5 toan~2

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO VECTƠ V C H Ư Ơ N BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I LÝ THUYẾT = = = Góc I hai vectơ        Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA a OB b Góc   0 AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai         a , b a , b 900 a b a b vectơ Nếu ta nói vng góc với nhau, kí hiệu     a  b b  a     r b r a B r a r b A O     a , b   b , a   Chú ý Từ định nghĩa ta có      Tích vô hướng hai vecto: Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b  a số, kí hiệu b, xác định công thức sau:     a.b  a b cos a, b     a b a Trường hợp hai vectơ vectơ ta quy ước b 0 Chú ý        Với a b khác vectơ ta có a.b 0  a  b      Khi a b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ  a hướng vectơ 2   2 a  a a cos 00  a Ta có: Tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng:    a Với ba vectơ , b, c số   Page CHUYÊN ĐỀ V – TỐN 10 – CHƯƠNG V – VECTO k ta có:    a.b b.a (tính chất giao hốn);      a b  c a.b  a.c  (tính chất phân phối);      ka b k a.b a kb  ; 2 2   a 0, a 0  a 0         Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:  2    a  b a  2a.b  b ;    2   2 a  b a  2a.b  b ;      2 2 a  b a  b a  b     II = = =I     HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ PHƯƠNG PHÁ P = = = · Sử dụng định nghĩa góc vectơ I · Sử dụng tính chất tam giác, hình vng… BÀI TẬP TỰ LUẬN = =   = P  cos  AB, BC  CâuI Cho tam giác ABC Tính Lời giải C A       B E   AB, BC   BE , BC  CBE 180  CBA 120  BE  AB Vẽ Khi Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO     cos AB, BC cos1200   = = = Câu 1: I  BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM o ˆ Tam giác ABC vng A có góc B 50 Hệ thức sau sai?         AB, BC 130o BC , AC 40o AB, CB 50o AC , CB 40o A B C D         Lời giải Chọn D (Bạn đọc tự vẽ hình)   AC , CB 1800  ACB 1800  400 1400 Vì  Câu 2:  o Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120 ?       MN , NP MO, ON MN , OP MN , MP A B C D         Lời giải Chọn A P F O     M N E   MN , NP   NE , NP  • Vẽ NE  MN Khi    PNE 180o  MNP 180o  60o 120o        MO , ON  OF , ON NOF 60o • Vẽ OF  MO Khi   MN  OP  MN , OP 90o • Vì    MN , MP NMP 60o • Ta có       P  cos AB , BC  cos BC , CA  cos CA, AB Cho tam giác ABC Tính    Câu 3: A P 3        B P  C P     D P  3 Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Chọn C C A    Vẽ BE  AB Khi B E       AB, BC  BE , BC CBE 180o  CBA 120o       cos AB, BC cos120o        cos BC , CA cos CA, AB  Tương tự, ta có       cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB  Vậy   AH , BA Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính  Câu 4:        o A 30 o B 60  o o C 120 D 150 Lời giải Chọn D C H a A B E   Vẽ AE  BA    AH , AE  HAE  Khi (hình vẽ)      AH , BA  AH , AE 180o  BAH 180o  30o 150o   Câu 5:     Tam giác ABC vng A có BC 2 AC Tính     1 cos AC , CB  cos AC , CB  B A    3 cos AC , CB  cos AC , CB  D C           cos AC , CB   Lời giải Chọn B Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO C B A    AC , CB  180 Xác định Ta có cos ACB  o  ACB AC   ACB 60o CB     AC , CB 180o  ACB 120o     cos AC , CB cos120o  Vậy       AB , BC  BC , CA  CA, AB Cho tam giác ABC Tính tổng  Câu 6:   o     o B 360 A 180  o C 270 o D 120 Lời giải Chọn B    AB, BC 180o  ABC    o   BC , CA 180  BCA     CA, AB 180o  CAB  Ta có            AB, BC  BC , CA  CA, AB 540o  ABC  BCA  CAB 540o  180o 360o        Câu 7:            AB , BC  BC , CA o ˆ Cho tam giác ABC với A 60 Tính tổng o o o A 120 B 360 C 270     o D 240 Lời giải Chọn D    AB, BC 180o  ABC    o   BC , CA 180  BCA Ta có        AB, BC  BC , CA 360o  ABC  BCA              360o  180o  BAC 360o  180o  60o 240o Câu 8: Cho hình vng ABCD Tính   cos AC , BA   Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO     2 cos AC , BA  cos AC , BA  B A    cos AC , BA 0 cos AC , BA  C D         Lời giải Chọn B C D B A E   Vẽ AE  BA Khi    cos AC , BA cos AC , AE cos CAE cos135        Câu 9:      AB, DC    AD, CB    CO, DC  Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng o A 45 o B 405 o C 315 o D 225 Lời giải Chọn C B A O D C E     AB, DC 0o • Ta có AB, DC hướng nên       AD, CB 180o AD , CB • Ta có ngược hướng nên     • Vẽ CE  DC ,      CO, DC  CO, CE OCE 135o         AB, DC    AD, CB    CO, DC  0 Vậy Câu 10: Tam giác ABC có góc A       HA, HB  HB, HC  HC , HA  o A 360     B 180 o  180o  135o 315o 100o có trực tâm H Tính tổng  o o C 80 D 160 o Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Lời giải Chọn D H F I A 1000 B C     HA, HB  BHA      HB, HC  BHC     HC , HA CHA Ta có             HA, HB  HB, HC  HC , HA  BHA  BHC  CHA             2 BHC 2 180o  100o 160 o    (do tứ giác HIAF nội tiếp) DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ = = = I PHƯƠNG PHÁ P     a.b  a b cos a; b    Dựa vào định nghĩa  Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu Cho tam giác ABC vuông A I   có AB a, BC 2a G trọng tâm  BA BC a) Tính tích vơ hướng: ; BC.CA       b) Tính giá trị biểu thức AB.BC  BC.CA  CA AB       c) Tính giá trị biểu thức GA.GB  GB.GC  GC.GA Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có         BA.BC  BA BC cos BA, BC 2a 2cos BA, BC       a cos BA, BC cos ABC   2a Mặt khác   Nên BA.BC a       BC.CA  CB.CA  CB CA cos ACB * Ta có   Theo định lý Pitago ta có CA   2a   a a   a BC.CA  a 3.2a  3a 2a Suy   b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông A nên CA AB 0 từ câu a ta có           AB.BC  a , BC.CA  3a Suy AB.BC  BC.CA  CA AB  4a     Cách 2: Từ AB  BC  CA 0 đẳng thức       AB  BC  CA  AB  BC  CA2  AB.BC  BC CA  CA AB          AB.BC  BC.CA  CA AB   AB  BC  CA2   4a 2     c) Tương tự cách câu b) GA  GB  GC 0 nên  Ta có       GA.GB  GB.GC  GC GA   GA2  GB  GC  Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB 4a 2  GA  AM   3  Dễ thấy tam giác ABM nên Theo định lý Pitago ta có: Page 4 GB  BN   AB  AN  9 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO 4 3a  a   a2   9  4  a  13a 2 GC  CP   AC  AP    3a    9 9         4a 7a 13a  4a GA.GB  GB.GC  GC.GA       2 9  Suy Câu Cho hình vng ABCD cạnh a M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị biểu thức sau:        CG CA  DM a) ( AB  AD)( BD  BC ) b)   Lời giải    AB  AD  AC a) Theo quy tắc hình bình hành ta có         ( AB  AD )( BD  BC )  AC.BD  AC.BC Do     CA.CB  CA CB cos ACB     ( AC.BD 0 AC  BD )  Mặt khác ACB 45 theo định lý Pitago ta có : AC  a  a a     Suy ( AB  AD)( BD  BC ) a.a cos 45 a     CG CD  CA  CM G ADM b) Vì trọng tâm tam giác nên Mặt khác theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có   1      1    CM  CB  CA   CB  AB  AD   AB  AD  2         CA  AB  AD            5  CG  AB  AB  AD  AB  AD   AB  AD  2  Suy     Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO         1  CA  DM  AB  AD  AM  AD   AB  AD  2  Ta lại có            CG CA  DM  AB  AD   AB  AD   AB  AD  21a 2   4 Nên   Câu Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c M trung điểm BC , D chân đường phân giác góc A   a) Tính AB AC , suy cos A   2 b) Tính AM AD Lời giải       2 1 AB AC   AB  AC  AB  AC    AB  AC  CB    c  b  a   2  a) Ta có   Mặt khác AB AC  AB AC cos A cb cos A   c  b2  a 2 2  c  b  a  cb cos A cos A  2bc Suy hay  1  AM  AB  AC b) * Vì M trung điểm BC nên  1   AM  AB  AC Suy     1   AB  AB AC  AC     AB AC   c  b  a  Theo câu a) ta có nên   b2  c2   a 1 2 2 2 AM   c   c  b  a   b   4  BD AB c   * Theo tính chất đường phân giác DC AC b    b BD DC  DC DC c Suy (*)       BD  AD  AB Mặt khác DC  AC  AD thay vào (*) ta BD  Page 10