (1.2) thoả mãn Đặt v e = v * c e với e > Khi D v ³ W, theo ý nghĩa suy rộng Do [9], Định lý 2.5.8, tồn hàm điều hoà u W trùng với v hầu khắp nơi u = lim ve Định lý Fubini (1.2) suy e® ị Lv e (z )b, b j (z ) dl (z )  0, W với b Î £ n , j Î C 0¥ (We ) , j ³ Bởi Lv e (z )b, b ³ , với z Ỵ We , b Ỵ £ n , v e Ỵ P SH (We ) Khi v e < v e e1 < e2 , hàm giới hạn u đa điều hoà 1.1.13 Hệ Cho W tập mở £ n Một hàm u Ỵ C 2(W) đa điều hoà W u o T điều hoà T - 1(W) với đẳng cấu £ - tuyến tính T : £ n ® £ n 1.1.14 Định lý Cho W tập mở £ n Khi (i ) Họ P SH (W) nón lồi, tức a , b số khơng âm u, v Ỵ P SH (W) , a u + b v Ỵ P SH (W) (ii ) Nếu W liên thông {u } j Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn jẻ Ơ é P SH (W) dãy giảm, http://www.lrc-tnu.edu.vn ( a u f s L¥ (W) ij ggi ) j ³ - C1 + ¶f s , ¶ xs 2n å s= (2.8) £ C2 Từ giả thiết định lý suy giá trị riêng ma trận (u ) thuộc éêël , L ùúû, l , L > ij Theo Bổ đề 2.3.1, tồn vectơ đơn vị g , , g N cho với z , w Ỵ W ta có a (w ) (u i j (w) - u i j (z )) = ij N å ( b k (w ) Ỵ ) b k (w) u g g (w) - u g g (z ) , k= k k k k él *, L * ù l *, L * > Ta có êë ú û t race (A B T ) ³ n 1/ n 1/ n (det A ) (det B ) , với ma trận Hermit A, B Ỵ £ n´ n khơng âm tùy ý (Đây hệ bất đẳng thức hình học số học) Do 1- a (w)u i j (z ) ³ n (y (w)) ij n n (y (z )) Suy N å k= ( ) b k (w ) u g g (w ) - u g g (z ) £ C z - w , k k k k (2.9) D y 1/ n £ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn Cố định z Ỵ W ký hiệu B R = B (z 0, R ) với R < cho < 4R < dist (z 0, ¶ W) Đặt M k ,R = sup B u g g m k ,R = infB u g g R k k R k k Theo (2.8) bất đẳng thức Harnack yếu (xem [9, Định lý 8.18]), suy ( ) R - 2n ò M k ,4 R - u g g d l £ C (M k ,4 R - M k ,R + R ) k k (2.10) BR Lấy tổng (2.10) theo tất k ¹ k , k cố định, ta nhận R - 2n ò å M k ,4 R - u g g d l £ C w(4R ) - w(R ) + R , B R k ¹ k0 w(R ) = ( b k (w ) u g g k0 k0 å (w ) - u g ( N k= g k0 k0 k k (M k ,R ) ( ) (2.11) - m k ,R ) Do (2.9) với z Ỵ B 4R , w Ỵ B R , ta có ) (z ) £ C z - w + å k ¹ k0 ( b k (w ) u g g (z ) (z )- u g g (w ) k k k k ) £ C 5R + L * å M k ,4 R - u g g (w ) k ¹ k0 ( k k ) Như vậy, ug g k0 k0 (w ) - m k ,4R £ ổ ỗC R + L * M - u (w ) * ỗ k ,4 R g g L ỗố kạ k ( k k )ø÷÷÷, (2.11) cho ta ( R - 2n ị u g BR g k0 k0 ) ( ) (w ) - m k ,4R d l £ C w (4R ) - w (R ) + R Điều kết hợp với (2.10), suy w(R ) £ C (w(4R ) - w(R ) + R ); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ w(R ) £ dw(4R ) + R , d Ỵ (0,1) Bằng phương pháp sơ cấp (xem [9, Bổ đề 8.23]), với m Ỵ (0,1) tùy ý, ta có (1- m)(- ổR ữ w(R ) Ê ỗỗỗ ữ ữ d ốỗR ữ ứ log d)/ log w(R ) + R mR 01- m , 1- d < R < R < 1, dist (z 0, ¶ W) Bởi vậy, chọn  cho { (1 - m)(- } log d) / log £ m ta w(R ) £ CR a , a Î (0,1) C phụ thuộc vào dist (z 0, ¶ W) Vì g1, , g N chọn cho chúng chứa vectơ tọa độ, nên ta suy D u C a (W') £ C với a Ỵ (0,1) Kết luận định lý suy từ ước lượng Schauder Bây ta chứng minh tính quy địa phương toán tử MongeAmpère: 2.3.3 Định lý Giả sử u hàm C 1,1 - đa điều hòa cho Mu C ¥ Mu > Khi đó, u hàm lớp C ¥ Chứng minh Giả sử u xác định lân cận hình cầu Euclid B Khi tồn ti mt dóy f j ẻ C Ơ (ả B ) giảm dần tới u ¶ B cho D 2fj ¶B £ C1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.1.4 cho ta u j ẻ C Ơ (B ), u j đa điều hòa B cho Mu j = Mu , u j = f j ¶ B Theo nguyên lý so sánh u j giảm dần tới u B Từ Định lý 2.1.3 suy với B ¢Ð B có C cho D 2u j B' £ C2 Do đó, theo Định lý 2.3.2, vi B ÂÂé B  ta tỡm c a ẻ (0,1) C cho D 2u j C a (B '') £ C3 Từ suy u Ỵ C 2,a (B ¢¢), điều phải chứng minh 2.4 Tính quy nghiệm phƣơng trình Monge-Ampère phức miền lồi 2.4.1 Định lý Giả sử W miền lồi, bị chặn £ n Giả sử y hàm C ¥ W cho y > Dy 1/ n bị chặn Khi đó, tồn u (z ) = nghiệm C ¥ - đa điều hồ di u ca (2.1) W vi zlim đ ảW Như đề cập trên, Định lý 2.4.1 hệ trực tiếp Định lý sau: 2.4.2 Định lý Cho W miền lồi, bị chặn £ n Giả sử y hàm dương W cho y 1/ n Lipschitz W u nghiệm (duy nhất) (2.2) với f = Khi đó, với W¢Ð W tồn a Ỵ (0,1) cho u Ỵ C 2,a (W¢) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử W¢¢ miền lồi, bị chặn cho W¢Ð W¢¢Ð W Wj dãy miền lồi chặt, trơn cho W¢¢Ð Wj Ð Wj + Ð W ¥ UW j = W Khi j= đó, ta tìm C ¥ - hàm y j dương lân cận Wj cho lim y j - y jđ Ơ Wj = D y j1/ n Wj £ C1 Theo Định lý 2.1.4 tồn C ¥ - hàm u j Wj , đa điều hòa Wj với u j = ¶ Wj Mu j = y j Ta chứng minh dãy u j hội tụ địa phương tới u W Thật hai bất dẳng thức sau suy từ tính siêu cộng tính tốn tử Monge-Ampère phức từ nguyên lý so sánh: u(z ) + ( z - z - D ) y j - y 1/ n £ u j (z ), z Ỵ Wj , Wj u j (z ) + ( z - z - D ) y j - y 1/ n £ u(z ) + u Wj ¶ Wj , z Î Wj , đó, z điểm cố định W D = diam W Điều suy u - uj Wj £ u ¶ Wj + D2 y j - y 1/ n Wj vế phải bất đẳng thức hội tụ tới j đ Ơ (iu phi chng minh) Bây ta chứng minh dãy D u j bị chặn W'' Thật u < a < b < Với j đủ lớn, ta có: chọn a b cho max W¢¢ W¢¢Ð {u j < a }Ð {u < a }Ð {u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 j < b} Ð {u < b}Ð Wj http://www.lrc-tnu.edu.vn Áp dụng Định lý 2.2.2 cho miền lồi Wj , tồn C cho với j , Du j {u < b} £ C2 Áp dụng Định lý 2.1.6 cho miền {u j < b} hàm u j - b với e > , tồn C cho 2+ e D u j (b - u j ) £ C {u j < b} Do đó, Duj W'' £ C3 2+ e (b - a ) Vậy dãy D u j bị chặn W'' Bây giờ, từ Định lý 2.3.2, suy tồn a Ỵ (0,1) cho Du j C a 2,a u Ỵ C £ C (W¢) ; từ suy (W¢) Định lý 2.4.1 suy kết tương tự tính quy địa phương tốn tử Monge-Ampère thực: 2.4.3 Định lý Giả sử u hàm lồi xác định tập mở £ n cho đồ thị khơng chứa cung Giả sử Mu dương C ¥ Khi u hàm lớp C ¥ Chứng minh Ký hiệu W miền xác định u Cố định z Ỵ W Giả sử T hàm affine cho T £ u T (z ) = u (z ) Vì đồ thị u khơng chứa cung nên với e > , miền lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn {u - T + e < 0} compact tương đối W Bây giờ, ta áp dụng Định lý 2.4.1 cho miền Do tính tốn Dirichlet, ta kết luận hàm u phải trơn lân cận z 2.5 Tính quy nghiệm phƣơng trình Monge-Ampère phức đa đĩa Trong phần này, ký hiệu P đa đĩa đơn vị £ n , { } P = D n = z Ỵ £ n : z j < 1, j = 1, , n Chúng ta cần mệnh đề sau đây: 2.5.1 Mệnh đề Giả sử f hàm liên tục ¶ P Khi khẳng định sau tương đương: i ) f điều hoà đĩa nhúng ¶ P ; ii ) f thác triển liên tục đến hàm đa điều hoà P Chứng minh ii ) Þ i ) rõ ràng Để xét chiều ngược lại, ta định nghĩa u = sup {v : v Ỵ P SH (P ), v * £ f t rên ¶ P }, v quy hố v xác định P ; quy hóa * ký hiệu v * Theo kết [17], ta cần u * = u * = f ¶ P Theo lý thuyết vị cổ điển, ta tìm hàm điều hồ h P , liên tục P cho h = f ¶ P Vì u £ h vấn đề lại u * ³ f ¶ P Thật vậy: lấy e > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn w ẻ ả P Gi s w = (1, 0, , 0) Với z Ỵ P A dương, ta định nghĩa: v(z ) = f (1, z 2, , z n ) + A (Re z - 1) - e Khi đó, v liên tục P , đa điều hoà P với A đủ lớn buộc phải có v £ f ¶ P Bây ta tìm số dương r cho f (1, z 2, , z n ) - e £ f (z ) z - £ r z Ỵ ¶ P Do đó, cần lấy A khơng nhỏ sup f (1, z 2, , z n ) - f (z ) - e - Re z z ẻ ả P , z1 - ³ r Cuối cùng, u *(w ) ³ v(w ) ³ f (w ) - e Vậy u * ³ f ¶ P (điều phải chứng minh) Trong trường hợp song đĩa, Định lý 2.1.1 chứng minh [12] Tương tự [12], W= P , Định lý 2.1.1 giả thiết y bị chặn làm nhẹ Như giả thiết hàm y không âm, liên tục với y (z ) £ C (1 - b z1 ) K (1 - b zn ) z Ỵ P, , với số C dương b < Điều xuất từ nghiệm ( u (z ) = - - z e ) (1 - zn e ), < e £ / n , ( Mu (z ) = e - z n (n e- 2) ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 ( K - zn (n e- 2) ) ( 1- e z ) http://www.lrc-tnu.edu.vn Trước bắt đầu kết phần này, giải thích vài ký hiệu: Ta nói hàm C 1,1 P C 1,1 P đạo hàm cấp hai bị chặn Một hàm C 1,1 ¶ P , nghĩa liên tục ¶ P C 1,1 đa tạp thực (2n - 1) chiều R := n UD j- ´ ¶ D ´ D n- j j= đạo hàm cấp hai bị chặn ¡ 2.5.2 Định lý Cho P đa đĩa £ n Giả sử y C ¥ - hàm P cho y > D 2y 1/ n bị chặn Giả sử f C 1,1 - hàm biên ¶ P cho f điều hòa đĩa giải tích nhúng ¶ P Khi phương trình (2.1) có C ¥ - nghiệm đa điều hịa P cho lim u(z ) = f (z ) vi z ẻ ả P zđ z Để chứng minh Định lý 2.5.2, trình bày kết tương tự Định lý 2.1.3 đa đĩa 2.5.3 Định lý Giả sử y ³ cho y 1/ n Ỵ C 1,1 (P ) Giả sử f C 1,1 ¶ P điều hoà đĩa nhúng ¶ P Khi đó, nghiệm phương trình (2.1) C 1,1 P Chứng minh Phép chứng minh tương tự chứng minh [2, Mệnh đề 6.6] Giả sử D mở compact tương đối P Định nghĩa T a ,h(z ) = T (a, h, z ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 ổ ỗỗh1 + - a1 - a1h1 z hn + - a n - a n hn z n ữ ữ ữ ữ = ỗỗỗ , , ữ 2 ữ ỗỗ - a - a h + h z ÷ - a n - a n hn + hn z n ữ 1 1 ữ ỗố ứ ( ) ( ) Khi T C ¥ - trơn lân cận tập hợp ïíï ïü d ì (a, h, z ) : a Ỵ D, h £ , z Ỵ P ïý , d = dist (D, ả P ) ùợù ùỵ ï Hơn nữa, T a ,h tự đẳng cấu chỉnh hình P ánh xạ a tới a + h cho T a ,0 (z ) = z Với a Ỵ D, h < v (z ) = ( d , z Ỵ P , đặt ) ( u T a , h (z ) + u T a , - h (z ) )- ( 2 ) K1 h + K2 z - n Nếu K K đủ lớn, với a, h, z ta buộc cho v £ u Theo nguyên lý so sánh cần v £ u ¶ P Mv ³ Mu P Thật vậy, T a , h ánh xạ R lên R , nên dễ thấy lấy ¶2 K1 = f T (a, h, z ) , ¶ h2 {a Î D , h £ d / 2, z Î R } ( ) v £ u R Vì hai hàm liên tục, nên bất đẳng thức xảy ¶ P Từ Mệnh đề 2.1.5 suy 2/ n 2/ n æ 1/ n ữ ỗỗy T a , h (z ) T a¢, h (z ) + y 1/ n T a , - h (z ) T a¢, - h (z ) 2ữ ữ Mv ỗỗỗ + K2 h ữ , ữ ữ ỗỗ ữ ữ ỗố ứ n ( ) ( Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 ) http://www.lrc-tnu.edu.vn T ¢ Jacobian T Do đó, ta có Mv ³ Mu = y 2/ n ả2 ổ 1/ n ỗ  K2 = ữ ỗy T a , h (z ) T a , h (z ) ữ ữ ứ a ẻ D , h £ d / 2, z Ỵ P ả h ỗố { } ( ) Cui cùng, v £ u u (a ) ³ v (a ) ³ u (a + h ) + u (a - h ) 2 - (K + nK ) h , a Ỵ D, h < d Định lý suy từ Mệnh đề 2.1.7 Dễ thấy, từ cách chứng minh trên, tương tự Định lý 2.1.3 ta có ước lượng D 2u Định lý 2.5.3 Định lý 2.5.2 suy từ Định lý 2.5.3 Định lý 2.3.3 Giả thiết y > Định lý 2.5.2 cần thiết, ví dụ sau 2.5.4 Ví dụ 2 Giả sử P = D song đĩa đơn vị Hàm f (z , w ) = (R ez ) (Re w ) điều hịa dưới, tách; theo Mệnh đề 2.5.1 Định lý 2.1.1, hàm { } u = sup v : v Ỵ P SH (D )2, n* £ f t rên ¶ (D ) đa điều hòa D , liên tục D , u = f ¶ (D )và Mu = D Theo Định lý 2.5.3, u C 1,1 D Chú ý với z , w Ỵ £ tùy ý, ta có ( Re z Re w - - z Do đó, {z + w )(1 - w ) = z + w } = - zw ầ ả (D ) é S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 2 - - zw {Re z Re w = 0} Dễ kiểm tra http://www.lrc-tnu.edu.vn tập hợp {z + w } = - zw Ç D phân đĩa giải tích với biên { } ¶ (D ) u = z + w £ - zw ầ D Vi e ẻ (0,1), t ổ e ỗỗ z + w v e (z , w ) = ỗ ỗỗố e + - zw = e ÷ ÷ 1÷ ÷ ÷ ø ( Re z Re w - - z )( 1- w )- 2e (1 - Re (zw ))- e e + - zw 2 Khi đó, v e đa điều hòa D , liên tục D v e (z , w ) £ Re z Re w Vì vậy, ta có (max {0, v e } £ u ) v e £ u Với t Ỵ ( - 1,1), tính tốn sơ cấp ta ỉ ữ t ỗ 2/ 2/ e ỗ ( ) ữ ữ u (t , t ) sup ỗỗ - 1ữ = (2t ) - (1 - t ) , ÷ eẻ (0,1) ỗ ữ ữ ỗố(e + - t ) ø ( ) cận đạt e với (e + - t ) = (2t ) (1 - t ) Như với t Ỵ (0,1), ta có íï = ïï u (t , t )ì ïï ³ 2- (2t )2/ - (1 - t )2/ ïïỵ ( t £ 2- ) t ³ 2- Do u khơng phải C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hồ cực đại, số tính chất toán tử Monge-Ampère - Một số kết gần Z.Blocki tính quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền lồi Cụ thể là: + Chứng minh tồn C ¥ phương u ij = trình Monge-Ampère nghiệm đa điều hòa u det (u i j ) = y , (*) ¶ 2u , i, j = 1, , n C - hàm đa điều hịa trơn W ¶ zi¶ z j u (z ) = , W miền lồi, bị chặn £ n , y C Ơ - hm vi zlim đ ảW W cho y > Dy 1/ n bị chặn (Định lí 2.4.1) + Trong trường hợp đa đĩa, chứng minh tồn C ¥ - nghiệm đa điều hịa P phương trình (*) cho lim u(z ) = f (z ) với zđ z z ẻ ả P , ú P đa đĩa £ n , y C ¥ - hàm P cho y > D 2y 1/ n bị chặn f C 1,1 - hàm biên ¶ P cho f điều hòa đĩa giải tích nhúng ¶ P (Định lý 2.5.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh: Bedford E and Taylor B A (1976), The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation, Invent Math 37, 1- 44 Błocki Z (1995), On the Lp stability for the complex Monge-Ampère operator, Michigan Math J 42, 269-275 Błocki Z (1996), The complex Monge-Ampère operator in hyperconvex domains, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci (4) 23, 721-747 Błocki Z (2000), Interior regularity of the complex Monge-Ampere equation in convex domains, Duk Math J Vol 105, No1, 167-181 Caffarelli L., Kohn J J., Nirenberg L., and Spruck J (1985), The Dirichlet problem for non-linear second-order elliptic equations, II, Complex Monge-Ampère, and uniformly elliptic, equations, Comm Pure Appl Math 38, 209-252 Cheng S Y and Yau S T (1977), On the regularity of the MongeAmpère equation det((∂2 u/∂xi ∂xj )) = F (x ,u), Comm Pure Appl Math 33, 41- 68 Cheng S Y and Yau S T (1982), “The real Monge-Ampère equation and affine flat structures” in Biejing Symposiumon Differential Geometry and Differential Equations, Science Press, Beijing, 339-370 Gilbarg D and Trudinger N S (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,Grundlehren Math Wiss 244, Springer, Berlin Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York 11 Krylov N V (1994), On analogues of the simplest Monge-Ampère equation, C R Acad Sci Paris Sér IMath 318, 321-325 12 Levenberg N and Okada M (1993), On the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator, Michigan Math J 40, 507-526 13 Riebesehl D and Schulz F (1984), A priori estimates and a Liouville theorem for complex Monge-Ampère equations, Math Z 186, 57-66 14 Schulz F (1984), A C - estimate for solutions of complex MongeAmpère equations, J Reine Angew Math 348, 88-93 15 Schulz F (1986), Über nichtlineare, konkave elliptische Differentialgleichungen, Math Z 191, 429-448 16 Walsh J B (1968), Continuity of envelopes of plurisubharmonic functions, J Math Mech 18,143-148 17 Wang R and Jiang J (1985), Another approach to the Dirichlet problem for equations of MongeAmpère type, Northeastern Math J 1, 27- 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn