Giả thuyết giá trị trung bình smale và động học phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGA GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGA GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Cô giáo trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Thầy Cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn ứng dụng cho tơi kiến thức tốn học Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người hướng dẫn nghiêm túc chuyên môn suốt thời gian qua để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, bạn bè người thân động viên khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Nga ii MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương ĐỘNG HỌC PHỨC VÀ THUẬT TOÁN NEWTON 1.1 Một số khái niệm giải tích phức 1.1.1 Số phức 1.1.2 Dãy số phức 1.1.3 Hàm phức 1.1.4 Đa thức phức 1.1.5 Hàm phân thức phức 1.1.3 Liên hợp phức 1.2 Động học phức 11 1.2.1 Dẫn tới khái niệm tập Fatou tập Julia 11 1.2.2 Tập Fatou tập Julia 15 1.2.3 Một số ví dụ tập Fatou tập Julia 16 1.2.4 Định lí cánh hoa 22 1.3 Thuật toán Newton cho đa thức phức 23 1.3.1 Phương pháp lặp Newton 23 1.3.2 Tính hội tụ phương pháp Newton 25 Chương GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC 29 2.1 Giả thuyết giá trị trung bình Smale 29 2.2 Động học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale 33 2.3 Trường hợp đa thức bậc hai 35 2.4 Trường hợp đa thức bậc ba 36 2.5 Phát triển giả thuyết Smale 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….44 LỜI MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu độ phức tạp tính tốn tính hiệu thuật tốn Newton giải phương trình đa thức phức, Smale chứng minh bất đẳng thức, sau gọi bất đẳng thức Smale Từ bất đẳng thức này, Ông đưa giả thuyết, sau gọi giả thuyết giá trị trung bình Smale Từ giả thuyết giá trị trung bình Smale (ngắn gọn: Giả thuyết Smale), nhiều vấn đề giả thuyết nảy sinh: Chứng minh mở rộng Giả thuyết Smale, Quan hệ Giả thuyết Smale với động học phức, Quan hệ Giả thuyết Smale với vấn đề tốn học tính tốn,… Động học phức (complex dynamics) nghiên cứu dáng điệu đặc biệt tính hội tụ dãy giá trị hàm phức f ( z ) xuất phát từ điểm ban đầu z0 qua phép lặp f k 1 ( z0 )  f ( f k ( z0 )) Dãy điểm  f k ( z0 ) gọi quĩ đạo hàm f xuất phát từ điểm ban đầu z0 Xuất phát từ giá trị ban đầu z0 , ánh xạ Newton N P ( z )  z  P( z ) với P( z ) P( z ) đa thức, cho dãy giá trị  N Pk ( z0 ) , N Pk 1 ( z0 )  N  N Pk ( z0 )  Như vậy, dãy giá trị  N Pk ( z0 ) tạo thành quĩ đạo xuất phát từ z0 Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Xuất phát từ điểm z0 thuật tốn Newton hội tụ? Như vậy, ta thấy động học phức liên quan chặt chẽ với thuật tốn Newton giúp soi sáng giả thuyết giá trị trung bình Smale Nghiên cứu mối quan hệ động học phức với thuật toán Newton giả thuyết Smale vấn đề thời thú vị toán lý thuyết, giải tích số tốn ứng dụng Luận văn Giả thuyết giá trị trung bình Smale động học phức trình bày mối quan hệ động học phức với hội tụ thuật toán Newton giả thuyết giá trị trung bình Smale, dựa theo sách [4] báo [6], [7] Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức giải tích phức (đa thức phức, ánh xạ phân thức ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ Mobius hàm liên hợp,…) Nghiên cứu động lực học mặt phẳng phức (tập Fatou tập Julia), trình bày Thuật tốn Newton cho đa thức, Phương pháp lặp Newton, tính hội tụ phương pháp Newton Chương 2: Trình bày giả thuyết giá trị trung bình Smale, mối quan hệ động lực học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale phát triển giả thuyết Smale Chương ĐỘNG HỌC PHỨC VÀ THUẬT TOÁN NEWTON 1.1 Một số khái niệm giải tích phức 1.1.1 Số phức Kí hiệu 1  i gọi đơn vị ảo Số phức số dạng z  x  iy, x y hai số thực Tập tất số phức kí hiệu Số z  x  y gọi môđun số phức z  x  iy Mặt phẳng phức Mỗi số phức z  x  iy cho tương ứng với điểm M có tọa độ  x, y  mặt phẳng Eclid hai chiều môđun số phức z độ dài vectơ OM , tức z  x  y  OM Ngược lại, điểm M  x, y  mặt phẳng Eclid hai chiều tương ứng với số phức z  x  iy Do ta có tương ứng một-một tập hợp số phức với mặt phẳng Eclid hai chiều Mặt phẳng gọi mặt phẳng phức Mặt cầu Riemann Ðể hiểu rõ chất điểm vô mặt phẳng phức, sử dụng nghiên cứu dáng điệu hàm số vô cùng, Riemann biểu diễn tập hợp số phức theo cách sau Định nghĩa 1.1.1 Mặt cầu Riemann S mặt cầu không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes vng góc 0xy có tâm điểm I (0,0, ), bán kính r  phương trình     2 2 1    , hay          2  2 Kí hiệu N  0,0,1 điểm cực bắc mặt cầu, z1  S điểm khác N mặt cầu Đường thẳng Nz1 cắt mặt phẳng 0xy z Ngược lại, lấy z  xy, nối Nz cắt S z1 Như vậy, ta có tương ứng một-một mặt cầu Riemann mặt phẳng phức Phép tương ứng gọi phép chiếu z1 đuợc gọi điểm Riemann số phức z Khi z1 dần đến điểm cực bắc N , tia Nz1 tiến dần tới tia song song với mặt phẳng xy Do đó, ta xem điểm N  S ứng với điểm z   mặt cầu Riemann tương ứng với mặt phẳng phức mở rộng gồm tất điểm mặt phẳng phức bổ sung thêm điểm z   Trên ta thiết lập tương ứng điểm mặt cầu S với mặt phẳng phức thơng qua hình học Ta thiết lập tương ứng chúng hệ thức đại số Theo giả thiết ba điểm N (0,0,1), z1 ( , ,  ) z ( x, y,0) thẳng hàng Do đó, ta có biểu thức:  x   y   1 1 Suy x  , y  1  1  Vậy z  x  iy    i 1  Mặt khác, z1 ( , , ) nằm mặt cầu S nên        Từ suy       z x y    2 (1   ) (1   )   2 Vậy ta  x 1 z ,  y 1 z ,  z 1 z Công thức cho thấy tương ứng một-một tập hợp số phức tập hợp điểm mặt cầu S , điểm N tương ứng với điểm z   mặt phẳng phức mở rộng 1.1.2 Dãy số phức Định nghĩa 1.1.2 Dãy số  zn  gọi hội tụ đến điểm z  với   tồn số tự nhiên N cho zn  z   với n mà n  N Nếu  zn  hội tụ đến z ta viết: z  lim zn hay zn  z0 n 1.1.3 Hàm phức Một ánh xạ f :  cho tương ứng số phức giá trị phức gọi hàm số biến số phức, hay hàm phức Định nghĩa 1.1.3 Điểm   gọi nghiệm (hoặc không điểm) hàm f ( z ) f ( )  Điểm z  gọi điểm bất động ánh xạ f ta có f ( z )  z Nhận xét điểm bất động hàm f nghiệm phương trình F ( z)  f ( z )  z  Giả sử D,U ,V tập mặt phẳng phức Hai hàm f : D  U , g : U  V cho trước Hàm hợp hai hàm hàm  : D  V định công thức sau  ( z )   f g  z   f  g ( z )  Đơi ta viết   fg Nói chung fg  gf xác Giả sử D tập mở tập số phức Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f : D  gọi có giới hạn M z tiến tới điểm z0  D với dãy zn  z0 ta có dãy f  zn   M Định nghĩa tương đương với: Hàm số f : D  gọi có giới hạn M z tiến tới điểm z0  D với   tồn số   cho f ( z )  M   với z  D mà z  z0   Khi hàm số có giới hạn M , ta viết lim f ( z )  M z  z0 Định nghĩa 1.1.5 Hàm số f : D  gọi liên tục điểm x0  D với   tồn số   cho f ( z )  f ( z0 )   với z  D mà z  z0   Nếu f liên tục điểm D f gọi liên tục D Định nghĩa 1.1.6 Hàm số f : D  tồn ánh xạ tuyến tính  : lim z  z0  gọi khả vi phức điểm z0  D cho f ( z0  z )  f ( z0 )   ( z )  z Định nghĩa tương đương với: Nếu lim z  z0 hàm số f : D  f ( z0  z )  f ( z0 ) tồn ta nói z gọi khả vi (có đạo hàm) điểm z0  D Kí hiệu đạo hàm hàm số f : D  f ( z0 )  lim z  z0 Định nghĩa 1.1.7 Điểm   điểm z0  D f ( z0 ) Ta có f ( z0  z )  f ( z ) z gọi điểm tới hạn f ( z ) f ( )  Giá trị   f ( ) với ξ điểm tới hạn f , gọi giá trị tới hạn f Trong nhiều trường hợp, hàm khả vi điểm z0  D chưa đủ để nghiên cứu tính chất hàm phức Vì ta cần định nghĩa sau 31 P( z )  dz d 1   Chọn z  0, ta có P(0)  0, P(0)   P(0)  P( z j )  z dj   z j z dj 1     (0  z j ) P(0)  z j  Vì z j nghiệm P( z )  dz d 1    nên thay   dz dj 1 vào công thức ta z dj 1   z dj 1  dz dj 1 d  P( z )  P( zi )    ( z  z j ) P( z )  dz dj 1 d Do để bất đẳng thức với z  K (d )  đa thức P( z ) bậc d d 1 d Dấu đạt z  cho đa thức P( z )  z d   z nên K ( p)  d 1 d cận tốt Nhận xét 2.2.2 Bằng phép biến đổi tuyến tính, khơng hạn chế tổng quát, ta cần chứng minh bất đẳng thức cho đa thức P( z ) với P(0)  0, P(0)  (hoặc chí P(0)  ) chọn z  Thật vậy, với  i  mà P( i )  0, đặt Q( z )    \ 0 Khi ta có Q(0)  Q( z )  P   z   i   P( i ) với  P( i ) P  i   P( i )   P( i )  P   z   i  P   z   i    P( i ) P( i ) Suy Q(0)  Đa thức P( z ) với tính chất P(0)  0, P(0)  gọi đa thức chuẩn hóa Như vậy, giả thuyết Smale phát biểu lại sau 32 Giả thuyết 2.1a Cho P( z ) đa thức bậc d  thỏa mãn P(0)  P(0)  Khi tồn điểm tới hạn  P( z ) để K (d )  chí K (d )  P( )  K (d ),  P(0) d 1 d Với Nhận xét 2.2.2, ta phát biểu lại Giả thuyết 2.1 dạng sau Giả thuyết 2.1b (Giả thuyết Smale cho đa thức chuẩn hóa–the normalized conjecture) Giả sử P  z  đa thức bậc d  thỏa mãn P    P    Khi tồn điểm tới hạn  P( z ) cho P     K (d ) Giả thuyết 2.1 chứng minh cho d  2, 3, Marinov Sendov (2007, [8]) minh họa Giả thuyết 2.1 tính tốn cho lượng lớn ví dụ với đa thức có bậc d  10 Với d  2, đa thức P  z   a0 z  a1z  a2 ( a0  ) thỏa mãn điều kiện P    P    có dạng P  z   a0 z  z Đạo hàm P  z   2a0 z  có điểm tới hạn    P     Do ta có 2a0 a0     a0   a0 ( 1 d 1 ) 1  2a0 d Vậy Giả thuyết Smale trở thành đẳng thức cho đa thức bậc hai với K (2)  Trường hợp d  chứng minh khơng q khó khăn, trường hợp d  chứng minh J.-C Sikorav cải tiến Tischler (1989, [14]) sau nhiều tác giả khác chứng minh theo nhiều cách khác Cran [5] khẳng định chứng minh Giả thuyết Smale trường hợp n  Tuy nhiên, [5] Preprint mà chưa đăng tạp chí 33 Như vậy, nói, nay, Giả thuyết Smale chứng minh chặt chẽ cho trường hợp d  2,3,4 cho số lớp đa thức thỏa mãn số tính chất đó, thí dụ, đa thức có nghiệm thực, hay đa thức với hệ số thực,… Vì Giả thuyết Smale chưa chứng minh, nên cố gắng tự nhiên tìm đánh giá tốt K  (được S Smale chứng minh năm 1981 [11] Định lí 2.1 phát biểu trên) E Crane chứng minh tất đa thức từ bậc trở lên ta có K (d )   2, 263 , d K (d )  sup{S ( P, x) : deg( P)  d , P( x)  0}, S ( P, x)  p ( )  P( )  P( x) (  x) P( x) Đối với ≤ d ≤ 7, Schmeisser chứng minh: 2d  (d  1) K (d )  d (d  1) N ă m 2003, Ng, T W [15] chứng minh đánh giá Smale giảm cịn tất đa thức phi tuyến lẻ với số hạng tuyến tính khác Có nhiều nghiên cứu Giả thuyết giá trị trung bình Smale lớp đa thức đặc biệt Cũng có nhiều cố gắng làm giảm đánh giá hệ số K (d ) vừa nêu Tổng quan trường hợp Giả thuyết Smale đánh giá số K (d ) tài liệu tham khảo Giả thuyết Smale xem [1] 2.2 Động học phức giả thuyết giá trị trung bình Smale Dựa theo [6] [7], Mục mối quan hệ giả thuyết giá trị trung bình Smale động học phức Ta thấy rằng, giả thuyết Smale khơng nói 34 điểm tới hạn điểm thỏa mãn đánh giá bất đẳng thức Smale, mà nói tồn điểm Mặt khác, động học phức nói rằng, với đa thức P( z )  z  a2 z   an z n tồn điểm tới hạn tiến tới gốc tọa độ sau số phép lặp Hơn nữa, ta chứng minh rằng, tính đắn giả thuyết Smale bảo toàn phép biến đổi liên hợp Như vậy, hi vọng từ ta có mối quan hệ động học phức giả thuyết Smale Ta có định lí quan trọng sau Định lí 2.2.1 (xem [7]) Với đa thức bậc ba dạng P( z )  z  a2 z  a3 z , tồn điểm tới hạn thỏa mãn cận giả thuyết giá trị trung bình Smale hội tụ gốc Trước tiên chứng minh Bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Nếu P( z )  z  a2 z   an z n thỏa mãn Giả thuyết giá trị trung bình Smale Q   P  1 với  ( z )   z (α khác 0), Q thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale Chứng minh Giả sử c điểm tới hạn P( z ) v t h ỏ a mã n g i ả t h u yế t S m a l e , t ứ c l P (c )  Từ Q   P  1 ta có Q    P hay c P( z ) Q( z ) liên hợp phép biến đổi  ( z )   z điểm x   c điểm tới hạn Q (xem chứng minh Ví dụ 1.2 Chương 1) Vì Q   Q  1 nên ta thấy rằng: Q( x) Q( c)   x ( c)  ( P( c ))   P(c)  c c Vì vậy, P( z ) thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale Q   P  1 với  ( z )   z với   0, Q( z ) thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale 35 Mệnh đề 2.2.1 Tồn điểm tới hạn c cho quỹ đạo c hội tụ gốc Áp dụng kiến thức giải tích phức động học phức, ta trình bày chứng minh tính đắn giả thuyết Smale trường hợp đa thức bậc hai bậc ba 2.3 Trường hợp đa thức bậc hai Định lý 2.3.1 Mỗi đa thức bậc hai P( z )  z  a0 z c ó ch ín h xá c m ột ểm t ới h ạn Điểm thỏa mãn cận giả thuyết giá trị trung bình Smale hội tụ gốc Chứng minh Đa thức P( z )  z  a0 z đa thức bậc hai chuẩn hóa, tức P(0)  P(0)  Tuy nhiên, để đơn giản hóa cách tối đa, ta sử dụng dạng đơn giản Q( z )  z  z cách đưa đa thức liên hợp với đa thức P( z )  z  a2 z nhờ phép biến đổi  ( z )   z Ta có:   P( z )    ( z  a2 z )   z   a2 z Mặt khác, Q  ( z )   Q  z    z   z  Từ đẳng thức  P  Q     P( z )   Q  ( z )  ta suy  z  a2 z   z   z  z  a2 z  z   z    a2 Như vậy, theo Bổ đề 2.2.1, cần xét đa thức P( z )  z  z Đầu tiên, ta tìm điểm tới hạn đa thức này: P( z )   z   z  Liên hệ với giả thuyết giá trị trung bình Smale, ta nhận thấy rằng: 36 1   P( )      1 2 Chứng tỏ tất đa thức bậc hai dạng P( z )  z  z thỏa mãn Giả thuyết giá trị trung bình Smale Vì có điểm tới hạn nên điểm phải hội tụ gốc Do đó, điểm tới hạn vừa thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale vừa hội tụ gốc Ta thấy quĩ đạo P n ( z0 ) giảm dần hội tụ gốc: 1 z0  , z1  P( z0 )  z0  z02  z0 1  z0   , 1 P ( z )  P( P( z ))  P( )    , 4 16 16 2.4 Trường hợp đa thức bậc ba Trong mục này, ta chứng minh định lý (Định lý 2.2.1).Ta tiến hành chứng minh hai cách: gián tiếp trực tiếp Đa thức bậc ba P( z )  z  a1z  a0 z đa thức chuẩn hóa Tuy nhiên, ta muốn có dạng đa thức bậc ba nhận phép biến đổi liên hợp  ( z )   z có dạng đơn giản P( z )  ( ) Ta có  P( z )    z  a2 z  a3 z    z   a2 z   a3 z Mặt khác, 1 1 Q  ( z )  Q  z    z   b    z    z  2 b Từ lược đồ 37 z  a2 z  a3 z z   1 z  (b  ) z  z b z suy 1 1  P( z )  Q  ( z )   z   a2 z   a3 z   z   b    z    z  2 b Suy 2  1 3 hay   3a3 b xác định từ  a2    b   ;  a3   b phương trình bậc hai b2  a2  b   Để tồn  a3  Trong trường hợp a3  ta tìm đa thức dạng P( z )  ( ) Như vậy, tồn α để hai đa thức liên hợp qua phép biển đổi  ( z)   z Do ta chứng minh định lí cho đa thức bậc ba dạng 1 Pc ( z )  z  (c  ) z  z c Ta có:  z1.z2  1 1  P( z )   (c  ).2 z  3z     z1  c, z2  c c  z1  z2  c  c Hai điểm tới hạn dễ nghiên cứu Pc ( z )  P1 ( z ) Có nghĩa xem xét c điểm tới hạn, ta biết điểm cịn lại Ví dụ, ta với điểm tới hạn mà ta có Pc (c1 (c))    P1 (c1 (c))    P1 (c2 ( ))  , c c c đó: z1  c, z1  c1, z2  c2 38 Ta nhận thấy z2  , nghiên cứu quĩ đạo xuất phát từ z1  c, ta c thu điều tương tự điểm tới hạn Vì vậy, ta xem xét xảy với c1 để biết xảy với c2 Nghĩa ta cần xem xét vùng c1 c2 thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale Ta có 1 3c  c3 P (c (c))  c Pc (c1 (c))  c  (c  )c  c   c  1 c c   c  1 1 1 3c  Pc (c2 ( ))   (  c)    c c c c 3c 6c  3 Pc (c2 (c )) c 3c   1 6c  c2 1 1 Pc( z )   z (c  )  3z   (c  ) z  z  c c  c   z1  c, z2   6   c      c  c c    Ta nhận đồ thị Hình 2.4.1 Hình rằng, phần diện tích nhỏ có c1 thỏa mãn SMVC, miền đậm miền hai điểm tới hạn thỏa mãn SMVC, diện tích bên 39 ngồi đường cong lớn miền, mà có c2 thỏa mãn SMVC Kết hợp lại, miền phủ toàn mặt phẳng phức Nghĩa c mặt phẳng tham số thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale Bây ta xem xét miền mà từ quĩ đạo hội tụ đến vô Với c1  c, Bổ đề sau miền mà từ quĩ đạo hội tụ đến vô c3 Bổ đề 2.4.1 (xem [7]) Xét   Pc ( z )  z 30 Nếu c   z  P n ( z )   Điều có nghĩa tất giá trị c  30 , c1 hội tụ vô Dựa vào giải thích trên, ta thấy c2 hội tụ vơ vịng tròn c  3 30 ảnh miền c  30 qua ánh xạ mặt 4 c phẳng tham số Như ta thu hai miền mà từ c1 c2 hội tụ vô Theo Mệnh đề 2.2.1, miền mà c1 hội tụ vơ c2  hội tụ c1 tác động phép lặp Hoàn toàn tương tự, miền mà c2 hội tụ vơ cùng, c1 phải hội tụ gốc thực phép lặp Do đó, đa thức bậc ba có điểm tới hạn thỏa mãn cận giá trị trung bình Smale hội tụ gốc Hai hình trịn kết hợp với Hình 2.3.1 tạo năm miền phân biệt (Hình 2.3.2) Bảng dáng điệu quĩ đạo (dãy lặp miền): Miền a c1 SMVC thỏa không SMVC 0 thỏa không c2 Miền b 0 c1 thỏa ? c2 Miền c không SMVC ? 0 c1 c2 thỏa thỏa ? ? 40 Miền d c1 c2 Miền e c1 c2 SMVC không thỏa SMVC không thỏa ? ? 0 không thỏa 0 Như vậy, hai miền a e cho câu trả lời đầy đủ Trong hai miền có cột có câu trả lời “thỏa” Mệnh đề 2.2.1 khơng cho câu trả lời cho miền c Trong miền hai c1 c2 thỏa mãn SMVC ta biết hai điểm tới hạn hội tụ tới thực phép lặp, ta có cột có câu trả lời “thỏa” Hai miền lại mà ta phải quan tâm miền b miền d Bởi điểm tới hạn có chung ánh xạ, nên ta cần nghiên cứu miền chứa điểm d, từ suy miền chứa điểm b Để hiểu rõ miền d, ta cần xét hình vành khăn bao miền d, 1,75  c  4,11 Áp dụng Định lí cánh hoa (Định lí trang) cho hình vành khăn này, sử dụng lập luận bổ đề [7], ta đến kết luận sau 41 Miền d c1 c2 Miền b c1 c2 SMVC không thỏa SMVC thỏa không 0 không thỏa 0 thỏa Không Như vậy, c1 hội tụ tới miền b c2 hội tụ tới miền d Vì c1  c2 nên c2 hội tụ tới  miền b c1 hội tụ tới  miền d Cuối cùng, ta đến kết luận là, với đa thức bậc ba, tồn điểm tới hạn thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale hội tụ gốc tọa độ Giả thuyết giá trị trung bình Smale chứng minh với kết luận mạnh hơn: Tồn điểm tới hạn thỏa mãn giả thuyết Smale hội tụ gốc 2.5 Phát triển giả thuyết Smale Chứng minh giả thuyết giá trị trung bình Smale Mục dẫn đến giả thuyết sau đây, mạnh Giả thuyết Smale Giả thuyết 2.3 (Miles-Leighton Pilgrim, [7]) Cho P  z   z  a2 z   ad z d đa thức bậc d Khi tồn điểm tới hạn  P cho P     nữa, hội tụ gốc phép lặp P, tức lim P n    0, n P n    P  P n1    Định lí 2.5.1 (Miles-Leighton Pilgrim, [7]) Giả thuyết 2.3 với d  2,3 Trong [7] phát biểu phiên khác, tinh tế hơn, Giả thuyết 1, sử dụng định lí cánh hoa Parabol (Parabolic Flower Theorem), mơ tả động học P( z ) gần không điểm Theo ngôn ngữ hệ động lực, điểm tới hạn tận bên phải điểm gần gốc Đây điểm nghi ngờ điểm tới hạn mà tồn nói đến giả thuyết giá trị trung bình Smale Ta có 42 Giả thuyết 2.4 Cho P  z   z  a2 z   ad z d đa thức phi tuyến Pi cánh hoa hút với điểm cố định Parabol gốc  điểm tới hạn tận bên phải P P Khi P     Định lí cánh hoa Parabol (Định lí 1.2.4, trang 22) suy rằng, điểm tới hạn tận bên phải hội tụ gốc phép lặp P Do đa thức P vậy, có số nguyên M  cho với m  M , giả thuyết với đa thức P m Như động học phức giúp ta giải giả thuyết giá trị trung bình, theo điểm tới hạn thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale thỏa mãn với đa thức bậc hai, bậc ba dạng tổng quát đa thức phức Kết luận Chương Chương giới thiệu Giả thuyết giá trị trung bình Smale Ch ứng minh giả thuyết giá trị trung bình Smale cho trường hợp đa thức bậc hai bậc ba dựa kết Động học phức Động học phức cho phép phát bi ểu giả thuyết mở rộng sâu giả thuyết giá trị trung bình Smale 43 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Động học phức Ánh xạ Newton góc nhìn động học phức Quan hệ giả thuyết giá trị trung bình Smale động lực học phức Chứng minh giả thuyết giá trị trung bình Smale cho đa thức bậc hai bậc ba nhờ công cụ động học phức 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Nhung, Về Giả thuyết Smale, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 2013 [2] Tạ Duy Phượng, Một số chương Giải tích số (Giáo trình Cao học), Viện Tốn học, 2014 [3] Hồng Thị Thơm, Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 2014 [4] Alan F Beadon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, in Graduate texts in mathematics, Vol 132, SpringerVerlag New York, 1991 [5] E T Crane, A computational proof of the degree case of Smale’s mean value conjecture, preprint, 2004 [6] Hayley Miles-Leighton, The Links between Smale’s Mean Value Conjecture and complex dynamics, pp 40–51 [7] Hayley Miles-Leighton and Pilgrim, Smale’s Mean Value Conjecture and complex dynamics, Computational Methods and Function Theory, Vol 12, Issue 2, pp 559–563 [8] P Marinov and Bl Sendov, Verification of the Smale’s Mean Value Conjecture for n  10 Comptes rendus de l’Academie Bulgare des Sciences, 60:11 (2007), pp 1151–1156 [9] John Milnor, Dynamics in one complex, Volume 160 of Annals of Mathematics Studies, Princenton University Press, Princenton, N.J, Third edition, 2006 [10] H.-O Peitgen and P H Richter, The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Heidelberg-New York, 1986 45 [11] S Smale, The fundamental theorem of algebra and complexity theory, Bull Amer Math Soc (N.S.), (1981), pp 1–36 [12] Smale, S., Mathematical Problems for the Next century, In Mathematics: frontiers and perspectives, eds Arnold, V., Atiyah, M., Lax, P and Mazur, B., Providence, R.I., American Mathematical Society, 2000, pp 271–294 [13] M Shub and S Smale, Computational complexity: on the geometry of polynomials and theory of cost II, SIAM J Comput., 15 (1986), pp 145– 161 [14] D Tischler, Critical points and values of complex polynomials, Jour of Complexity (1989), pp 438–456 [15] Ng, T W., Smale’s mean value conjecture for odd polynomials, J Aust Math Soc., 75 (2003), pp 409–411