Phương trình toán tử j đơn điệu và phương pháp newton kantorovich

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Phương trình tốn tử phi tuyến 1.1 Khơng gian Banach 6 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn Ánh xạ J -đơn điệu 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Phương trình tốn tử phi tuyến 1.2.1 1.2.2 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 10 1.2.3 Phương pháp Newton 11 Phương pháp Newton–Kantorovich 15 2.1 Phương pháp Newton–Kantorovich định lý hội tụ 15 2.1.1 2.1.2 2.2 Phương pháp 15 Định lý hội tụ 16 Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich 30 2.2.1 Mô tả phương pháp 30 2.2.2 Sự hội tụ 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động tốn tử T H khơng gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x Mở đầu Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp X Để đơn giản, ta ký hiệu chuẩn không gian X X ∗ k.k Ta viết hx, x∗ i thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Đề tài luận văn nghiên cứu tốn tìm nghiệm phương trình tốn tử phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (0.1) A : X → X toán tử J-đơn điệu X Nếu khơng có thêm điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính chất J-đơn điệu J-đơn điệu mạnh, phương trình (0.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải loại toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov dạng (xem [3]): A(x) + αn (x − x+ ) = fn , (0.2) với kfn − f k ≤ δn → n → +∞, x+ phần tử cho trước αn dãy tham số dương đủ bé thỏa mãn αn → n → +∞ Nếu A tốn tử phi tuyến phương trình hiệu chỉnh (0.2) toán phi tuyến Để khắc phục khó khăn giải tốn phi tuyến này, Bakushinskii đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich khơng gian Hilbert H giải phương trình (0.1) (xem [4]): x0 ∈ E, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn , (0.3) với A0 A00 ký hiệu đạo hàm Fréchet cấp cấp hai tương ứng A, giả thiết thỏa mãn điều kiện: (C1) A0 liên tục Lipschitz, (C2) kA00 (x)k ≤ M, ∀x ∈ H, M số dương Phương pháp (0.3) phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach Ryazantseva dạng (xem [11]): x0 ∈ E, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn , với A ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ thỏa mãn điều kiện (C3) kA00 (x)k ≤ ϕ(kxk), (1) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ Năm 2008, Giáo sư Nguyễn Bường học trò (xem [6]) cải tiến phương pháp (0.3) trường hợp A toán tử m-J-đơn điệu không gian Banach chứng minh hội tụ mạnh phương pháp với việc sử dụng điều kiện trơn nghiệm, nghĩa tồn phần tử ω ∈ X cho A0 (x∗ )ω = x+ − x∗ , điều kiện đặt lên ánh xạ đạo hàm A0 : kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k ∀x ∈ E, τ số dương J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp Newton– Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình tốn tử J-đơn điệu (0.1) trình bày số định lý hội tụ phương pháp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Phương trình tốn tử phi tuyến" nhằm giới thiệu phương trình tốn tử phi tuyến J-đơn điệu đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh toán Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[9] Chương với tiêu đề "Phương pháp Newton–Kantorovich" nhằm giới thiệu phương pháp Newton–Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình tốn tử J-đơn điệu Nội dung chương viết từ báo [5], [8] [10] Tôi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới người kính mến TS Nguyễn Thị Thu Thủy tận tình hướng dẫn tơi hồn thành đề tài Tơi vơ biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy giáo Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dạy dỗ, đóng góp nội dung cách thức trình bày đề tài Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2015 Nguyễn Văn Đạt Chương Phương trình tốn tử phi tuyến Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số khái niệm tính chất khơng gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều, toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu Phần thứ hai chương giới thiệu phương trình toán tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[11] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach lồi đều, trơn Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X hx∗ , xi ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T (x) = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : kxk = 1} Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi không gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SE , x 6= y k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ kx − yk ≥ ε, tồn δ = δ(ε) ≥ cho x + y ≤ − δ Chú ý không gian Banach lồi đều không gian phản xạ lồi chặt Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn kx + tyk − kxk t→0 t lim tồn với x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux với y ∈ SX giới hạn tồn với x ∈ SX Các không gian Lp , lp ví dụ khơng gian trơn 1.1.2 Ánh xạ J -đơn điệu Mục trình bày định nghĩa ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ J-đơn điệu, J-đơn điệu mạnh, mối liên hệ với ánh xạ đơn điệu khơng gian Hilbert số ví dụ Định nghĩa 1.3 Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp X Với s ≥ 2, ánh xạ J s từ X vào X ∗ xác định J s (y) = {g ∈ X ∗ : hy, gi = kykkgks−1 , kgk = kyk, ∀y ∈ X}, gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát X Khi s = 2, J thường ký hiệu J, gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị, ta ký hiệu j Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ A từ X vào X gọi ánh xạ (i) J-đơn điệu (accretive) với x, y ∈ D(A), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho: hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0; (ii) m-J-đơn điệu (m-accretive) A J-đơn điệu R(A+αI) = X với α > 0, I ánh xạ đơn vị X; (iii) α-J-đơn điệu mạnh, tồn số α > 0, j(x−y) ∈ J(x−y) cho hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ αkx − yk2 ∀x, y ∈ D(A); (vi) L-liên tục Lipschitz, tồn số L > cho kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ D(A) Chú ý A ánh xạ J-đơn điệu X, D(A) = X, L-liên tục Lipschitz A ánh xạ m-J-đơn điệu Nếu X ≡ H khơng gian Hilbert thực, ánh xạ J-đơn điệu m-J-đơn điệu tương ứng ánh xạ đơn điệu, đơn điệu cực đại 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Cho X, Y không gian Banach, điểm x0 ∈ X r > Hình cầu mở (tương ứng đóng) tâm x0 với bán kính r ký hiệu B(x0 ; r) (tương ứng B(x0 ; r)) Ký hiệu L(X, Y ) không gian tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Cho Ω tập mở không gian X Ánh xạ f : Ω ⊂ X → Y gọi khả vi điểm a ∈ Ω có phần tử f (a) ∈ L(X, Y ) cho f (a + h) = f (a) + f (a)h + δ(h) 25 từ sup kx − x0 k = sup k(1 − t)(a − x0 ) + t(b − x0 )k x∈[a,b] t∈[0,1] ≤ max{ka − x0 k, kb − x0 k} < r, µνr = nên ta a = b Thứ hai, thấy rằng, λµν < 21 , hàm f khơng có khơng điểm tập B(x0 ; r+ ) − B(x0 ; r− ) Cuối cùng, ta suy từ (ii) kh(x) − h(x0 ) − h0 (x0 )(x − x0 )k ≤ µν kx − x0 k2 với x ∈ B(x0 ; r+ ) Nhưng h0 (x0 ) = idX h(x0 ) ≤ λ; thế, kh(x)k ≥ kh(x0 ) + h0 (x0 )(x − x0 )k − µν kx − x0 k2 µν ≥ kx − x0 k − kh(x0 )k − kx − x0 k2  µν  ≥− kx − x0 k − kx − x0 k + λ = −p(kx − x0 k) với x ∈ B(x0 ; r+ ) Từ p(t) < với r− < t < r+ λµν < 12 , ta có kh(x)k > với r− < kx − x0 k < r+ Kết là, f (x) 6= với x ∈ B(x0 ; r+ ) − B(x0 ; r− ) Mặt khác, f có khơng điểm B(x0 ; r), không điểm a ∈ B(x0 ; r− ) (tìm (vi)) khơng điểm f B(x0 ; r+ ) λµν < 21 (viii) Chứng minh a khơng điểm f B(x0 ; r) λµν = 12 , giả thiết thêm B(x0 ; r) ∈ Ω Trước hết, ta ý kf (e x) − f (x)k ≤ νke x − x)k với x e, x ∈ B(x0 ; r) 26 Từ đó, λµν = 12 , khơng điểm a ∈ B(x0 ; r) (tìm (vi)) không điểm f B(x0 ; r) Cuối cùng, điểm b ∈ B(x0 ; r) thỏa mãn f (b) = λµν = 21 , dãy lặp Newton xk+1 := xk − (f (xk ))−1 f (xk ), k ≥ 0, thỏa mãn r với k ≥ 2k Rõ ràng, bất đẳng thức với k = Ta giả sử điều kb − xk k ≤ với k = 0, , n với số nguyên n ≥ Từ f (b) = ta viết kb − xn+1 k kb − xn+1 k = kf (xn )−1 (f (b) − f (xn ) − f (xn )(b − xn ))k vậy, từ (ii) giả thiết quy nạp, kb − xn+1 k ≤ kf (xn )−1 kkf (b) − f (xn ) − f (xn )(b − xn )k ν νr2 −1 ≤ kf (xn ) kkb − xn k ≤ 2n+1 k(f (xn ))−1 k 2 Bên cạnh đó, từ (iii) cho ta kf (xn )−1 k ≤ Truy hồi với t0 = tk+1 − tk ≤ µ − µνkxn − x0 k λ , 2k k ≥ 0, kxn − x0 k ≤ tn (xem (i) (v)), ta suy  1 kxn − x0 k ≤ tn ≤ λ + + · · · + n−1 2   = 2λ − n  Vì vậy,  kb − xn+1 k ≤ µνr (1 − 2λµν(1 − 2−n ))2n  r 2n+1 = r 2n+1 , 27 µνr = 2λµν = Do đó, kb − xk k ≤ r với k ≥ 2k Kết là, kb − ak = lim kb − xk k = 0, k→∞ suy b = a Ta xét ví dụ áp dụng cho tốn biên phi tuyến: − u00 (t) + u(t)p = ϕ(t), ≤ t ≤ 1, u(0) = u(1) = 0, p ≥ số nguyên ϕ ∈ C[0, 1] hàm cho trước Ta biết tìm nghiệm u ∈ C [0, 1] cho toán giá trị biên giống tìm nghiệm u ∈ C[0, 1] cho tốn phương trình tích phân phi tuyến tính, phương trình mà trường hợp có dạng Z u(t) = G(t, ξ)(ϕ(ξ) − u(ξ)p )d(ξ), ≤ t ≤ Hàm G xác định G(t, ξ) := ξ(1 − t) ≤ ξ ≤ t ≤ G(t, ξ) := t(1−ξ) ≤ t ≤ ξ ≤ Giải phương trình tích phân dẫn tới việc tìm khơng điểm ánh xạ phi tuyến tính f : u ∈ C[0, 1] 7→ f (u) ∈ C[0, 1] xác định Z (f (u))(t) = u(t) + G(t, ξ)(u(ξ)p − ϕ(ξ))d(ξ), ≤ t ≤ Tiếp theo, ta xét không gian X := C[0, 1] với chuẩn k · kX để X không gian Banach Khi đó, ta thấy ánh xạ f thuộc lớp C , với đạo hàm Fréchet f (u) ∈ L(X) cho Z f (u)v = v + p G(·, ξ)u(ξ)p−1 v(ξ)d(ξ) với v ∈ X 28 Cho u0 biểu diễn hàm [0, 1], đó, kf (u0 )−1 f (u0 )kX = kϕkX , kf (u0 )−1 kL(X) = 1, u − ukX ∀e u, u ∈ B(u0 ; r), ∀r > 0, kf (e u) − f (u)kL(X) ≤ p(p − 1)rp−2 ke 8 kϕkX ≤ 4rp , mà rp := ( p(p−1) ) p−1 , giả thiết định lý Newton– Kantorovich thỏa mãn Điều chứng tỏ rằng, trường hợp này, toán giá trị biên hai điểm phi tuyến có nghiệm nghiệm tính xấp xỉ phương pháp Newton Cụ thể hơn, biết điểm lặp thứ k phương pháp Newton uk , điểm lặp thứ k + uk+1 tìm từ việc giải toán: − u00 (t) + p(uk (t))p−1 u(t) = (p − 1)(uk (t))p − ϕ(t), ≤ t ≤ 1, u(0) = u(1) = Số lượng số xuất giả thiết định lý Newton– Kantorovich giảm xuống thay đổi đơn giản việc hình thành giả thiết Định lý 2.4 (Định lý Newton–Kantorovich cổ điển với hai số [8]) Cho X Y hai không gian Banach, Ω tập mở X, điểm x0 ∈ Ω, ánh xạ f ∈ C (Ω; Y ) cho f (x0 ) ∈ L(X; Y ) ánh xạ một-một lên, để f (x0 )−1 ∈ L(Y ; X) Giả sử có hai số λ r cho r B(x0 ; r) ⊂ Ω, kf (x0 )−1 f (x0 )kX ≤ λ, kf (x0 )−1 (f (e x) − f (x))kL(X) ≤ ke x − xkX với x e, x ∈ B(x0 ; r) r Khi đó, f (x) ∈ L(X; Y ) ánh xạ một-một lên f (x)−1 ∈ L(Y ; X) 0 B(x0 ; r) ⊂ Ω, r kf (x0 )−1 f (x0 )kX ≤ , x − xkX với x e, x ∈ B(x0 ; r) kf (x0 )−1 (f (e x) − f (x))kL(X) ≤ ke r 30 Khi f (x) ∈ L(X; Y ) ánh xạ một-một lên f (x)−1 ∈ L(Y ; X) x ∈ B(x0 ; r) Dãy {xk } xác định xk+1 = xk − f (xk )−1 f (xk ), k ≥ 0, thỏa mãn xk ∈ B(x0 ; r) với k ≥ dãy hội tụ tới không điểm a ∈ B(x0 ; r) f Ngoài ra, với k ≥ 0, kxk − ak ≤ r , 2k điểm a ∈ B(x0 ; r) khơng điểm f B(x0 ; r) 2.2 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich Mô tả phương pháp Trong mục này, chúng tơi xét tốn tìm nghiệm phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (2.3) A tốn tử m-J-đơn điệu khơng gian Banach X Ta giả thiết tập nghiệm S toán (2.3) khác rỗng Nếu khơng có thêm điều kiện đặt lên cho tốn tử A, chẳng hạn tính J-đơn điệu J-đơn điệu mạnh, phương trình (2.3) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Để giải toán (2.3), ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định, phương pháp sử dụng rộng rãi phương pháp hiêu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3]): A(x) + αn (x − x+ ) = fn , kfn − f k ≤ δn → n → +∞, (2.4) 31 x+ phần tử cho trước αn tham số dương đủ bé tiến tới n → +∞ Rõ ràng, A toán tử phi tuyến, tốn hiệu chỉnh (2.4) tốn phi tuyến, nên giải gặp nhiều khó khăn Để khắc phục hạn chế này, người ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich Bakushinskii đưa phương pháp sau trường hợp X không gian Hilbert H (xem [4]): x0 ∈ E, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn , (2.5) với A0 A00 đạo hàm Fréchet bậc bậc hai A giả thiết thỏa mãn điều kiện: A0 liên tục Lipschitz kA00 (x)k ≤ M , M số dương với x ∈ H Phương pháp (2.5) Ryazantseva phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach dạng (xem [11]): x0 ∈ X, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn , trường hợp A tốn tử đơn điệu từ khơng gian Banach X vào không gian liên hợp X ∗ X với điều kiện: kA00 (x)k ≤ ϕ(kxk), (2.6) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ Trong [6], giáo sư Nguyễn Bường học trò phát triển phương pháp (2.5) trường hợp A tốn tử m-J-đơn điệu khơng gian Banach chứng minh hội tụ mạnh phương pháp sử dụng điều kiện trơn nghiệm, tức tồn phần tử ω ∈ X thỏa mãn A0 (x∗ )ω = x+ − x∗ , điều kiện đặt lên A0 sau: kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k ∀x ∈ X, τ số dương J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian X ∗ 32 Trong [5], tác giả nghiên cứu hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich xác định bởi: An (zn ) + A0n (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fn , z0 ∈ E, (2.7) với An fn thỏa mãn điều kiện: kA(x) − An (x)k ≤ hn g(kxk) kf − fn k ≤ δn , (2.8) với hn , δn → n → ∞, g(t) hàm không âm bị chặn với t ≥ An có tính chất giống A 2.2.2 Sự hội tụ Trước hết, ta xét phương pháp (2.7) với kiện xác (A, f ): x0 ∈ X, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f (2.9) Ta có kết sau (xem [5]) Định lý 2.6 Giả sử X không gian Banach thực phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux giả sử A toán tử m-J-đơn điệu hai lần khả vi Fréchet X thỏa mãn điều kiện (2.6) Giả sử thêm dãy {αn }, điểm xuất phát ban đầu x0 (2.9) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) {αn } dãy đơn điệu giảm với < αn < tồn σ > cho αn+1 ≥ σαn với n = 0, 1, ; b) ϕ(d + γ)kx0 − xα0 k ≤ q < 1, 2σα0 với số dương d γ xác định từ bất đẳng thức 2σα0 ≤ γ, d ≥ 2kx∗ − x+ k + kx+ k, ϕ(d + γ) 33 x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ S : hx∗ − x+ , J(x∗ − y)i ≤ ∀y ∈ S; (2.10) xα0 nghiệm phương trình: A(xαn ) + αn (xαn − x+ ) = f, (2.11) với n = 0; c) dϕ(d + γ) |αn+1 − αn | q − q ≤ , c = αn2 c1 2σ Khi đó, lim kxn − x∗ k = n→+∞ Chứng minh Giả sử xαn nghiệm phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (2.11) với α = αn Trong [7], Nguyễn Bường học trò chứng minh dãy {xαn } hội tụ mạnh đến x∗ nghiệm toán (2.10) n → +∞ Hơn nữa, kxαn − x+ k ≤ d kxαn − xαn+1 k ≤ αn − αn+1 d, αn với n = 0, 1, Sử dụng khai triển Taylor (2.11) ta có A(xn ) + A0 (xn )(xαn − xn ) + A00 (θn )(xαn − xn )2 + αn (xαn − x+ ) = f, (2.12) θn = xαn + θ(xn − xαn ), < θ < Hơn nữa, từ (2.9) (2.12) suy hA0 (xn )(xn+1 −xαn )+αn (xn+1 −xαn )− A00 (θn )(xαn −xn )2 , J(xn+1 −xαn )i = 0, kết hợp với tính chất J-đơn điệu A0 (xn ) suy kxn+1 − xαn k ≤ ϕ(rn ) ∆ , 2αn n 34 ∆n = kxn − xαn k rn ≥ max{kxαn k, ∆n } Từ điều kiện a) suy σ < Sử dụng điều kiện b) tính chất dãy {αn }, ta có 2σαn ≤ γ, ϕ(d + γ) ∀n > Vì vậy, ∆0 ≤ γ Do r0 = d + γ Bây giờ, ta ϕ(d + γ)∆n ≤ q < 1, 2σαn ∀n ≥ (2.13) Thật vậy, với n = 0, kết luận suy trực tiếp từ điều kiện b) Giả sử, (2.13) thỏa mãn với n = k rk = d + γ Ta chứng minh với n = k + Rõ ràng, ∆k+1 = kxk+1 − xαk+1 k ≤ kxk+1 − xαk k + kxαk − xαk+1 k (2.14) ϕ(rk ) αk − αk+1 ∆ + d ≤ 2αk k αk Nhân hai vế (2.14) với ϕ(d + γ)/(2σ αk ) sử dụng điều kiện a) c), ta nhận ϕ(d + γ)∆k+1 ≤ 2σαk+1  ϕ(d + γ) ∆k 2σαk 2 + (αk − αk+1 )dϕ(d + γ) 2σ αk2 ≤ q + q − q = q < 1, (2.13) Bây ta rk+1 = d + γ Thật vậy, rk+1 ≥ max{kxαk+1 k, ∆k+1 } với ∆k+1 ≤ 2σαk+1 ≤ γ, ϕ(d + γ) đó, ta lấy rk+1 = d + γ Tiếp theo, αn → n → +∞, từ (2.13), ta có ∆n → Cuối hội tụ mạnh dãy {xn } đến x∗ đảm bảo kxn − x∗ k ≤ ∆n + kxαn − x∗ k kxαn − x∗ k → n → +∞ 35 Định lý 2.7 Giả sử X A thỏa mãn điều kiện Định lý 2.6 giả sử {An } toán tử m-J-đơn điệu, hai lần khả vi Fréchet {fn } dãy phần tử X thỏa mãn điều kiện (2.6) (với A thay An ) (2.8) Giả sử δn /αn , hn /αn , αn → 0, n → +∞ Giả thiết thêm dãy {αn } thỏa mãn điều kiện a), b) với x0 − xα0 thay z0 − x˜0 ˜ x˜0 nghiệm phương trình d thay d, An (˜ xn ) + αn (˜ x n − x + ) = fn , (2.15) với n = 0,    δn hn d˜ ≥ t˜ = max sup , sup g(kx∗ k) +kx∗ − x+ k , n≥0 αn n≥0 αn c0 ) q − q2 2σ t˜|αn+1 − αn | + a ˜n αn ≤ , c ˜ = , ˜ d˜ + γ) αn2 c˜1 dϕ(   a ˜n = δn+1 + δn + C(hn+1 + hn ) /αn , C = max{g(t) : ≤ t ≤ t˜ + kx+ k} Khi đó, lim kzn − x∗ k = 0, n→+∞ với zn xác định (2.7) Chứng minh Chú ý rằng, dãy {˜ xn } hội tụ mạnh đến x∗ nghiệm (2.10), hn /αn , δn /αn → 0, n → +∞ Sử dụng công thức Taylor (2.15), ta có An (zn ) + A0n (zn )(˜ xn − zn ) + A00n (τn )(˜ xn − zn )2 + αn (˜ xn − x+ ) = fn , (2.16) 36 τn = zn + τ (˜ xn − zn ), < τ < Bây giờ, từ (2.16) (2.8) suy hA0n (zn )(zn+1 − x˜n )+αn (zn+1 − x˜n )+ A00n (τn )(˜ xn −zn )2 , J(zn+1 − x˜n )i = 0, kết hợp với tính chất J-đơn điệu A0n suy kzn+1 − x˜n k ≤ ϕ(˜ rn ) ˜ ∆ , 2αn n ˜ n = kzn − x˜n k r˜n ≥ max{k˜ ˜ n } Mặt khác từ (2.15), ta có với ∆ xn k, ∆ thể nhận bất đẳng thức sau (xem [3]): k˜ xn − x+ k ≤ 2ky − x+ k + hn g(kyk) δn + , αn αn ∀y ∈ S, ˜ Hơn nữa, ta có với n = 0, 1, , đó, k˜ xn k ≤ d k˜ xn −˜ xn+1 k ≤ |αn − αn+1 | δn + δn+1 (hn + hn+1 )g(k˜ xn+1 k) k˜ xn+1 −x+ k+ + αn αn αn Vì vậy, ˜ n+1 = kzn+1 − x˜n+1 k ≤ kzn+1 − x˜n k + k˜ ∆ xn − x˜n+1 k ϕ(rn ) ˜ t˜|αn − αn+1 | + a ˜ n αn ≤ ∆n + 2αn αn Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.6, ta có ˜n ϕ(d˜ + γ)∆ ≤ q < 1, 2σαn ∀n ≥ (2.17) ˜ n → Cuối cùng, hội tụ Vì αn → n → +∞, từ (2.17) suy ∆ mạnh dãy {xn } đến x∗ suy từ ˜ n + k˜ kzn − x∗ k ≤ ∆ xn − x∗ k k˜ xn − x∗ k → 0, n → +∞ Định lý chứng minh 37 Kết luận Đề tài giới thiệu số khái niệm tính chất khơng gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều; trình bày khái niệm vài tính chất ánh xạ J-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu; giới thiệu phương trình tốn tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov Giới thiệu phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến; phương pháp Newton–Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton– Kantorovich giải phương trình tốn tử J-đơn điệu Trong khn khổ thời gian có hạn trình độ thân hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong thơng cảm, đóng góp ý kiến quý báu thầy cô đồng nghiệp để tiếp tục bổ sung, hồn thiện đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn! 38 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [3] Y Alber and I Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer [4] A.B Bakushinskii (1976), "Regularization algorithm based on the Newton–Kantorovich method for the solution of variational inequalities", Zh Vychisl Mat Mat Fiz SSSR, 16(6), 1397–1404 [5] Ng Buong, T.V Dinh and Ng.T.T Thuy (2014), "Newton– Kantorovich regularization for solutions of nonlinear ill-posed equations involving accretive mappings", Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 116(2), 153–159 [6] Ng Buong, V.Q Hung (2005), "Newton–Kantorovich iterative regularization for nonlinear ill-posed equations involving accretive operators", Ukrainian Math Zh., 57, 271–276 39 [7] Ng Buong, Ng.T.H Phuong (2013), "Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces", Iz VUZ 2, 67–74 [8] P.G Ciarlet and C Mardare (2012), "On the Newton–Kantorovich theorem", Analysis and Applications, 10(3), 249–269 [9] P Deuflhard (2012), "A short history of Newton’s method", Documenta Mathematica, 2012, 25–30 [10] B T Polyak (2006), "Newton–Kantorovich method and its global convergence", Journal of Mathematical Sciences, 133(4), 1515–1523 [11] I.P Ryazantseva (1987), "Iterative methods of the Newton– Kantorovich type for solving nonlinear ill-posed problems with monotone operators", Differ Equations, 23, 2012–2014