Hh9 cđ4 tứ giác nội tiếp 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chuyên đề: TỨ GIÁC NỘI TIẾP A Lý thuyết y Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn A - Trong hình vẽ ta có ◊ABCD nội tiếp đường trịn ( O ) ( O ) ngoại tiếp B z ◊ABCD O Các tính chất: Cho ◊ABCD nội tiếp đường trịn ( O ) , D đó: - Tổng số đo hai góc đối diện 1800 C x t   =B +D  =180 A +C - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp a) Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 b) Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện c) Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α *) Chú ý: 1) Trong hình học hình chữ nhật, hình vng hình thang cân nội tiếp đường trịn 2) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn có số đo 900 3) Đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây 4) Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: + Điểm cách hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đến tâm phân giác góc tạo hai tiếp tuyến GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Tỉnh, Thành Phố Năm học Hà Nội 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, Bắc Ninh 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 Bắc Giang 2017, 2018, 2019 Nghệ An Quảng Ninh 2019 2018, 2019 Quảng Bình Quảng Ngãi 2021-2022 Thái Bình 2017, 2019; 2021-2022 Thanh Hóa 2021-2022; Bình Dương 2018 Đắc Lắc 2018 Đồng Nai 2018 Hà Nam 2018 Khánh Hòa 2018 Chuyên Nam Định 2018 Ninh Bình 2017, 2018 Phú Thọ 2017, 2018; 2021-2022 Hà Nam 2017 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 B Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Cách giải: Chỉ khoảng cách từ điểm tới tất điểm + Sử dụng tam giác vng có cạnh huyền chung + Chứng minh đỉnh đa giác nằm đường tròn + Sử dụng cung chứa góc + Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1: Từ điểm A ngồi đường trịn ( O ) vẽ tiếp tuyến AB, AC Cát tuyến ADE không qua tâm O ( D nằm A E ) Gọi I trung điểm DE Chứng minh điểm O, B, A, I , C thuộc đường tròn Lời giải   Do AC AB tiếp tuyến nên OCA = OBA = 900 Do I trung điểm DE nên OI ⊥ ED (đường kính qua trung điểm dây vng   góc với dây cung) hay OID = OIA = 900 Gọi P trung điểm OA AO = OP = PA = AO = OP = PA Xét tam giác vng OAB có BP đường trung tuyến nên BP IP AO = OP = PA Xét tam giác vng AOI có IP đường trung tuyến nên = = Xét tam giác vng AOC có CP đường trung tuyến nên CP GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = PA = PC = PI = PB nên điểm O, B, A, I , C thuộc đường tròn Vậy OP Bài 2: Cho đường tròn tâm O Kẻ đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm cung nhỏ CB EA cắt CD F , ED cắt AB M a) Các tam giác CEF EMB tam giác gì? b) Chứng minh bốn điểm C , F , M , B thuộc đường trịn tâm E Lời giải Phân tích đề  góc có đỉnh nằm bên đường tròn chắn hai cung CE ,  a) Ta thấy CFE AD  Mà  góc nội tiếp chắn cung ED   ⇒ ∆CFE cân E  EB   nên FCE FCE = CFE = CE = ;  AD BD = , EM EB Lại có b) Từ kết câu a), ∆ECF ∆EBM hai tam giác cân ta = có EC EF CE = EB (do E điểm cung nhỏ CB ) nên bốn điểm F , C , M , B thuộc đường trịn tâm E Giải chi tiết:  góc có đỉnh F nằm bên đường trịn nên: a) Vì CFE ( )  = sđ CE  + sđ  CFE AD (1) ( )  ⇒ FCE  = sđ EB  + sđ BD   góc nội tiếp chắn cung ED Góc FCE (2)  E điểm AD = BD Vì hai đường kính AB CD vng góc với nên   = EB  cung nhỏ CB nên CE (3)   ⇒ ∆CFE cân E Từ (1), (2) (3) suy FCE = CFE Tương tự ta có ∆BME cân E = CE EF = ; EM EB b) Theo câu a), ∆ECF ∆EBM hai tam giác cân nên GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  ⇒ CE = EB Do CE  = EB = EF = EM = EB Lại có CE Vậy bốn điểm F , C , M , B thuộc đường trịn tâm E Bài 3: Cho hình thoi ABCD có góc A 600 , AB = a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn Xác định tâm tính bán kính đường trịn theo a Lời giải Gọi O giao điểm AC BD ta có OB = OD Do ABCD hình thoi nên ta có AC ⊥ BD  = 600 nên BAO  = 300 (tính chất đường chéo hình thoi) Ta có BAD  ⇒= OB ABsinBAO OB a.sin 30 = Tam giác ABO vng O có = a =  = 300 suy Xét tam giác vng ABO có  ABO + BAO 900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO  = 600  ABO = 600 hay EBO OE = AB = EB = EA ( tính chất đường trung tuyến tam giác vuông E trung điểm AB  = 600 nên tam giác EBO tam giác Tam giác EOB tam giác cân E có EBO ⇒ OE = OB Chứng minh tương tự với tam giác vuông BOC, COD DOA ta có : OE = OB = OF = OC = OG = OD = OH Vậy điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn tâm O Bán kính OB = Bài 4: a GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn Lời giải = Do DE ⊥ BC ⇒ DBE 900 Vì E F đối xứng với qua BD nên BD đường trung trực đoạn thẳng EF ⇒ BF = BE; DF = DE  = BED  = 900 ∆BFD = ∆BED (c-c-c) ⇒ BFD Gọi O trung điểm BD BD = OB = OD (1) = Xét tam giác vng ABD vng A có AO trung tuyến nên AO BD = OB = OD = BD = OB = OD Tam giác vuông BFDvuông F có OF trung tuyến nên FO Từ (1)(2)(3) ⇒ OA = OB = OD = OE = OF = Tam giác vuông BDE vuông E có OE trung tuyến nên EO (2) (3) Vậy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) ( AB < CD) A B = D = 600 , CD = AD Chứng minh bốn có C D điểm A, B, C , D thuộc đường tròn I Lời giải  IC = AB AI (1) ⇒ ICBA hình hành ⇒ BC =  IC / / AB Gọi I trung điểm CD , ta có  Tương tự AD = BI (2) C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = 600 nên ABCD hình thang cân (3) = D ABCD hình thang có C = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B, C , D Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD hay IA thuộc đường trịn Bài 6: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N , R S hình chiếu O AB, BC , CD DA Chứng minh bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Lời giải Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC , BD ; AC , BD phân giác góc A, B, C , D ∆SAO = ∆NCO = ∆PDO ⇒ OM === ON OP OS hay bốn điểm M , N , R S nên ∆MAO = thuộc đường tròn Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao BH A CK K Chứng minh B, K , H , C nằm H đường tròn Xác định tâm đường trịn Lời giải C I B = IB = IK = IH hay Gọi I trung điểm CB , ∆CHB; ∆CKB vuông H , K nên IC B, K , H , C nằm đường tròn tâm I GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 8: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ C E dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung F nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F A I Chứng minh BEFI tứ giác nội tiếp đường B O tròn D Lời giải = 90° (giả thiết) Tứ giác BEFI có: BIF = BEA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BEF Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF Bài 9: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) ta vẽ A hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI ⊥ AB , MK ⊥ AC , MI ⊥ AB, K I MK ⊥ AC ( I ∈ AB, K ∈ AC ) MI ⊥ AB, MK ⊥ AC ( IAB, KAC ) B a) Chứng minh AIMK tứ giác nội tiếp đường M H C P O tròn b) Vẽ MP ⊥ BC ( P ∈ BC ) Chứng minh CPMK tứ giác nội tiếp Lời giải a) Ta có:  AIM=  AKM= 90° (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = MKC = 90° (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp b) Tứ giác CPMK có MPC Bài 10: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt K E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh = 90° ( I M không trùng với BC cho IEM M B đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp N C I đường trịn E  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE A D tứ giác nội tiếp Lời giải = IEM = 90° (gt) hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM a) Tứ giác BIEM : IBM = IBE = 45° (do ABCD hình vng) b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME = BEC = 90° )  = CEM  (do IEM c) ∆EBI ∆ECM có BE = CE , BEI ⇒ ∆EBI = ∆ECM ( gcg ) ⇒ MC =IB ⇒ MB =IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA = = MN MC IB Suy IM song song với BN (định lí Thalet đảo) =  =° = 45° (do ABCD ) ⇒ BKE IME 45 (2) Lại có BCE   ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp Suy BKE = BCE Bài 11: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn ( O ) D ( D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Lời giải = MCO = 90° ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường Vì MA, MC tiếp tuyến nên: MAO kính MO  ADB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒  ADM = 90° (1) = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC Lại có: OA ⇒ AEM = 90° (2) Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MA Bài 12: Cho hai đường tròn ( O ) (O′) cắt F A B Vẽ AC , AD thứ tự đường kính E A I hai đường tròn ( O ) (O′) M a) Chứng minh ba điểm C , B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường trò (O′) E ; E, F khác A ) Chứng minh bốn điểm C , D, E , F nằm đường tròn Lời giải 10 C d O/ O đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) F ( N K B D GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) (O′) a)  ABC   ⇒ ABC = ABD =° 90 Suy C , B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có: = CFA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) CFD =  CED AED= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’) =  =° ⇒ CFD CED 90 suy CDEF tứ giác nội tiếp Bài 13: Cho đường tròn ( O ) (O′) cắt hai I điểm A B phân biệt Đường thẳng OA cắt ( O ) , (O′) điểm thứ hai E C D A Đường thẳng O′A cắt ( O ) , (O′) điểm thứ hai E E, F O' O Chứng minh đường thẳng AB , CE DF B C đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp P đường trịn Lời giải Ta có:  ABC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên B , C , F thẳng hàng AB, CE , DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy = IBF = 90° suy BEIF nội tiếp đường tròn Do IEF Bài 14: 11 D H F Q GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB y x Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N D thuộc nửa đường tròn ( O ) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N N C vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C K I D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn A M O B b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp Lời giải = 90° (gt); MAC = 90° (tính chất tiếp tuyến) a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có:   (do tứ giác BDNM nội tiếp) ABN = CDM  = DCM  (do tứ giác ACNM nội tiếp) nên ∆ANB  ∆CMD (g.g) BAN  c) ∆ANB  ∆CMD ⇒ CMD =  ANB = 90o (do  ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) = INK = 90° ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK Suy IMK Bài 15: Tuyển sinh vào 10, Hà Nội 07/06/2018 Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB 12 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO  2) Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD 3) Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC 4) Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định D O B H A S C 1) Ta có OH ⊥ HS (tính chất trung điểm dây cung) ⇒ H nằm đường trịn đường kính SO Ta có C, D tiếp điểm nên OC ⊥ SC ; OD ⊥ SD ⇒ C , D nằm đường trịn đường kính SO OD R= ; SO R 2) Ta có= Do đó, SD= SO − OD 2= R − R 2= 3R  = 300 (cạnh đối diện nửa cạnh huyền) Và ta có OSD   Tương tự, ta có SC = 600 ⇒ ∆SCD = SR 3; OSC = 600 ⇒ ∆SCD cân có CSD D E O 13 B S GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  đường trịn đường kính SO AKD = sd SD 3.1) AK / / SC ⇒   = sd SD  đường tròn đường kính SO Ta có SHD  AKD =  AHD ⇐ ◊ADHK nội tiếp 3.2) Chứng minh BK qua trung điểm SC - Gọi I giao điểm tia AK đoạn thẳng BC , P giao điểm tia BK SC Ta chứng minh K trung điểm AI , AI / / SC từ suy BK qua trung điểm P CS (Dùng D hệ định lý Ta-let) 4) F E O M B R H K S A P C Gọi M trung điểm OH , R trung điểm OA , dễ chứng minh M cố định, MR đường = trung bình ∆OAH , từ suy MR / / HA , mà HA ⊥ OH ⇒ MR ⊥ OH ⇒ OMR 900     = sd AOB = ADB = EDF Có MOR ∆DEF ∆ORM ( gg ) ⇒ DF DE DB   (góc tương ứng) = = ⇒ ∆DFB ∆OMA ( cgc ) ⇒ DFB = OMA OM OR OA  kề bù   kề bù  AMH ⇒  AFB =  AMH ⇒  AFB =  AMH Mà DFB AFB; OMA 14 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AMB góc tâm chắn cung AB Xét đường trịn ( M ; MA) có:   AFB =  AMB (chứng minh trên);  AFB góc nội tiếp chắn cung AB đường trịn ( M ; MA ) Mà M , A cố định nên f ln thuộc đường trịn ( M ; MA) cố định S di chuyển tia đối tia AB Bài 16: Tuyển sinh vào 10, Bắc Giang 02/06/2019 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) B đường kính AC ( BA < BC ) Trên đoạn thẳng OC lấy điểm I ( I ≠ C ) Đường thẳng E BI cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai D Kẻ CH vng góc với BD ( H ∈ BD ) , DK vuông góc với AC ( K ∈ AC ) a) Chứng minh tứ giác DHKC tứ giác nội tiếp b) Cho độ dài đoạn thẳng AC cm  ABD = 60o Tính diện tích tam giác ACD c) Đường thẳng qua K song song với BC cắt đường thẳng BD E Chứng minh I thay đổi đoạn thẳng OC ( I ≠ C ) điểm E ln thuộc đường tròn cố định Lời giải  = 900 ,  a) Chỉ DHC AKC = 900 Nên H K thuộc đường trịn đường kính CD + Vậy tứ giác DHKC nội tiếp đường tròn 15 K A O I H D C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Chỉ  ADC= 90° ACD= 60° ;  Tính = CD 2= cm; AD cm diện tích tam giác ACD = cm  = DBC  c) Vì EK / / BC nên DEK   DAC  tiếp nên DBC Vì ABCD nội= = Suyra  DEK DAK Từ tứ giác AEKD nội tiếp thu  AED = AKD = 90o ⇒  AEB = 90o Kết luận I thay đổi đoạn OC điểm E ln thuộc đường trịn đường kính AB cố định Bài 17: Cho tam giác nhọn ABC Đường trịn tâm O A đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm M , N ( M ≠ B, N ≠ C ) Gọi H giao điểm BN CM ; P giao điểm M AH BC a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp E đường tròn b) Chứng minh BM BA = BP.BC c) Trong trường hợp đặc biệt tam giác ABC cạnh 2a Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a d) Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AE AF đường trịn tâm O đường kính BC ( E , F tiếp điểm) Chứng minh ba điểm E , H , F thẳng hàng Lời giải 16 B N F H P O C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Chỉ  AMH = 900 ;  ANH = 900 nên M N thuộc đường tròn đường kính AH (hoặc  AMH +  ANH = 1800 ) Vậy tứ giác AMHN nội tiếp đường trịn b) Tứ giác AMPC có  APC = 900 (do H trực tâm tam giác ABC )  AMC = 900 nên tứ giác AMPC nội tiếp đường trịn đường kính AC (Hoặc hai tam giác BMC tam giác BPA đồng dạng) Chỉ BM BC = BP BA Từ suy BM BA = BP.BC c) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH Tam giác ABC nên trực tâm H trọng tâm ⇒ AH = 2 AB 2a (hoặc AP = = 3 tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMHN = R = AH = AM AB ⇒ d) Ta có: AH AP a ) AH AE = AE AP Hai tam giác AHE AEP có AH AE  chung nên tam giác AHE đồng dạng với = EAP AE AP AHE =  AEP (1) tam giác AEP suy  AHF =  AFP (2) Tương tự, ta có:  Mặt khác: Tứ giác AFOP AEOF nội tiếp đường tròn đường kính AO nên năm điểm A, E , P, O, F thuộc đường trịn đường kính AO Suy tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên  AEP +  AFP = 1800 (3) = Từ (1),(2) (3) ⇒  AHE +  AHF =  AEP +  AFP = 1800 ⇒ EHF 1800 Vậy ba điểm E , H , F thẳng hàng 17