Về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ NA VỀ TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Na Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình GS Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K19 (2011- 2013) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Na Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Các kiến thức không gian Hilbert 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Một số tính chất quan trọng Toán tử đơn điệu đơn điệu cực đại 2.1 2.2 16 Định nghĩa tính chất 16 2.1.1 Tập lồi hàm lồi 16 2.1.2 Dưới vi phân 18 2.1.3 Ánh xạ đa trị 21 2.1.4 Toán tử đơn điệu 25 Tổng toán tử đơn điệu cực đại 34 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại 41 3.1 Giới thiệu toán trường hợp riêng quan trọng 41 3.2 Thuật toán hội tụ 43 3.2.1 Thuật toán điểm gần kề 43 3.2.2 Sự hội tụ 44 Kết luận chung 55 Tài liệu tham khảo 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F.E, Rockafellar R.T, Minty G.J Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, tốn tử đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ gradient gradient, chứng minh tồn nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Đề tài luận văn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert thực ứng dụng việc khảo sát toán bao hàm thức đơn điệu cực đại số tốn có liên quan Vì đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày ba chương Chương giới thiệu cách hệ thống lại định nghĩa, ví dụ số tính chất quan trọng khơng gian Hilbert thực Chương gồm hai phần Phần thứ nêu lên định nghĩa giới thiệu tính chất tốn tử đơn điệu Phần thứ hai trình bày tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Chương giới thiệu toán bao hàm thức đơn điệu cực đại hai trường hợp riêng quan trọng toán cực tiểu hàm lồi toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, cuối chương nêu thuật toán điểm gần kề khảo sát hội tụ tới nghiệm thuật toán việc giải toán bao hàm thức đơn điệu cực đại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức không gian Hilbert Các không gian Hilbert trường hợp riêng quan trọng khơng gian Banach (hay cịn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ với chuẩn kí hiệu ||.||, xem [2], [4]) khơng gian hữu ích, dễ thao tác áp dụng giải tích hàm tuyến tính vào lý thuyết kĩ thuật Trong chương ta nhắc lại số kiến thức sở không gian Hilbert trường số thực R Các kiến thức chương lấy từ tài liệu [2], [4], [7] 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian vectơ R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ h., i : H × H −→ R (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H; hλx, yi = λhx, yi, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R; hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H hx, xi = ⇔ x = Số hx, yi gọi tích vô hướng hai vectơ x, y H Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa suy hx, λyi = λhx, yi, hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hx, 0i = 0, với x, y, z ∈ H λ ∈ K Ví dụ 1.1 Với x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn , biểu thức hx, yi = n X xk yk k=1 xác định tích vô hướng Rn Định nghĩa 1.2 Cặp (H, h., i), H khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi (1.1) Chứng minh Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên Giả sử y 6= 0, với số λ ∈ R ta có hx + λy, x + λyi ≥ 0, tức hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ Chọn λ = − hx, yi ta hy, yi |hx, yi|2 hx, xi − ≥0 hy, yi ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi Định lý chứng minh Chú ý 1.1 Dấu bất đẳng thức Schwarz xảy x y phụ thuộc tuyến tính Mối quan hệ khái niệm chuẩn tích vơ hướng thể qua định lý sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2 (xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức q ||x|| = hx, xi, ∀x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Nhận xét 1.2 Với kí hiệu này, bất đẳng thức Schwarz viết lại thành |hx, yi| ≤ ||x||.||y|| (1.3) Như không gian tiền Hilbert xem không gian định chuẩn đầy đủ khơng đầy đủ Định nghĩa 1.3 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.2 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng hx, yi = n X xk yk k=1 x = (x1 , x2 , xn ), y = (y1 , y2 , yn ) ∈ Rn chuẩn cảm sinh ||x|| = hx, xi = n X xk xk = k=1 Ví dụ 1.3 Không gian ( l2 = x = {xn }n ∈ R : n X |xk |2 k=1 ∞ X ) |xn |2 < +∞ n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng ∞ X hx, yi = xn yn n=1 chuẩn cảm sinh v u∞ uX ||x|| = t |xn |2 n=1 với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.4 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng hx, yi = Zb x(t), y(t) ∈ C[a, b] x(t)y(t)dt, a Khi • Khơng gian C[a, b] với chuẩn ||x|| = max |x(t)| a≤t≤b không gian Banach nên C[a, b] khơng gian Hilbert • Nhưng khơng gian C[a, b] với chuẩn 1/2  b Z ||x|| =  |x(t)|2 dt a lại không gian Banach nên khơng phải khơng gian Hilbert 1.2 Một số tính chất quan trọng Định lý 1.3 Giả sử (xn )n , (yn )n hai dãy hội tụ đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian H n→∞ n→∞ Ta cần chứng minh lim hxn , yn i = hx0 , y0 i R n→∞ Thật vậy, ta có |hxn , yn i − hx0 , y0 i| = |hxn , yn i + hxn , y0 i − hxn , y0 i − hx0 , y0 i| ≤ |hxn , yn − y0 i| + |hxn − x0 , y0 i| ≤ ||xn ||.||yn − y0 || + ||xn − x0 ||.||y0 || Vì dãy (xn )n hội tụ H nên tồn M > cho ||xn | | ≤ M với n ∈ N Khi bất đẳng thức trở thành |hxn , yn i − hx0 , y0 i| ≤ M ||yn − y0 || + ||xn − x0 ||.||y0 || Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho n → ∞ suy lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ Định lý chứng minh Nhận xét 1.3 Định lý cho thấy tích vơ hướng hàm liên tục xác định H × H Định lý 1.4 Với x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta ln có đẳng thức hình bình hành sau ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) (1.4) Chứng minh Với x, y ∈ H, ta có ||x + y||2 = hx + y, x + yi = ||x||2 + ||y||2 + hx, yi + hy, xi, ||x − y||2 = hx − y, x − yi = ||x||2 + ||y||2 − hx, yi − hy, xi Cộng hai đẳng thức ta đẳng thức (1.4) Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y x − z ta có hệ sau Hệ 1.1 Giả sử H không gian tiền Hilbert x, y, z ∈ H Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius
y+z 2 ||x − y||2 + ||x − z||2 = 4||x − || + ||y − z||2 Nhận xét 1.4 Đẳng thức (1.4) nói lên tính chất hình học, tổng bình phương cạnh hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo Từ định lý ta thấy, muốn đưa tích vơ hướng vào khơng gian định chuẩn khơng gian phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành Ngược lại H khơng gian định chuẩn đẳng thức hình bình hành thỏa mãn với phần tử thuộc H H tồn tích vô hướng h., i cho chuẩn xác định nhờ tích vơ hướng Điều thể qua định lý sau Định lý 1.5 Giả sử (H, ||.||) không gian định chuẩn R đẳng thức hình bình hành nghiệm với x, y ∈ H, tức ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tìm z ∈ H cho f (z) = minx∈H f (x) gọi toán cực tiểu hàm lồi Thật Ta có ∈ T (z) ∈ ∂f (z), theo định nghĩa vi phân hàm lồi h0, u − zi ≤ f (u) − f (z), ⇔ f (z) ≤ f (u), ∀u ∈ H ∀u ∈ H Điều cho thấy việc tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại T = ∂f tương đương với việc tìm cực tiểu hàm lồi nửa liên tục f Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert H, T0 : C → H toán tử đơn điệu đơn trị bán liên tục NC (z) nón pháp tuyến C z ∈ C , đặt ( T (z) = T0 (z) + NC (z) z ∈ C ∅ z ∈ /C Khi T toán tử đơn điệu cực đại (xem [11]) tốn tìm khơng điểm tốn tử T quy tốn (VI) Tìm z ∈ C cho hT0 (z), u − zi ≥ 0, ∀u ∈ C gọi toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Thật Ta có ∈ T (z) ∈ T0 (z) + NC (z) tương đương với −T0 (z) ∈ NC (z) Theo định nghĩa nón pháp tuyến ngồi tập C z ∈ C ta có hT0 (z), u − zi ≥ Như tốn tìm z ∈ C cho ∈ T (z) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (VI) • Nếu C nón tốn trở thành tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tìm z ∈ C cho −T0 (z) ∈ C hT0 (z), zi = Điều z không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T z nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Như ta thay việc giải tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu việc tìm không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T 3.2 Thuật toán hội tụ 3.2.1 Thuật tốn điểm gần kề Trong chương này, trình bày thuật tốn điểm gần kề để tìm nghiệm toán ∈ T (z) trường hợp T toán tử đơn điệu cực đại Theo định lý Minty, với z ∈ H ck > 0, tồn u ∈ H cho z ∈ (I + ck T )(u) Khi đó, tốn tử Pk = (I + ck T )−1 đơn trị, xác định tồn H Pk tốn tử không giãn, tức ||Pk (z) − Pk (z )|| ≤ ||z − z || (3.1) Từ ta nhận thấy T ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại ánh xạ Pk đơn trị không giãn H Bây ta giả sử giả thiết định lý Minty thỏa mãn, z điểm bất động ánh xạ Pk , nghĩa z = Pk (z) = (I + ck T )−1 (z) z ∈ (I + ck T )(z) = z + ck T (z) hay ∈ ck T (z) Do z khơng điểm ánh xạ T Như thay tìm khơng điểm ánh xạ đa trị T ta tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Pk với ck > Pk gọi ánh xạ gần kề T Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại, thuật tốn điểm gần kề trình bày sau • Bước : Chọn dãy số dương {ck } ⊂ R thỏa mãn ck > c > (∀k = 1, 2, · · · ) điểm bắt đầu z ∈ H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn  • Bước k : Xây dựng dãy điểm z k ⊂ H cách : bước lặp thứ k ta tính z k+1 công thức z k+1 = Pk (z k ) = (I + ck T )−1 (z k ) (3.2) Chẳng hạn trường hợp T = ∂f ta có z k+1 = (I + ck ∂f )−1 (z k ) k (z − z k+1 ) ∈ ∂f (z k+1 ) ck Theo định nghĩa vi phân hàm lồi ta có h (z k − z k+1 ), z − z k+1 i ≤ f (z) − f (z k+1 ), ck k hz − z k+1 , z k+1 − zi, ck ⇔ f (z k+1 ) ≤ f (z) + ∀z ∈ H ∀z ∈ H Vì với z, z k , z k+1 ∈ H ta có 2hz k − z k+1 , z k+1 − zi = ||z k − z||2 − ||z k − z k+1 ||2 − ||z k+1 − z||2 nên f (z k+1 ) ≤ f (z) + (||z − z k ||2 ), 2ck ∀z ∈ H nghĩa z k+1 = arg φk (z) (3.3) z∈H với φk (z) = f (z) + 3.2.2 ||z − z k ||2 2ck (3.4) Sự hội tụ Martinet chứng minh hội tụ thuật toán điểm gần kề cho trường hợp ck = c • Nếu T có dạng ( T (z) = T0 (z) + NC (z) z ∈ C ∅ z ∈ /C C tập bị chặn (để đảm bảo cho hội tụ yếu), z k+1 = Pk (z k )  dãy điểm z k hội tụ yếu đến phần tử z ∞ cho ∈ T (z ∞ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn • Nếu T = ∂f tập mức M = {z ∈ H : f (z) ≤ α, α ∈ R} compact yếu, M tập bị chặn nên f (z k ) → f (z ∞ ) = minf Sự hội tụ mạnh thuật toán điểm gần kề với z k+1 = Pk (z k ) xảy ck bị chặn không dần tới (tức ck > c > 0, ∀k ) toán tử T đơn điệu mạnh (với hệ số α > 0), tức hz − z , w − w0 i ≥ α||z − z ||2 với w ∈ T (z), w0 ∈ T (z ), hay T = T − αI tốn tử đơn điệu Vì ánh xạ Pk0 = (I + c0k T )−1 khơng giãn, với c0k > lấy c0k = ck (1 + αck )−1 ta có Pk0 [(1 − αck (1 + αck )−1 )I + ck (1 + αck )−1 T ]−1 = [(1 + αck )−1 (I + ck T )]−1 hay Pk (z) = Pk0 ((1 + αck )−1 z), ∀z Khi tính chất không giãn Pk0 trở thành ||Pk (z) − Pk (z )|| ≤ (1 + αck )−1 ||z − z ||, ∀z, z ∈ H Trong trường hợp Pk có điểm bất động z ∞ thỏa mãn ∈ T (z ∞ ) Ta có ||z k+1 − z ∞ || = ||Pk (z k ) − Pk (z ∞ )|| ≤ (1 + αck )−1 ||z k − z ∞ ||, ∀k  ck ≥ c > với k đủ lớn dãy z k hội tụ mạnh tới nghiệm z ∞ toán theo tốc độ tuyến tính với hệ số (1 + αc)−1 < Nếu ck → ∞ hội tụ siêu tuyến tính, nghĩa ||z k+1 − z ∞ || = lim k→∞ ||z k − z ∞ || Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhưng giả thiết T toán tử đơn điệu mạnh loại trừ số ứng dụng quan trọng toán quy hoạch lồi, việc khảo sát hội tụ mạnh giả thiết yếu quan trọng Trong tính tốn điều khó thực thuật tốn việc tính xác điểm z k+1 = Pk (z k ) người ta thay biểu thức thể mối quan hệ lỏng để thuận lợi cho việc tính tốn Do người ta đưa hai tiêu chuẩn sau ||z k+1 k − Pk (z )|| ≤ εk , ∞ X εk < ∞, (A) k=0 ||z k+1 k − Pk (z )|| ≤ δk ||z k+1 ∞ X k − z ||, δk < ∞ (B) k=0 Nếu ||z k+1 − Pk (z k )|| ≤ ck dist(0, Sk (z k+1 )) với Sk (z) = T (z) + c−1 k (z − zk ) tính chất (A) (B) tương đương với tính chất sau dist(0, Sk (z dist(0, Sk (z k+1 k+1 εk )) ≤ , ck ∞ X (A0 ) εk < ∞, k=0 δk ) ≤ ||z k+1 − z k ||, ck ∞ X δk < ∞ (B ) k=0 Khi thuật tốn thay việc tính xác điểm z k+1 cách xấp xỉ với sai số εk mà thuật toán đảm bảo hội tụ • Bước : Chọn dãy số dương {ck } : ck > c > εk > với P k = 1, 2, · · · cho ∞ k=1 εk < +∞, lấy z ∈ H • Bước k (k = 0, · · · ) : Chọn điểm z k+1 thỏa mãn (A) (B) Cho H không gian Hilbert thực, T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại Pk , Qk ánh xạ xác định Pk = (I + ck T )−1 , Qk = I − Pk = (I + (ck T )−1 )−1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.5) Khi ∈ T (z) ⇔ Pk (z) = z ⇔ Qk (z) = (3.6) Để chứng minh định lý hội tụ việc tìm nghiệm toán bao hàm thức đơn điệu cực đại, sử dụng mệnh đề sau Mệnh đề 3.1 [10, Mệnh đề 1] Cho H không gian Hilbert thực ánh xạ Pk , Qk xác định trên, (a) z = Pk (z) + Qk (z) c−1 ∀z ∈ H k Qk (z) ∈ T (Pk (z)), (b) hPk (z) − Pk (z ), Qk (z) − Qk (z )i ≥ 0, ∀z, z ∈ H (c) ||Pk (z) − Pk (z )||2 + ||Qk (z) − Qk (z )||2 ≤ ||z − z ||2 , ∀z, z ∈ H Mệnh đề 3.2 [10, Mệnh đề 2] Giả sử với z˜ ∈ H ρ ≥ 0, ta có hz − z˜, wi ≥ 0, ∀z, w với w ∈ T (z), ||z − z˜|| ≥ ρ (3.7) Khi đó, tồn phần tử z thỏa mãn ∈ T (z)  Định lý 3.1 Cho z k dãy tạo thuật tốn điểm gần kề theo tiêu chuẩn (A) hay (A0 ) với {ck } dãy bị chặn không dần tới (tức  ck > c > 0, ∀k ) Giả sử z k bị chặn (điều tương đương với việc tồn nghiệm z để ∈ T (z))  Khi z k hội tụ yếu đến điểm z ∞ thỏa mãn ∈ T (z ∞ ) = lim ||Qk (z k )|| = lim ||z k+1 − z k || (3.8) k→∞ k→∞  Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh điều kiện đủ để z k bị chặn (Điều kiện cần suy từ phần cuối việc chứng minh định lý) Giả sử z¯ điểm thỏa mãn ∈ T (¯ z ), ta có ||z k+1 − z¯|| − εk ≤ ||Pk (z k ) − z¯|| = ||Pk (z k ) − Pk (¯ z )|| ≤ ||z k − z¯|| (3.9) suy l ||z − z¯|| ≤ ||z − z¯|| + l−1 X εk ≤ ||z − z¯|| + α, ∀l (3.10) k=0  z k bị chặn  Trong phần cịn lại chứng minh, ta giả sử z k dãy bị chặn thỏa mãn (A) Lấy s > cho ||z k || ≤ s εk < s, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 ∀k http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.11)  Khi z k có điểm tụ yếu z ∞ , ||z ∞ || ≤ s Mục tiêu chứng minh ∈ T (z ∞ ), trước tiên ta lý luận cho trường hợp T −1 (0) 6= ∅ Xét toán tử đa trị T định nghĩa T (z) = T (z) + ∂h(z), với ( h(z) = ∀z ∈ H ||z|| ≤ 2s +∞ ||z|| > 2s suy   {0}   ∂h(z) = {λz : λ ≥ 0}    ∅ ||z|| < 2s ||z|| = 2s ||z|| > 2s Nhận thấy ∂h toán tử đơn điệu cực đại h hàm lồi thường, nửa liên tục ∂h có miền hữu hiệu dom(∂h) = {z : ||z|| ≤ 2s} Hơn T (z) = T (z) ||z|| < 2s (3.12) Vì ||Pk (z k )|| < 2s, ∀k (theo (3.11) điều kiện (A)), theo Mệnh đề 3.1(a) k k k c−1 k (z − Pk (z )) ∈ T (Pk (z )) nên ta có Pk (z k ) ∈ domT ∩ intdom(∂h), ∀k, (3.13) Pk (z k ) ∈ (I + ck T )−1 (z k ), ∀k (3.14) Theo (3.13) ta thấy domT ∩ intdom(∂h) 6= ∅ T tổng toán tử đơn điệu cực đại T ∂h nên đơn điệu cực đại [11, Định lý 1] Vì Pk0 = (I + ck T )−1 đơn trị (3.14) tương đương với Pk (z k ) = Pk0 (z k )  với k đủ lớn nên z k coi dãy tạo thuật toán điểm gần kề T , ta có domT bị chặn nên (T )−1 (0) 6= ∅ (theo Mệnh đề 3.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì T (z ∞ ) = T (z ∞ ) (theo (3.12)) nên ta thay T T mà khơng làm tính tổng qt việc chứng minh ∈ T (z ∞ ) Do chắn tồn phần tử z¯ cho ∈ T (¯ z ) Áp dụng Mệnh đề 3.1(c) cho z = z k z = z¯ ta ||Pk (z k ) − z¯||2 + ||Qk (z k )||2 ≤ ||z k − z¯||2 , ∀k (3.15) Vì ||Qk (z k )||2 − ||z k − z¯||2 + ||z k+1 − z¯||2 ≤ ||z k+1 − z¯||2 − ||Pk (z k ) − z¯||2 = hz k+1 − Pk (z k ), (z k+1 − z¯) + (Pk (z k ) − z¯)i ≤ ||z k+1 − Pk (z k )||.(||z k+1 − z¯|| + ||z k − z¯||) nên ||Qk (z k )||2 ≤ ||z k − z¯||2 − ||z k+1 − z¯||2 + 2εk (s + ||¯ z ||) (3.16) Lại có ||z k+1 − z¯|| ≤ ||Pk (z k ) − z¯|| + εk ≤ ||z k − z¯|| + εk P∞ k=0 εk < ∞ tương đương với tồn giới hạn lim ||z k − z¯|| = µ < ∞ k→∞ (3.17) Lấy giới hạn hai vế (3.16) ta (3.8) ||Qk (z k )|| − ||(z k − z k+1 ) + (z k+1 − Pk (z k ))|| ≥ ||z k+1 − z k || − εk Điều có nghĩa k c−1 k Qk (z ) → (3.18) hội tụ mạnh với ck số dương khơng dần tới Theo Mệnh đề 3.1(a) Vì z ∞ k ≤ hz − Pk (z k ), w − c−1 k Qk (z )i,  điểm tụ yếu z k ∀k w ∈ T (z) (3.19) ||z k+1 − Pk (z k )|| →  nên điểm tụ yếu Pk (z k ) Khi (3.18) (3.19) trở thành ≤ hz − z ∞ , wi, ∀z, w thỏa mãn w ∈ T (z) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều cực đại T nên ∈ T (z ∞ ) Tiếp theo ta chứng minh tồn z ∞ Giả sử có hai điểm z1∞ 6= z2∞ cho ∈ T (zi∞ ) (∀i = 1, 2) Ta thấy, để zi∞ thỏa mãn (3.17) phải có tồn giới hạn lim ||z k − zi∞ || = µi < ∞, k→∞ ∀i = 1, (3.20) Ta có ||z k − z2∞ ||2 = ||z k − z1∞ ||2 + 2hz k − z1∞ , z1∞ − z2∞ i + ||z1∞ − z2∞ ||2 , thấy giới hạn hz k − z1∞ , z1∞ − z2∞ i phải tồn lim hz k − z1∞ , z1∞ − z2∞ i = µ22 − µ21 − ||z1∞ − z2∞ ||2 k→∞  Nhưng giới hạn khơng thể hội tụ tới z1∞ điểm tụ yếu z k , µ22 − µ21 = ||z1∞ − z2 ||2 > Đổi vai trò z1∞ z2∞ lý luận tương tự ta có µ21 − µ22 > 0, điều mâu thuẫn với tính chất z ∞ Định lý chứng minh Ta nói T −1 Lipschitz liên tục với hệ số α ≥ tồn z¯ để ∈ T (z) (tức T −1 (0) = {¯ z }) với r > ta có ||z − z¯|| ≤ α||w|| với z ∈ T −1 (w) ||w|| ≤ r (3.21)  Định lý 3.2 Cho z k dãy tạo thuật tốn điểm gần kề sử dụng  tính chất (B) hay (B’) với {ck } không giảm (ck → c∞ ≤ ∞) Giả sử z k bị chặn T −1 liên tục Lipschitz với hệ số α, đặt α µk = < (α + c2k )1/2  Khi dãy z k hội tụ mạnh đến z¯ z¯ phần tử để ∈ T (z) Hơn có số k¯ cho ||z k+1 − z¯|| ≤ θk ||z k − z¯||, ∀k ≥ k¯ (3.22) với µ k + δk ¯ ≥ 0, ∀k ≥ k, − δk (với µ∞ = c∞ = ∞) > θk ≡ θk → µ∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.23) (3.24)  Chứng minh Dãy z k bị chặn thỏa mãn tính chất (A) với εk = δk ||z k+1 − z k || Định lý 3.1 thỏa mãn Ta có ||Qk (z k )|| = ||z k − Pk (z k )|| ≤ ||z k − z k+1 || + ||z k+1 − Pk (z k )||, cho k −1 k+1 ||c−1 − z k ||, k Qk (z )|| ≤ ck (1 + δk )||z ∀k, với ||z k − z k+1 || → Chọn k˜ cho ∀k ≥ k˜ k+1 c−1 − z k || < r, k (1 + δk )||z (3.25) k ||c−1 k Qk (z )|| ≤ r, ˜ ∀k ≥ k Mặt khác theo Mệnh đề 3.1(a) ta có k Pk (z k ) ∈ T −1 (c−1 k Qk (z )) k k điều kiện Lipschitz (3.21)được thỏa mãn với w = c−1 k Qk (z ), z = Pk (z ) k đủ lớn, nghĩa k ||Pk (z k ) − z¯|| ≤ α||c−1 k Qk (z )||, ˜ ∀k ≥ k (3.26) Áp dụng mệnh đề 3.1(c) (3.6) z = z¯ z = z k ta ||¯ z − Pk (z k )||2 + ||Qk (z k )||2 ≤ ||¯ z − z k ||2 (3.26) trở thành ||Pk (z k ) − z¯||2 ≤ [( a α ) /(1 + ( )2 )].||z k − z¯||2 , ck ck hay ¯ ||Pk (z k ) − z¯|| ≤ µk ||z k − z¯||, k ≥ k Mặt khác ||z k+1 − z¯|| ≤ ||z k+1 − Pk (z k )|| + ||Pk (z k ) − z¯||, mà theo (B) ta có ||z k+1 − Pk (z k )|| ≤ δk ||z k+1 − z k || ≤ δk ||z k+1 − z¯|| + δk ||z k − z¯|| Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.27) kết hợp với (3.27) ta có ||z k+1 − z¯|| ≤ δk ||z k+1 − z¯|| + µk ||z k − z¯|| + δk ||z k − z¯||, ˜ với k ≥ k Từ suy bất đẳng thức (3.22) với k¯ ≥ k˜ (3.23) với > µk → µ∞ δk →  Định lý 3.3 Cho z k dãy tạo thuật tốn điểm gần kề theo tiêu chuẩn (A), (A0 ), (B) hay (B ) với {ck } bị chặn không dần tới Giả  sử z k bị chặn tồn z¯ cho ∈ intT (¯ z ) Khi z ∞ = z¯ = Pk (z k ), ∀k đủ lớn (3.28) Do theo (A), (A0 ) ta có ||z k − z¯|| ≤ εk , ∀k đủ lớn (3.29) theo (B), (B ) với ck → c∞ ≤ ∞ ta có (3.22) (3.25) với θk = δk → − δk Do trường hợp thuật tốn điểm gần kề với z k+1 = Pk (z k ) cho ta dãy hội tụ tới z¯ sau số hữu hạn bước lặp từ điểm bắt đầu z Chứng minh Trước tiên ta chứng minh T −1 đơn trị không đổi lân cận T −1 (w) = z¯ ||w|| < ε (3.30) Với ε > ta chọn ||w|| < ε cho w ∈ intT (¯ z ) Lấy z, w ∈ T (z) w0 với ||w|| < ε, tính chất đơn điệu T ta có ≤ hz − z¯, w − w0 i Vì suphz − z¯, w0 i ≤ hz − z¯, wi với w ∈ T (z), ||w0 || < ε cho ε||z − z¯|| ≤ ||z − z¯||.||w|| với w ∈ T (z) nên z 6= z¯ ta có ||w|| ≥ ε, ∀w ∈ T (z) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặt khác, ||w| < ε z ∈ T −1 (w) z = z¯, tức (3.30) chứng minh Gộp giả thiết Định lý Định lý 3.1 cho ta ||c−1 Qk (z k )|| → Định lý 3.1 Tuy nhiên theo Mệnh đề 3.1(a) ta có k Pk (z k ) ∈ T −1 (c−1 k Qk (z )) (3.30) kéo theo (3.28) điều Định lý 3.3 thỏa mãn, điều kiện Lipschitz Định lý 3.2 α = Định lý chứng minh Sau ta trình bày hội tụ trường hợp toán cực tiểu hàm lồi Cho f : H → (−∞, +∞] hàm lồi nửa liên tục khơng đồng +∞, hàm đa trị T = ∂f toán tử đơn điệu cực đại, với w ∈ ∂f (z) ⇔ f (z ) ≥ f (z) + hz − z, wi, ∀z ⇔ z ∈ argmin(f − h., wi) (3.31) ∈ ∂f (z) ⇔ z ∈ argminf Thuật toán điểm gần kề với T = ∂f phương pháp tìm cực tiểu hàm f Ta biết φ : H → (−∞, +∞] gọi lồi mạnh với hệ số α > với φ((1 − λ)z + λz ) ≤ (1 − λ)φ(z) + λφ(z ) − αλ(1 − λ)||z − z ||2 , ∀z, z , < λ < (3.32) Định lý 3.4 Cho T = ∂f , tính chất (A0 ) (B ) ta có Sk = ∂φk , với φk định nghĩa (3.4) φk nửa liên tục dưới, lồi mạnh với hệ số 1/ck  Hơn nữa, z k dãy tạo thuật tốn điểm gần kề giả thiết Định lý 3.1 theo tiêu chuẩn (A0 ) z k hội tụ yếu đến z ∞ thỏa mãn f (z ∞ ) = minf k+1 f (z k+1 ) − f (z ∞ ) ≤ c−1 − z ∞ ||(εk + ||z k+1 − z k ||) → k ||z (3.33) Chứng minh Vì φ tổng hàm lồi hàm lồi mạnh nên φ hàm lồi mạnh Lấy vi phân hai vế (3.4) ta k ∂φk (z) = ∂f (z) + c−1 k (z − z ) ≡ Sk (z), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 ∀z http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.34) Để chứng minh (3.33) ta kí hiệu wk phần tử ∂φk (z k+1 ) gần gốc tọa độ (ln có tồn ∂φk (z k+1 ) tập lồi, đóng khác rỗng) Khi k+1 wk − c−1 − z k ) ∈ T (z k+1 ) = ∂f (z k+1 ) k (z với ||wk || ≤ εk →0 ck (3.35)  Đặt z ∞ giới hạn yếu z k , ∈ ∂f (z ∞ ) ta có k+1 f (z k+1 ) + hz ∞ − z k+1 , wk − c−1 − z k )i ≤ f (z ∞ ) = minf k (z cho k+1 f (z k+1 ) − f (z ∞ ) ≤ ||z k+1 − z ∞ ||(||wk || + c−1 − z k ||) k ||z Kết hợp (3.35) (3.8) ta (3.33) Kết luận chương Chương giới thiệu toán bao hàm thức đơn điệu cực đại hai toán liên quan quan trọng toán cực tiểu hàm lồi toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, đồng thời trình bày thuật tốn hội tụ tới nghiệm phương pháp điểm gần kề việc giải tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert thực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận chung Những vấn đề luận văn • Nhắc lại số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert trường số thực tích vơ hướng, trực giao, trực chuẩn, , đồng thời trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân khái niệm ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz theo khoảng cách Hausdorff số ví dụ minh họa • Phần trọng tâm luận văn trình bày kiến thức tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert thực, ứng dụng việc xây dựng thật tốn điểm gần kề để tìm nghiệm tốn bao hàm thức đơn điệu cực đại hai toán liên quan toán cực tiểu hàm lồi toán bất đẳng thức biến phân Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, thời gian khả hạn chế nên có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo người quan tâm để luận văn hồn thiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu (2003), Nhập môn Giải tích lồi Ứng dụng, Viện Tốn học, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, Nguyễn Đức Lạng (2010), Giáo trình Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nxb Khoa học tự nhiên Công nghệ Tài liệu Tiếng Anh [6] Browder F E (1965), "Multivalued Monotone Nonlinear Mappings and Duality Mappings in Banach Spaces", Trans Amer Math Soc 118, pp 338- 351 [7] Heinz H Bauschke and Patrick L Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [8] Minty G J (1962), "Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert Space", Duke Math J 29, pp 341-346 [9] Rockafellar R T (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton [10] Rockafellar R T (1976), "Monotone Operators and the Proximal Point Algorithm", SIAM J Control and Optimization 14, pp 877- 898 [11] Rockafellar R T (1970), "On the Maximality of Sums of Nonlinear Monotone Operators", Trans Amer Math Soc 149, pp 75- 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn