Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
2,24 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO VECTƠ V C H Ư Ơ N BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I LÝ THUYẾT = = = Góc I hai vectơ Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA a OB b Góc 0 AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai a , b a , b 900 a b a b vectơ Nếu ta nói vng góc với nhau, kí hiệu a b b a r b r a B r a r b A O a , b b , a Chú ý Từ định nghĩa ta có Tích vô hướng hai vecto: Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b a số, kí hiệu b, xác định công thức sau: a.b a b cos a, b a b a Trường hợp hai vectơ vectơ ta quy ước b 0 Chú ý Với a b khác vectơ ta có a.b 0 a b Khi a b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ a hướng vectơ 2 2 a a a cos 00 a Ta có: Tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: a Với ba vectơ , b, c số Page CHUYÊN ĐỀ V – TỐN 10 – CHƯƠNG V – VECTO k ta có: a.b b.a (tính chất giao hốn); a b c a.b a.c (tính chất phân phối); ka b k a.b a kb ; 2 2 a 0, a 0 a 0 Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: 2 a b a 2a.b b ; 2 2 a b a 2a.b b ; 2 2 a b a b a b II = = =I HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ PHƯƠNG PHÁ P = = = · Sử dụng định nghĩa góc vectơ I · Sử dụng tính chất tam giác, hình vng… BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = P cos AB, BC CâuI Cho tam giác ABC Tính Lời giải C A B E AB, BC BE , BC CBE 180 CBA 120 BE AB Vẽ Khi Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO cos AB, BC cos1200 = = = Câu 1: I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM o ˆ Tam giác ABC vng A có góc B 50 Hệ thức sau sai? AB, BC 130o BC , AC 40o AB, CB 50o AC , CB 40o A B C D Lời giải Chọn D (Bạn đọc tự vẽ hình) AC , CB 1800 ACB 1800 400 1400 Vì Câu 2: o Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120 ? MN , NP MO, ON MN , OP MN , MP A B C D Lời giải Chọn A P F O M N E MN , NP NE , NP • Vẽ NE MN Khi PNE 180o MNP 180o 60o 120o MO , ON OF , ON NOF 60o • Vẽ OF MO Khi MN OP MN , OP 90o • Vì MN , MP NMP 60o • Ta có P cos AB , BC cos BC , CA cos CA, AB Cho tam giác ABC Tính Câu 3: A P 3 B P C P D P 3 Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Chọn C C A Vẽ BE AB Khi B E AB, BC BE , BC CBE 180o CBA 120o cos AB, BC cos120o cos BC , CA cos CA, AB Tương tự, ta có cos AB, BC cos BC , CA cos CA, AB Vậy AH , BA Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính Câu 4: o A 30 o B 60 o o C 120 D 150 Lời giải Chọn D C H a A B E Vẽ AE BA AH , AE HAE Khi (hình vẽ) AH , BA AH , AE 180o BAH 180o 30o 150o Câu 5: Tam giác ABC vng A có BC 2 AC Tính 1 cos AC , CB cos AC , CB B A 3 cos AC , CB cos AC , CB D C cos AC , CB Lời giải Chọn B Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO C B A AC , CB 180 Xác định Ta có cos ACB o ACB AC ACB 60o CB AC , CB 180o ACB 120o cos AC , CB cos120o Vậy AB , BC BC , CA CA, AB Cho tam giác ABC Tính tổng Câu 6: o o B 360 A 180 o C 270 o D 120 Lời giải Chọn B AB, BC 180o ABC o BC , CA 180 BCA CA, AB 180o CAB Ta có AB, BC BC , CA CA, AB 540o ABC BCA CAB 540o 180o 360o Câu 7: AB , BC BC , CA o ˆ Cho tam giác ABC với A 60 Tính tổng o o o A 120 B 360 C 270 o D 240 Lời giải Chọn D AB, BC 180o ABC o BC , CA 180 BCA Ta có AB, BC BC , CA 360o ABC BCA 360o 180o BAC 360o 180o 60o 240o Câu 8: Cho hình vng ABCD Tính cos AC , BA Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO 2 cos AC , BA cos AC , BA B A cos AC , BA 0 cos AC , BA C D Lời giải Chọn B C D B A E Vẽ AE BA Khi cos AC , BA cos AC , AE cos CAE cos135 Câu 9: AB, DC AD, CB CO, DC Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng o A 45 o B 405 o C 315 o D 225 Lời giải Chọn C B A O D C E AB, DC 0o • Ta có AB, DC hướng nên AD, CB 180o AD , CB • Ta có ngược hướng nên • Vẽ CE DC , CO, DC CO, CE OCE 135o AB, DC AD, CB CO, DC 0 Vậy Câu 10: Tam giác ABC có góc A HA, HB HB, HC HC , HA o A 360 B 180 o 180o 135o 315o 100o có trực tâm H Tính tổng o o C 80 D 160 o Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Lời giải Chọn D H F I A 1000 B C HA, HB BHA HB, HC BHC HC , HA CHA Ta có HA, HB HB, HC HC , HA BHA BHC CHA 2 BHC 2 180o 100o 160 o (do tứ giác HIAF nội tiếp) DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ = = = I PHƯƠNG PHÁ P a.b a b cos a; b Dựa vào định nghĩa Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu Cho tam giác ABC vuông A I có AB a, BC 2a G trọng tâm BA BC a) Tính tích vơ hướng: ; BC.CA b) Tính giá trị biểu thức AB.BC BC.CA CA AB c) Tính giá trị biểu thức GA.GB GB.GC GC.GA Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có BA.BC BA BC cos BA, BC 2a 2cos BA, BC a cos BA, BC cos ABC 2a Mặt khác Nên BA.BC a BC.CA CB.CA CB CA cos ACB * Ta có Theo định lý Pitago ta có CA 2a a a a BC.CA a 3.2a 3a 2a Suy b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông A nên CA AB 0 từ câu a ta có AB.BC a , BC.CA 3a Suy AB.BC BC.CA CA AB 4a Cách 2: Từ AB BC CA 0 đẳng thức AB BC CA AB BC CA2 AB.BC BC CA CA AB AB.BC BC.CA CA AB AB BC CA2 4a 2 c) Tương tự cách câu b) GA GB GC 0 nên Ta có GA.GB GB.GC GC GA GA2 GB GC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB 4a 2 GA AM 3 Dễ thấy tam giác ABM nên Theo định lý Pitago ta có: Page 4 GB BN AB AN 9 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO 4 3a a a2 9 4 a 13a 2 GC CP AC AP 3a 9 9 4a 7a 13a 4a GA.GB GB.GC GC.GA 2 9 Suy Câu Cho hình vng ABCD cạnh a M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị biểu thức sau: CG CA DM a) ( AB AD)( BD BC ) b) Lời giải AB AD AC a) Theo quy tắc hình bình hành ta có ( AB AD )( BD BC ) AC.BD AC.BC Do CA.CB CA CB cos ACB ( AC.BD 0 AC BD ) Mặt khác ACB 45 theo định lý Pitago ta có : AC a a a Suy ( AB AD)( BD BC ) a.a cos 45 a CG CD CA CM G ADM b) Vì trọng tâm tam giác nên Mặt khác theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có 1 1 CM CB CA CB AB AD AB AD 2 CA AB AD 5 CG AB AB AD AB AD AB AD 2 Suy Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO 1 CA DM AB AD AM AD AB AD 2 Ta lại có CG CA DM AB AD AB AD AB AD 21a 2 4 Nên Câu Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c M trung điểm BC , D chân đường phân giác góc A a) Tính AB AC , suy cos A 2 b) Tính AM AD Lời giải 2 1 AB AC AB AC AB AC AB AC CB c b a 2 a) Ta có Mặt khác AB AC AB AC cos A cb cos A c b2 a 2 2 c b a cb cos A cos A 2bc Suy hay 1 AM AB AC b) * Vì M trung điểm BC nên 1 AM AB AC Suy 1 AB AB AC AC AB AC c b a Theo câu a) ta có nên b2 c2 a 1 2 2 2 AM c c b a b 4 BD AB c * Theo tính chất đường phân giác DC AC b b BD DC DC DC c Suy (*) BD AD AB Mặt khác DC AC AD thay vào (*) ta BD Page 10