Hh9 cđ4 tứ giác nội tiếp 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cách 2: Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù (tổng hai góc đối diện 1800 ) Bài 1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E )  ABD = DFB Chứng minh:  Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp X E C A D O F B Lời giải 1) ∆ADB có  ADB = 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) = ⇒ ABD + BAD 90o (vì tổng ba góc tam giác 180o ) (1) = ∆ABF có  ABF = 90o ( BF tiếp tuyến ) ⇒  AFB + BAF 90o (vì tổng ba góc tam giác 180o ) (2)  Từ (1) (2) ⇒  ABD = DFB 2) Tứ giác ACDB nội tiếp ( O ) ⇒  ABD +  ACD = 180o  + =  DBA ⇒ ECD ACD = 180o ∠ ( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD  , ECD  = DBA  ⇒ ECD =  Mà EFD  + DFB  = ABD = DFB Theo  180o ( DFB  + nên ⇒ ECD AEFD = 180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 2: Cho đường tròn ( O; R ) ; AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B đường tròn ( O; R ) cắt đường thẳng AC , AD thứ tự Vì hai góc kề bù) A O D C E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD   ∆CBE E B F c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn Lời giải a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy CAD = BCE = 900 (1)    (góc nội tiếp), mà  (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD = sđ AD Lại có CBE = sđ BC  = AD  (do BC = AD BC   ) ⇒ CBE = ACD (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD   ∆CBE   c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF , suy ra: CBE = DFE (3)   Từ (2) (3) suy ACD = DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính BC = R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC Nửa đường trịn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB A D thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ B O1 H tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Lời giải  = 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) a) Ta có BAC   Tương tự có BDH = CEH = 90o Xét tứ giác ADHE có = =  = 90o hay ADHE hình chữ nhật Aˆ  ADH AEH Từ DE = AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH 2= 10.40= 202 ( BH = 10; CH = 2.25 − 10= 40 ) ⇒ DE= 20 E CA O O2 C =  = Cˆ (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH ADE (1) b) Ta có: BAH  = (Vì ADHE hình chữ nhật) ⇒ Cˆ = ADE Cˆ + BDE 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Bài 4: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vng góc với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI ( K khác C I ), tia AK cắt nửa đường tròn ( O ) M , tia BM cắt tia D Chứng minh: 1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ∆ABD # ∆MBC 3) AKDE tứ giác nội tiếp D M I K CI E A C O B Lời giải 1) Ta có:  AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒  AMD = 90° Tứ giác ACMD có  AMD=  ACD= 90° , suy ACMD nội tiếp đường trịn đường kính AD   (do ACMD tứ giác nội tiếp)  = BMC 2) ∆ABD ∆MBC có: B chung BAD Suy ra: ∆ABD # ∆MBC ( gg )  (cùng phụ  = BDC  , lại có: BDC  = CAK 3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định EDC  = CAK  Do AKDE tứ giác nội tiếp với B ), suy ra: EDC Bài 5: Đề thi vào 10 Bắc Ninh, năm học 2011 Cho đường tròn ( O; R ) , dây cung BC cố định ( BC < R ) điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tứ giác ADHE tứ giác nội tiếp  = 600 , tính khoảng cách từ tâm O b) Giả sử BAC đến cạnh BC theo R c) Chứng minh đường thẳng kẻ qua A vng góc với DE ln qua điểm cố định ABD cắt CE M , cắt AC P d) Phân giác góc  Phân giác góc  ACE cắt BD N , cắt AB Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? a Chứng minh tứ giác ADHE tứ giác nội tiếp BD ⊥ AC ( gt ) ⇒  ADB= 900 ; CE ⊥ AB ( gt ) ⇒  AEC= 900 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  +=  1800 ⇒ ◊ADHE tứ giác nội tiếp E Tứ giác ADHE có D  = 600 , tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh b Giả sử BAC Kẻ OI ⊥ BC ( I ∈ BC ) , nối O với B O với C BC theo R = 60° ⇒ BOC = 120° (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Có BAC = ∆OBC cân O ⇒ OCI 30° Suy OI = R c Chứng minh đường thẳng kẻ qua A vng góc với DE ln qua điểm cố định Gọi ( d ) đường thẳng qua A vng góc với DE Qua A kẻ tiếp tuyến sAt với đường tròn ( O; R ) ⇒ AO ⊥ sAt )  = AED  (cùng bù với BED ◊BEDC nội tiếp (E, D nhìn BC góc vng) ⇒ ACB   = ACB   = sdAB Mặt khác BAs      = AED  ⇒ sAt // DE (hai góc vị trí so le trong) ⇒ d ⊥ sAt ⇒ BAs Có d ⊥ sAt , OA ⊥ sAt ⇒ d ≡ OA (tiên đề Ơclit) ⇒ Đường thẳng (d) qua điểm O cố định  cắt CE M, cắt AC P Phân giác góc d Phân giác góc ABD  cắt BD N, cắt AB Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tại ACE sao?  = ACE  ABD (cùng phụ với góc  = ECQ   = ABD  ⇒ ABP      + EQC = 900 ⇒ CQ ⊥ BP ∆QEC vng E ⇒ ECQ Có ) BAC Mà BP, CQ phân giác nên MP, NQ cắt trung điểm đường Vậy có MNPQ hình thoi Bài 6: Tuyển sinh Bắc Ninh, 30 /06 / 2012 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn O Từ A điểm nằm (O) kẻ tiếp tuyến AM AN với (O) (M, N tiếp điểm) A 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính AO 2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B C (B nằm A C) Gọi I trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường trịn đường kính AO 3) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh rằng: AK AI = AB AC B M E K N I O C Lời giải a Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính AO Theo tính chất tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ta có:  AMO =  ANO = 90O ⇒ ∆AMO vuông M ⇒ A, M , O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO cạnh huyền) ∆ANO vng N ⇒ A, N, O thuộc đường trịn đường kính AO (Vì AO cạnh huyền) Vậy: A, M, N, O thuộc đường trịn đường kính AO Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường trịn đường kính AO b Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B C (B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường trịn đường kính AO Vì I trung điểm BC (theo gt) ⇒ OI ⊥ BC (tc) ∆AIO vuông I ⇒ A, I, O thuộc đường trịn đường kính AO (Vì AO cạnh huyền) Vậy I thuộc đường trịn đường kính AO (đpcm) c Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AI = AB AC Nối M với B, C    chung; MCB =  AMB = Xét ∆AMB & ∆AMC có MAC sđ MB AB AM = ⇒ AB AC = AM (1) AM AC  chung Xét ∆AKM & ∆AIM , có MAK  AIM =  AMK (Vì:  AM  AIM =  ANM chắn  AMK =  ANM ) ⇒ ∆AMB ~ ∆ACM (g.g) ⇒ GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AK AM = ⇒ AK AI = AM AM AI Từ (1) (2) ta có: AK AI = AB AC (đpcm) ⇒ ∆AMK ~ ∆AIM (g.g) ⇒ (2) Bài 7: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 03 / 06 / 2013 Cho nửa đường tròn đường kính BC, nửa đường D trịn lấy điểm A (khác B C) Kẻ AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) Trên cung AC lấy điểm D A (khác A C), đường thẳng BD cắt AH I Chứng minh rằng: I a) IHCD tứ giác nội tiếp b) AB = BI BD B O H c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID nằm đường thẳng cố định D thay đổi cung AC Lời giải a IHCD tứ giác nội tiếp C = AH ⊥ BC ⇒ IHC 900 (1)  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay IDC  = 900 (2) BDC  + IDC  = 1800 ⇒ ◊IHCD nội tiếp Từ (1) (2) ⇒ IHC b Chứng minh AB = BI BD Xét ∆ABI ; ∆DBA , có:  : chung  B AB BD ⇒ ∆ABI ” ∆DBA( g − g ) ⇒ = ⇒ AB = BI BD(dpcm)     BI BA BAI ADB =( ACB) = c Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AID ln nằm đường thẳng cố định D thay đổi cung AC   = BAI ADI (cmt ) ⇒ AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI với D thuộc cung AD A tiếp điểm (tính chất góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Có AB ⊥ AC =A ⇒ AC ln qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AI Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI suy M nằm AC Mà AC cố định suy M thuộc đường tròn cố định Bài 8: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 17 / 07 / 2015 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (khác điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ E cắt tiếp tuyến kẻ từ A B nửa đường tròn (O) C D Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E a Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn D M C A E DM CM b Chứng minh rằng: = DE CE O c Chứng minh điểm E thay đổi tia đối tia AB, tích AC.BD khơng đổi Lời giải a Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn = Vì AC tiếp tuyến đường trịn (O) nên OA ⊥ AC ⇒ OAC 900 = Vì MC tiếp tuyến (O) nên OM ⊥ MC ⇒ OMC 900  + OAC 1800 ⇒ ◊OACM tứ giác nội tiếp ⇒ OMC DM CM = DE CE b Chứng minh rằng: ∆OAC = ∆OMC (ch − chv) ⇒ CA = CM ⇒ Tương tự: CM CA = CE CE DM DB = DE DE  ⇒ ∆OMC ⇒  AOC = MOC AOC = AOM Mà AC / / BD ( ⊥ AB ) ; ∆OAC = ⇒ CA CE CA DB CM DM = ⇒ = ⇒ = DB DE CE DE CE DE c Chứng minh điểm E thay đổi tia đối tia AB, tích AC.BD khơng đổi ( ) = BOM ⇒ =   = 900 AOC + BOD AOM + BOM Tương tự có: BOD 2 AC  ⇒ ∆AOC ” ∆BDO ( gg ) ⇒ AO AOC +  ACO = 90 ⇒  ACO = BOD = ⇒ AC.BD = AO.BO = R2 Mà  BD BO Bài 9: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 16 / 07 / 2016 B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = 450 Gọi Cho ∆ABC có ba góc nhọn, BAC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Các đường cao BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB) cắt H a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b Chứng minh tam giác HDC vuông cân D A O D E DE c Tính tỷ số BC H d Chứng minh OA vng góc với DE C B Lời giải a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn AEH +  ADH = 900 + 900 = 1800 Vì BD ⊥ AC ; CE ⊥ AB ⇒  Do tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn đường kính AH b Chứng minh tam giác HDC vuông cân D  = = = 900 ⇒ ∆DCH vuông cân D 450 ;  AEC = 900 ⇒ DCH 450 mà CDH Vì BAC c Tính tỷ số DE BC Chứng minh ∆HDE  ∆HCB( g − g ) ⇒ DE DH = = BC CH d Chứng minh OA vng góc với DE  = sđ  AB =  ACB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O) Khi xAB Mà tứ giác BCDE nội tiếp nên   ⇒ DEA  = xAB  ⇒ Ax / / DE , Ax ⊥ OA ⇒ OA ⊥ DE (đpcm) ACB = DEA Bài 10: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 03 / 06 / 2017 Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Lấy C cung nhỏ AB (C không trùng với A, B) Từ điểm C kẻ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB ( D ∈ AB, E ∈ MA, F ∈ MB ) Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn b ∆CDE ” ∆CFD  c Tia đối CD tia phân giác ECF d IK / / EF GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 A E I D O x C M K F Lời giải a Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn B   ADC   900  AEC   ADC   180 đó, tứ giác ADCE nội tiếp Ta có AEC b Chứng minh ∆CDE ” ∆CFD Chứng minh tương tự tứ giác BDCF nội tiếp  F , A  D  Do tứ giác ADCE , BDCF nội tiếp nên B 1 1   sđAC  D  F   B Mà AM tiếp tuyến đường tròn O  nên A 1 1   Chứng minh tương tự E1  D2 Do đó, CDE ∽ CFD g.g c Tia đối CD tia phân giác góc ECF Gọi Cx tia đối tia CD   ECx , DBF   FCx  Do tứ giác ADCE , BDCF nội tiếp nên DAE   MBA   ECx   FCx   nên Cx phân giác góc ECF Mà MAB d Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB , B  D   D Theo chứng minh A 2 1  B   ACB   1800  D  D   ACB   180  ICK   IDK   180 Mà A 2  B   IK//AB  D  mà D Do đó, tứ giác CIKD nội tiếp  K 1 1 Bài 11: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 06/ 2019 C Cho đường tròn O  , hai điểm A, B nằm O    90º Điểm cho AOB C nằm cung lớn AB cho AC  BC tam giác ABC có ba góc N O K H A I B M GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 nhọn Các đường cao AI , BK tam giác ABC cắt điểm H BK cắt O  điểm N (khác điểm B ); AI cắt O  điểm M (khác điểm A ); NA cắt MB điểm D Chứng minh rằng: a) Tứ giác CIHK nội tiếp đường trịn b) MN đường kính đường tròn O  c) OC song song với DH Lời giải HK  KC   HIC   90º 90º  180º a) Ta có   HKC HI  IC  Do đó,CIHK tứ giác nội tiếp 2   sđAN   sđBM   BHI  b) Do tứ giác CIHK nội tiếp nên 45º  ICK  + sđAN = ⇒ sđBM 90°   sđAB   (sđBM   sđAN  )  90  90  180º hay MN đường kính O Suy ra, sđMN   c) Do MN đường kính O  nên MA  DN , NB  DM Do đó, H trực tâm tam giác DMN hay DH  MN Do I , K nhìn AB góc 90º nên tứ giác ABIK nội tiếp   CBK   sđCM   C điểm cung MN  CO  MN   sđCN Suy ra, CAI Vì AC  BC nên ABC khơng cân C C ,O, H khơng thẳng hàng Từ suy CO //DH Bài 12: Tuyển sinh, Hà Nội 2011 – 2012 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến E đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I M trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M, A I 10 G O N B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 17: Tuyển sinh vào 10, Đắc Lắc 2018 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn A = 450 d Gọi D, E hình chiếu vng góc B, C lên AC, AB; H giao điểm BD CE 1) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp 2) Chứng minh BE = EH 3) Tính tỉ số ED BC A I D E 4) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AI ⊥ DE B H C 1) Ta có  AEH = 900  ADH = 900 ⇒  AEH +  ADH = 1800 ⇒ ◊ADHE nội tiếp 2) ∆ADE vng D, có A =450 ⇒  ABD =450  = 450 nên ∆EBH vuông cân E ⇒ EB = EH ∆EBH vng E, có EBH 3) Tứ giác BEDC có E, D nhìn BC góc vng nên nội tiếp Suy  = ECB ⇒ EDB ADE =  ABC (cùng phụ với góc vng) Suy ∆ADE ” ∆ABC ⇒ DE AD = BC AB DE BC AD AB Mà tam giác ABD vuông cân D nên = = 2 4) Kẻ tiếp tuyến xAy A đường trịn tâm I, ngoại tiếp ∆ABC Khi = xAB ACB (góc tiếp tuyến dây góc nội tiếp (I) chắn cung AB) =  Mà  AED =  ACB ( ∆ADE ” ∆ABC ) ⇒ xAB AED ⇒ xAy / / ED , mà AI ⊥ xAy ⇒ AI ⊥ ED Bài 18: Tuyển sinh vào 10, Đồng Nai 2018 18 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm C thuộc đường trịn (O), với C khác A B, biết CA < CB Lấy điểm M thuộc đoạn OB, với M khác O B Đường thẳng qua điểm M vng góc với AB cắt hai đường thẳng AC BC hai điểm D H 1) Chứng minh bốn điểm A, C, H, M thuộc đường tròn xác định tâm đường tròn A 2) Chứng minh : MA.MB = MD.MH 3) Gọi E giao điểm đường thẳng BD với đường tròn (O), E khác B Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng 4) Trên tia đối tia BA lấy điểm N cho MN = AB, Gọi P Q tương ứng hình chiếu vng góc điểm M BD N AD Chứng minh bốn điểm D, Q, H, P thuộc đường tròn Lời giải =  (cùng bù CHM ) MHB 2) Tứ giác ACHM nội tiếp ⇒ DAM D Q C E H O M F P B N MA MD = ⇒ MA.MB= MD.MH MH MB 3) Dễ thấy AE BC hai đường cao ∆ DAB ⇒ H trực tâm ∆ DAB ⇒ AH ⊥ DB ( 1) → ∆MAD ∽ ∆MHB ( g − g ) ⇒  AEB = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) ⇒ AE ⊥ DB ( ) (1) (2) suy ba điểm A, H, E thẳng hàng =  (đồng vị) FMN 4) Gọi F giao điểm MP NQ Dễ thấy MP / / AE ⇒ HAB =  (đồng BC / / NQ ⇒ HBA FNM vị).Lại có AB = MN ( gt ) = ∆ AHB MFN ( g.c.g )= ⇒ HB FN mà HB / / FN suy tứ giác HFNB hình bình hành = 900 ⇒ HF / / BN lại có ⇒ DH ⊥ BN ⇒ DH ⊥ HF ⇒ DHF    Do DQF = DHF = DPF = 900 ⇒ điểm D, Q, H, P, F thuộc đường tròn hay bốn điểm D, Q, H, P thuộc đường tròn Bài 19: Tuyển sinh vào 10, Hà Nam 2017 19 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường trịn ( O ) , từ điểm M A nằm ngồi đường trịn ( O ) kẻ hai tiếp 1 tuyến MA MB đường tròn ( A, B hai tiếp điểm) Kẻ đường kính BE đường tròn ( O ) Gọi F giao điểm thứ E F M hai đường thẳng ME đường tròn ( O ) Đường thẳng AF cắt MO điểm 1 H N O N Gọi H giao điểm MO AB 10 Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AE //MO B 3) Chứng minh MN = NF NA 4) Chứng minh MN = NH Lời giải = MBO = 90° ⇒ MAO  + MBO = 1) Ta có MAO 180° Mà hai góc đối nên tứ giác MAOB nội tiếp    (1) Ta lại có   2) Ta có tam giác AOE cân O nên  AEO = OAE AEO = MAB = sd= AB AOM ( 2)  Từ (1) ( ) suy = AEO  AOM ⇒ AE //OM 3) Xét hao tam giác ∆MNF ∆ANM có: = MNF ANM   (góc so le trong, góc tạo tia tiếp tuyến dây dung) FMN =  AEF = MAN ⇒ ∆MNF ∽ ∆ANM (g.g) ⇒ NA MN NF NA = ⇒ NM = MN NF = OB = R 4) Ta có MA = MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) OA ⇒ MO đường trung trực AB ⇒ AH ⊥ MO HA = HB ∆MAF ∆MEA có: 20 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  AME chung   A1 = E ⇒ ∆MAF ∽ ∆MEA (g.g) ⇒ MA MF MF ME = ⇒ MA2 = ME MA Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO , ta có MA2 = HO.MH Do ME.MF = MH MO ⇒ ME MO = MH MF ⇒ ∆MFH ∽ ∆MOE (c.g.c) =  ⇒H E  góc vng nội tiếp ( O ) nên E , O, B thẳng hàng Vì BAE   =  ⇒E A2  = sd EB    =  ⇒H A +H  =N + ⇒N A2 =90° ⇒ HF ⊥ NA 1 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng NHA ta có NH = NF NA ⇒ NM = NH ⇒ MN = NH Bài 20: Tuyển sinh vào 10, Ninh Bình 2017 Cho đường trịn tâm O , bán kính R Từ điểm C nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến CA , CB cát tuyến CMN với đường tròn ( O ) ( A , B hai tiếp điểm, M nằm C N ) Gọi H giao điểm CO AB a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp b) Chứng minh rằng: CH CO = CM CN c) Tiếp tuyến M đường tròn ( O ) cắt CA , CB theo thứ tự E , F Đường thẳng vng góc với CO O cắt CA , CB theo thứ tự P , Q 21 E A P M C H F B Q O N GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = OFQ  Chứng minh POE d) Chứng minh rằng: PE + QF ≥ PQ Lời giải = 90° (Do CA tiếp tuyến ( O ) A ) a) CAO = 90° (Do CB tiếp tuyến ( O ) B ) CBO  + ⇒ CAO CBO = 180° Vậy tứ giác AOBC tứ giác nội tiếp b) Xét ∆ CAM ∆ CNA có:  ACN góc chung   (Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ) CAM = CNA Do ∆ CAM đồng dạng với ∆ CNA ( g.g ) ⇒ CA CM = ⇒ CA2 = CM CN CN CA (1) Mặt khác ta có: CA = CB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB =( R ) đường trung trực AB ⇒ CO ⊥ AB H Xét ∆ CAO vng A có AH ⊥ CO ⇒ CA2 = CH CO ( ) ⇒ CO Từ (1) ( ) suy ra: CH CO = CM CN c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt tính chất góc ngồi tam giác ta có: ( ) (   1=  PCQ  + CEF   = OFQ EFQ = PCO + 180° − PEO 2 +   + 90° −  = PCO AEO = POA AOE = POE ( d) Xét ∆ POE ) ) ∆ QFO  = OFQ  (câu c) Tương tự: PEO  = QOF  có: POE Do POE đồng dạng với ∆ QFO ( g g ) ⇒ PO PE = ⇒ PO.QO = PE.QF QF QO Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: PE + QF ≥ PE= QF PO= QO PQ PQ = PQ ( đpcm) 2 Bài 21: Tuyển sinh vào 10, Phú Thọ 2017 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi I giao điểm AC BD Kẻ IH ⊥ AB, IK ⊥ AD ( H  AB, K  AD ) a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp b) Chứng minh IA.IC = IB.ID c) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng d) Gọi S diện tích tam giác ABD, S ′ diện tích tam giác HIK Chứng minh S ′ HK ≤ S AI Lời giải a) Ta có  AHI=  AKI= 90° (gt) ⇒  AHI +  AKI =180° Mà hai góc vị trí đối nhau, nên tứ giác AHIK tứ giác nội tiếp (dhnb) b) Xét tam giác ∆ABI ∆DIC có:  = IDC  (do tứ giác ABCD nội tiếp ) BAI   (2 góc đối đỉnh) AIB = DIC Suy ∆ABI ∽ ∆DCI (g.g) IA IB = ⇒ IA.IC = IB.ID ID IC  = KAI  (do tứ giác AHIK nội tiếp) c) Ta có KHI  (do tứ giác ABCD nội tiếp)  = DBC mà KAI ⇒  = DBC  suy KHI  (do tứ giác AHIK nội tiếp)  = HAI Tương tự ta có HKI  = BDC  (do tứ giác ABCD nội tiếp) HAI  = BDC  suy HKI Xét hai tam giác ∆HKI ∆BCD có:  = DBC  (cmt) KHI  = BDC  (cmt) HKI Suy ∆KHI ∽ ∆DBC (g.g) d) Gọi S1 diện tích tam giác ∆BCD Vì ∆HIK ∽ ∆BCD nên S ′ HK HK HK HK = = ≤ = S BD ( IB + ID ) IB.ID IA.IC (1) 23 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CF IC = AE IA ∆ABD ∆BCD có chung cạnh đáy BD nên: S1 CF S IC = ⇒ 1= ( 2) S AE S IA Từ ( ) ( ) suy Vẽ AE ⊥ BD, CF ⊥ BD ⇒ AE //CF ⇒ S ′ S1 HK IC S ′ HK (đpcm) ⇔ ≤ ≤ S1 S IA.IC IA S IA2 Bài 22: Tuyển sinh vào 10, Thái Bình, 2017 Cho ∆ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ), A dựng AH vng góc với BC điểm H Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu vng E góc H AB, AC Đường thẳng MN N cắt đường thẳng BC điểm D Trên nửa O mặt phẳng bờ CD chứa điểm A , vẽ nửa đường trịn đường kính CD Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CD , cắt nửa M D đường tròn điểm E B H a) Chứng minh tứ giác AMHN tứ giác nội tiếp  = DNH  b) Chứng minh EBM c) Chứng minh DM DN = DB.DC d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE Chứng minh OE ⊥ DE Lời giải a Vì M , N hình chiếu vng góc H AB , AC ⇒  AMH =  ANH = 900 Xét tứ giác AMHN có:  AMH +  ANH = 900 + 900 = 1800 Do tứ giác AMHN nội tiếp đường trịn b Vì EB ⊥ CD (gt), AH ⊥ CD (vì AH ⊥ BC ) ⇒ EB // AH =  (hai góc so le trong) (1) ⇒ EBM MAH  ) (2) =  (hai góc nội tiếp chắn MH Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) ⇒ MAH MNH  , hay EBM   = MNH  = DNH Từ (1) (2) suy ta EBM = (3) c Ta có: DMB AMN (hai góc đối đỉnh)  Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) ⇒  AMN = AHN (hai góc nội tiếp chắn  AN ) (4) 24 C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  ) ∆AHC vng H có HN ⊥ AC (gt) ⇒  ACH = AHN (cùng phụ với CHN  (5) Hay  AHN = DCN Từ (3), (4) (5) suy Xét ∆DMB ∆DCN có:  = DCN  DMB  = DCN  (cmt)  chung; DMB NDC ⇒ ∆DMB  ∆DCN (g.g) ⇒ DM DB DB.DC =⇒ DM DN = DC DN (6) d ∆EDC nội tiếp đường trịn đường kính CD ⇒ ∆EDC vng E Áp dụng hệ thức lượng ∆EDC vng E , EB ⊥ CD , ta có: DE = DB.DC (7) DE DN = DM DE  chung; DE = DN (cmt) Xét ∆DEM ∆DNE có: EDN DM DE  = DNE  (2 góc tương ứng) ⇒ ∆DEM  ∆DNE (c.g.c) ⇒ DEM  = DNE  tia EM nằm hai tia ED EN Xét ( O ) có: DEM Từ (6) (7) suy DE = DM DN ⇒ Do DE tiếp tuyến ( O ) ⇒ DE ⊥ OE Bài 23: Tuyển sinh vào 10, Thanh Hóa, 2021-2022 A Cho tam giác nhọn ABC nhọn nội tiếp đường tròn Các đường cao AD, BE , CF (O) ( D ∈ BC , E ∈ AC; F ∈ AB ) tam giác cắt H , M trung điểm BC Chứng minh AEHF tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng ME MF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh DE + DF ≤ BC O F B 25 H D K E M C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải 1) Do BE , CF đường cao ∆ABC nên BE ⊥ AC , CF ⊥ AB ⇒  AFH =  AEH = 900 Xét tứ giác AEHF có  AFH +  AEH = 900 + 900 = 1800 nên tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn (đường kính AH ) 2) Gọi I trung điểm AH  = FCD  (1) (cùng phụ với  Xét đường tròn ( O ) , có FAD ABC ) Xét ∆AFH vng H có FI đường trung tuyến nên FI= AH ⇒ FI= HI  = IAF  ( 2) Do ∆FAI cân I nên IFA  ( 3)  = MCF Chứng minh tương tự ta ∆MFC cân M nên MFC =  ( 4) Từ (1)( )( 3) ⇒ IFA MFC  + IFC =  Do  900 AFI + IFC = 900 ( CF ⊥ AB ) nên kết hợp với (4) ta MFC Do MF ⊥ FI Mà F ∈ ( I ; IA) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE , FI bán kính ⇒ MF tiếp tuyến ( I ; IA) Chứng minh tương tự với ME Vậy ME , MF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE MK ( ) 3) Gọi K điểm đối xứng với F qua BC ⇒ MF = Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC ( ) = BFC = 90° Vì có CEB Từ (4)(5) ⇒ K ∈ ( M ; MB ) Xét đường tròn qua điểm B, E, F, C, K, có:  = FKE  (hai góc nội tiếp chắn cung FE  ) (7) EBF Tương tự: Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB , có:  = EDA  (hai góc nội tiếp chắn cung EA  ) (8) EBA 26 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 =  EDA Từ (7)(8) ⇒ FKE Kết hợp FK //AD (do vuông góc với BC ) ⇒ K , D, E thẳng hàng Do DF + DE = DK + DE = KE (9) Xét đường tròn ( M ; MB ) , đó: KE ≤ BC (10) Vì từ (9)(10) ⇒ DE + DF ≤ BC (dpcm) Bài 24: Tuyển sinh vào 10, Thái Bình, 2021-2022 Qua điểm M nằm bên ngồi đường trịn ( O; R ) kẻ hai tiếp tuyến MA; MB ( A, B hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O ( C nằm M D ) a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp MO ⊥ AB b) Chứng minh MA AD = MD AC c) Gọi I trung điểm dây cung CD E giao điểm hai đường thẳng AB OI Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R OI = E A P D C I M R O B d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt đường thẳng MA; MB P Q Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp MO ⊥ AB Vì MA; MB hai tiếp tuyến ( O ) cắt M (với A; B hai tiếp điểm) ⇒ MA ⊥ OA; MB ⊥ OB =  =° ⇒ MAB MBO 90 Mà MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét tứ giác  + MBO = MAOB có tổng hai góc đối MAO 180° Do tứ giác MAOB tứ giác nội tiếp Lại có MA = MB ( cmt ) ; OA = OB = R A; B ∈ ( O; R ) 27 Q GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ M ; O thuộc đường trung trực đoạn AB ⇒ MO đường trung trực đoạn AB ⇒ MO ⊥ AB (đpcm) b) Chứng minh MA AD = MD AC Xét ∆MCA ∆MAD có:  AMC chung  = MDA  (góc tạo tiếp tuyến góc nội tiếp chắn cung AC ) MAC ⇒ ∆MCA đồng dạng với ∆MAD (g.g) MA AC ⇒ = ⇔ MA AD = MD AC ( dpcm ) MD AD c) Gọi I trung điểm dây cung CD E giao điểm hai đường thẳng AB OI R Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R OI = = 90° Gọi H giao điểm OM AB OM ⊥ AH ⇒ OHE  =90° Xét ( O ) có I trung điểm dây cung CD ⇒ OI ⊥ CD ⇒ OIM Xét ∆OHE ∆OIM ta có:  chung MOE = OIM = 90° OHE ⇒ ∆OHE đồng dạng với ∆OIM (g.g) OH OE ⇒ = ⇔ OH OM = OE.OI (1) OI OM ∆OAM vng A có OM ⊥ AH ⇒ OH OM = OA2 (hệ thức lượng tam giác vuông) (2) OA R = =3R (dpcm) R OI Từ (1) (2) ⇒ OE = d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt đường thẳng MA; MB P Q Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ ∆MAB cân M (vì MA = MB có MO trung trực) ⇒ MO đồng thời đường phân giác  AMB ∆MPQ cân M ⇒ MP phân giác đồng thời trung tuyến ⇒ O trung điểm PQ ⇒ PQ = 2OP S ∆MPQ Ta có:= PQ MO OP OA ( AM + AP ) MO = = 28 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: AM + AP ≥ AM AP = 2R ⇒ S MPQ ≥ R.2 R =2 R ⇒ S MPQ =2 R AP AM AP = R ⇔ AM = AP =⇔ R OM = R Dấu “=” xảy ⇔ AM = Vậy M vị trí cho OM = R để thỏa mãn yêu cầu đề Bài 25: Tuyển sinh vào 10 Quảng Ngãi, năm học 2021-2022 Cho đường tròn (O, R) điểm S nằm bên A ngồi đường trịn, SO = d Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( A, B tiếp điểm) a) Chứng minh điểm S , O, A, B thuộc đường tròn b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R c) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) D C D S M O H (khác C ) Hai đường thẳng AD SO cắt M Chứng minh SM = MD.MA d) Tìm mối liên hệ d R để tứ giác OAMB hình thoi Lời giải a) Chứng minh điểm S , O, A, B thuộc đường tròn B  + SBO = 90° + 90°= 180° Tứ giác SAOB có : SAO Suy tứ giác SAOB nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối 180° ) Suy điểm S , A, O, B thuộc đường tròn b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R Gọi H giao điểm AB SO = SB ⇒ S thuộc trung trực AB Có SA, SB hai tiếp tuyến cắt nên SA OA = OB = R nên O thuộc trung trực AB ⇒ SO trung trực AB ⇒ AB ⊥ SO H trung điểm AB 29 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Tam giác SAO vuông A nên SA= Zalo: 0382254027 SO − OA2= Ta giác SAO vuông A có: AH ⊥ SO nên AH = AH = 2⋅ Vậy AB = R − R 2= R SA ⋅ AO R ⋅ R = = SO 2R R R= R c) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) D (khác C ) Hai đường thẳng AD SO cắt M Chứng minh SM = MD.MA ASO =  ABO =  ABC ( hai góc nội tiếp chắn cung AO Tứ giác SAOB nội tiếp (cmt ) nên  ) ADC =  ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AC ) Trong (O) có:  = ADC (hai góc đối đỉnh) Mặt khác SDM  = SDM  ASO =  ACD ⇒ MSA Suy   = SMA   SMD Xét ∆SMD ∆AMS có:   = MSA  (cmt )  SDM SM MD MD.MA ⇒ ∆SMD ∽ ∆AMS ( g ⋅ g ) ⇒ = ⇒ SM = AM SM d) Tìm mối liên hệ d R để tứ giác OAMB hình thoi  nên đồng dạng Suy  = SCA Hai tam giác SAD SCA có góc Sˆ chung SAD SA SD = ⇒ SA2 = SC.SD SC SA Ma SA2 = SH SO nên SC.SD= SH SO ⇒ SC SO = SH SD  = SHD  Lại có góc Sˆ chung nên tam giác SCO SHD đồng dạng, suy SCO  = SCO  (cùng chắn cung BD  ), ta có Kết hợp với DAH  + DHA =  + DHA  =°  + DHA = DAH SCO SHD 90 Suy HD ⊥ AD Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông MHA , ta có MH = MD ⋅ MA , kết hợp với SM = MD.MA ta M trung điểm SH Tứ giác MAOB có hai đường chéo vng góc H HA = HB nên MAOB hình thoi chì 30 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH = HM ⇔ SO = 3OH ⇔ OS OH = HO Zalo: 0382254027 2 OS ⇔ OA = OS ⇔= d R 3 Bài 26: Tuyển sinh vào 10 Phú Thọ, năm học 2021-2022 Cho đường trịn ( O ) đường kính AB Trên tia E đối tia AB lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn ( O ) M K (D tiếp điểm), tiếp tuyến A đường tròn ( O ) cắt đường thẳng CD E D H A a) Chứng minh tứ giác AODE nội tiếp b) Gọi H giao điểm AD OE, K giao điểm BE với đường tròn ( O ) O B (K không trùng với B) Chứng minh  = KBA  EHK c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt EA MO − = CE M Chứng minh EM MC a) Tứ giác AODE có:  = 900 (Vì EA tiếp tuyến đường trịn (O)) EAO  = 900 (Vì ED tiếp tuyến đường tròn (O)) EDO  + EDO  = 900 + 900 = 1800 Do đó: EAO Vậy tứ giác AODE nội tiếp đường trịn b) Ta có EA = ED (Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OD (Cùng bán kính đường trịn (O)) = 900 Do EO đường trung trực AD hay EO ⊥ AD ⇒ EHA  = AKB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ EKA 900 Vậy hai điểm kề H, K nhìn xuống đoạn thẳng EA góc vng nên tứ giác AHKE nội tiếp đường tròn  = EAK  (Hai góc nội tiếp chắn cung) Suy ra: EHK  (Cùng phụ với KAB  = KBA  ) Mà EAK 31 C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = KBA  Vậy: EHK c) Ta có OM ⊥ AB (gt) EA ⊥ AB (Vì EA tiếp tuyến đường trịn (O)) Suy OM / / EA = MEO AEO (Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) = MOE AEO (Hai góc so le OM / / EA )  = MEO  hay tam giác MEO cân M ⇒ ME = MO Vậy MOE Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho tam giác CAE ( OM / / EA ) Ta có: ⇒ OM MC EA CE EA MC + EM = ⇒ = ⇒ = AE CE OM MC EM MC EA EM EA MO = 1+ ⇒ − = (Chú ý ME = MO ) EM MC EM MC 32