Hh9 cđ3 tu giac noi tiep 2

Dấu hiệu 2: Hai góc nhìn cung *) Mẫu số 1: Biến đổi hai góc Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O ') cắt D A B Đường thẳng d qua B cắt (O) B (O ') C D Hai tia CO DO ' cắt E Chứng minh C O O' O, A, D, E thuộc đường trịn A E Lời giải   Vì OAC cân O  AOE 2OCE (góc ngồi tam giác)   Tương tự ta có: AO ' E 2 ADE (góc ngồi tam giác) Ta có:   AOE 1800  COA    1800  2CBA 1800  1800  ABD 2 ABD  1800  'E sd AmB  1800  AO     Vậy AO ' E  AOE  ADE DCE  ACDE nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC , điểm M di động cạnh BC Các đường trung trực đoạn thẳng BM , CM cắt AB , AC D , E a) Gọi S điểm đối xứng M qua DE , SM cắt đường cao AH K , chứng minh tứ giác SAKB nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng qua M vng góc với DE qua điểm cố định S A E D B I M H K Lời giải a) Gọi đường trung trực BM DI  DI / / AH   BC     BAH BDI Vì DB DM DS  D tâm đường tròn ngoại tiếp BDM C 1    BSM  BDM BDI BSK BAK   BSAK Vậy nội tiếp (1) b) Chứng minh tương tự ta có SACK tứ giác nội tiếp (2) Từ  1  B thuộc đường tròn ngoại tiếp SAK Từ (2)  C thuộc đường tròn ngoại tiếp SAK Vậy điểm B, C , S , A, K thuộc đường tròn Suy K thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC (cố định) Mà K  AH (cố định)  K cố định *) Mẫu số 2: Chứng minh hai tam giác nhau, tam giác đồng dạng để suy cặp góc Bài 3: Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp M đường tròn tâm (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy A điểm N cho AM CN Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 12 O B C N Lời giải   Vì ABC cân A  A1  A2   Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp  A2 C1     Vậy A1 C1  OAM OCN  OAM OCN  cgc   AMO  ANO  NEDB tứ giác nội tiếp Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB , M điểm đối xứng O qua A Đường thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) C D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AD BC Gọi N D C M E A N trung điểm OA , chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp Lời giải     Phân tích: Chứng minh tứ giác EDBN nội tiếp  B1 D1  D1 D2 + DA phân giác  AN DN      AM DM     + Sử dụng tam giác đồng dạng, chứng minh D1 D2 (không được) ON OD    M  : DON ∽ MDO O  : chung D + ( OD OM ) Giải:     Ta có B1 D2 , ta chứng minh D2 D1       Mà ODA OAD  D1  D3 M  D2   Đi chứng minh M D3 ON OD    : O Xét DON MDO có chung OD OM  D   ODN ∽ OMD  M Vậy tứ giác ENDB nội tiếp Bài 5: O B Cho tam giác ABC vng A có AM đường trung tuyến, AH đường cao Trên E' P tia đối tia AM lấy điểm P ( P khác A) Các đường thẳng qua H vng góc với AB AC cắt đường thẳng F' E F S A PB PC Q R tương ứng a) Gọi E giao điểm AC PB , F R K Q I giao điểm AB PC Qua P kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC , B H M AB E ', F ' Gọi I giao điểm HQ AB , K giao điểm HR AC Chứng minh IK song song với QR b) Chứng minh tứ giác BHAS nội tiếp với S giao điểm RA PB c) Chứng minh A trực tâm tam giác PQR Lời giải a) Phân tích: IK / / QP  HI HK AC AB PE PF PE ' PF '         PE ' PF ' IQ KR AE AF EB FC BC BC PE ' PA PF '   Giải: Vì E ' F '/ / BC nên ta có MC AM MB , mà MB MC  PE ' PF ' PE PE ' PE PF AC AB      EF / / BC   BC BC BE FC AE AF HI HK    IK / / QR IQ KR  H  ; HQ  HB  HI  HB H HR HA HK HA b) Phân tích: HQB ∽ HRA     Ta có H1 H (phụ với QHA ) (1) HI HB  HK HA HI HQ HB HQ     2 Mà HK HR HA HR   Từ (1)(2)  HAR ∽ HBQ  HAR HBQ  SAHB nội tiếp AHB 900  RA  PQ IHB ∽ KHA  gg   c) Vì Chứng minh tương tự ta có PA  PR Vậy A trực tâm PQR C Bài 1: Cho ABC nhọn có đường cao AH Gọi E , F theo thứ tự điểm đối xứng F A N H qua AB , AC Gọi M , N giao điểm EF với AB AC Chứng M I E minh HMFC HNEB tứ giác nội tiếp K B H C Lời giải Gọi K giao điểm AB EH , I giao điểm AC HF   Dễ dàng chứng minh AE  AH  AF  AEF cân A  AEM  AFM  1  AEM AHM  ccc   AEM  AHM  2   Từ (1)(2) suy AHM  AFM  AMHF tứ giác nội tiếp Suy điểm A, M , H , F nằm đường tròn AHC AFC  ccc   AFC  AHC 900  AHCF (3) tứ giác nội tiếp  A, H , C , F nằm đường tròn (4) Từ (3)(4) suy năm điểm A, M , H , F , C nằm đường tròn  HMFC tứ giác nội tiếp Chứng minh tương tự ta suy tứ giác HNEB nội tiếp Bài 2: Cho ABC Kẻ phân giác AI Phân giác góc B C cắt đường F thẳng d qua A vng góc với AI E , F Chứng minh BCEF nội tiếp E A K B I C Lời giải   Gọi K giao điểm đường phân giác Khi AEK  AKE 90 A B   C AKE BAK    ABK   900  900  KCB 2 Ta có      AKE  KCB 900  AEK KCB  FEB FCB  BCEF tứ giác nội tiếp Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O) , đỉnh A cố định, đỉnh B , C , D B A  thay đổi (O) cho BAD  90 Tia Ax vng góc với AD cắt BC E , tia 1 Ay vng góc với AB cắt CD F K điểm đối xứng với A qua EF Chứng E O D minh a) EFKC nội tiếp b) Đường thẳng EF qua điểm cố định F C K Lời giải   a) Tứ giác ABCD nội tiếp nên BAD  C2 180  A        A  A  A    A  1800  A2  A 1800  BAD  A 3    Do C2  A2  A3  1     Do A K đối xứng qua EF nên FKE EAF  A2  A3     Từ (1)(2)  C2 FKE  EFKC nội tiếp     b) Ta có C1 E2 KAD (phụ với A2 ) suy tứ giác ADKC nội tiếp  K   O   OA OK hay O thuộc trung trực AK hay O  EF Bài 5: Cho điểm M di động cạnh BC tam giác ABC D E điểm A đối xứng với M qua AB AC Dựng hình bình hành DMEF Chứng minh a) điểm A , D , E , F thuộc đường tròn b) Điểm F chạy đường thẳng cố định F E D K H B M Lời giải   a) Dễ thấy DAE DFE 120  A, D, E , F thuộc đường tròn   b) Từ a) ta có FAE FDE C     mặt khác FDE DEK HKM HAM        Vậy FAE HAM , mà KAE KAM  KAF KAH 60  ACB Do AF / / BC  F thuộc đường thẳng cố định qua A song song với BC Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , đường kính AC 2 R Gọi K , M theo thứ tự chân đường vng góc hạ từ A C xuống BD Gọi E giao điểm AC BD , biết K thuộc đoạn BE (khác B , E ) , đường thẳng qua K song song với BC cắt AC P a) Chứng minh tứ giác AKPD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh KP  PM Lời giải B K P O E C D A    a) Ta có DKP DBC DAP  AKPD tứ giác nội tiếp 0    b) AKPD tứ giác nội tiếp  APD  AKD 90  CPD 90   Suy CPMD nội tiếp  PMK DCP  1   AKPD nội tiếp  PKM PAD  2   Từ (1)(2) suy PMK ∽ DCA  gg   KPM  ADC 90  PK  DM Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AB  BC Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD  AB Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E Tia phân giác góc BAC cắt DE F a) Gọi N giao điểm AF đường tròn (O) Đường thẳng qua D song song với AB cắt AF M Chứng minh tứ iacs DMNC nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AF qua trung điểm I BD A B E F I D M N Lời giải C  AMD DCN   BAN      a) Ta có , mà AMD  DMN 180  NMD  DCN 180 Suy tứ giác DMNC nội tiếp b) Để chứng minh I trung điểm BD ta chứng minh tứ giác ADMB hình bình hành, tức chứng minh hai cặp cạnh đối AB DM song song     Vì AC / / DE  FDB  ACB (hai góc đồng vị) mà ACB BNF (hai góc nội tiếp chắn cung   AB) , suy FDB BNF  BFDN nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh   FBD MND hai góc nhau) suy (tính chất)     BDM  ABD 2 FBD 2MND 2DCM          Mà BDM  ABD DCM  DMC  DCM DCM  DMC  DCM DMC  AMC cân D  DM DC  AB DM Xét tứ gác ABMD có AB / / MD, AB MD  ABMD hình bình hành nên I trung điểm BD Bài 8: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên M tiếp tuyến đường tròn (O) A lấy điểm M , vẽ cát tuyến MCD ( C nằm N M D ) Gọi E , F giao điểm OM với BC BD C a) Kẻ tiếp tuyến MN , chứng minh tứ giác MCEN nội tiếp b) Chứng minh OE OF E A B O F D Lời giải  a) Dễ dàng chứng minh MO phân giác AMN MO đường trung trực AN      NAB  NCE  sd NB  NME NCE  MCEN     NME  NAB (cùng phụ với MAN ), mà Là tứ giác nội tiếp     b) Cách 1: DO E thuộc trung trực AN  MAE MNE , mà MNE BCD (cùng bù      BCD DAB  sd DB  MAE DAB MCE với ) Hơn    EAO OBF (cùng phụ với góc nhau)  AEO BFO  gcg  Suy OE OF Cách 2: Qua C kẻ song song với EF cắt AB H , K Kẻ ON vuông góc với CD N Chứng minh ACHN nội tiếp NH song song BD Suy H trung điểm CK OE BO OF   Sử dụng định lí Talét chứng minh OH BH HK Bài 9: Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB E , cắt AC F Các tia BF CE cắt H Gọi M trung điểm BH Chứng minh tứ giác EMKF với K giao điểm AH BC A F E H B M K O C Lời giải   Dễ dàng chứng minh AEKC nội tiếp  EKB BAC Tam giác BHK vuông K , M trung điểm BH Suy MK BM MH   Vậy BMK cân M  FBC MKB         Từ suy EKM EKB  MKB BAC  FBC BAC  KAC EAH     Mà tứ giác AEHF nội tiếp nên suy EAH MFE  EKM MFE  EMKF nội tiếp Bài 10: Cho Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB , M điểm đối xứng O qua A Đường thẳng qua M cắt nửa đường D C E tròn (O) C D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AD BC M N A O B BC AE 3 BE Chứng minh AD Lời giải Gọi N trung điểm OA , chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp   Ta chứng minh NDE NBE   Có NBE  ADC       Nên để chứng minh NDE NBE  NDA  ADC  DMA NDO Điều có DMO ∽ NDO  cgc  Ta có tứ giác EDBN nội tiếp, tứ giác CENA nội tiếp BEN ∽ BAC  BC.BE BN BA AEN ∽ ABD  AD.BE  AN AB Từ suy BC.BE 3 AE AD Bài 11:  Cho hình thoi ABCD có BAD 60 Đường thẳng d qua C cắt AB , AD M N Gọi K giao điểm BN DM D A Chứng minh A, B, D, K thuộc đường tròn C M N Lời giải Từ A kẻ đường thẳng song song với BD , E thuộc BN 10 E K B Khi BHCK hình bình hành, nên N trung điểm KH Suy tam giác AGN có AD , NM đường cao cắt H Suy GH  AN Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường trịn tâm H bán kính HA D điểm nằm A E đường tròn ( H ) Gọi M , N trung điểm DB DC Chứng minh bốn điểm D, M , H , N thuộc đường tròn B C H N M D Lời giải Gọi E giao điểm DH ( H ) BH HC  AH HD.HE  DEBC nội tiếp      BED BCD  MHD MND Bài 7: Cho đường trịn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A điểm chuyển động cung lớn BC , M trung điểm dây BC Gọi D giao điểm AM cung nhỏ BC , N giao điểm AB N E D CD a) Gọi E giao điểm tiếp tuyến B M đường tròn (O) B C Chứng minh tứ giác AODE nội tiếp, tứ giác BNED nội tiếp b) Chứng minh N thuộc đường thẳng cố định C O A Lời giải a) Dễ thấy MA.MD MB.MC ME.MO 19   Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc NDE  NBE     Thật vậy, NDE NBE  EDC EBA 1 1      EDC EDA  CDA  EOA  COA EOC  COA 2 Ta có 1 1 1     EBA EBC  CBA  COB  COA EOC  COA 2   NDE  NBE Vậy (đpcm)     b) Ta có END  NBD  END BCD  EN / / BC Vậy N thuộc đường thẳng cố định, qua E cố định song song với BC 20