Một số thuật toán nội suy để xác định các nguyên hàm sơ cấp của hàm hữu tỷ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY VÂN MỘT SỐ THUẬT TOÁN NỘI SUY ĐỂ XÁC ĐỊNH CÁC NGUYÊN HÀM SƠ CẤP CỦA HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thúy Vân MỘT SỐ THUẬT TOÁN NỘI SUY ĐỂ XÁC ĐỊNH CÁC NGUYÊN HÀM SƠ CẤP CỦA HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tính chất hàm sơ cấp 1.1.1 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ 10 1.1.2 Nguyên hàm hàm số đại số 11 1.1.3 Tích phân elliptic 12 1.1.4 Định lý Liouville tồn nguyên hàm sơ cấp 15 Công thức nội suy Lagrange Hermite 23 1.2.1 Công thức nội suy Lagrange 23 1.2.2 Công thức nội suy Hermite 24 Chương Một số thuật tốn tìm ngun hàm hàm hữu tỉ 28 1.2 2.1 Thuật toán Lagrange 28 2.2 Thuật toán Hermite 31 2.3 Thuật toán Horowitz 43 Chương Nguyên hàm hàm số ngược hàm hữu tỉ số ví dụ liên quan 48 3.1 Nguyên hàm số lớp hàm tổng quát 48 3.2 Một số hàm số khơng có ngun hàm sơ cấp 55 3.3 Nguyên hàm hàm số ngược hàm số hữu tỉ 62 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 68 MỞ ĐẦU Trong chương trình Tốn Giải tích, ta biết rằng: “Những hàm số sin x √ e−x , , + x4 , hàm số sơ cấp có nguyên hàm, nguyên x hàm khơng thể biểu diễn dạng hàm số sơ cấp.” Do hai câu hỏi tự nhiên đặt “(A): Những hàm số có nguyên hàm biểu diễn dạng hàm số sơ cấp?” “(B): Nếu hàm số có ngun hàm hàm sơ cấp làm cách để tìm ngun hàm sơ cấp đó?” Hiện biết có nhiều cách để tính nguyên hàm hàm số sử dụng bảng nguyên hàm bản, phép đổi biến số, phép lấy nguyên hàm (tích phân) phần Tuy nhiên, số trường hợp hàm số dạng phức tạp khó nhận biết nên áp dụng phương pháp để tính ngun hàm Thơng thường, người ta tìm thuật toán để đưa hàm số cho hàm số có dạng đơn giản nhờ phép tốn nội suy cổ điển biết Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày thuật toán để xác định nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ (tử số mẫu số đa thức đại số), tìm hiểu tiêu chuẩn để nhận biết hàm số quen thuộc sin x √ e−x , , + x4 số dạng hàm số sơ cấp khác khơng có ngun x hàm sơ cấp Nội dung luận văn gồm chương: *Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa tính chất hàm số sơ cấp, định lí tồn nguyên hàm hàm số sơ cấp với định lí Liouville cơng thức nội suy Lagrange Hermite *Chương Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỷ Nội dung chương dành để trình bày số thuật tốn để tính nguyên hàm hàm hữu tỷ tổng quát việc áp dụng nội suy Lagrange, nội suy Hermite phương pháp Horowitz cách cải biên phương pháp nội suy Hermite trường hợp cụ thể Tiếp theo trình bày ví dụ minh họa *Chương Một số ví dụ áp dụng Chương đưa số lớp hàm số tổng qt tính nguyên hàm chứng minh không tồn nguyên hàm sơ cấp, cách tính tích phân số hàm số ngược Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến NGND GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy giúp cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Tốn học, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn Ứng Dụng, thầy tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Toán niên khoá 2012 - 2014, thầy cô anh chị đồng nghiệp lớp Toán K6D trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ góp ý để luận văn hồn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh Sở GDĐT Phú Thọ, Ban giám hiệu trường THPT Hương Cần, Huyện Thanh Sơn, bạn bè đồng nghiệp gia đình động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu Hệ thống ký hiệu sử dụng luận văn - deg f (x) bậc đa thức f (x) - F0 (x) nguyên hàm (cấp 1) đa thức f (x) ứng với số c = 0, tức F0 (x) thoả mãn F0 (0) = - Fc (x) nguyên hàm (cấp 1) đa thức f (x) ứng với số c, tức Fc (x) = F0 (x) + c với c ∈ R - F0,k (x) nguyên hàm cấp k đa thức f (x) ứng với số c = 0, tức F0,k (x) thoả mãn F0,k (0) = - Fc,k (x) nguyên hàm cấp k đa thức f (x) ứng với số c, tức Fc,k (x) = F0,k (x) + c với c ∈ R - Hn tập hợp đa thức với hệ số thực Pn (x) bậc n (n > 0) với hệ số tự (Pn (0) = 1) có nghiệm thực - Mk (f ) tập hợp nguyên hàm cấp k đa thức f (x) - R[x] tập hợp đa thức với hệ số thực -sign a dấu số thực a, tức  + a > sign a := a =  − a < CHƯƠNG Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tính chất hàm sơ cấp Chúng ta bắt đầu mục với định nghĩa hàm số đại số Định nghĩa 1.1 ([5]) Hàm số f (x) gọi hàm số đại số tường minh (hiển) x f (x) tổ hợp hữu hạn phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) hữu hạn phép lấy thức phần tử đa thức Chẳng hạn, hàm số √ ! 35 p √ √ x −i √ f (x) = x + x + x, f (x) = , x 2−e p p (1 + x) − (1 − x) q f (x) = q , , hàm đại số tường minh (1 + x) + (1 − x) Nếu y hàm số đại số tường minh x y ln thỏa mãn phương trình dạng y m + R1 y m−1 + · · · + Rm = 0, Ri hàm số hữu tỉ Định nghĩa 1.2 ([5]) Hàm số y gọi hàm số đại số x y thỏa mãn phương trình y m + R1 y m−1 + · · · + Rm = với Ri hàm số hữu tỉ x Định nghĩa 1.3 ([1]-[5]) Một hàm số sơ cấp hàm số cho dạng sau: Là đa thức đại số, Là hàm số hữu tỉ, Là hàm số mũ ex , Là hàm số logarit loga x, Là hàm số xác định tổ hợp hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn, luỹ thừa, hàm ngược hàm hợp hàm số thuộc lớp hàm liệt kê √ x−1 eix − e−ix Chẳng hạn, hàm số f (x) = + x + 1+ ix −ln (3x − ex ) −ix x − 3x − e +e hàm số sơ cấp Tiếp sau định nghĩa hàm số sơ cấp theo ngôn ngữ mở rộng trường Định nghĩa 1.4 ([4]) Hàm số sơ cấp hàm số thuộc mở rộng trường sơ cấp trường hàm hữu tỉ C(x) Ví dụ 1.1 Hàm số f (x) = eix − i ln(x + eix ) hàm số sơ cấp f (x) ∈ C(x)(eix )(ln(x + eix )) C(x)(eix )(ln(x + eix )) mở rộng sơ cấp C(x) Từ định nghĩa hàm số sơ cấp theo ngơn ngữ mở rộng trường, ta có kết luận quan trọng sau Mệnh đề 1.1 ([4]) Nếu f, g hàm số sơ cấp hàm hợp g(f ) hàm số sơ cấp Chứng minh Vì f hàm số sơ cấp nên f thuộc mở rộng sơ cấp C(x)(y) ⊃ C(x) với y sơ cấp C(x) Khi đó, g(f ) ∈ C(x)(y)(g(z)) Vì C(x)(y)(g(z)) mở rộng sơ cấp C(x) nên hàm số g(f ) sơ cấp Bây chứng tỏ hàm số lượng giác lượng giác ngược hàm số sơ cấp theo hai định nghĩa Ví dụ 1.2 Áp dụng Công thức Euler (eix = cos x + i sin x) ta có
ix e − e−ix , sin x = 2i
ix cos x = e + e−ix , ix e − e−ix tan x = i (eix + e−ix )
, i eix + e−ix cot x = eix − e−ix Theo Định nghĩa 1.3 ta suy hàm số lượng giác hàm số sơ cấp Ta dễ dàng kết luận hàm số sơ cấp theo Định nghĩa 1.4
ix Chẳng hạn, với hàm số sin x ta có sin x = e − e−ix ∈ C(x)(eix )(e−ix ) 2i Sau đây, ta chứng tỏ hàm số lượng giác ngược hàm số sơ

ix ix cấp Ta có sin x = e − e−ix Từ suy x = arcsin e − e−ix 2i 2i
ix e − e−ix Từ đây, ta có biểu diễn x theo u Đặt u = 2i  √  x = ln iu + − u i  √ √ 1  2 Do arcsin u = ln(iu + − u ) Hay arcsin x = ln ix + − x i i Tương tự, ta có  √  arccos x = ln x + x − , i 1 + ix , arctan x = ln 2i − ix ix − arccotx = ln 2i ix + Từ suy hàm số arcsin x, arccos x, arctan x arccotx hàm số sơ cấp theo định nghĩa Định nghĩa 1.5 ([4]) Cho G mở rộng sơ cấp trường F Với f ∈ F ta nói f có nguyên hàm hàm số sơ cấp (hay nguyên hàm sơ cấp) có phần tử g ∈ G cho g = f Ví dụ 1.3 Ta có trường Q(ln x)(x) mở rộng sơ cấp trường Q(x) 1 Khi ln x ∈ Q(ln x)(x) (ln x)0 = ∈ Q(x) nên ta nói hàm số có x x nguyên hàm sơ cấp Nhận xét 1.1 Nếu g nguyên hàm sơ cấp f g + C với C số tùy ý nguyên hàm sơ cấp f Ta ký hiệu tập tất R nguyên hàm f f dx Định nghĩa 1.6 Một đa thức bậc n ẩn x biểu thức có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , hệ số an , an−1 , , a0 số thực (hoặc phức) an 6= 0, n ∈ N Ta kí hiệu i Bậc đa thức Pn (x) deg Pn (x) Do deg Pn (x) = n ii an - hệ số bậc cao (chính) đa thức Chú ý 1.1 Trong luận văn ta chủ yếu xét đa thức Pn (x) với hệ số thực gọi tắt đa thức thực Ký hiệu tập hợp đa thức với hệ số thực R[x] Định nghĩa 1.7 ([1]-[2]) Cho đa thức Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0), số α ∈ C gọi nghiệm đa thức Pn (x) Pn (α) = Nếu tồn k ∈ N, k > 1, cho Pn (x) (x − α)k Pn (x) không chia hết cho (x − α)k+1 α gọi nghiệm bội bậc k đa thức f (x) Đặc biệt, k = α gọi nghiệm đơn, k = α gọi nghiệm kép Chú ý 1.2 Nghiệm đa thức thực gọi khơng điểm đa thức Định lý 1.1 (Gauss) Mọi đa thức bậc n > trường C có n nghiệm nghiệm tính số lần bội Bổ đề 1.1 Các nghiệm phức thực (khác thực) đa thức thực Pn (x) xuất theo cặp nghiệm liên hợp Chứng minh Thật vậy, a ∈ C nghiệm phương trình Pn (x) = Pn (a) = Khi ta có = Pn (a) = Pn (a) Suy a nghiệm phương trình Pn (x) = Định lý 1.2 Mọi đa thức f (x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số an 6= 0, phân tích thành nhân tử dạng m s Y Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ) j=1 k=1 với di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ p −1 −2x − x + 2 + dx = dx = + ln x + + C, q (x + 1)2 (x + 1)(x + 2) 2(x + 1)2 −x − với C số Ví dụ 2.13 Tìm ngun hàm hàm số f (x) = p 5x3 − 3x2 − 21x + 22 = q (x − 1)3 (2x − 3)2 Bài giải Ta có d = ƯCLN(q, q ) = 2x3 − 7x2 + 8x − b = q = 2x2 − 5x + Từ d suy hai đa thức a c có dạng a = a1 x + a0 , c = c2 x + c1 x + c0 bd0 Từ đẳng thức p = bc − c( ) + ad, thực phép đồng ta hệ d 46 phương trình  a1    2a0 − 7a1 − 2c2 −7a0 + 8a1 − 4c1 − 2c2  8a   − 3a1 − 6c0 + 3c1 + 6c2 −3a0 + 8c0 + 3c1 = = = = = −3 −21 22 Giải hệ phương trình ta tìm a0 = 0, a1 = 0, c0 = 2, c1 = x + 2x + − R p c2 = − Từ ta tính dx = + C, với C q (x − 1)2 (2x − 3) số p x3 − x + Ví dụ 2.14 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = = q (x − x + 2)2 Bài giải q Ta có d = ƯCLN(q, q ) = x2 − x + b = = x2 − x + Từ suy d hai đa thức a c có dạng a = a1 x + a0 , c = c1 x + c0 b.d0 Từ đẳng thức p = bc − c( ) + ad, thực phép đồng ta hệ d phương trình  a1 =    −a1 + a0 − c1 = 2a1 − a0 − 2c0 = −1    2a0 + 2c1 + c0 = Giải hệ phương trình ta tìm a1 = 1, a0 = , c1 = − c0 = 7 Từ suy Z Z − x + x + p + dx dx = q x −x+2 x −x+2 Z (2x − 1) + 13 4x − dx =− + 2 7(x − x + 2) x −x+2 4x − 26 2x − √ √ =− + ln |x − x + 2| + arctan + C, (x2 − x + 2) 7 với C số 47 p x7 − 24x4 − 4x2 + 8x − Ví dụ 2.15 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = = q x8 + 6x6 + 12x4 + 8x2 Bài giải q Ta có d = ƯCLN(q, q ) = (x4 + 4x2 + 4)x b = = (x2 + 2)x Từ suy d hai đa thức a c có dạng a = a2 x2 + a1 x + a0 , c = c3 x + c2 x + c1 x + c0 Từ đẳng thức p = bc0 − c( b.d0 ) + ad, thực phép đồng ta hệ d phương trình  a2    a    4a   + a0 − 2c3 4a1 − 3c2 4a2 + 4a0 + 4c3 − 4c1    4a1 + 2c2 − 5c0      4a0 −2c0 = = = = = = = = 0 −24 −4 −8 Giải hệ phương trình ta tìm a2 = 1, a1 = 0, a0 = 2, c3 = 3, c2 = 8, c1 = c0 = Từ suy Z Z p 3x3 + 8x2 + 6x + dx 3x3 + 8x2 + 6x + dx = + = + ln |x| + C, q x (x4 + 4x2 + 4) x x (x4 + 4x2 + 4) với C số 48 CHƯƠNG Nguyên hàm hàm số ngược hàm hữu tỉ số ví dụ liên quan 3.1 Nguyên hàm số lớp hàm tổng quát Bài toán 3.1 Tính tích phân Z In = dx (ax2 + bx + c)n Bài giải Đưa tam thức bậc hai dạng tắc h b 2 4ac − b2 i = a[t2 + ∆] + ax + bx + c = a x + 2a 4a b 4ac − b2 t = x + ; ∆ = 2a 4a2 Khi Z Z dx dt In = = (ax2 + bx + c)n an (t2 + ∆)n 4ac − b2 • Nếu ∆ = = 4a2 Z dt = + C In = n a t2n an (1 − 2n)t2n−1 ) 4ac − b2 • Nếu ∆ = ta có = 4a2 Z dt In = n = Jn a (t2 + ∆)n an Ta lại có Z Jn = dt t 2n − = + Jn−1 (t2 + ∆)n 2(n − 1)∆ (t2 + ∆)n − 2(n − 1)∆ mà In−1 = an−1 Z dt = Jn−1 (t2 + ∆)n − an−1 49 Suy Jn−1 = an−1 In−1 nên Z dt t 2n − n−1 Jn = = + a In−1 (t2 + ∆)n 2(n − 1)∆ (t2 + ∆)n−1 2(n − 1)∆ In = t 2n − J = + an−1 In−1 n n n n−1 a 2a (n − 1)∆ (t + ∆) 2a(n − 1)∆ Đây công thức truy hồi cho phép tính tích phân I2 , I3 , sau R dx biết I1 = ax2 + bx + c Bài toán 3.2 Tính tích phân Z In = dx , a > (x2 + a)n Bài giải Bằng phương pháp tích phân phần, ta đặt  ( 2nx  u= du = − dx n suy + a)n+1 (x + a) (x  dv = dx v=x R dx x x2 dx = + 2n (x2 + a)n (x2 + a)n (x2 + a)n+1 R R x2 + a dx x + 2n dx − 2na In = n (x + a) (x2 + a)n+1 |(x2 + a)n+1 x = + 2nIn − 2naIn+1 (x + a)n Vậy với a 6= ta có In = R In+1 = 2n − 1 x + In 2na (x2 + a)n 2na Đây cơng thức truy hồi cho phép tính tích phân I2 , I3 , biết Z dx I1 = x2 + a 50 Bài tốn 3.3 Tính tích phân Z I= Pn (x)dx , (x − a)n+1 Pn (x) đa thức bậc n x Bài giải Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức Pn (x) x = a : Pn (x) = n X Pn (k) (a) k! k=0 Khi Z I= = (x − a)k n X Pn (k) (a) Pn (x) dx = (x − a)n+1 k! k=0 n−1 X Pn (a) k=0 k!(n − k)(x − a)n−k (k) dx Z (x − a)n−k+1 (n) Pn (a) + ln |x − a| + C n! Bài tốn 3.4 Tính tích phân Z a1 sin x + b1 cos x dx I= a sin x + b cos x Bài giải Ta có a1 sin x + b1 cos x = A(a sin x + b cos x) + B(a sin x + b cos x)0 Suy A(a sin x + b cos x) + B(a sin x + b cos x)0 I= dx a sin x + b cos x =Ax + B ln |a sin x + b cos x| + C Z Bài tốn 3.5 Tính tích phân Z a1 sin x + b1 cos x + c1 I= dx a sin x + b cos x + c 51 Bài giải Ta có a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a sin x + b cos x + c) + B(a sin x + b cos x + c)0 + C Khi Z I =A Z dx + B d(a sin x + b cos x + c) +C a sin x + b cos x + cZ =Ax + B ln |a sin x + b cos x + c| + C dx a sin x + b cos x + c dx a sin x + b cos x + c Z Với tích phân Z dx , a sin x + b cos x + c 2dt 2t − t2 x = t ta dx = ; sin x = ; cos x = + t2 + t2 + t2 Do Z Z dx 2dt = a sin x + b cos x + c (c − b)t2 + 2at + b + c đặt tan Bài tốn 3.6 Tính tích phân Z I= dx Ta có (a + b cos x)n Z Z dx (a + b sin x)dx In−2 = = n−2 (a + bcosx) (a + b cos x)n−1 Z d(sin x) = aIn−1 + b (a + b cos x)n−1 Z sin x b2 sin2 x = aIn−1 + b − (n − 1) (a + b cos x)n−1 (a + b cos x)n Bài giải Đặt In = In−2 dx dx (a + b cos x)n R Ta có b2 sin2 x = −(a2 − b2 ) + 2a(a + b cos x) − (a + b cos x)2 52 Khi In = −b sin x (2n − 3)a In−1 + (n − 1)(a2 − b2 )(a + b cos x)n−1 (n − 1)(a2 − b2 ) (n − 2) − In−2 (n − 1)(a2 − b2 ) Asin x + BIn−1 + CIn−2 , (a + bcos x)n−1 (2n − 3)a n−2 −b ; B = ; C = với A = (n − 1)(a2 − b2 ) (n − 1)(a2 − b2 ) (n − 1)(a2 − b2 ) In = Bài tốn 3.7 Tính tích phân Z I= √ Pn (x)dx ax2 + bx + c Bài giải Ta có 2Pn (x) = 2Rn−2 (x)(ax2 + bx + c) + Qn−1 (x)(2ax + b) + 2α Đồng hệ số hai vế ta Rn−2 (x), Qn−1 (x), α hay √ √ Pn (x) Qn−1 (x)(2ax + b) α = Qn−1 (x) ax2 + bx + c+ √ +√ ax2 + bx + c 2a2 + bx + c 2a2 + bx + c Suy Z I= Z √ Pn (x)dx dx √ = Qn−1 (x) ax + bx + c + α √ ax2 + bx + c ax2 + bx + c Bài tốn 3.8 Tính tích phân Z I= P (x)dx √ Q(x) ax2 + bx + c Nhận xét 3.1 Để tính tích phân ta thực sau: P (x) - Phân tích phân thức thành phân thức tối giản Q(x) - Tách thành tích phân tương ứng chọn phương pháp thích hợp để tính tích phân phần 53 Bài tốn 3.9 Tìm điều kiện đa thức P (x) để tích phân Z   x I= P e dx x hàm sơ cấp xét toán tương tự Bài giải Ta có Z  1  n  P dx = a0 + a1 + · · · + an ex dx x x Z Z Z 1 x x = a0 e x + a1 ex dx + a2 e dx + · · · + a e dx n x x2 xn R x R x Kí hiệu In = e dx, ta tính I = e dx n−1 xn xn−1 Đặt      du = − n − dx u= xn−1 ⇒ xn     v = ex dv = ex dx Z Khi In−1 = ex + (n − 1) n−1 x Z x x e dx = e + (n − 1)In xn xn−1 hay In = − 1 x e + In−1 (n − 1)xn−1 n−1 Từ suy a2 x e + a2 I1 x a3 a3 a3 a3 I3 = − ex − ex + I1 2x 2x a4 x a4 x a4 x a4 a4 I4 = − e − e − e + I1 3x 6x 6x a2 I2 = − Suy Z h  1  i i x a3 a4 x P ( )e dx = e a0 − a2 + + − a3 + + − x 2! x 3! x  a2 a3 a4 an  + a1 + + + + ··· + I1 1! 2! 3! (n − 1)! 54 Để R P ( )ex dx hàm sơ cấp cần x a2 a3 a4 an a1 + + + + ··· + = 1! 2! 3! (n − 1)! Bài toán 3.10 Tính tích phân Z In = lnn xdx xm Bài giải Bằng cách lập luận tương tự tốn ta tính Z lnn xdx = ; m, n ∈ N, n ≥ In = xm xm−1 Pn (ln x) + C Bài tốn 3.11 Tính tích phân Z a1 ex + b1 e−x + c1 I= dx aex + be−x + c Bài giải Phân tích aex + be−x + c = A(a1 ex + b1 e−x + c1 ) + B(a1 ex − b1 e−x ) + C, A, B, C xác định từ hệ ( (A + B)a1 = a (A − B)b1 = b Ac1 + C = c Khi a1 ex + b1 e−x + c1 I= dx aex + be−x + c Z Z Z d(a1 ex + b1 e−x + c1 ) dx = A dx + B + C a1 ex + b1 e−x + c1 Z a1 ex + b1 e−x + c1