Hh9 cđ4 tứ giác nội tiếp 3

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cách 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , lấy điểm D thay đổinằm A cạnh BC (D không trùng với B C ) Trên tia AD lấy điểm P cho D nằm A P đồng thời DA.DP = DB.DC Đường tròn (T ) qua hai điểm A, D cắt F cạnh AB, AC F E Chứng minh rằng: Tứ giác ABPC nội tiếp B K E 1 H D C P Lời giải DA DB = DB.DC ⇒ = Ta có DA.DP DC  nên hai tam giác ADB, CDP đồng dạng mà  ADB = CDP DP  ⇒ Tứ giác ABPC nội tiếp  Suy ra, DAB = DCP Ví dụ 2: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) ta vẽ A hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp K điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI ⊥ AB , MK ⊥ AC ( I ∈ AB, K ∈ AC ) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường I B M H C P O tròn  = MBC  b) Vẽ MP ⊥ BC ( P ∈ BC ) Chứng minh: MPK Lời giải a) Ta có:  AIM=  AKM= 90° (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = MKC = 90° (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp ⇒ MPK =  (1) b) Tứ giác CPMK có MPC MCK  = MBC  (cùng chắn MC  ) (2) Vì KC tiếp tuyến ( O ) nên ta có MCK  = MBC  (3) Từ (1) (2) suy MPK Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp Ví dụ 3: Cho đường trịn ( O ) có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn ( O ) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua y x D N C N vng góc với MN cắt Ax By thứ tự C D đường tròn K I a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp A M O B b) Chứng minh ∆ANB # ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM , K giao điểm BN DM Chứng minh IMKN tứ giác nội tiếp Lời giải  = 90o (gt) MAC  = 90o ( tínhchất tiếp tuyến) Tứ giác ACNM có: MNC ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có:   (do tứ giác BDNM nội tiếp) ABN = CDM  = DCM  (do tứ giác ACNM nội tiếp) ⇒ ∆ANB # ∆CMD (g.g) BAN  c) ∆ANB# ∆CMD ⇒ CMD =  ANB = 90o (do  ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))   Suy IMK = INK = 90o ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ví dụ 4:  AC Gọi điểm cung nhỏ  AC ,  AD M N Giao điểm MN với AC , AD H I , giao điểm MD CN K  Từ suy a Chứng minh  ACN = DMN ◊MCKH nội tiếp b KH / / AD c Tìm hệ thức liên hệ số đo cung AC AD để AK / / ND Lời giải  Từ suy ◊MCKH nội tiếp a Chứng minh  ACN = DMN Có N điểm  AD ⇒ AN = AD  - Có  ACN , DMN  (hai góc nội tiếp ˆ , DMN ˆ góc nội tiếp chắn cung AN ND ⇒  ACN = DMN ACN chắn cung nhau)  ⇒ ◊MCKH tứ giác nội tiếp - Xét ◊MCKH có:  ACN = DMN b Chứng minh KH / / AD =  (cùng chắn cung CD) Có ◊MCKH nội tiếp ⇒ CHK CMK  ⇒ HK / / AD  - Xét đường trịn đường kính AB có: CMK = CAD c Tìm hệ thức liên hệ số đo cung AC AD để AK / / ND  ⇒ ◊MAIK nội tiếp  Có AK / / ND ⇒ KAD =  ADN = KMI   ADN =  ACN =  AMI =  AKI ⇒ KAI =  AKI ⇒ ∆AKI cân I Mà IM phân giác  AIK ⇒ MI ⊥ AK  = 900 ⇒ MD đường kính đường trịn đường mà AK / / ND ⇒ MI ⊥ ND ⇔ MN ⊥ ND ⇒ MND  = 1800 ⇔ MA + AD = 1800 ⇔ kính AB ⇒ sđ MAD  AC  + AD = 1800 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ví dụ 9: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 20 / 06 / 2014 Cho ∆ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA ', BB ', CC ' cắt H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt A đường thẳng AH M B' a Chứng minh điểm A, B, C, D, M O thuộc đường tròn b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD C H C'   = OAC BAM c Gọi K trung điểm BC, đường thẳng AK B D A' M cắt OH G Chứng minh G trọng tâm ∆ABC Lời giải a Chứng minh điểm A, B, C, D, M thuộc đường tròn +) Chứng minh tứ giác ABMD, AMDC nội tiếp ⇒ A, B, C , D, M nằm đường tròn b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD   = OAC BAM  = sđ CD  ⇒ MB = CD ⇔ BM = CD Xét (O) có dây MD / / BC ⇒ sđ MB =  Theo phần 1) BC / / MD ⇒ BAM OAC c Gọi K trung điểm BC, đường thẳng AK cắt OH G Chứng minh G trọng tâm ∆ABC Chứng minh OK đường trung bình tam giác ∆AHD ⇒ OK / / AH ; OK = Chứng minh ∆OGK ” ∆HAG ⇒ OK AH ⇒ = ( *) AH OK GK = = ⇒ AG = AK ⇒ G trọng tâm ∆ABC AH AG GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ví dụ 10: Tuyển sinh vào 10, Hà Nội 2015 - 2016 Cho nửa đường trịn tâm O có D đường kính AB Lấy điểm C đoạn AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn K M J Gọi M điểm cung KB K (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, N H BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn I C A điểm thứ hai N a Chứng minh ◊ACMD tứ giác nội tiếp Q b Chứng minh CA.CB = CH CD c Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH d Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải a Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp Xét (O)  AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒  AMD = 900  Mà= ACD 900 ( CD ⊥ AB ) Xét ◊ACMD có  ACD =  AMD = 900 , mà C M hai đỉnh kề O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Suy ◊ACMD tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b Chứng minh CA.CB = CH CD   (phụ   Xét ∆ACH ∆DCB có:  ABD ) ACH = DCB = 900 ; HAC = CDB ⇒ ∆ACH ” ∆DCB ( gg ) ⇒ AC CH = (Định nghĩa hai tam giác đồng dạng ) DC CB Suy CA.CB = CH CD (đpcm) c Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH +) AM ⊥ BD; DC ⊥ AB ⇒ H trực tâm ∆ABD ⇒ BH ⊥ AD =N ⇒  ANB = 900 +)  ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ N ≡ N ' ⇒ A, N , D thẳng hàng *) Tiếp tuyến N (O) cắt DH E  ) (1)  = NBO  (cùng phụ DAB Ta có NDE  = ONB  (chứng minh ∆ONB cân O) (2) NBO  = ENB  ) (3)  (cùng phụ ENB ONB   ⇒ ∆NED cân E ⇒ ED = EN Từ (1)( )( 3) ⇒ NDE = END  + END   + EDN  +) Ta có ENH = 900 ; EHN = 900  ⇒ ∆ENH cân E ⇒ EH =   ( cmt ) ⇒ ENH  EN Mà NDE = END = EHN Vậy = ED EH =( EN ) ⇒ E trung điểm DH Khi M di động cung KB, chứng minh MN qua điểm cố định +) MN cắt BA F +) Chứng minh EM tiếp tuyến đường tròn O Chứng minh OE ⊥ MN ∆OIF ” ∆OCE ⇒ OC.OF = OI OE R2 không đổi nên F cố định OC Mà OI OE = R không đổi nên OC.OF =R ⇒ OF = 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ví dụ 11: Tuyển sinh vào 10, Hà Nội 09 / 06 / 2017 Cho đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB = NK NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường trịn ( O ) Chứng minh ba điểm D, E , K thẳng hàng Lời giải a Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường trịn Vì M điểm cung nhỏ AB ( O ) (giả thiết)  ⇒ sd  AM = sd MB  (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ ANM = BCM  ) ⇒ CNKI tứ giác nội tiếp (tứ giác có  = ICK  ( Xét tứ giác CNKI ta có: INK ANM = BCM đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) ⇒ C , N , K , I thuộc đường tròn b Chứng minh NB = NK NM Vì N điểm cung nhỏ BC ( O ) (giả thiết)  = ⇒ sd BN sd NC 11 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 =  (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ BMN NBC Xét ∆BMN ∆KBN ta có:  = NBK  (vì BMN  = NBC  )  : chung ; BMN ⇒ BNM NB NM NK NM ⇒ ∆BMN ” ∆KBN ( gg ) ⇒ = ⇒ NB = NK NB c Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Gọi J giao điểm AN BC  (cmt) Ta có: sd  AM = sd MB  (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ ACM = BCM ⇒ CM phân giác  ACB ⇒ CI phân giác ∆CAJ ⇒ IA CA = (1) IJ CJ   ( cmt ) ⇒   (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ NM Ta có sd = AM sd MB ANM = BNM phân giác  ANB ⇒ NH phân giác ∆NAB ⇒ HA NA =( ) HB NB  = sd NC  ⇒ BAN  = CAN  (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Ta có sd BN Xét ∆CAJ ∆NAB ta có:  AB ); ACJ =  ANB (hai góc nội tiếp chắn   = CAJ  ( cmt ) BAN CA CJ CA NA ⇒ ∆CAJ ” ∆NAB ( gg ) ⇒ = ⇒ = ( 3) NA NB CJ NB Từ (1), (2), (3) suy IA HA = IJ HB 12 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ HI / / BJ (định lí Thales đảo) hay HI / / BK (4) Chứng tương tự ý trên, ta KI / / BH (5) Từ (4) (5) suy BHIK hình bình hành + Chứng minh BH = BK Ta có ∆KBN  ∆BMN (cmt) ⇒ BK BN BM BN = ⇒ BK = BM MN MN (6) Chứng minh tương tự câu b) ta có: ∆HMB  ∆BMN ( gg ) ⇒ BH BM BM BN = ⇒ BH = BN MN MN (7) Từ (6) (7) suy BH = BK Mà BHIK hình bình hành nên BHIK hình thoi d Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm PQ Vẽ đường kính ND đường trịn (O), chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng  = BMK  (cmt) Ta có: NBK ⇒ BN tiếp tuyến B ( P ) ⇒ BN ⊥ BP  = 90o : Mà BN ⊥ BD (vì DBN góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O) Nên B, P, D thẳng hàng Ta có ∆PBK cân P ( PB = PK )   ⇒ BPK = 180o − ⋅ PBK (8) 13 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH (  sd NC   NB NC sd NB = = Ta có:   OB = OC Zalo: 0382254027 ) ⇒ ON đường trung trực đoạn BC ⇒ DB = DC (D thuộc đường thẳng ON) ⇒ ∆DBC cân D  =1800 − 2.DBC  (9) ⇒ BDC  = BDC  Từ (8) (9) suy BPK Mà hai góc vị trí đồng vị nên PK  DC ⇒ PK  DQ (10) Chứng minh tương tự ta có: C , Q , D thẳng hàng QK  DP (11) Từ (10) (11) suy DPKQ hình bình hành Mà E trung điểm đường chéo PQ nên E trung điểm đường chéo DK ⇒ D , E , K thẳng hàng Ví dụ 12: Tuyển sinh vào 10, Hà Nội 2019 - 2020 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Hai A đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H x 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F P F thuộc đường tròn 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc B với đường thẳng EF 3) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC M E H D O K C I S Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC 14 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Lời giải 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F thuộc đường tròn Xét tứ giác BCEF ta có : = 90° ( BE đường cao) BEC = 90° ( CF đường cao) BFC ⇒ BCEF tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F nhìn cạnh BC góc vng) 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF =  Vẽ tiếp tuyến Ax hình vẽ ⇒ BAF ACB (tính chất đường tiếp tuyến dây cung)  Do tứ giác BCEF nội tiếp ⇒  AFE = ACB  Ta suy BAF =  AFE ⇒ EF //Ax (do hai góc so le trong) Lại có Ax ⊥ OA ⇒ OA ⊥ EF (đpcm) 3) Chứng minh ∆APE ∽ ∆ABI  = = AEB =  ABI ( Vì  Ta có :  AEB + EFC ABI + EFC 180° ) = Mặt khác  APE + PAI 90° (vì AI ⊥ PE ) =   APE = AIB AIB + PAI 90° ( Vì AH ⊥ BC ) ⇒  Vậy ∆APE ∽ ABI ( g-g) * Chứng minh KH //PI Gọi M giao điểm AO EF , dung đường kính AS Ta có BE / / CS vng góc AC BS / / CF vng góc AB 15 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ BHCS hình bình hành nên H , K , S thẳng hàng Ta có AE AC = AH AD AE AC = AM AS ⇒ AH AD = AM AS ⇒ AH AM  = ⇒ ∆AHM  ∆ASD ⇒  AHM = ∆ ASD AS AD ⇒ HMSD Nội tiếp đường tròn  = PDM  = HSM  ⇒ HS //PI Kết hợp PMID nội tiếp đường trịn ⇒ PIM Ví dụ 13: Tuyển sinh vào 10, Bắc Giang, năm 2017 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp A đường trịn (C ) tâm O bán kính R Hai đường cao AE BK tam giác ABC cắt H (với E thuộc BC , K thuộc AC ) K Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp H đường tròn Chứng minh CE.CB = CK CA B   = BAE Chứng minh OCA Cho B , C cố định A di động (C ) O E C M thỏa mãn điều kiện tam giác ABC I nhọn; H thuộc cung trịn (T ) cố định Xác định tâm I bán kính r đường tròn (T ) , biết R = cm Lời giải Xét tứ giác ABEK có  AKB =  AEB = 90 ( AE ⊥ BC , BK ⊥ AC ) Hai góc chắn cung AB nên tứ giác ABEK nội tiếp đường trịn Xét hai tam giác vng ∆ACE ∆BCK , chúng có chung góc C nên ∆ACE  ∆BCK ⇒ CE CA = ⇔ CE.CB = CK CA (dpcm) CK CB 16 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = 90 −  AOC (1) Mà tam giác ABC nhọn nên O nằm Tam giác OAC cân O nên OCA 2  ABC = sd  AC tam giác ABC , đó= 1 AOC = 90 −  90 −  ABC = AOC (2) Tam giác ABE vuông E nên BAE =  (đpcm) Từ (1) (2) ⇒ OCA BAE  = MAC  (cùng Gọi M giao điểm đường thẳng AE với đường tròn (C) Ta có MBC chắn cung MC )   = HBC  (cùng phụ với   = HBC  hay BE phân giác HBM Mà MAC ACB ) nên MBC Tam giác HBM có BE vừa đường cao, đường phân giác góc B nên cân B BE trung trực HM Gọi I điểm đối xứng với O qua đường thẳng BC ( O BC cố định ⇒ I cố định) Khi tứ giác HOIM hình thang cân nhận BC trục đối xứng ⇒ IH = MO = R hay H cách điểm cố định I khoảng R không đổi nên H thuộc đường trịn tâm I bán kính R Do r= R= 3cm Ví dụ 14: Tuyển sinh Quảng Ninh, 2019 Cho đường tròn ( O; R ) , hai đường kính AB C K CD vng góc với Gọi E điểm thuộc cung nhỏ BC ( E không trùng với B C ), tiếp E M N tuyến đường tròn ( O; R ) E cắt đường thẳng AB I Gọi F giao điểm DE O F AB, K điểm thuộc đường thẳng IE cho KF vng góc với AB D a Chứng minh tứ giác OKEF nội tiếp  = ODF  b Chứng minh OKF 17 B I GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 c Chứng minh DE.DF = R d Gọi M giao điểm OK với CF , tính  EIB  = 450 tanMDC Lời giải  = 900 IE ⊥ OE ⇒ KEO = a) Ta có KF ⊥ OF nên KFO 900  = KEO  hya tứ giác OKEF nội tiếp Suy tanKFO  = OEF  b) Vì tứ giác OKEF nội tiếp nên OKF  = OED  ∆ODE cân O OE = OD nên ODF  = ODF  Vậy OKF c) Xét ∆OFD ∆ECD ta có:  : chung EDC   CED = FOD = 900 Suy ∆OFD# ∆ECD ⇒ OD FD = = R.2 R = R = FD.ED ⇔ FD.ED = R ED CD d) Kẻ MN ⊥ CD N  = ODF  ; KFO  = DOF  = 900 ⇒ ∆KFO = ∆DOF Ta có: OKF ⇒ KF = DO = OC = R Ta có: KF ⊥ AB, CD ⊥ AB ⇒ KF / / OC ⇒ CKFO hình chữ nhật nên M trung điểm CF Suy N trung điểm OC ⇒ DN =OD + ON = R + R = R 2  Mặt khác ta có EIB = 450 ⇒ ∆KFI vuông cân F ⇒ FI = FK = R Ta có ∆EOI vng cân E ⇒ OI = R ⇒ OF = OI − FI = ( − 1) R Do = MN = FO −1 R 18 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH MN DN  Suy tan MDC = = Zalo: 0382254027 −1 Ví dụ 15: Tuyển sinh vào 10, Khánh Hịa 2018 Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB không qua O Từ điểm M nằm tia đối tia BA ( M không trùng với B ), kẻ hai tiếp tuyến MC , MD với đường tròn ( O; R ) ( C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB a) Chứng minh điểm M , D, H , O thuộc đường tròn b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn ( O; R ) điểm I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC , MD E F Xác định hình dạng tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ M di động tia đối tia BA = a) Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB ⇒ OHM 900 (5)  = 900 (6) Lại có OD ⊥ MD (tính chất tiếp tuyến) ODM Từ (5) (6), suy điểm M , D, H , O thuộc đường trịn đường kính MO b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn ( O; R ) điểm I Chứng minh I tâm đường trịn nội 19 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 tiếp tam giác MCD  MC = MD  COD  ⇒ OM đường phân giác CMD OC = OD  Vì   (7) Do OM cắt ( O; R ) I nên I trung điểm cung nhỏ CD  = sđ DI  = sđ CI  ; MCI  (8) Lại có ICD 2  Từ (7) (8) suy IC đường phân giác MCD Tam giác MCD có I giao điểm hai đường phân giác nên I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC , MD E F Xác định hình dạng tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ M di động tia đối tia BA Vì CD / / EF (cùng vng góc với OM ) nên tam giác MCD đồng dạng với tam giác MEF Mà ∆MCD cân M ⇒ ∆MEF cân M = S ∆MEF 2= S ∆OM F OD.MF Mà OD = R (không đổi) nên S∆MEF nhỏ MF nhỏ Ta có MF = MD + DF ≥ MD.DF = 2OD = R , Dấu đẳng thức xảy MD = DF ⇒ ∆MOF vuông cân O ⇒ OM= OD 2= R Khi S∆MEF đạt giá trị nhỏ 2R Ví dụ 16: Tuyển sinh vào 10, Quảng Ninh 2018 Cho đường trịn tâm O , đường kính AB = R Trên đường tròn ( O ) lấy điểm C ( C khơng trùng với A B ) Tiếp tuyến đường tròn ( O ) A cắt tia BC điểm D Gọi H hình chiếu A đường thẳng DO Tia AH cắt đường tròn ( O ) điểm F (không trùng với A ) Chứng minh: 20 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) DA2 = DB.DC b) Tứ giác AHCD nội tiếp c) CH ⊥ CF d) BH BC = 2R BF a) DA2 = DB.DC Ta có  ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm ( O ) ⇒ AC ⊥ BC hay AC ⊥ BD  = 90 (Do DA tiếp tuyến đường tròn tâm O A ) Ta có DAB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABD vuông A có đường cao AC ta có DA2 = DB.DC b) Tứ giác AHCD nội tiếp Xét tứ giác AHCD có  AHD =  ACD = 90° ⇒ Hai đỉnh C H kề nhìn cạnh AD góc 900 ⇒ Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau) c) CH ⊥ CF = Do tứ giác AHCD nội tiếp nên FHC ADC (cùng bù với  AHC ) Xét tam giác FHC tam giác ADC có:  = DAC  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AC ) CFH = FHC ADC (cmt);  = ⇒ ∆FHC ∆ADC ( gg ) ⇒ FCH ACD (hai góc tương ứng)  =90° ⇒ CH ⊥ CF Mà  ACD =90° ⇒ FCH d) BH BC = 2R BF Xét tam giác vuông OAD vuông A có OH đường cao ta có OA2 = OD.OH (hệ thức lượng tam giác vuông) OB =⇒ R OB = OD.OH ⇒ Mà OA = OB OD = OH OB 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét tam giác OBH ODB có:  chung; BOD OB OD = (cmt); OH OB   = ODB ⇒ ∆OBH # ∆ODB ( cgc ) ⇒ OBH  = CAF  (hai góc nội tiếp chắn cung CH đường tròn ngoại tiếp tứ giác Mà ODB AHCD )  = CBF  (hai góc nội tiếp chắn cung CF đường tròn ( O ) ) CAF  = CBF  ⇒ OBH  + HBC  = CBF  + HBC  ⇒ OBC  = HBF  = ⇒ OBH ABC Xét tam giác BHF tam giác BAC có:   BFH = BCA = 90° (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) = HBF ABC (cmt); ⇒ ∆BFH ∆BCA ( g g ) ⇒ BF BH BH BC = ⇒ = BA = R BC BA BF 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Bài 1: Tuyển sinh vào 10, Hà Nội 2014 - 2015 Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB cố định Vẽ Q đường kính MN đường tròn ( O; R ) ( M khác A, M khác B ) Tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) B cắt đường thẳng AM , AN điểm Q, P a Chứng minh tứ giác ABMN hình chữ nhật E M b Chứng minh bốn điểm: M , N , P, Q thuộc đường tròn c Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắp PQ F Chứng minh F trung A B O điểm BP ME song song NF d Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ 23 F N GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a Chứng minh tứ giác ABMN hình chữ nhật Tứ giác có góc vng suy hình chữ nhật b Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q thuộc đường trịn ) AM );  Ta có:  ANM =  ABM (chắn cung  ABM =  AQB (phụ MAC ⇒ ANM =  AQB ⇒ ◊MNPQ nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đối diện) c Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắp PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME song song NF - Chỉ OE đường trung bình tam giác ABQ - Chứng minh FO / / AP nên OF đường trung bình tam giác ABP suy F trung điểm BP +) Chứng minh ME / / NF ; AP ⊥ AQ ⇒ OE ⊥ OF Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP = ∆NOF = ∆OFB ( ccc ) ⇒ ONF 900 = Chứng minh tương tự: OM 900 ⇒ ME / / NF ( ⊥ MN ) d Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Ta thấy: S MNPQ = S APQ − S AMN = 2.R.PQ − AM AN = R( PB + BQ) − AM AN ∆ABP  ∆QBA ⇒ AB BP = ⇒ AB = BP.QB QB BA PB + BQ ≥ PB.= BQ (2 R = )2 R Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: AM AN ≤ ⇒ 2.S MNPQ AM + AN MN == 2R2 2 ≥ R.4 R − R = R ⇒ S MNPQ ≥ 3R = AM AN = ; PQ BP hay MN ⊥ AB Dấu ‘ = ’ xảy 24 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 25