Nghiên cứu chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính

Bộ giáo dục đào tạo Bộ khoa học công nghệ Viện lượng nguyên tử Việt Nam oOo Nguyễn Văn Thụ nghiên cứu chuyển pha mô hình sigma tuyến tính luận án tiến sĩ vật lý Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mà số: 62.44.01.01 Hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Trần Hữu Phát TS Ngun Tn Anh Hµ Néi - 2011 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Lêi cam ®oan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết thu phương pháp nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2011 Tác giả luận án Nguyễn Văn Thụ i Lời cảm ơn Lời xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Trần Hữu Phát - người thày đà tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian thực luận án Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Tuấn Anh TS Nguyễn Văn Long đà nhiệt tình hướng dẫn việc tính số phần mềm Mathematica, ®ång thêi ®· cho t«i nhiỊu ý kiÕn ®ãng gãp quý báu suốt trình thực luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ Giáo dục Đào tạo, Việt Năng lượng nguyên tử Việt Nam, Viện khoa học kỹ thuật hạt nhân Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đà tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận án Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô, bạn bè người thân đà động viên giúp đỡ năm qua Tôi xin cảm ơn quan tâm anh chị em Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt Khoa Vật lý đà tạo điều kiện thuận lợi cho dành thời gian hoàn thành luận án Cuối cùng, xin dành biết ơn tới người thân yêu gia đình đà động viên, giúp đỡ dõi theo bước nhiều năm qua Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2011 Tác giả luận án Nguyễn Văn Thơ ii Mơc lơc Trang Trang b×a phơ i Lêi cam ®oan i Lêi cảm ơn ii Môc lôc iii Danh mơc c¸c chữ viết tắt v mở đầu Chương 1: cấu trúc pha mô hình sigma tuyến tính kh«ng cã sù tham gia cđa quark 1.1 Mô hình sigma tuyến tính 1.2 CÊu tróc pha số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc 1.2.1 Chun pha chiral thÕ hãa b»ng kh«ng 1.2.2 CÊu tróc pha nhiệt độ ICP hữu hạn 16 1.3 CÊu tróc pha số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không tắc 33 1.3.1 Khi µI > m π 38 1.3.2 Khi µI < m π 42 1.4 Vai trò cân ®iÖn tÝch 44 1.4.1 Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chÝnh t¾c 45 1.4.2 Khi sè hạng phá vỡ đối xứng có dạng không tắc 49 1.5 NhËn xÐt Ch­¬ng 2: 50 cÊu tróc pha m« h×nh sigma tun tÝnh cã sù tham gia cđa quark 54 2.1 Thế hiệu dụng gần trường trung b×nh 54 iii 2.2 Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc =0 2.2.1 Giới hạn chiral 2.2.2 Trong thÕ giíi vËt lý 56 57 ²=1 61 2.3 Khi sè hạng phá vỡ đối xứng có dạng không tắc 72 2.3.1 Khi µI > m π 76 2.3.2 Khi µI < m π 81 2.4 Vai trò điều kiện trung hòa điện tích 84 2.4.1 Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc 88 2.4.2 Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không tắc 90 2.5 Nhận xét Chương 3: 93 Chun pha chiral kh«ng-thêi gian rót gän 97 3.1 Chuyển pha chiral không tính đến hiệu ứng Casimir 97 3.1.1 Thế hiệu dụng phương tr×nh khe 97 99 3.2 Chun pha chiral d­íi ¶nh h­ëng cđa hiƯu øng Casimir 104 3.1.2 Tính số 3.2.1 Năng lượng Casimir 104 107 111 3.2.2 TÝnh sè 3.3 NhËn xét kết luận 114 Các công trình liên quan đến luËn ¸n 116 Tµi liƯu tham kh¶o 117 Phụ lục 124 Danh mục chữ viết tắt CEP critical endpoint (điểm tới hạn) CJT Cornwall-Jackiw-Tomboulis HF Hartree-Fock ICP isospin chemical potential (thế hóa spin đồng vị) IHF improved Hatree-Fock (Hatree-Fock cải tiến) LQCD lattice quantum chromodynamics (mạng sắc động lực học lượng tử) LSM linear sigma model (mô h×nh sigma tuyÕn tÝnh) LSMq linear sigma model with constituent quarks (mô hình sigma tuyến tính với tham gia cđa quark) NJL Nambu-Jona-Lasinio PNJL Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio QCD quantum chromodynamics (s¾c ®éng lùc häc l­ỵng tư) QCP quark chemical potential (thÕ hóa quark) SB symmetry breaking (sự phá vỡ đối xứng) SD Schwinger-Dyson TQ twisted quark (quark cã cÊu tróc tr­êng xoắn) UQ untwisted quark (quark có cấu trúc trường không xoắn) v mở đầu Lý chọn đề tài Nghiên cứu chuyển pha vấn đề thời vật lý đại Nó nhà vật lý quan tâm nhiều lĩnh vực khác nhau, từ vũ trụ học đến vật lý hạt nhân Trong lÜnh vùc vị trơ häc, ng­êi ta cho r»ng đà xảy nhiều trình chuyển pha thời kì đầu vũ trụ hình thành Chuyển pha QCD số chuyển pha Có hai tượng liên quan đến chuyển pha QCD tượng không giam cầm quark gluon tượng phục hồi đối xứng chiral giá trị nhiệt độ xảy chuyển pha từ pha hadron đến pha quark-gluon plasma Trạng thái không giam cầm xảy mật độ đạt giá trị tới hạn, có dịch chuyển pha pha hadron pha vật chất quark lạnh Tại giá trị tới hạn nhiệt độ mật độ xảy chuyển pha không giam cầm chuyển pha chiral Sắc động học lượng tử xem lý thuyết phù hợp để mô tả vật chất tương tác mạnh Về mặt nguyên tắc, QCD mô tả tất pha vật chất tương tác mạnh giá trị nhiệt độ mật độ Việc khảo sát cấu trúc pha QCD cho ta nhìn tổng quát chuyển pha vật chất tương tác mạnh Trong năm gần đà có nhiều công trình nghiên cứu cấu trúc pha QCD giá trị hữu hạn nhiệt độ hóa Các nghiên cứu đà toán cấu trúc pha giải xác số trường hợp giới hạn Trước tiên, nhiệt độ mật độ đủ cao để đạt đến trạng thái tiệm cận tự do, cho tương tác hạt đủ nhỏ, lúc ta sử dụng khai triển nhiễu loạn Trong trường hợp mô hình hiệu dụng cho QCD gọi lý thuyết nhiễu lo¹n chiral [14, 36, 39, 57] Khi nhiƯt độ thấp mật độ đủ lớn nghiên cứu ®· cho thÊy r»ng QCD ë pha cã mµu vµ hương bị khóa, lúc QCD mô tả mô NJL [9, 24, 29, 30], LSM [4, 5, 52], PNJL [1, 43] Trong số mô hình LSM mô hình tiêu biểu, bắt đầu nghiên cứu từ nhiều thập kỷ trước Đây mô hình phù hợp để nghiên cứu tượng liên quan đến tương tác mạnh nhiệt độ thấp, bao gồm đối xứng chiral Tuy nhiên nghiên cứu theo LSM chưa đầy đủ, đặc biệt tính đến ICP QCP Chính lý mà chọn đề tài "Nghiên cứu chuyển pha mô hình sigma tuyến tính" làm vấn đề nghiên cứu luận án Lịch sử vấn đề Mô hình sigma tuyến tính đề cập lần công trình nghiên cứu M Gell-Mann M Levy [25] nghiên cứu đối xứng chiral QCD Từ đến LSM thu hút quan tâm nhà vật lý Mô hình coi lý thuyết hiệu dụng để nghiên cứu ngưng tụ chất hạt nhân Sau [25], nghiên cứu đáng kể LSM phải kể đến công trình cđa D K Campell, R F Dashen vµ J T Manassah [18] Trong công trình tác giả đà khảo sát chi tiết cấu trúc lượng hệ với hai dạng khác số hạng phá vỡ đối xứng: số hạng phá vỡ đối xứng dạng tắc (standard case) hay gọi phá vỡ đối xứng dạng cos số hạng phá vỡ đối xứng dạng không tắc (non-standard case) hay gọi phá vỡ đối xứng dạng sin2 Tuy nhiên tính toán dừng lại gần Bây điểm qua việc sử dụng LSM gần bậc cao hai phương diện: hai dạng khác số hạng phá vỡ đối xứng tham gia quark Trước tiên ta nói đến trường hợp tham gia quark số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc Khi ICP, tác giả [38] đà sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để khảo sát phụ thuộc nhiệt độ khối lượng pion hạt sigma theo LSM nhiệt độ hữu hạn hai gần khác gần HF gần khai triển N lớn Cũng xét cho trường hợp ICP, tác giả [59] khảo sát chuyển pha chiral LSM theo phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT đề xuất phương pháp tái chuẩn hóa gần HF Kết cho thấy, giới hạn chiral chuyển pha loại một, giới vật lý đối xứng chiral ®­ỵc phơc håi ë nhiƯt ®é cao Tr­êng hỵp sè hạng phá vỡ đối xứng có dạng không tắc, sau [18], chưa có công trình trình khảo sát toán gần bậc cao Bây ta xét đến toán cấu trúc pha vật chất tương tác mạnh với tham gia quark Hiện nghiên cứu cấu trúc pha LSMq dừng lại trường hợp ICP [52], bỏ qua khối lượng dòng quark Các nghiên cứu cấu trúc pha QCD chủ yếu tập trung vào mô hình NJL [6] mô hình PNJL [51] Nghiên cứu không-thời gian rút gọn với số chiều không gian bổ sung thêm (extra dimension) thu hút quan tâm lớn nhiều nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác vật lý Công trình nghiên cứu vấn đề thuộc Kaluza Klein [54] cè g¾ng thèng nhÊt lùc hÊp dÉn với lực khác tự nhiên Từ đến vấn đề đà có bước tiến đáng kể Trước tiên phải kể đến thành công lý thuyết siêu hấp dẫn, siêu dây lý thuyết màng [53] Đặc biệt, thành phần không gian bổ sung đà mở rộng đến thang lượng thấp [3, 48] Toàn ảnh QCD [50], lý thuyết hạt nhân toàn ảnh [12] lý thuyết toàn ảnh siêu dẫn nhiệt độ cao [32] đà hình thành phát triển với kết đáng quan tâm Bên cạnh nghiên cứu không-thời gian với topo không tầm thường đưa đến hiệu ứng vật lý míi nh­ hiƯu øng Casimir [15, 46] g©y cấu trúc chân không trường lượng tử không-thời gian rút gọn, lý thuyết lượng tối [22], sù d·n në vị trơ [21] Mơc ®Ých nghiên cứu Luận án đặt mục đích nghiên cøu cÊu tróc pha cđa LSM hai tr­êng hỵp: có tham gia quark Trong trường hợp khảo sát hai dạng khác số hạng phá vỡ đối xứng Bên cạnh đặt mục tiêu nghiên cứu chuyển pha chiral không-thời gian rút gọn trường hợp ICP Đối tượng, nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu Đối tượng lựa chọn để nghiên cứu luận án mô hình sigma tuyến tính mô tả tương tác hạt pion, sigma quark Mô hình sigma tuyến tính đối tượng mà lựa chọn nghiên cứu chuyển pha chiral không-thời gian rút gọn Trên sở đó, mục tiêu mà đặt luận án sau: ã Khảo sát khôi phục đối xứng chiral mô hình sigma tuyến tính ICP không số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc, giới hạn chiral giới vật lý ã Nghiên cứu chuyển pha nhiệt chuyển pha lượng tử trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc, giới hạn chiral ICP hữu hạn ã Nghiên cứu phá vỡ đối xứng, phục hồi đối xứng giản đồ pha ICP hữu hạn số hạng phá vỡ đối xứng có dạng tắc 115 hướng nghiên cứu tiếp theo: Để mô tả chế khác QCD phá vỡ đối xứng chiral chế giam cầm, tiến hành khảo sát cấu trúc pha QCD mô hình Polyakov-LSM Kết thu cho hiểu biết sâu cÊu tróc pha cđa QCD ë vïng vïng QCP lớn Trong không-thời gian rút gọn, nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc mạnh vào giá trị độ dài rút gọn nên L đủ nhỏ, nghiên cứu sâu siêu dẫn nhiệt độ cao khảo sát ngưng tụ Bose-Einstein không gian (2D + ) chiều 116 Các công trình liên quan đến luận án [1] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of the linear sigma model with the non-standard symmetry breaking term, J Phys G: Nucl and Part 38, 045002, 2011 [2] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of the linear sigma model with the standard symmetry breaking term, Eur Phys J C 71, 1810 (2011) [3] Tran Huu Phat, Nguyen Van Thu and Nguyen Van Long (2011), Phase structure of the linear sigma model with electric neutrality constraint, Proc Natl Conf Nucl Scie and Tech (2011), pp 246-256 [4] Tran Huu Phat, Nguyen Van Long and Nguyen Van Thu (2011), Neutrality effect on the phase structure of the linear sigma model with the non-standard symmetry breaking term, Proc Natl Conf Theor Phys 36 (2011), pp 71-79 [5] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Casimir effect and chiral phase transition in compactified space-time, submitted to Eur Phys J C [6] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Chiral phase transition in compactified space-time, submitted to The 37th NCTP [7] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of linear sigma model without neutrality (I), Comm Phys Vol 22, No (2012), pp 15-31 [8] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of linear sigma model with neutrality (II), Comm Phys., to be published [9] Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of linear sigma model with constituent quarks: Non-standard case, Scientific Journal, Hanoi University of Education 2, to be published Tài liệu tham khảo [1] Abuki H., Ciminale M., Gatto R., Ippolito N D., Nardulli G., Ruggieri M (2008), Electrical neutrality and pion modes in the two flavor Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio model, Phys Rev D 78, 014002 [2] Abuki H., Anglani R., Gatto R., Pellicoro M and Ruggieri M (2009), The fate of pion condensation in quark matter: from the chiral limit to the physical pion mass, arxiv: 0809.2658 [3] Arkani-Hamed N., Dimopoulos S and Dvali G (1998), The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter, Phys Lett B 429, 263; ibid., Phenomenology, astrophysics, and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity, Phys Rev D 59, 086004 (1999) [4] Andersen J O (2007), Pion and kaon condensation at finite temperature and density, Phys Rev D 75, 065011 [5] Andersen J O and Brauner T (2008), Linear sigma model at finite density in the 1/N expansion to next-to-leading order, Phys Rev D 78, 014030 [6] Andersen J O and Kyllingstad L (2010), Pion condensation in a twoflavour NJL model: the role of charge neutrality, J Phys G Part Nucl Phys 37, 015003 [7] Arnold P and Espinosa O (1993), The effective potential and first order phase transitions: Beyond leading-order, Phys Rev D 47, 3546 [8] Askawa M and Yazaki K (1989), Chiral restoration at finite density and temperature, Nucl Phys A 504, 668 [9] Barducci A., Casalbuoni R., Pettini G., and Ravagli L (2005), Pion and kaon condensation in a 3-flavor Nambu-Jona-Lasinio model, Phys 118 Rev D 71, 016011 [10] Barducci A., Casalbuoni R., Pettini G., and Ravagli L (2004), Calculation of the QCD phase diagram at finite temperature, and baryon and isospin chemical potentials, Phys Rev D 69, 096004; Ebert D and Klimenko K G (2006), Pion condensation in electrically neutral cold matter with finite baryon density, Eur Phys J C 46, 771; Lawley S., Bentz W and Thomas A W (2006), The phases of isospin asymmetric matter in the two flavor NJL model, Phys Lett B 632, 495; He L (2010), Nambu-Jona-Lasinio model description of weakly interacting Bose condensate and BEC-BCS crossover in dense QCD-like theories, Phys Rev D 82, 096003 [11] Bellucci S and Saharian A A (2009), Fermionic Casimir effect for parallel plates in the presence of compact dimensions with applications to nanotubes, Phys Rev D 80, 105003 [12] Bergman O., Lifschytz G and Lipper M (2007), Holographic nuclear physics, JHEP 0711, 056 (hep-th/0708.0326); Rozali M., Shieh H H., van Raamsdonk M., Wu J (2008), Cold nuclear matter in holographic QCD, JHEP 0801, 053 (hep-th/0708.1322) [13] Bernard V., Meissner U G and Zahed I (1987), Decoupling of the pion at finite temperature and density, Phys Rev D 36, 819 [14] Birse M C., Cohen T D, and McGovern J A (2001), Phases of QCD with nonvanishing isospin density, Phys Lett B 516, 27 [15] Bordag M., Mohideen V and Mostepanenko V M (2001), New developments in the Casimir effect, Phys Rep 353, [16] Bordag M and Skolozub V (2001), Phase transition in scalar beyond the super-daisy resummations, J Phys A 34, 461 φ4 -theory 119 [17] Buballa M (2005), NJL-model analysis of dense quark matter, Phys Rept., 407, 205 [18] Campell D K., Dashen R F and Manassah J T (1975), Chiral symmetry and pion condensation I Model-dependent results, Phys Rev D 12, 979 [19] Cornwall J., Jackiw R and Tomboulis E (1974), Effective action for composite operators, Phys Rev D 10, 2428; Amelino-Camelia G and Pi S Y (1993), Self-consistent improvement of the finite-temperature effective potential, Phys Rev D 47, 2356 [20] Dolan L and Jackiw R (1974), Symmetry behavior at finite temperature, Phys Rev D 9, 3320 [21] Elizalde E (2006), Uses of zeta regularization in QFT with boundary conditions: A Cosmo-topological Casimir effect, J Phys A 39, 6299 [22] Elizalde E., Nojiri S and Odintsov S D (2004), Late-time cosmology in a (phantom) scalar-tensor theory: Dark energy and the cosmic speedup, Phys Rev D 70, 043539 [23] Ford L H (1980), Twisted scalar and spinor strings in Minkowski spacetime, Phys Rev D 21, 949 [24] Frank M., Buballa M and Oertel M (2003), Flavor-mixing effects on the QCD phase diagram at non-vanishing isospin chemical potential: one or two phase transitions?, Phys Lett B 562, 221 [25] Gell-Mann M and Levy M (1960), The axial vector current in beta decay, Nuovo Cimento 16, 705 [26] Gupta S (2005), Phenomenology using lattice QCD, hep-lat/0502005; [27] Harris J W and Muller B (1996), The search for the quark - gluon plasma, Ann Rev Nucl Part Sci., 46, 71 120 [28] Hatsuda T and Kunihiro T (1994), QCD phenomenology based on a chiral effective Lagrangian, Phys Rept., 247, 221 [29] He L., Jin M and Zhuang P (2005), Pion superfluidity and meson properties at finite isospin density, Phys Rev D 71, 116001 [30] He L and Zhang P (2005), Phase structure of Nambu-Jona-Lasinio model at finite isospin density, Phys Lett B 615, 93 [31] Hohenberg P C (1967), Existence of long-range order in one and two dimensions, Phys Rev 158, 383 [32] Horowitz G T (2010), Introduction to holographic superconductors, arxiv:1002.1722 [33] Isham C J (1978), Twisted quantum fields in a curved space-time, Proc R Soc London A 362, 383; ibid 364, 591 (1978) [34] Ivanov Yu B., Riek F and Knoll J (2005), Gapless Hartree-Fock resummation scheme for the O(N ) model, Phys Rev D 71, 105016 [35] Kirnhitz D and Linde A (1972), Macroscopic consequences of the Weinberg model, Phys Lett B 42, 471 [36] Kogut J B and Toublan D (2001), QCD at small nonzero quark chemical potentials, Phys Rev D 64, 034007 [37] Kogut J B and Sinclair D K (2001), Scaling behavior at the Nt = chiral phase transition for 2-flavor lattice QCD with massless staggered quarks, and an irrelevant 4-fermion interaction, Phys Rev D 64, 034508; ibid D 66, 034505 (2002) ibid D 70, 094501(2004) [38] Lenaghan J T and Rischke D H (2000), The O(N ) model at finite tem- perature: renormalization of the gap equations in Hartree and large-N approximation, J Phys G 26, 431 121 [39] Loewe M and Villavicencio C (2004), Thermal pion masses in the second phase: µI > mπ , Phys Rev D 70, 074005 [40] Mao H., Petropoulos N., Shu S and Zhao W Q (2006), The linear sigma model at a finite isospin chemical potential, J Phys G 32, 2187 [41] Mermin N D and Wagner H (1966), Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models, Phys Rev Lett 17, 1133 [42] Mohapatra R N and Senjanovic G (1979), Soft CP-invariance violation at high temperature, Phys Rev Lett 42, 1651 [43] Mukherjee S., Mustapha M G., Ray R (2006), Thermodynamics of the Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio model with nonzero baryon and isospin chemical potentials, Phys Rev D 75, 094015 [44] Nemoto Y., Naito K., and Oka M (2000), Effective potential of O(N ) linear sigma model at finite temperature, Eur Phys J A 9, 245 [45] Ogure K and Sato J (1998), Critical properties of the O(N ) invariant scalar model using the auxiliary-mass method at finite temperature, Phys Rev D 58, 85010 [46] Plunien G., Muller B., and Greiner W (1986), The Casimir effect, Phys Rep 134, 87 [47] Rajagopal K and Wilczek F (1993), Static and dynamic critical phenomena at a second order QCD phase transition, Nucl Phys B 399, 395 [48] Randall L and Sundrum R (1999), Large mass hierarchy from a small extra dimension, Phys Rev Lett 83, 3370 (1999); ibid 83, 4690 [49] Sachdev S (1999), Quantum phase transition, Cambridge University Press, UK 122 [50] Sakai T and Sugimoto S (2005), Low energy hadron physics in holographic QCD, Prog Theor Phys 113, 843 (hep-th/0412141); ibid 114, 1083 (2005) (hep-th/0507073) [51] Sasaki T., Y Sakai, Kouno H and Yahiro M (2010), QCD phase diagram at finite baryon and isospin chemical potentials, Phys Rev D 82, 116004 [52] Scavenius O., Mocsy A., Mishustin I N and Rischke D H (2001), Chiral phase transition within effective models with constituent quarks, Phys Rev C 64, 045202 [53] Schwarz J H (2003), Update on string theory, astro-ph/0304507 [54] See, for example, Modern Kaluza-Klein theories, edited by Appelquits T., Chodos A and Freund P T (Addison-Wesley, Reading, MA, 1987) [55] Shu S and Li J R (2007), Bose-Einstein condensation and chiral phase transition in linear sigma model, J Phys G 31, 459 (2006); BoseEinstein condensation in a linear sigma model at large N approximation, J Phys G 34, 2727 [56] Son D T and Stephanov M A (2001), QCD at finite isospin density, Phys Rev Lett 86, 592 [57] Splittorff K., Son D T and Stephanov M A (2001), QCD-like theories at finite baryon and isospin density, Phys Rev D 64, 016003 [58] Stone J R., Miller J C., Koncewicz R., Stevenson P D and Strayer M R (2003), Nuclear matter and neutron-star properties calculated with the Skyrme interaction, Phys Rev C 68, 034324 [59] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh and Le Viet Hoa (2004), On the chiral phase transition in the linear sigma model, Eur Phys J A 19, 359; 123 [60] Tran Huu Phat, Nguyen Van Long, Nguyen Tuan Anh and Le Viet Hoa (2008), Kaon condensation in the linear sigma model at finite density and temperature, Phys Rev D 78, 105016 [61] Weinberg S (1974), Gauge and global symmetries at high temperature, Phys Rev D 9, 3357 phơ lơc Phơ lơc A: t¸i chn hóa hiệu dụng chương Dựa phương pháp tái chuẩn hóa đà sử dụng [60] trình bày chi tiết việc tái chuẩn hãa thÕ hiƯu dơng øng víi Lagrangian (1.1) Ta ®­a vào hai trường 1 = (π1 + iπ2 ), Φ2 = √ (σ + iπ3 ) 2 (A.1) Thay (A.1) vµo (1.1) ta sÏ đưa Lagrangian dạng tổng quát ~ ∗ )(∂Φ ~ k ) − m2 Φ∗ Φk L = (∂0 + iµk )Φ∗k (∂0 − iµk )Φk − (∂Φ k k k −λk (Φ∗k Φk )2 − 2λ(Φ∗1 )(2 ), liên hợp phøc cđa Φ, µ2k > m2k víi (A.2) k = 1, Tương ứng với (A.2) ta có đối hạng Ê Ô L = m2k k k + k (Φ∗k Φk )2 + 2δλΦ∗1 Φ1 Φ∗2 Φ2 + δΩ (A.3) Số hạng cho ta giá trị khối lượng số liên kết tái chuẩn hóa Đại lượng biểu diễn phần lượng bổ sung, nã sÏ bÞ hÊp thơ hÕt biĨu thøc cđa thÕ hiƯu dơng t¸i chn hãa LÊy tỉng (A.2) (A.3) ta thu biểu thức cho hiệu dụng tái chuẩn hóa m21 à21 + m21 m22 − µ22 + δm22 = δΩ + u + v 2 λ1 + δλ1 λ2 + δλ2 λ + δλ 2 + u + v + uv Z4 â ê 1 −1 −1 −1 tr ln D (k) + D0 D(k) + ln G (k) + G0 G(k) − 2.11 + β λ1 + δλ1 λ2 + δλ2 2 + [P11 + P22 [Q11 + Q222 + 6Q11 Q22 ] + 6P11 P22 ] + 4 λ + δλ [P11 Q11 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 ] (A.4) + VβCJT (u, v; D, G) Giả thiết tham số tái chuẩn hóa mk , k không phụ thuộc vào nhiệt độ hóa, khối lượng số liên kết tái chuẩn 124 125 hóa định nghĩa chân không m21R = VβCJT δu2 à ! à , m22R = u=v=0,T =µ1 =µ2 =0 ! δ VβCJT λ1R = δu4 à ! CJT δ V β λR = δu2 δv , λ2R = u=v=0,T =µ1 =µ2 =0 δ VβCJT δv à ! , u=v=0,T =µ1 =µ2 =0 ! δ VβCJT , δv u=v=0,T =µ1 =µ2 =0 u=v=0,T =à1 =à2 =0 Cũng cần nhấn mạnh rằng, gần IHF, định nghĩa cho hệ số tái chuẩn hóa không dẫn đến hàm điểm mà thay vào ta gặp loại đỉnh đơn giản Điều có nghĩa không gặp phải vấn đề phân kỳ hồng ngoại Với yêu cầu tất số hạng phân kỳ phải hấp thụ hết tham số đối hạng có hệ phương tr×nh δλ1 (3P11 + P22 )0 + δλ(Q11 + Q22 )0 + λ1 (3P11 + P22 )0 + λ(Q11 + Q22 )0 = 0, δλ2 (3Q11 + Q22 )0 + δλ(P11 + P22 )0 + λ2 (3Q11 + Q22 )0 + (P11 + P22 )0 = 0, (A.5) chóng ta ®· sư dơng ký hiƯu (A + B)0 = (A + B)u=v=0,T =à1 =à2 =0 Các phương trình (A.5) tạo thành hệ hai phương trình tuyến tính cho ba đại lượng chưa biết phụ thuộc vào δλ1 , δλ2 T, µ1 vµ vµ δλ NghiƯm cđa phương trình không à2 Với yêu cầu tất số hạng phân kỳ có mặt (A.4) phải bị khử hết dẫn đến phương trình δΩ + X i=1 (Ai δm2i + Bi δλi ) + Cδλ + D = 0, (A.6) 126 ®ã 1 div(P11 + P22 ), A2 = div(Q11 + Q22 ), 2 3 2 B1 = u2 div( P11 + P22 ) + div(P11 + P22 ) + divP11 P22 , 2 3 B2 = v div( Q11 + Q22 ) + div(Q211 + Q222 ) + divQ11 Q22 , 2 2 1X C = u div(Q11 + Q22 ) + v div(P11 + P22 ) + 2divPii Pkk , 2 A1 = i,k=1 D = + + + + + (−µ21 + m21 + 3λ1 u2 + λv − M12 )divP11 (−µ21 + m21 + λ1 u2 + λv )divP22 (−µ22 + m22 + 3λ2 v + λu2 − M22 )divQ11 (−µ22 + m22 + λu2 + λ2 v )divQ22 λ1 λ2 div(3P11 + 3P22 + 4P11 P22 ) + div(3Q11 + 3Q22 + 4Q11 Q22 ) 4 X λ divPii Qkk + div[R1 + R2 ] i,k=1 Râ rµng r»ng (A.6) lµ phương trình tuyến tính ba ẩn số , m21 m22 Sự tồn nghiệm phương trình (A.5) (A.6) đảm bảo biểu thøc cđa thÕ hiƯu dơng t¸i chn hãa sÏ chØ chứa số hạng hữu hạn 127 Phụ lục B: tích phân mô men xung lượng chương Để đơn giản ký hiệu ta giả sử xét đại lượng hội tụ thành phần phân kỳ kí hiệu F Thành phần [F ] divF F = [F ] + divF Trong c¸c tÝnh to¸n ë chương thường gặp số tích phân mô men xung lượng sau B1 Đối với hàm truyền D Chúng ta định nghĩa Z P11 = Z D11 , P22 β = D22 , R1 = β Z tr ln D −1 (k), β th× sau số tính toán dẫn đến [P11 ] Z ∞ r x (M12 + µ2I ) ln dx = + (x + 4µ2I + M12 ) 2 2 8π 16π µI x + 4µI " #−1 p 2 (x + 4µI )(x + 4àI + M1 ) ì exp 2àI T " #−1 p Z ∞ s 2 x(x + M1 ) x + 4µI + M1 x exp + dx −1 , 16π µ2I x + M12 T [P22 ] [R1 ] p Z ∞ x(x + 4µ2I ) µ2I ln √ = + dx (x+4µ2I )(x+4µ2I +M12 ) 8π 16π µ2I exp −1 2µI T Z ∞ p (x + 4µ2I + M12 )(x + M12 ) √ + dx , x(x+M12 ) 16π µ2I exp 2µI T − (M14 + 2µ2I M12 + 2µ4I ) ln =− Z ∞ 16π q T M12 + dx(x + 2µI + ) x(x + 4µ2I + M12 ) 16π µI 128 ( " ( p )# 2 (x + 4àI )(x + 4àI + M1 ) ì ln − exp − 2µI T )#) " ( p x(x + M1 ) + ln − exp 2àI T B2 Đối với hàm truyền G Tương tự ta định nghĩa Z Q= β 1 = [Q] + divQ, R2 = k2 + M 2 Z tr ln G −1 = [R2 ] + divR2 , β sÏ dÉn tíi M32 M32 [Q11 ] = ln − 2 16π γ 2π [Q22 ] = [R2 ] M42 16π ln M42 γ2 − 2π Z ∞ dk p Z k2 k2 + M32 (1 + M42 (1 ∞ dk p k2 − exp k2 − exp √ √ k +M32 ) T k +M42 ) T ả ả M34 M32 M44 M42 = ln − + ln − 64π γ 64π γ !# " à p Z ∞ 2 k + M3 T + dkk ln − exp − 2π T " à p !# Z ∞ + M2 k T + dkk ln − exp − 2π T B3 Thành phần nhiệt độ à2I ln (M01 + µ2I ) ln , (P22 )0 = , (P11 )0 = 8π 8π (M01 + 2µ2I M01 + 2µ4I ) ln (R1 )0 = − , 16π , , 129 2 2 M04 M03 M03 M04 (Q11 )0 = ln , (Q22 )0 = ln , 16π 16 ả ả 4 M03 M03 M04 M04 (R2 )0 = ln − + ln − 64π γσ 64π γπ B2 Khai triÓn nhiƯt ®é cao T2 T2 , P22 ' (P22 )0 + , 12 12 2 M − 2µ π R1 ' (R1 )0 − T + T , 45 24 T2 T2 Q11 ' (Q11 )0 + , Q22 ' (Q22 )0 + , 12 12 π M32 + M42 R2 ' (R2 )0 − T + T 45 24 P11 ' (P11 )0 +