ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ J ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy, cô giáo khoa Toán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thơng Gang Thép, tồn thể đồng nghiệp, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu ii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề khơng gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Toán tử j-đơn điệu 1.2 Giới hạn Banach 10 1.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 14 1.3.2 Phương pháp đường dốc 15 1.4 Phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu số cải tiến 17 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu 21 2.2 Ví dụ số minh họa 36 Kết luận 40 ii Tài liệu tham khảo 41 iii Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t Mở đầu Cho H không gian Hilbert, tốn xác định khơng điểm lớp tốn tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trị quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến lĩnh vực tối ưu hóa Chẳng hạn, f : H −→ R ∪ {+∞} hàm lồi, thường, nửa liên tục toán tử vi phân ∂f : H −→ 2H xác định ∂f (x0 ) = {u ∈ H : f (x) − f (x0 ) ≥ hu, x − x0 i, ∀x ∈ H} toán tử đơn điệu cực đại [16] Ta biết điểm x ∈ H làm cực tiểu phiếm hàm lồi f θ ∈ ∂f (x) Như vậy, tốn cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f tương đương với tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại ∂f Bài toán nghiên cứu mở rộng cho tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu hay tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach Ta biết rằng, T : D(T ) ⊆ E −→ 2E ánh xạ khơng giãn, A = I − T toán tử j-đơn điệu, I toán tử đồng E Do đó, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T đưa tốn xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu A = I − T Ngược lại, A toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA), tốn xác định không điểm A tương đương với tốn tìm điểm bất động tốn tử giải Jr = (I + rA)−1 với r > Do đó, vấn đề nghiên cứu tìm phương pháp tìm khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu mang nhiều ý nghĩa quan trọng thu hút quan tâm đơng đảo người làm tốn ngồi nước Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu không gian Banach Luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc Ngồi chương cịn trình bày phương pháp điểm gần kề số cải tiến cho tốn xác định khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép Chương này, chúng tơi trình bày lại kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach Ngồi ra, chúng tơi xây dựng ví dụ số chạy thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày giới hạn Banach số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương Mục 1.3 giới thiệu sơ lược phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Mục 1.4 đề cập đến phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu số cải tiến Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề khơng gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach trơn Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với x∗ ∈ E Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx, x∗ i để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục không gian Banach phản xạ − = 0, {zn } εn+1 εn hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân zn+1 = x ∈ F (T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ) Chú ý 1.11 Phương pháp xấp xỉ gắn kết (1.7) mở rộng phương pháp lặp Halpern dạng xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), ∀n ≥ 15 đề xuất trước vào năm 1967 Halpern Có thể thấy f (x) = u với x ∈ C, thi phương pháp xấp xỉ gắn kết trở thành phương pháp lặp Halpern 1.3.2 Phương pháp đường dốc Xét tốn tối ưu khơng ràng buộc min{f (x) : x ∈ Rn } Ta xây dựng dãy điểm x0 , x1 , x2 , cho f (xk+1 < f (xk )) với k = 0, 1, 2, , dãy {xk } hội tụ tới x∗ k → ∞ 5f (x∗ ) = Giả sử ta có điểm xk thuộc lân cận x∗ , để giảm hàm mục tiêu ta dịch chuyển từ xk theo hướng dk tạo với véctơ gradient 5f (xk ) góc tù, tức xác định xk+1 = xk + αk dk , αk > h5f (xk ), dk i < Thật vậy, khai triển hàm f (x) thành chuỗi Taylor điểm xk , ta α2 f (x) = f (x ) + αh5f (x ), di + h5 f (xk )d, di, k k ∂f (x) T ∂f (x) ∂f (x) , , , ) , 52 f (x) = ∂x1 ∂x2 ∂xn xk = xk + θ(x − xk ) với θ ∈ (0, 1) Do đó, h5f (xk ), dk i 5f (x) = ( ∂ f (x) )n×n ∂xi ∂xj < 0, với ( α > đủ nhỏ ta có f (x) < f (xk ) Việc lựa chọn hướng dịch chuyển dk độ dài bước αk khác cho ta phương pháp gradient khác Nếu chọn dk = − f (xk ) với k, phương pháp gradient gọi phương pháp đường dốc (Steepest descent method) Đây phương pháp thơng dụng để tìm cực tiểu, đơn giản áp dụng cho nhiều lớp hàm khác Theo phương pháp này, dãy lặp {xk } xác định sau: xk+1 = xk − αk f (xk ), αk > 0, k = 0, 1, 2, (1.8) 16 Vấn đề đặt là, phương pháp lặp (1.8) αk > xác định Dưới đây, giới thiệu qui tắc Armijo để xác định αk bước lặp: Chọn giá trị α tùy ý (như với bước lặp, chẳng hạn α = 1) xác định điểm x = xk − α f (xk ); Tính f (x) = f [xk − α f (xk )]; Kiểm tra bất đẳng thức f (x) − f (xk ) ≤ εαh5f (xk ), dk i = −εαk f (xk )k2 , (1.9) với < ε < số cho trước tùy ý bước lặp; Nếu (1.9) thỏa mãn α giá trị cần tìm Nếu (1.9) khơng thỏa mãn, ta giảm α, cách nhân α với số λ ∈ (0, 1), chẳng hạn thay α α/2, bất đẳng thức (1.9) thỏa mãn Năm 2007, Alber [2] đề xuất phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn T tập lồi đóng C khơng gian Banach E, dạng sau: xn+1 = PC (xn − µn (xn − T xn )), x0 ∈ C, (1.10) PC ánh xạ co rút không giãn từ E lên C chứng minh P∞ rằng, µn > với n n=0 µ2n < ∞ {xn } bị chặn thì: i) Tồn điểm tụ yếu {xn }; ii) Mọi điểm tụ yếu {xn } thuộc F (T ); iii) Nếu F (T ) = {x∗ }, {xn } hội tụ yếu x∗ Nhận xét 1.3 Nếu C ≡ E, (1.10) trở thành xn+1 = xn − µn (xn − T xn ), n ≥ 17 Trong trường hợp này, dn := xn − T xn theo phương pháp phần tử xn+1 gần tập điểm bất động T so với điểm xn Thật vậy, lấy p ∈ F ix(T ), ta có kxn+1 − pk = kxn − µn (xn − T xn ) − pk = (1 − µn )kxn − pk + µn kT xn − T pk ≤ kxn − pk 1.4 Phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu số cải tiến Trong mục này, trước hết chúng tơi trình bày khái qt phương pháp điểm gần kề cho phương trình với tốn tử đơn điệu toán tử j-đơn điệu Xét toán Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) cho A(x∗ ) θ, (1.11) với A : D(A) ⊂ E −→ 2E toán tử m-j-đơn điệu Khi A m-j-đơn điệu không gian Hilbert H, nghĩa A tốn tử đơn điệu cực đại Rockafellar R T [17] xét phương pháp lặp cn Axn+1 + xn+1 xn , x0 ∈ H, (1.12) cn > c0 > gọi phương pháp điểm gần kề Rockafellar hội tụ yếu dãy lặp {xn } xác định (1.12) nghiệm toán (1.11) Kết Rockafellar mơ tả định lí đây: Định lí 1.1 Nếu tồn c > cho cn ≥ c với n, dãy {xn } xác định (1.12) hội tụ yếu nghiệm phương trình A(x) θ Chú ý 1.12 Phương pháp điểm gần kề Martinet B đề xuất lần tài liệu [14] cho toán cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục ψ : H −→ R ∪ {+∞} dạng sau xn+1 = argminy∈H ψ(y) + kxn − yk2 với n ≥ 2cn (1.13) 18 Chú ý 1.13 Năm 1991, Guler [12] xây dựng ví dụ để phương pháp lặp (1.12) lúc hội tụ mạnh trường hợp tổng quát Một ví dụ gần tác giả Bauschke, Matouˇskov´a Reich [4] dựa kết hợp phương pháp điểm tựa ví dụ Hundal [13] hội tụ yếu phương pháp chiếu luân phiên cho toán chấp nhận lồi, dãy lặp {xn } xác định (1.12) hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn Năm 2008, Chen Zhu [9] chứng minh hội tụ mạnh phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu không gian Banach trơn đều, kết mô tả định lý đây: Định lí 1.2 [9] Cho E khơng gian Banach trơn Cho A toán tử m-j-đơn điệu E với C = D(A) tập lồi cho f : C −→ C ánh xạ co Ta xác định dãy {xn } x0 ∈ C, xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )Jrn xn , n ≥ 0, (1.14) {αn } {rn } thỏa mãn điều kiện n=0 αn = ∞, P∞ − αn | < ∞; (ii) rn ≥ ε > với n P∞ − rn | < ∞ (i) αn → 0, P∞ n=0 |αn+1 n=0 |rn+1 Khi đó, dãy {xn } xác định (1.14) hội tụ mạnh không điểm A Trong tài liệu [6], Ceng, Ansari Yao thiết lập định lý hội tụ mạnh dựa phương pháp lai đường dốc cho tốn tìm khơng điểm tốn tử j-đơn điệu, kết thể định lý đây: Định lí 1.3 [6] Cho E không gian Banach trơn cho A toán tử m-j-đơn điệu E với C = A−1 (0) 6= ∅ Giả sử F : E −→ E toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh δ λ-giả co chặt với δ + λ > Cho {λn }, {µn } dãy số nằm (0, 1), {αn }, {βn } dãy số nằm (0, 1] {rn } ⊂ [ε, ∞) với ε > thỏa mãn điều kiện sau: 19 (i) limn→∞ λn = P∞ n=0 λn µn = ∞; (ii) {αn } ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1); (iii) P∞ n=0 |αn+1 − αn | < ∞, P∞ n=0 |rn+1 − rn | < ∞ P∞ n=0 |λn+1 − λn | < ∞, P∞ n=0 |µn+1 − µn | < ∞ Khi đó, với x0 ∈ E, dãy {xn } xác định yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn , n xn+1 = Jrn yn − λn µn F (Jrn yn ), ∀n ≥ 0, (1.15) hội tụ mạnh không điểm A, đồng thời nghiệm u∗ toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) Định lí 1.4 [6] Cho E không gian Banach trơn cho A toán tử m-j-đơn điệu E với C = A−1 (0) 6= ∅ Giả sử F : E −→ E toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh δ λ-giả co chặt với δ + λ > Cho {λn } dãy số nằm (0, 1), {αn }, {βn } dãy số nằm (0, 1] {rn } ⊂ [ε, ∞) với ε > thỏa mãn điều kiện sau: (i) limn→∞ λn = P∞ n=0 λn = ∞; (ii) {αn } ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1); (iii) P∞ n=0 |αn+1 − αn | < ∞, P∞ n=0 |λn+1 − λn | < ∞ Khi đó, với x0 ∈ E, dãy {xn } xác định yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn , n x = y − λ F (y ), ∀n ≥ 0, n+1 n n P∞ n=0 |rn+1 − rn | < ∞ (1.16) n hội tụ mạnh không điểm A, đồng thời nghiệm u∗ toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) 20 1.5 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.1 [3] Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E toán tử j-đơn điệu Khi đó, với λ, µ > x ∈ E, ta có µ A A A µ Jλ x = Jµ x + − Jλ x λ λ Bổ đề 1.2 [18] Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E tốn tử j-đơn điệu Khi đó, với r ≥ s > 0, ta có kx − JsA xk ≤ 2kx − JrA xk, với x ∈ R(I + rA) ∩ R(I + sA) Bổ đề 1.3 [7] Cho E không gian Banach thực Khi đó, với x, y ∈ E, ta có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i, ∀j(x + y) ∈ J(x + y) Bổ đề 1.4 [18] Cho {an } dãy số số thực khơng âm thỏa mãn tính chất an+1 ≤ (1 − λn )an + λn βn + σn , ∀n ≥ {λn }, {βn } {σn } thỏa mãn điều kiện i) P∞ n=0 λn = ∞; ii) lim supn→∞ βn ≤ iii) σn ≥ 0, ∀n ≥ P∞ P∞ n=0 |λn βn | n=0 σn < ∞ Khi {an } hội tụ đến n −→ ∞ < ∞; 21 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép Trong chương này, giới thiệu kết Ceng L.C cộng [8] tốn bất đẳng thức biến phân tập khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach E, dựa phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhât 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định không điểm tốn tử j-đơn điệu Cho E khơng gian Banach trơn, F : E −→ E toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh δ λ-giả co chặt với δ +λ > Ta xét tốn tìm khơng điểm toán tử m-j-đơn điệu A E, đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân VI∗ (I − f, C), C = A−1 (0) 6= ∅ f : E −→ E ánh xạ co với hệ số co β ∈ (0, 1) Với t ∈ (0, 1) với số nguyên n ≥ 0, ta chọn θt ∈ [0, 1) xét ánh xạ Γt,n : E −→ E xác định Γt,n x = tf (x) + (1 − t)[Jrn x − θt F (Jrn x)], ∀x ∈ E Khi đó, Γt,n ánh xạ co Thật vậy, từ Mệnh đề 1.7 (iii), với x, y ∈ E, ta có kΓt,n x − Γt,n yk = ktf (x) + (1 − t)[Jrn x − θt F (Jrn x)] − tf (y) + (1 − t)[Jrn y − θt F (Jrn y)]k ≤ tkf (x) − f (y)k + (1 − t)k(I − θt F )Jrn x − (I − θt F )Jrn yk 22 r − δ ≤ tβkx − yk + (1 − t) − θt − kJrn x − Jrn yk λ r − δ ≤ tβkx − yk + (1 − t) − θt − kx − y| λ ≤ tβkx − yk + (1 − t)kx − yk = − t(1 − β) kx − yk, Γt,n ánh xạ co với hệ số co − t(1 − β) Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn phần tử xt,n ∈ E cho xt,n = tf (xt,n ) + (1 − t)[Jrn xt,n − θt F (Jrn xt,n )] (2.1) Ta có định lý sau: Định lí 2.1 Cho E khơng gian Banach trơn đều, A tốn tử m-j-đơn điệu E với C = A−1 (0) 6= ∅ cho f : E −→ K = D(A) ánh xạ co Giả sử F : E −→ E toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh δ λ-giả co chặt với δ + λ > Với t ∈ (0, 1) với số nguyên n ≥ 0, cho {xt,n } xác định (2.1), với {rn } ⊂ [ε, ∞), ε > {θt : t ∈ (0, 1)} ⊂ [0, 1) thỏa mãn limt→0 θt /t = Khi đó, {xt,n } hội tụ mạnh không điểm p A, đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân VI∗ (I − f, C), tức h(I − f )p, j(p − u)i ≤ 0, ∀u ∈ C Chứng minh Trước hết, ta với a ∈ (0, 1), {xt,n : t ∈ (0, a], n ≥ 0} bị chặn Thật vật, {θt : t ∈ (0, 1)} ⊂ [0, 1), với limt→0 θt /t = 0, nên tồn a ∈ (0, 1) cho ≤ θt /t < với t ∈ (0, a] Với p ∈ C, từ Mệnh đề 1.7, ta có kxt,n − pk ≤ tkf (xt,n ) − pk + (1 − t)k[Jrn xt,n − θt F (Jrn xt,n )] − pk ≤ tβkxt,n − pk + tkf (p) − pk + (1 − t)[k(I − θt F )Jrn xt,n − (I − θt F )Jrn pk + k(I − θt F )Jrn p − pk] 23 ≤ tβkxt,n − pk + tkf (p) − pk r − δ + (1 − t) − θt − kJrn xt,n − Jrn pk λ + (1 − t)θt kF (p)k ≤ tβkxt,n − pk + tkf (p) − pk + (1 − t)kxt,n − pk + θt kF (p)k Do đó, với t ∈ (0, a], ta có θt kf (p) − pk + kF (p)k 1−β t (kf (p) − pk + kF (p)k) ≤ 1−β kxt,n − pk ≤ (2.2) Suy ra, {xt,n : t ∈ (0, a], n ≥ 0} bị chặn {f (xt,n ) : t ∈ (0, a], n ≥ 0} {Jrn xt,n : t ∈ (0, a], n ≥ 0} bị chặn Do đó, ta có θt kxt,n − Jrn xt,n k = tkf (xt,n ) − Jrn xt,n − (1 − t) F (Jrn xt,n )k → 0, t → t Vì rn ≥ ε với n, nên từ Bổ đề 1.2, ta có kxt,n − Jε xt,n k ≤ 2kxt,n − Jrn xt,n k → 0, t → (2.3) Với n ≥ 0, để đơn giản, ta đặt ωt = xt,n với t ∈ (0, a] Bây giờ, cho {tk } dãy nằm (0, a] cho tk → k → ∞ ta xác định hàm g K sau g(ω) = LIMk kωtk − ωk, ∀ω ∈ K, LIM giới hạn Banach Đặt Ω = {ω ∈ K : g(ω) = min{g(y) : y ∈ K}} Vì E không gian Banach trơn đều, nên Ω tập lồi, đóng khác rỗng K Ta ra, Ω bất biến Jε Thật vậy, từ (2.3), với ω ∈ Ω, ta có 1 g(Jε ω) = LIMk kωtk − Jε ωk = LIMk kkJε ωtk − Jε ωk 2 ≤ LIMk kωtk − ωk = g(ω) 24 Vì tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach trơn E có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn Ω bất biến Jε , nên Jε có điểm bất động Ω giả sử p điểm bất động Sử dụng Hệ 1.1, ta nhận LIMk hx − p, j(ωk − p)i ≤ 0, ∀x ∈ K Lấy x = f (p), ta LIMk hf (p) − p, j(ωk − p)i ≤ (2.4) Từ ωk − p = tk (f (ωtk ) − p) + (1 − tk )[Jrn ωtk − θtk F (Jrn ωtk ) − p], ta nhận kωtk − pk2 = tk hf (ωtk ) − p, j(ωtk − p)i + (1 − tk )hJrn ωtk − p, j(ωtk − p)i − (1 − tk )θtk hF (Jrn ωtk ), j(ωtk − p)i ≤ tk hf (ωtk ) − f (p), j(ωtk − p)i + tk hf (p) − p, j(ωtk − p)i + (1 − tk )kJrn ωtk − pk.kωtk − pk + (1 − tk )θtk kF (Jrn ωtk )k.kωtk − pk ≤ βtk kωtk − pk2 + tk hf (p) − p, j(ωk − p)i + (1 − tk )kωtk − pk2 + θtk kF (Jrn ωtk )k.kωtk − pk Suy θ t kωtk − pk2 ≤ hf (p) − p, j(ωk − p)i + k kF (Jrn ωtk )k.kωtk − pk 1−β tk θtk = 0, nên từ (2.4) tính bị chặn {F (Jrn ωtk )}, {ωtk }, suy tk LIMk hf (p) − p, j(ωk − p)i LIMk kωtk − pk ≤ 1−β θtk + kF (Jrn ωtk )k.kωtk − pk tk = LIMk hf (p) − p, j(ωk − p)i 1−β θt k + LIMk kF (Jrn ωtk )k.kωtk − pk ≤ tk Vì limk→∞ 25 Do đó, dãy {ωtk } chứa dãy con, mà ta ký hiệu {ωtk } hội tụ mạnh điểm bất động p Jε Để chứng minh {ωt : t ∈ (0, a] hội tụ mạnh p t → 0, giả sử tồn dãy {ωsk } ⊂ {ωt } cho ωsk → q ∈ C sk → Vì tập {ωt − u : t ∈ (0, a]} {ωt − f (ωt ) : t ∈ (0, a]} bị chặn với u ∈ C ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục theo chuẩn tập bị chặn không gian Banach trơn E, nên từ ωsk → q, ta nhận k(I − f )ωsk − (I − f )qk → |hωsk − f (ωsk ),j(ωsk − u)i − h(I − f )q, j(q − u)i = h(I − f )ωsk − (I − f )q, j(ωsk − u)i + h(I − f )q, j(ωsk − u) − j(q − u)i ≤ k(I − f )ωsk − (I − f )qk.kωsk − uk + |h(I − f )q, j(ωsk − u) − j(q − u)i| → 0, sk → Suy h(I − f )q, j(q − u)i = lim hωsk − f (ωsk , j(ωsk − u)) sk →0 (2.5) Vì u ∈ C = A−1 (0), nên kxt,n − [(1 − t)u + tf (xt,n )]k2 = k(1 − t)Jrn xt,n + tf (xt,n ) − (1 − t)u − tf (xt,n ) − (1 − t)θt F (Jrn xt,n )k2 ≤ [(1 − t)kxt,n − uk + (1 − t)θt kF (Jrn xt,n )k]2 = (1 − t)2 kxt,n − uk2 + 2(1 − t)2 θt kxt,n − uk.kF (Jrn xt,n )k + (1 − t)2 θt2 kF (Jrn xt,n )k2 Mặt khác, từ Bổ đề 1.3, ta có kxt,n − [(1 − t)u + tf (xt,n )]k2 = k(1 − t)(xt,n − u) + t(xt,n − f (xt,n ))k2 26 ≥ (1 − t)2 kxt,n − uk2 + 2t(1 − t)hxt,n − f (xt,n ), j(xt,n − u)i Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta nhận 2t(1 − t)hxt,n − f (xt,n ), j(xt,n − u)i ≤ 2(1 − t)2 θt kxt,n − uk.kF (Jrn xt,n )k + (1 − t)2 θt2 kF (Jrn xt,n )k2 , θt hxt,n − f (xt,n ), j(xt,n − u)i ≤ (1 − t) kxt,n − uk.kF (Jrn xt,n )k t θ2 + (1 − t) t kF (Jrn xt,n )k2 2t θt = từ tính bị chặn {xt,n }, {F (Jrn xt,n )}, kết hợp với (2.5), t ta thu Từ limt→0 h(I − f )q, j(q − u)i ≤ Thay u p, ta h(I − f )q, j(q − p)i ≤ Đổi vai trò q p, ta nhận h(I − f )p, j(p − q)i ≤ Từ đó, suy h(q − p) − (f (q) − f (p)), j(q − p)i ≤ kq − pk2 ≤ βkq − pk2 Vì β ∈ (0, 1), nên q = p Hơn nữa, chứng minh trên, ta nhận p nghiệm VI∗ (I − f, C), tức h(I − f )p, j(p − u)i ≤ 0, ∀u ∈ C Định lý chứng minh