Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG THỊ NGẠN DƯỚI VI PHÂN HÀM VÉCTƠ LỒI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG THỊ NGẠN DƯỚI VI PHÂN HÀM VÉCTƠ LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Tập Affine Hàm lồi vi phân hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi 1.2.2 Tính liên tục, tính Lipschitz địa phương hàm lồi 11 1.2.3 Hàm liên hợp Định lý Fenchel-Moreau trường 1.2 hợp vô hướng 13 1.2.4 Dưới vi phân hàm lồi 16 1.2.5 Bài toán tối ưu lồi 19 HÀM VECTƠ LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM VÉCTƠ LỒI 22 2.1 Một số khái niệm 22 2.1.1 Nón 22 2.1.2 Hàm vectơ lồi 24 ii 2.1.3 Hàm liên hợp hàm vectơ lồi 41 2.2 Dưới vi phân hàm vectơ lồi 45 2.3 Bài toán tối ưu vectơ lồi 56 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Học viên Đặng Thị Ngạn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Em muốn gửi tới thầy lời biết ơn sâu sắc Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô Trường Đại học Khoa Học Thái Ngun, gia đình tơi bạn lớp cao học tốn K7Y tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trình học cao học thực luận văn Trong q trình viết luận văn khơng tránh khỏi sai sót mong góp ý chân thành độc giả Thái Nguyên, 2015 Đặng Thị Ngạn Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Những móng giải tích lồi xây dựng khoảng cuối kỷ XX nhiều nhà toán học, phải kể đến Minkowski, Rockafellar Từ đến nay, với đóng góp qua thời kỳ nhà toán học Bonneesen, Fenchel, Beckenbach, Valentine, Tucker, Bourbaki, Moreau, , giải tích lồi đạt đến phát triển mạnh mẽ Tầm quan trọng giải tích lồi thể ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học, đặc biệt lý thuyết tối ưu mà tốn với giả thiết lồi Bài tốn tối ưu thơng thường, tốn tối ưu vectơ đặt từ lâu Bài tốn tối ưu vectơ có nguồn gốc từ toán làm định mà ngày người ta gặp phải quản lý, sản xuất, kinh doanh, thiết kế, hành chính, văn phịng Là chun ngành toán học, tối ưu véctơ manh nha khoảng đầu kỷ từ cơng trình lý thuyết cân kinh tế Edgeworth, khái niệm hữu hiệu Pereto với sở toán học không gian thứ tự Cantor Hausdorff đề xướng Tuy nhiên phải đợi đến năm năm mươi, sau Kubn-Tucker đăng cơng trình điều kiện cần đủ hữu hiệu, Debreu đăng cơng trình cân đánh giá tối ưu Pareto, tối ưu vectơ có bước phát triển mạnh mẽ, đặt biệt ba mươi năm trở lại đây, mặt lý thuyết ứng dụng Tuy nhiên có điều đáng ghi nhận số cơng trình đăng xuất chun ngành tối ưu véctơ, lĩnh vực ứng dụng thu hút quan tâm tác giả nhiều hẳn so với lĩnh vực lý thuyết Nhiều tác giả nghiên cứu thu thành công định Các nghiên cứu hàm vectơ lồi chưa có sâu sắc tồn diện, hệ thơng trường hợp vơ hướng Do nhiều kết đẹp, hữu ích giải tích lồi chưa mở rộng sang cho trường hợp vectơ ứng dụng hàm tốn véctơ hạn chế Trong lý thuyết tối ưu, người ta phân tối ưu trơn không trơn Đối với tốn tối ưu trơn, ta tìm điều kiện cần đủ thông qua đạo hàm cấp 1,2, Từ đó, ta xây dựng thuật tốn tìm nghiệm cách tương đối thuận lợi dựa phương pháp Newton Đối với tốn tối ưu khơng trơn, ta gặp nhiều khó khăn việc tìm điều kiện cần đủ tối ưu Đối với qui hoạch tuyến tính, năm 1947 Danzig tìm thuật tốn đơn hình để giải nghiệm Những năm 1960, nhà toán học Mỹ Rockafellar [6] đưa khái niệm vi phân hàm lồi Dựa khái niệm ông tìm điều kiện cần đủ cho tốn qui hoạch lồi từ xây dựng thuật toán để giải Tiếp theo, toán qui hoạch Lipschitz, năm 1970, 1980, nhà toán học Mỹ, Clarke đưa khái niệm vi phân hàm Lipschitz địa phương tìm phương pháp giải tốn Tiếp sau đó, nhiều người tìm nhiều khái niệm vi phân khác để giải tốn tối ưu khơng trơn cho trường hợp vô hướng trường hợp vectơ, Penot, Strodiot, Nguyen Van Hien, Jeykumar Dinh The Luc [5], Ý tưởng chung vi phân là, xấp xỉ hàm điểm tập hợp thay phân tử trường hợp hàm khả vi Những khái niệm nhiều người mở rộng cho trường hợp vectơ Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, tơi chọn đề tài “dưới vi phân hàm lồi vectơ ứng dụng ” Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu, tìm hiểu tính chất vi phân hàm vectơ lồi giới thiệu số ứng dụng vào tối ưu hóa Ngồi phần mở đầu kết luận, Luận văn bố cục gồm hai chương Chương 1: Một số vấn đề giải tích lồi Trình bày khái niệm giải tích lồi, tính chất quan trọng tập lồi, tập affine, hàm lồi, liên tục, tính Lipschitz địa phương hàm lồi, vi phân hàm lồi Chương 2: Hàm vectơ lồi Dưới vi phân hàm lồi véctơ lồi Định nghĩa hàm véctơ lồi dựa thứ tự sinh nón, định nghĩa khái niệm vi phân hàm vectơ lồi đưa tính chất Tìm số mối liên quan vi phân hàm vectơ lồi tính đơn điệu đạo hàm trường hợp hàm khả vi Ứng dụng vi phân hàm vectơ lồi vào toán tối ưu Trình bày khái niệm tổng qt tốn tối ưu, điều kiện để có tốn có lời giải tối ưu số toán tối ưu Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Đặng Thị Ngạn Học viên Cao học Tốn lớp Y, khóa 01/2014-1/2016 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: dangthingan1983@gmail.com Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI Chương viết dựa sách Lý thuyết tối ưu không trơn Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh [2] Phần lớn chứng minh kết luận văn chúng tơi khơng trình bày Người đọc tìm sách nói Các kết luận văn không gian vô hạn chiều Để trực quan cho người đọc dễ trình bày, chúng tơi trình bày khơng gian hữu hạn chiều Rn 1.1 Tập lồi Tập lồi khái niệm giải tích lồi Một số tập lồi mà thấy nhiều đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, tam giác Dưới tác giả trình bày đinh nghĩa số tính chất tập lồi 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Với x1 , x2 ∈ Rn , đường thẳng nối điểm x1 , x2 tập hợp véctơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ∀λ ∈ R} Định nghĩa 1.2 Với x1 , x2 ∈ Rn , đoạn thẳng nối điểm x1 , x2 tập hợp véctơ x ∈ Rn có dạng [x1 , x2 ] := {x ∈ Rn : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ∀λ ∈ [0, 1]} Tập lồi khái niệm giải tích lồi định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua điểm Tức là, C tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.1 a) Các tập A, B, C sau tập lồi A = {x ∈ Rn : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ∀λ ∈ [0, 1]} B = {x ∈ R2 : x + y ≤ 1; −x + y ≤ 1; y ≥ 0} C = {x ∈ R2 : kxk ≤ 1} b) Tập sau tập lồi D = {x ∈ R2 : kxk ≤ 2, kxk ≥ 1} Mệnh đề 1.1 i) Giả sử Ai , i ∈ I Khi tập A = ∩ Ai tập lồi i∈I 50 i = k + 1, , n, có tồn vectơ yi ∈ Rm cho ξ(yi ) = A(ei ) Đặt B : Rn → Rm hàm tuyến tính xác định   B (e ), i = 1, 2, , k; i B(ei ) =  yi , i = k + 1, , n Khi đó, B ∈ ∂f (x) vàA = ξ ◦ B ∈ ξ∂f (x) Do đó, ∂(ξ ◦ f )(x) ⊆ ξ∂f (x) Dễ thấy điều ngược lại Vậy ta có đpcm Dễ dàng nhận thấy intD 6= ∅ x ∈ / intD Khi nói chung, 2.12 khơng Ví dụ Giả sử f hàm lồi từ [0, 1] ⊆ R đến R Lấy ξ = 0, x = ∂(ξ ◦ f )(x) = (−∞, 0] ξ∂f (x) ⊆ {0} Vì x = không thuộc int[0, 1] Nếu intD = ∅, x ∈ riD ξ = 0, 2.1) nói chung khơng D = [(−1, 0), (1, 0)] ⊆ R2 Xét hs f : x ∈ D ⊆ R2 → ∈ R Do ξ = 0, ta có ξ∂f (0) = ∂(ξ ◦ f )(0) = (0, t) : t ∈ R Do đó, ∂(ξ ◦ f ) 6= ξ∂f (0) Định lý 2.9 Cho f hàm lồi từ tập lồi D ⊆ Rn đến Rm Khi i) Đối với x ∈ riD, ∂f (x) tập lồi đóng khác rỗng ii) Hơn nữa, x ∈ intD ∂f (x) khác rỗng bị chặn Đặc biệt, x ∈ intD, ∂f (x) tâp compact lồi khác rỗng Chứng minh 51 i) Khi nón C đóng nhọn, C \ {0} khác rỗng Vì vi phân hàm lồi vô hướng điểm tương đối phạm vi khác rỗng, từ Bổ đề 2.8 Định lý 2.8 ta có i) ii) Bằng giải thích, giả sử x = 0, f (x) = Đối với chiều "chỉ nếu", theo Định lý 2.5, f liên tục tìm thấy số dương δ < cho kf (y)k < với mọiy ∈ B(0, δ) Từ B(0, δ) đóng {y ∈ Rn : y ≤ δ} Trái lại giả sử ∂f (0) khơng bị chặn, cho tất số tự nhiên k, mà Ak ∈ ∂f (0) với k Ak ∂ > k Chúng ta có kAk k = sup kAk (y)k = y∈B(0,1) sup kAk (y)k δ y∈B(0,δ) Do đó, tất số tự nhiên k, có xk ∈ B(0, δ) với k Ak (xk ) k> kδ Đặt zk = f (−xk ) − Ak (−xk ) f (xk ) − Ak (xk ) , zk0 = , kf (xk ) − Ak (xk )k kf (−xk ) − Ak (−xk )k zk , zk0 ∈ C k zk k=k zk0 k= δ Không tính tổng qt giả sử (zk ), (zk0 ) hội tụ Với k > vectơ z, z tương ứng z, z ∈ C , (2.13) zk + zk0 → z + z (2.14) Đặt vk = zk + zk0 ta có f (xk ) − Ak (xk ) f (−x ) + A (−x ) k k k kvk k = + kf (xk ) − Ak (xk )k kf (−xk ) + Ak (−xk )k f (x ) f (−x ) k k + ≤ kf (xk ) − Ak (xk )k kf (−xk ) + Ak (−xk )k 52 1 − + kAk (xk )k kf (−xk ) + Ak (xk )k kf (xk ) − Ak (xk )k kf (xk ) − Ak (xk )k − f (−xk ) + Ak (−xk )