Toan 11 c2 b7 1 cap so nhan tu luan hdg

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 6: CẤP SỐ NHÂN I LÝ THUYẾT = = = NGHĨA: Cấp số nhân dãy số, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích ĐỊNH I số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu  un  * cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un 1 un q với n   Đặc biệt:  Khi q 0, cấp số nhân có dạng u1 , , , , ,  Khi q 1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , , u1 ,  Khi u1 0 với q, cấp số nhân có dạng , 0, , , 0, SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un u1 q n  với n 2 Chú ý: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk2 uk  uk 1 với k 2 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân Sn  Khi  un  với cơng bội q 1 Đặt S n u1  u2   un u1   q n  1 q Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Chú ý: Nếu q 1 cấp số nhân u1 , u1 , u1 , , u1 , S n nu1 II HỆ THỐNG BÀI TẬP = = =  u  cấp số nhân Dạng 1: Chứng minh dãy I Dạng Xác định đại lượng cấp số nhân n Dạng Tổng n số hạng cấp số nhân Dạng Một số toán liên quan đến cấp số nhân DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY = = = I  u  LÀ CẤP SỐ NHÂN n PHƯƠNG PHÁP + Chứng minh un1 un q, n  * q số khơng đổi u  n 1 q : const n   * un + Nếu un 0 n   * un cấp số nhân + Để chứng minh dãy  u  cấp số nhân, ta cần ba số hạng liên tiếp n u3 u2  u u1 không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn + Để chứng minh a,b,c theo thứ tự lập thành CSN, ta chứng minh ac b b  ac = = = CâuI 1: BÀI TẬP TỰ LUẬ N v :v  1 Chứng minh dãy số  n  n   n 32 n cấp số nhân Lời giải n 1 2 n 1 1   1  n   1 32 n Câu 2:  ,n  * v :v  1 Vậy  n  n   n 32 n cấp số nhân 1 1 ; a; 125 theo thứ tự lập thành cấp số nhân? Giá trị a để Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1  1   a       a   25    125  625 Ta có: DẠNG XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA CẤP SỐ NHÂN Câu 3: PHƯƠNG PHÁP = = Vận= dụng công thức định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất cấp số nhân I BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = u  Cho cấp số nhân n với công bội q < u2 4 ,u4 9 Tìm u1 I Lời giải u  u2 u4  4.9  Vì q  ,u2  nên u3  Do ; u22 42 u u1 u3  u1    u3  Chọn đáp án A 2 Câu 4: Cho cấp số nhân cấp số nhân  un  biết u1  u5 51;u2  u6 102 Hỏi số 12288 số hạng thứ  un  ? Lời giải Gọi q công bội cấp số nhân cho Theo đề bài, ta có u1  u5 51   u  u  102  u1   q  51   q 2  u1 3  un 3.2n   u1q   q  102 n n 12 Mặt khác un 12288  3.2 12288  2  n 13 Câu 5:  u4  27   u  243 u8 Cho cấp số nhân (un ) thỏa:  a) Viết năm số hạng đầu cấp số nhân: b) Số 6561 số hạng thứ cấp số? Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Gọi q công bội cấp số Theo giả thiết ta có:    uq  u1q   q  27   27  u q 243.u q q  u 2   1  243 2 2 u1 2, u2  , u3  ; u4  , u5  27 81 a)Năm số hạng đầu cấp số là: b)Ta có: un  n  un   3n 6561 38  n 9 6561 Vậy 6561 số hạng thứ cấp số Câu 6: Cho tứ giác ABCD có góc tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tìm góc Lời giải   q4 U1  U  U  U 360 3600 U1 240 U1   1 q   q 2 q 2 q 2  Vậy góc là: 24, 48, 96, 192 Câu 7: Cho số lập thành cấp số nhân Biết công bội phần tư số hạng tổng số hạng đầu Lời giải U1  U 8    q  U  U12  4U1 32    q  U     U1    U1 4    q    q 1  Vậy CSN là: -8, 16, -32, 64, -128; 4,4,4,4,4 DẠNG 3: TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN = = = I PHƯƠNG PHÁP Ghi nhớ công thức Sn  u1   q n  1 q ,  q 1 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 8: BÀI TẬP TỰ LUẬN = = Tính=tổng tất số hạng cấp số nhân, biết số hạng đầu 18, số hạng thứ hai I 54 số hạng cuối 39366 Lời giải u1 18,u2 54  q 3 un 39366  u1 q n 39366  18.3n 39366  3n  37  n 8  38 S8 18 59040 1 Vậy Câu 9:  u4  27   u  243 u8 Cho cấp số nhân (un ) thỏa:  Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số; Lời giải Gọi q công bội cấp số Theo giả thiết ta có:    uq  u1q   q  27   27  u q 243.u q q  u 2   1  243 Tổng 10 số hạng đầu cấp số 10  1  3  10    10  59048 q 1   S10 u1 2 3       q     19683 1 2 1  1    S n           2n  n  2  4    Câu 10: Tính tổng sau: Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1   24     2 n  n  2 2   1  22  24   22 n       n   2n  2 1  4n 1  4n 4n    4   2n   n   2n  1 4 1   S n 22  Câu 11: S n 8  88  888   88  n so Lời giải  8 S n    99  999  99   9 n so    10   102   103    10n  1    10  102  103   10n   n  80  10n  1    10n   10  n   n 9  10 81  DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN Câu 12: PHƯƠNG PHÁP = = = I2 BÀI TẬP TỰ LUẬN = = Chu= kì bán rã nguyên tố phóng xạ poloni 210 138 ngày Tính khối lượng cịn lại 20 gamI poloni 210 sau 7314 ngày Lời giải Kí hiệu un khối lượng lại 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã Theo đề ra, ta cần tính u53 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Từ giả thiết suy dãy ( un ) cấp số nhân với số hạng đầu u1  20 10 công bội 52 1 u53 10.  2, 22.10 15  2 q=0,5 Do Câu 13: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp Tính diện tích mặt Lời giải Diện tích bề mặt tầng lập thành cấp số nhân có cơng bội q 12 288 u1  6 144 Khi diện tích mặt u11 u1q10  6144 6 210 Câu 14: Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước Người thua lần liên tiếp thắng lần thứ 10 Hỏi du khác thắng hay thua bao nhiêu? Lời giải Số tiền du khác đặt lần cấp số nhân có u1 20 000 cơng bội q 2 Du khách thua lần nên tổng số tiền thua là: S9 u1  u2   u9  u1   p9  1 p 10220000 Số tiền mà du khách thắng lần thứ 10 u10 u1 p 10240000 Ta có u10  S9 20 000  nên du khách thắng 20 000 Câu 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm lập thành CSN x    m  x    5m  x  6m 0 Lời giải x    m  x    5m  x  6m 0   x  m   x  x   0  x m   x    x  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Để nghiệm lập thành CSN xét TH m    m    m 6    m   m  TH1:     m   3m  m  m       2m  m  TH2: TH3: Vậy có giá trịn m thỏa mãn Câu 16: Một người bắt đầu làm nhận số tiền lương 7000000đ tháng Sau 36 tháng người tăng lương 7% Hằng tháng người tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép Biết người nhận lương vào đầu tháng số tiền tiết kiệm chuyển vào ngân hàng a) Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người tiết kiệm bao nhiêu? b) Hỏi sau 60 tháng tổng số tiền người tiết kiệm bao nhiêu? Lời giải a) Đặt a 7.000.000 , m 20% , n 0,3% , t 7% Hết tháng thứ nhất, người có tổng số tiền tiết kiệm T1 am(1  n) Hết tháng thứ hai, người có tổng số tiền tiết kiệm T2 (T1  am)(1  n) am(1  n)  am(1  n)1 Hết tháng thứ 36, người có tổng số tiền tiết kiệm T36 am(1  n)36  am(1  n )35   am(1  n) am.(1  n) (1  n)36  n Thay số ta T36 53 297 648,73 b) Hết tháng thứ 37, người có tổng số tiền tiết kiệm T37  T36  a (1  t )m  (1  n) T36 (1  n)1  a (1  t )m.(1  n) Hết tháng thứ 38, người có tổng số tiền tiết kiệm T38  T37  a(1  t )m  (1  n) T36 (1  n)  a(1  t )m  (1  n)  (1  n)  Hết tháng thứ 60, người có tổng số tiền tiết kiệm Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN T60 T36 (1  n) 24  a (1  t )m  (1  n) 24  (1  n) 23   (1  n)  T36 (1  n) 24  a(1  t )m.(1  n) (1  n) 24  n Thay số tính ta tổng số tiền tiết kiệm sau 60 tháng người là: T60 94 602 156,59 Page Sưu tầm biên soạn