Chuyên đề phân thức đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Các toán biểu thức nguyên 2 2 (a  b  c) a  b  c  2(ab  bc  ca) n n n n n n a  b (a  b)(a  a b  a b   b ) 2n 2n 2n 2n 2n 2n a  b (a  b)(a  a b  a b   b ) n n n n n n a  b (a  b)(a  a b  a b   b ) Nhị thức Newton: ( a  b) n a n  n.a n 1.b  n(n  1) n  2 a b   b n Bài 1: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính A = a4 + b4 + c4 Lời giải: 2 2 Ta có: a  b  c 0  (a  b  c ) 0  a  b  c  2ab  2bc  2ca 0  14  2(ab  bc  ca )  ab  bc  ca  7(1) 2 4 2 2 2 Lại có: a  b  c 14  a  b  c  2a b  2a c  2b c 14 169(2) 2 2 2 2 2 2 2 Từ (1)  a b  b c  c a  2ab c  2a bc  2abc 49  a b  b c  c a  2abc (a  b  c ) 49  a 2b  b 2c  c a 49  (2) : a  b  c 142  2.49 98 2019 2020 2021 Bài 2: Cho x + y + z = xy + yz + xz = Tính A ( x  1)  y  ( z  1) Lời giải : 2 2 2 Từ : x  y  z 0  x  y  z  2( xy  yz  zx ) 0  x  y  z 0  x  y  z 0  A  12019  02020  12021 0 Bài : Cho x + y + z = , chứng minh 2 2 4 a ( x  y  z ) 2( x  y  z ) 3 2 5 b 5( x  y  z )( x  y  z ) 6( x  y  z ) 5 2 c 2( x  y  z ) 5 xyz ( x  y  z ) Lời giải: 2 2 4 2 2 2 a ( x  y  z ) x  y  z  2( x y  y z  z x )(1) x  y  z 0  x  y  z  2( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 4( xy  yz  zx ) (2) 4 2 2 2 2 2 2 2 Từ (1)(2)  x  y  z  2( x y  y z  z x ) 4( x y  y z  z x  xy z  x yz  xyz ) 4[x y  y z  z x  2( x  y  z )]=4(x y  y z  z x )  x  y  z 2( x y  y z  z x )      =0 2 2 4 Thay vào (1), ta : ( x  y  z ) 2( x  y  z ) VT  x  y  z  x y ( x  y )  x z ( x  z )  y z ( y  z ) b Từ x  y  z 0  x  y  z; x  z  y ; y  z  x  VT  x  y  z  xyz ( xy  yz  zx )(1) x  y  z 0  ( x  y  z ) 0  x  y  z  2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  3 Theo câu a, ta có : x  y  z 3xyz x + y + z = x  y  z x3  y  z   ( xy  yz  zx).xyz  (2) 3 3 2 5 Thay vào (1), ta : 5( x  y  z )( x  y  z ) 6( x  y  z )(*) 3 c Ta có : x  y  z 3xyz , thay vào (*), ta : 5.3 xyz ( x  y  z ) 6( x  y  z )  xyz ( x  y  z ) 2( x  y  z )(dpcm) Bài : Chứng minh 2(a  b3  c  3abc) (a  b  c)  (a  b)  (b  c)  (c  a )  a 2 b (a  b)(b  c)(c  a)  4abc c( a  b)  a(b  c)  b(c  a) Lời giải : 2 a VP (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ca) x2  y2  z 2 VT a  b3  c  3abc (a  b)3  c  3ab (a  b )  3abc (a  b)  c  3ab(a  b  c ) (a  b  c)[(a+b)  (a  b)c  c  3ab] ( a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca )  VT VP 2 2 2 b VT 6abc  ca  ac  ab  a b  bc  b c VP 6abc  ca  ac  ab  a 2b  bc  b 2c VT Bài : Cho a + b + c = 4m Chứng minh 2 2 a 2ab  b  a  c 16m  8mc a b  c a c  b  a b c ) ( ) ( ) a  b  c  m 2 2 b ( Lời giải: 2 2 a VT (a  b)  c (4m  c)  c 16m  8mc VP b Từ a  b  c 4m  a  b  c 4m  2c  a b  c 2m  c Tương tự: VT (2m  c)  (2m  b)  (2m  a ) a  b  c  12m  4m( a  b  c) a  b  c  4m VP Bài 6: 2019 2019 2019 2019 a Cho ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz (*), CMR : x  y  z ( x  y  z ) b Nếu x  y  z 6  A ( x  y )( y  z )( z  x )  xyz 6 Lời giải: a Theo (*)  ( x  y  z )( xy  yz  zx )  xyz 0  xy  x y  xyz  xyz  y z  z y  x z  xz  xyz  xyz 0  xy ( x  y )  yz ( x  y )  z ( x  y )  xz ( x  y ) 0  ( x  y )( xy  yz  z  xz ) 0  x  y 0  ( x  y )( y  z )( z  x ) 0   y  z 0   z  x 0  x  y  y  z   z  x 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 Giả sử: x  y  x  y  x  y  z z ;( x  y  z )  z  dpcm b Theo câu a, ta có: ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y  z )( xy  yz  zx )  xyz  A  ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz Vì x  y  z 6  x  y  z số chẵn  số x, y, z số chẵn  3xyz 6  A6 2 1945 Bài : Cho a  b  c a  b  c 1 Tính A a  b  c Lời giải : 2 2 Ta có : a  b  c 1  a 1  a 1   a 1;  b, c 1  a 0  a 1  a (1  a) 0  a a ,'' ''    a 1  b 0  b 1  b3 1  (1  b ).b 0  b b ,'' ''    b 1  c 0 c c ,'' ''    c 1 Tương tự : 2 7 Mặt khác ta lại có : a  b  c a  b  c 1  a a ; b b ; c c  a , b, c Có số = số =  A 1 Bài : Tìm số a, b, c cho : x  ax  bx  c ( x  a)( x  b)( x  c)x  R Lời giải: 3 Ta có: ( x  a)( x  b)( x  c ) (a  b  c) x  (ab  bc  ac) x  abc  x  x  ax  bx  c  a  b  c a    ab  bc  ca b   abc c  b  c 0   a (b  c )  bc b  bc b  c(1  ab) 0   b c 0, a  a b  1; c 1  3 Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: a  3a  5a  17 0; b  3b  5b  11 0.TinhA a  b Lời giải: (a  b3 )  3( a  b )  5( a  b)  0  ( a  b)3  3ab( a  b)  3[( a  b)  2ab]  5( a  b)  0  (a  b)3  3(a  b)  5(a  b)   3ab( a  b)  6ab 0  ( a  b)3  3(a  b)  5(a  b)   3ab(a  b  2) 0(a  b 2  a  b  0)  (a  b)3  2(a  b)  (a  b)  2(a  b)  3(a  b)   3ab(a  b  2) 0  ( a  b) (a  b  2)  (a  b)(a  b  2)  3( a  b  2)  3ab(a  b  2) 0  a  b  0  (a  b  2)[(a+b)  (a  b)   3ab] 0    (a  b)  (a  b)   3ab 0  A 2    a  ab  b  a  b  0  2a  2ab  2b   2a  2b  0   A 2    A 2 2 ( a  b )  ( a  1)  ( b  1)   0( voly )  Bài 10: Chứng minh A  x  x  x  x   Lời giải: +) Xét x 1  x ( x  1) 0  x  x ; x ( x  1) 0  x  x  A 1  5 +)  x 1   x 0; x (1  x ) 0   x ; x  x  A  x   x  x  x 0  A    x  x0    x  +) - x   x ( x  1) 0  x  x 0  A 1 -  x    x   A  Vậy A > với x BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm số a, b, c, d cho: A( x)  x  ax  bx  x  bình phương đa thức B( x)  x  cx  d Lời giải: 2c a  c  2d b 2 2 2 [B ( x)] ( x  cx  d )  x  2cx  (c  2d ) x  2cdx  d  A( x) B ( x)   2cd  d 4  +) d 2  c  2; a  4; d 8 +) d   c 2, a 4, b 0 3 2 Bài 2: Cho a  3ab 19; b  3a b 98 Tính E a  b Lời giải: 2 2 4 Ta có: (a  3ab ) 19 a  6a b  9a b ;98 (b  3a b) b  6b a  9a b 192  982 a  b6  3a b  3a 2b4 ( a  b )3  a  b  9965 12 Bài 3: Chứng minh rằng: A  x  x  x  x   0x  R Lời giải  x9 ( x3  1) 0 x 1    A 1  0x  R x ( x  1)    +) Với  x  x0   A0  x   +) Với 1  x 0  x 1    A0 x  x  x (1  x )   +) Với Do dấu “ = ’’ không xảy Bài 4: Chứng minh 3 a Nếu a + b + c ≥ a  b  c  3abc 0(a, b, c  R ) 4 4 b a  b  c  d  4abcd 0a, b, c, d  R Lời giải 3 2 a Có: a  b  c  3abc (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ca ) 2 2 2 2 mà: a  b  c 02( gt );(a  b) 0  a  2ab  b 0  a  b 2ab; a  c 2ac; b  c 2bc  a  b  c ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca 0 4 4 4 2 4 2 2 2 b a  b  c  d  4abcd a  b  2a b  c  d  2c d  2a b  2c d  4abcd ( a  b )2  (c  d )  2(ab  cd ) a, b, c, d  R CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Rút gọn, tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: a Cho a – 2b = Tính giá trị biểu thức A 3a  2b 3b  a  2a  b Lời giải Ta có: a  2b 5  a 2b   A  b Biết 2a – b = Tính B 3(2b  5)  2b 3b  (2b  5)  2 2(2b  5)  b 5a  b 3b  2a  3a  2b  Lời giải 2a  b 7  b 2a   B 2 2 2 c Biết 10a  3b  5ab 0;9 a  b 0 Tính C 2a  b 5b  a  3a  b 3a  b Lời giải (2a  b)(3a  b)  (5b  a)(3a  b) 3a  15ab  6b C  (1) (3a  b)(3a  b) 9a  b Từ giải thiết: 10a  3b  5ab 0  5ab 3b  10a  A  3a  3(3b  10a )  6b  27 a  3b   9a  b 9a  b 2 d Cho 3a  3b 10ab b  a  Tính D a b a b Lời giải Cách 1: Từ  b 3a a  3a  3a  3b 10ab  3a  3b  10ab 0  (3a  b)( a  3b) 0    A  a  3a  a 3b(loai ) (a  b) a  2ab  b 3a  3b  6ab 1 A      A 2 ( a  b) a  2ab  b 3a  3b  6ab Cách 2: a  b  1 ba   A0 A a  b  Do x  25 y E : 2 2 x  y  xy 2 xy  x  x  10 x  25 x y  y  Tính e Biết Lời giải  x  y 0 x  y  xy 2 xy  x   ( x  y )  x  0    x  0  Có: Bài 2: Cho a A x2  x x2 3 x Tính giá trị biểu thức sau: b B  x3  x3 c Lời giải a A x  1  2.x  ( x  )  7 x x x 1 B  x  ( )3 ( x  )( x   ) 3.6 18 x x x b c C x   x 3 8  A   y 1 1 1  x   2.x  ( x  )  47 x x x x C x  x4 d D x5  x5 1 1 1 1 D  x  ( )5 ( x  )( x  x  x  x  ) ( x  )( x   x   ) x x x x x x x x x d 3.(47   1) 123 Cách 2: ( x2  1 1 )( x3  )  x  x   123 x x x x Bài 3: Cho x  x  0 Tính A x5  1 B x7  x x Lời giải 2 Có: x  x  0  x  4 x  x 0 Chia hai vế cho x ta được: x 4 x 1 ( x  )  x   16  x  14 x x x Ta có: 1 1 1 ( x  )3  x   3.x .( x  )  x   3.4 43  x  52 x x x x x x  ( x2  1 1 1 )( x  )  x   x  4  x   x   x x x x x x x x2 x2 2008 M  N x  x  x  x2 1 Bài 4: Cho x  x  Tính Lời giải 2 2 Có: x  x  ( x  x  1)( x  x  1); x 2008( x  x  1)(1) Từ: x 2008  x 2008( x  1)  2008 x  2009 x 2008( x  1)  2009 x  2008 x 2008( x  x  1) x  x 1  4017 x 2008( x  x  1)(2) Lấy (1).(2) được: 4017 x 20082 ( x  x  1)(*)  4017 x 20082 2  2008  4017 M  2008  M  x4  x2 1 4017 (*)  x  20082 ( x  x  1) M ( x  x  1)  x M ( x  x   x )  x M ( x  x  1)  2Mx 4017 (1  M ) x M  (1  M ) x M ( x  x  1)  M  (1  2M ).N M  N  x  x 1  2M x y z a b c a b c   0(1);   2(2) A ( )  ( )  ( ) x y z x y z Bài 5: Cho a b c Tính Lời giải x y z bcx  acy  abz   0  0  bcz  acy  abx 0(3) abc Ta có: a b c a b c a b c a b c ab ac bc   2  (   ) 4  ( )  ( )  ( )  2(   ) 4 x y z x y z xy xz yz Từ (2) x y z a b c a b c a b c ab ac bc   2  (   ) 4  ( )  ( )  ( )  2(   ) 4 x y z x y z x y z xy xz yz a b c abz  acy  bcx  ( )  ( )  ( )  2( ) 4(4) x y z xyz a b c A ( )  ( )  ( ) 4 x y z Thay (3) vào (4), ta được: 3 Bài 6: Biết a  b  c 3abc a  b  c 0 Tính A a2  b2  c2 (a  b  c ) Lời giải 3 2 2 2 Ta có: a  b  c  3abc (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ca )  a  b  c  ab  bc  ca 0  (a  b)  (b  c)  (c  a ) 0  a b c  A  Bài 7: Tính A 3a  (3a ) bc( y  z )2  ac( z  x)  ab( x  y ) ax  by  cz , biết ax  by  cz 0  a  b  c 25 Lời giải 2 2 2 Đặt M bc( y  z )  ac ( z  x )  ab( x  y ) by (a  c )  cz (a  b)  ax (b  c )  2(bcyz  acxz  abxy ) 10 Lời giải Từ ( a  b  c )2 a  b  c  ab  bc  ca 0  bc  (ab  ac )  a  2bc a  bc  (ab  ac ) (a  b )(a  c ) a2 b2 c2 b  2ac (b  c)(b  a ); c  2ab (c  a)(c  b)  A    a  2bc b  2ac c  2ab Tương tự: A  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) (a  b)(b  c)(c  a )  1 (a  b)(b  c)(c  a) (a  b)9b  c)(c  a) 1 b c a c a 2b   0 M   a b c CMR: M 3abc Bài 10: Cho a b c với a, b, c 0 Lời giải 1  x;  y;  z  x  y  z 0 b c Đặt a M b c a c a 2b 1   a 2b 2c (   ) a 2b 2c ( x  y  z ) a b c a b c 3 3 3 3 Từ: x  y  z 0  x  y  z  ( x  y )  z  x  y  3xy ( x  y )  z  x  y  z 3xyz 1  M a 2b c 3xyz a 2b 2c 3abc a b c a b c a b c x y z   2      0 2 abc Bài 11: Cho a b c x y z CMR: bcx acy abz Lời giải x y z a b c a b c   0  bcx  acy  abz 0;   2  (   ) 4 x y z x y z Có a b c a b2 c ab bc ac a b2 c2 abz  bcx  acy a b2 c2     2(   ) 4     2( ) 4     x y z xy yz xz x y z xyz x y z Chia hai vế cho abc  a b c    2 bcx acy abz abc 18 x y 2( x  y )   2 0 x  y  xy  y  x  x y  Bài 12: Cho CMR: Lời giải x y x4  x  y  y ( x4  y )  ( x  y)    y  x  ( y  1)( x3  1) ( y  1)( y  y  1)( x  1)( x  x  1) Ta có: Theo đầu bài: x  y 1  x 1  y; y 1  x  ( x  y )( x  y )( x  y )  ( x  y ) ( x  y )( x  y  1)  xy ( x  x  1)( y  y  1) xy ( x y  x y  x  xy  xy  x  y  y  1) ( x  y )  x( x  1)  y ( y  1)  ( x  y )( x  y  1) ( x  y )( x  y  1)    xy ( x y  3) xy  x y  xy ( x  y )  x  y  xy  2 xy  x y  ( x  y )2    ( x  y )  x( y )  y (  x)  ( x  y )( xy )  2( x  y )   2  dpcm xy ( x y  3) xy ( x y  3) x y 3 RÚT GỌN BIỂU THỨC Bài 1: Rút gọn A (a  b  c )(a  b  c)2  (ab  bc  ca ) (a  b  c)2  (ab  bc  ca) Lời giải 2 2 2 Có: (a  b  c)  (ab  bc  ca) a  b c  ab  bc  ca  MS a  b  c  ab  bc  ca TS (a  b  c )(a  b  c  2ab  2bc  2ac )  (ab  bc  ca ) (a  b  c )( MS  ab  bc  ca )  ( ab  bc  ca) (a  b  c ).MS  ( a  b  c )(ab  bc  ca )  (ab  bc  ca ) 19 ( a  b  c ).MS  (ab  ac  bc )(a  b  c  ab  bc  ca ) MS (a  b  c ab  bc  ca ) MS TS MS  A  MS MS MS Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x  yz y  zx z  xy A   yz zx xy 1 1 1 x y z a x  yz y  zx z xy x ( x  yz ) y ( y  yz ) z ( z  xy ) x  y  z  3xyz A       yz zx x y x  y  z x  y  z x  y  z x yz 1 1 1 x y z ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx ) A x  y  z  xy  yz  zx x yz a( a  b) a( a  c) b(b  c) b(b  a ) c(c  a ) c(c  b)    a  b a  c b  c b  a c  a c b B   (b  c) (c  a) ( a  b) 1 1 1 ( a  b )( a  c ) ( b  c )( b  a ) (c  a)(c  b) b a ( a  b) a (a  c ) b(b  c) b(b  a ) c (c  a ) c (c  b )    a  b a  c b  c b  a c  a c b B1  ; B2  ; B3  (b  c) (c  a ) ( a  b) 1 1 1 ( a  b )( a  c ) ( b  c )( b  a ) (c  a )(c  b) Đặt 2 a (a  b)(a  c )  a (a  c )( a  b) a  a  ab  ac  bc  a  ab  ac  bc  a (2a  2bc) B1    ( a  b )( a  c ) ( a  b )( a  c ) (a  b)(a  c ) Tử số Mẫu số  B1  B1 1  (b  c)2 (a  b)(a  c)  (b  c) a  b  c  ab  bc  ca   (a  b)(a  c) (a  b)(a  c ) (a  b)(a  c ) 2a  2abc a  b  c  ab  bc  ca 2b3  2abc 2c3  2abc  B2  ; B3  a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca Tuơng tự:  B 2( a  b3  c  3abc) 2(a  b  c ) a  b  c  ab  bc  ca 20