5 chuong05

CHƯƠNG V : GÓC LƯNG GIÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CHỦ ĐỀ 01 GÓC VÀ CUNG LƯNG GIÁC   Cung trịn bán kính R , có độ dài l , có số đo radian a ( £ a £ 2p) , có số đo a0 ( £ a £ 360) a a = , l = Ra p 180 Mỗi góc lượng giác gốc O xác định tia đầu Ou , tia cuối Ov số đo độ hay radian v v V O O  Ð u U u UV  Cung lựng giác xác định mút đầu, mút cuối số đo đường tròn định hướng Chiều quay dương ngược chiều quay kim đồng hồ Nếu góc lượn giác ( Ou, Ov) có số đo a radian góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov có s o a + kp, k ẻ  , góc tương ứng với giá trị k Các cung lượng giác tròn định hướng tâm O có tính chất Tương tự cho đơn vị độ Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou, Ov , Ow , ta có Ð UVtương ứng đường sđ ( Ou, Ov) + sđ ( Ov , Ow) = sđ ( Ou, Ow) + k 2p ( k ẻ  ) VAN ẹE 01  ĐƠN VỊ VÀ ĐỘ DÀI CUNG Một cung có số đo a radian a độ có a a = Þ p 180 pa a 180 , a= 180 p ỉ p 180 ÷ ÷ l0 = rad , 1rad = ỗ ỗ ữ ữ ỗ 180 èp ø a= Với p » 3,14 l » 0,0175 rad ngược lại, 1rad » 57 017 ' 45''  Trên đường tròn ( O; R) , cung có số đo a rad có độ dài l = a R 237 Bài a) Đổi số đo góc sau rađian: 720 , 6000 , b) Đổi số đo góc sau độ: 5p , 18 - 37 45' 30'' 3p , - Lời giải p rad nên a) Vì = 180 p 2p 720 = 72 = ; 180 6000 = 600 ỉ45 ÷ ÷ - 37 45' 30'' = - 37 - ỗ ỗ ữ ữ ỗ60 ứ ố p 10p = ; 180 0 ỉ 30 ỉ4531ư 4531 p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = = » 0,6587 ç ç ÷ ÷ ÷ è ÷ 120 180 ç60.60 ứ ỗ 120 ứ ố 0 ổ 180 ö 5p æ 5p 180 ö 3p æ 3p 180 o o ữ ữ ữ ỗ ỗ b) Vỡ 1rad = ỗ nờn ; ữ ữ ữ = = 50 = ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ = 108 ; ỗ ữ ữ ữ 18 ỗ ç èp ø è18 p ø è5 p ø ổ 180 ữ ữ - =- ỗ ç ÷ =÷ ç è p ø ỉ 720 ữ ỗ ữ ỗ ữ ằ - 2260 48' ữ ỗp ứ ố Bi Mt ng trịn có bán kính 36m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo 3p a) b) 510 Lời giải pa R nên Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l = Ra = 180 3p = 27 p » 84,8m a) Ta có l = Ra = 36 pa p51 51p R = 36 = » 32,04m b) Ta có l = 180 180 Bài Bánh xe người xe đạp quay 11 vịng giây a) Tính góc (theo độ rađian) mà bánh xe quay giây b) Tính quãng đường mà người xe phút, biết đường kính bánh xe đạp 680 mm Lời giải 11 22p a) Trong giây, bánh xe quay vòng, tức quay góc (rad) hay 7920 5 22p 60 » 281,990(mm) » 282(m) b) Trong phút, bánh xe lăn l = 340 VẤN ĐỀ 02  CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC Số đo góc lượng giác sđ ( Ou, Ov) = a + k 2p a0 + k 3600 với k số nguyên  = a + k 2p a0 + k 3600 Số đo cung lượng giác: Sđ Để xác định cơng thức số đo tổng qt ta cần xác định số đo cung góc lượng giác Mỗi cung lượng giác ứng với góc lượng giác ( Ou, Ov) ngược lại Số đo cung lượng giác góc UV Ð UV lượng giác tương ứng 238 Bài Tìm số đo a góc lượng giác ( Ou, Ov) với £ a £ 2p , biết góc lượng giác tia đầu, tia cuối với góc có số đo 33p a) b) Li gii 33p + k p, k ẻ  a) Mọi góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo ìï ì ïï £ 33p + k 2p £ 2p ïïï £ 33 + k £ Û í Û Vì £ a £ 2p nên í 4 ïï ïï ïỵ k ẻ  ùợ k ẻ  30 ỡù 33 25 ï £ k£ïí 8 Û k =- ùù ùợù k ẻ  33p p +( - 4) 2p = 4 b) Mọi góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo 30 + k 2p, k ẻ  Suy a = ì ïìï 15 p - 15 ìï £ 30 + k 2p £ 2p ïïï £ 15 + k £ £ k£ ï ï Û í Û í p Vì £ a £ 2p nên í p p Û k =- ïỵï k ẻ  ùù ùù ùợ k ẻ  ùợ k Î ¢ Suy a = 30 +( - 4) 2p = 30 - 8p » 4,867 Bài Tìm góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo dương nhỏ nhất, biết góc lượng giác có số đo a) - 900 b) 30p Lời giải a) Nếu góc lượng giác có số đo a0 cần xác định số nguyên k để < a + k 3600 £ 3600 , a + k 3600 số dương nhỏ cần tìm Với a = - 900 k = , số dương nhỏ cần tìm 270 b) Nếu góc lượng giác có số đo a (rad) cần xác định số nguyên k để < a + k 2p £ 2p , a + k 2p số dương nhỏ cần tìm 30p 2p Với a = k = - , số dương nhỏ cần tìm 7 p 29p 22 6p 41p ; ; ; Trong số , số số đo 7 7 góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc cho ? Lời giải 29p ỉ pư 22 ỉ pư 6p ỉ pư 41p ỉ pư ÷= ( - 2) 2p , ÷= - 3p , ÷= p ữ= 3.2p - ỗ - ữ - ỗ - ữ - ỗ - ữ - ỗ - ữ ỗ ç ç ç Ta có ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 7 ố 7ø è 7ø è 7ø è 7ø Bài Cho góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo - Hai góc có tia đầu, tia cuối sai khác bội 2p nên số - 29p 41p ; số đo góc 7 lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc cho Bài Hai góc lượng giác có số đo mp 39p ( m số nguyên ) tia đầu, tia cuối không ? Lời giải 239 mp 39p = k 2p , k ẻ  351 Hay m - 9.39 = 9.7.k Û ( m - 18 k ) = 351 Û m - 18 k = với k , m Ỵ ¢ Vì vế trái số nguyên, vế phải số thập phân nên dẫn tới vô lí mp 39p Vậy hai góc lương giác ( m số nguyên ) tia đầu, tia cuối Giả sử hai góc có tia đầu, tia cuối Bài Cho sđ ( Ou, Ov) = a sđ ( Ou ', Ov ') = b Chứng minh hai góc hình học uOv , u ' Ov ' b - a = k 2p b + a = k 2p với k Ỵ ¢ Lời giải Ta có sđ ( Ou, Ov) = a sđ ( Ou ', Ov ') = b suy tồn p < a0 £ p , p < b0 £ p số nguyên k0 , l0 cho a = a0 + k0 2p, b = b0 + l0 2p · Khi a0 số đo uOv b0 số đo u· ' Ov ' éa0 = b0 Hai góc hình học uOv , u ' Ov ' a0 = b0 Û ê êa = - b ë0 Û b - a = k 2p b + a = k 2p vi k ẻ  CHU ẹE 02 GIA TRỊ LƯNG GIÁC  Đường trịn lượng giác: Đường trịn đơn vị ( R = 1) , định y hướng, với điểm gốc A ( 1; 0)    Hệ tọa độ vng góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác: O tâm đường tròn, Ox tia OA Điểm M đường tròn lượng giác xác định số (cung góc) a : Điểm M cho AM cung lượng giác a ( OA , OM ) góc lượng giác a  240 O ) cos a = x , sin a = y Nói cách khác uuuu r r r sin a cosa OM = cos a i + sin a j , tan a = (khi cosa ¹ ); cot a = (khi sin a ¹ ) cos a sin a Một số tính chất 1 + tan a = - £ sin a £ 1; - £ cosa £ cos2 a sin a + cos a = Các trục lượng giác Trục sin trục tung Oy , trục cos truch hoành Ox + cot a = x α Giá trị lượng giác: Cho goác lượng giác a , xét điểm M đường tròn lượng giác xác định a Nếu M có tọa độ rr ( x; y) hệ tọa độ O; i; j gắn với đường trịn (  M sin a A Trục tan At hướng với trục tung với A ( 1; 0) Trục cot Bs hướng với trục hoành với B ( 0;1)  Giá tri lượng giác góc (cung) cóa liên quan đặc biệt (giả sử biểu thức có nghĩa) Đối nhau: sin ( - a ) = - sin a tan ( - a ) = - tan a cos ( - a ) = cos a cot ( - a ) = - cot a Hơn p : sin ( p + a ) = - sin a tan ( p + a ) = tan a cos ( p + a ) = - cos a cot ( p + a ) = cot a Bù nhau: sin ( p - a ) = sin a tan ( p - a ) = - tan a cos ( p - a ) = - cos a cot ( p - a ) = - cot a Ph nhau: ổ p ữ sin ỗ - aữ = cos a ỗ ữ ỗ ữ ố2 ứ ổ p ữ= sin a cos ỗ - aữ ỗ ữ ữ ỗ ố2 ứ ổ p ữ tan ỗ - aữ = cot a ỗ ữ ç ÷ è2 ø ỉ p ÷= an a cottỗ - aữ ỗ ữ ữ ỗ ố2 ứ p : ổ p sin ỗ +aữ ữ = cos a ỗ ữ ỗ ữ ố2 ứ ổ p ữ= - sin a cos ỗ +aữ ỗ ữ ữ ỗ ố2 ứ ổ p tan ỗ + aữ ữ = - cot a ỗ ữ ỗ ữ ố2 ứ ổ p ữ= - an a cottỗ +aữ ỗ ữ ữ ỗ ố2 ứ Hn kộm VAN ĐỀ 01 BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯNG GIÁC Phương Pháp Để biểu diễn góc lượng giác đường tròn lượng giác ta thường sử dụng kết sau  Góc a góc a + k 2p, k ẻ  cú cựng im biu din trờn ng tròn lượng giác k 2p  Số điểm đường trịn lượng giác biểu diễn số đo có dạng a + ( với k số nguyên m m số nguyên dương) m Từ để biểu diễn góc lượng giác ta cho k từ tới ( m- 1) biểu diễn góc Bài Biểu diễn góc (cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau p 11p a) b) c) 1200 d) - 7650 Lời giải p Ta chia đường tròn thành tám phần a) Ta có = 2p p Khi điểm M1 điểm biểu diễn góc có số đo 241 11p p 11p = - +( - 3) 2p điểm biểu diễn góc 2 p trùng với góc - 11p Khi điểm B ' điểm biểu diễn góc có số đo 120 = Ta chia đường tròn thành ba phần Ta có 360 b) Ta có - c) y B M2 M1 x O A' A Khi điểm M2 điểm biểu diễn góc có số đo 120 M3 0 d) Ta có - 765 = - 45 +( - 2) 360 điểm biểu diễn góc B' - 7650 trùng với góc - 450 45 = Ta chia đường tròn làm tám phần (chú ý góc âm ) Hơn 360 ¼ ' ) điểm biểu diễn góc có số đo - 7650 Khi điểm M3 (điểm cung nhỏ AB Bài Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy ý) p a) x1 = kp b) x2 = + kp Lời giải k 2p a) Ta có x1 = có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x1 = kp Với y M k = Þ x1 = biểu diễn điểm A k = Þ x1 = p biểu diễn B p kp + có hai điểm biểu diễn góc có số đo p dạng x2 = + kp Với p k = Þ x2 = biểu diễn M 4p k =1 Þ x = biểu diễn N b) Ta có x2 = VẤN ĐỀ 02 A x B N GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC Phương pháp Để xác định giá trị lượng giác ta sử dụng phương pháp sau  Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác  Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt  Sử dụng hệ thức lượng giác giá trị lượng giác góc liên quan đặc biệt  Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác 242 Bài Tìm điểm đường trịn lượng giác xác định số a thỏa mãn a) cos a = - sin a b) sin a = sin a Lời giải Gọi điểm cuối góc lượng giác a M ( x; y) Do M ( x; y) thuộc đường tròn ( 0;1) nên x + y = a) Ta có cos a = - sin a Û cos a = cos a Û cos a = cos a Û cos a ³ ìï x + y = ï Vậy điểm M ( x; y) thỏa mãn í (góc phần tư thứ I thứ IV) ïï x ³ ỵ b) Ta có sin a Û sin a Û sin a = sin a Û sin a ³ ìï x + y = ï Vậy điểm M ( x; y) thỏa mãn í (góc phần tư thứ I thứ II) ïï y ³ ỵ Bài Điểm cuối M góc lượng giác a vị trí a) sin a , cos a dấu ? b) sin a , tan a khác dấu ? Lời giải a) Điểm M góc phần tư thứ I III sin a , cos a dấu b) Điểm M góc phần tư thứ II III sin a , tan a khác dấu Bài Xét dấu số sau a) ( ) sin 1560 ; cos - 800 b) æ pử ổ pử p ữ ữ sin ỗ a+ ữ ; tan ỗ a- ữ ỗ ỗ vi < a < ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 4ứ 2ø è è b) sin Lời giải 0 0 a) Do < 156 < 180 nên sin 156 > ( ) Do - 900 ỉ pư p p p 3p ữ a+ ữ ỗ nờn < a + < nờn sin ỗ ữ> ỗ ữ 4ứ ố 4 ỉ pư p p p ÷ a- ữ ỗ Do < a < nờn - < a - < nờn tan ỗ ữ< ữ ỗ 2ứ ố 2 b) Do < a < p < a < p Xác định dấu biểu thức sau ỉp ÷ - + a÷ tan p - a ) ç a) cos ç ÷ ÷ ( ç è ø Bài Cho 14p cot ( p + a ) Lời giải ỉ p p p p ữ - + aữ ỗ a) Ta cú < a < p Û ỗ ữ ố ø 2 p Và < p - a < suy tan ( p + a ) > ỉp ÷ - + tan p + a ) > ỗ Vy cos ỗ ữ ữ ( ỗ ố ứ b) Ta có 3p 14p 14p < < 2p suy sin nên cos a < Vậy cos a = - ỉ sin a ÷ ÷ =ỗ suy sin a = tan a.cos a = 2.ỗ ữ ỗ ữ ỗ cos a ố 5ø b) Vì tan a , cot a dấu tan a + cot a > nên tan a > 0, cot a > 1 25 = Û tan a = Ta có tan a + = cos a = suy tan a = 24 24 ( 0,8) Ta có tan a = cot a = = , sin a = tan a cos a = tan a Bài 11 a) Tính giá trị lượng giác cịn lại góc a , biết sin a = b) Cho sin a - cos a = a) Ta có cot a + = tan a + cot a < Tính giá trị biểu thức A = sin a - cos a Lời giải = 25 Û cot a = 24 hay cot a = ±2 sin a Vì tan a , cot a dấu tan a + cot a < nên tan a < 0, cot a < 1 =Do cot a = - Ta lại có tan a = cot a cos a - suy cos a = cot a sin a = sin a 1 b) Ta có sin a - cos4 a = Û sin a - - sin a = 2 Ta có cot a = ( ) 245 ( ) Û ( sin a - 1)( sin a + 3) = Û sin a - = (do sin a + > ) Û sin a - - sin a + sin a = Û sin a + sin a - = Suy sin a = Ta lại có cos a = - sin a = ỉư 1÷ Vy A = ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ2 ø è 1 = 2 ỉư 1ữ ỗ ữ = ỗ ữ ữ ç2 ø è Bài 12 tan a + 3cot a Tính giá trị biểu thức A = tan a + cot a sin a - cos a b) Cho tan a = Tính giá trị biểu thức B = sin a + cos a + sin a c) Cho cot a = Tính giá trị biểu thức C = sin a - sin a cos a + cos a a) Cho cos a = Lời giải 1 +2 2 tan a + 17 tan a cos a A= = = = + cos a = + = 1 9 tan a + tan a + tan a cos a sin a cos a tan a tan a + - tan a + 3 ( + 1) - ( + 1) cos a cos a B= = = = 3 27 + + 2.3 ( + 1) sin a cos a sin a tan a + + tan a tan a + + + 3 cos a cos a cos a æ cos a cos a ö sin a - sin a cos a + cos a ữ ỗ ữ C = sin a = sin a ỗ ữ ỗ1 - sin a + ữ 2 ữ ỗ sin a sin a ø è tan a + a) Ta có b) Ta có c) Ta có ( = 1 + cot - cot a + cot a ) = ( a ) ( ( 1+ ( 5) ( 1- ) ) ) +5 = 6- Bài 13 Biết sin x + cos x = m 4 a) Tìm sin x cos x sin x - cos x b) Chứng minh m £ Lời giải a) Ta có ( sin x + cos x) = sin x + sin x cos x + cos x = + sin x cos x 2 m2 - Mặt khác sin x + cos x = m nên m2 = + sin a cos a hay sin a cos a = ( )( ) 2 2 4 Đặt A = sin x - cos x Ta có A = sin x + cos x sin x - cos x = ( sin x + cos x) ( sin x - cos x) Suy A = ( sin x + cos x) ( sin x - cos x) = ( + sin x cos x) ( - sin x cos x ) ỉ m2 - 1ư æ m - 1ö + m - m4 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ =ỗ 1+ = ữ ữ ỗ ỗ ữỗ ữ ç ø ø ÷ ÷ è è 246 ( *)