Chủ đề 7 đối xứng trục đối xứng tâm

CHỦ ĐỀ ĐỐI XỨNG TRỤC - ĐỐI XỨNG TÂM A LÝ THUYẾT Các định nghĩa  Hai điểm đối xứng qua đường thẳng d, d đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm (h.7.1)  Hai điểm đối xứng qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm (h.7.2) Hình 7.1 Hình 7.2  Hai hình gọi đối xứng qua đường thẳng d (hoặc qua điểm O) điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua đường thẳng d (hoặc qua điểm O) ngược lại Tính chất Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua đường thẳng (hoặc qua điểm) chúng Hình có trục đối xứng, có tâm đối xứng - Hình thang cân có trục đối xứng đường thẳng qua trung điểm hai đáy - Tương tự hình chữ nhật có hai trục đối xứng - Hình thoi có hai trục đối xứng hai đường chéo Hình vng có trục đối xứng - Hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo B BÀI TẬP VẬN DỤNG I MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho tứ giác ABCD, hai đường thẳng AB CD khơng vng góc với Dựng điểm M đường thẳng CD cho tia phân giác góc AMB vng góc với đường thẳng CD Giải a) Phân tích Giả sử dựng điểm M đường thẳng CD cho tia phân giác Mx góc AMB vng góc với đường thẳng CD Trên tia đối tia MB lấy điểm A' cho MA' = MA Vì tia Mx tia phân giác góc AMB Mx  CD nên đường thẳng CD đường phân giác góc AMA' Xét MAA' cân M có MD đường phân giác nên MD đường trung trực, suy A A' đối xứng qua đường thẳng CD b) Cách dựng - Dựng điểm A' đối xứng với A qua CD; - Dựng giao điểm M A'B với đường thẳng CD Khi M điểm cần dựng c) Chứng minh Vì A A' đối xứng qua CD nên CD đường trung trực AA', CD đường phân giác góc AMA' Nếu Mx tia phân giác góc AMB Mx  CD (tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù) d) Biện luận Bài tốn ln có nghiệm hình Nhận xét: Cách dựng điểm M cho ta kết tổng AM + MB ngắn Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên đáy AB lấy điểm K tuỳ ý Vẽ điểm E đối xứng với K qua trung điểm M AD Vẽ điểm F đối xứng với K qua trung điểm N BC Chứng minh EF có độ dài khơng đổi Giải * Tìm cách giải Ta thấy EF = ED + DC + CF mà CD không đổi nên muốn chứng minh EF không đổi ta cần chứng minh ED + CF không đổi * Trình bày lời giải DE AK đối xứng qua M nên DE = AK DE // AK DE // AB Mặt khác, DC // AB suy ba điểm E, D, C thẳng hàng Chứng minh tương tự ta BK = CF ba điểm D, C, F thẳng hàng Ta có EF = ED + DC + CF = AK + DC + BK = AB + CD (không đổi) Nhận xét: Khi điểm K di động đường thẳng AB độ dài đoạn thẳng EF khơng đổi Ví dụ Cho góc xOy khác góc bẹt hai điểm M, N nằm góc Dựng hình bình hành AMBN cho A  Ox B  Oy Giải a) Phân tích Giả sử dựng hình bình hành AMBN thoả mãn đề Gọi E giao điểm hai đường chéo Vẽ điểm F đối xứng với O qua E Khi tứ giác AOBF hình bình hành  Điểm B thoả mãn hai điều kiện: B  Oy B  Ft // Ox  Điểm A thoả mãn hai điều kiện: A  Ox A thuộc tia BE b) Cách dựng - Dựng trung điểm E MN; - Dựng điểm F đối xứng với O qua E; - Dựng tia Ft // Ox cắt tia Oy B; - Dựng giao điểm tia BE tia Ox c) Chứng minh AOE = BFE (g.c.g)  EA = EB Mặt khác, EM = EN nên tứ giác AMNB hình bình hành d) Biện luận Bài tốn ln có nghiệm hình Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), điểm D thuộc cạnh huyền BC Vẽ điểm M điểm N đối xứng với D qua AB AC Chứng minh rằng: a) M N đối xứng qua A; b) Xác định vị trí điểm D để MN ngắn nhất, dài Giải * Tìm cách giải Muốn chứng minh hai điểm M N đối xứng qua A ta chứng o  minh AM = AN MAN 180 * Trình bày lời giải a) AM đối xứng với AD qua AB nên   AM = AD A1 A (1)   AN đối xứng với AD qua AC nên AN = AD A3 A Từ (1) (2) suy AM = AN  (2)    A  2BAC  MAN 2 A 2.90o 180o Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng Từ suy M N đối xứng qua A MN = 2AD b) Vẽ AH  BC, ta có AD  AH, MN  2AH Vậy MN ngắn 2AH D  H (h.7.7) Dựa vào quan hệ đường xiên hình chiếu ta có AD  AC suy MN = 2AD  2AC Do MN dài 2AC D  C (h.7.8) Hình 7.7 Hình 7.8 II LUYỆN TẬP  Đối xứng trục 7.1 Cho tam giác ABD Vẽ điểm C đối xứng với A qua BD Vẽ đường phân giác đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD chúng cắt tạo thành tứ giác EFGH a) Xác định dạng tứ giác EFGH; b) Chứng minh BD trục đối xứng tứ giác EFGH 7.2 Cho tam giác nhọn ABC Gọi D điểm nằm B C Vẽ điểm M N đối xứng với D qua AB AC a) Chứng minh góc MAN ln có số đo khơng đổi; b) Xác định vị trí D để MN có độ dài ngắn 7.3 Cho tam giác nhọn ABC Gọi D, E, F điểm nằm cạnh BC, CA, AB Xác định vị trí D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ 7.4 Cho hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng bờ xy Hãy tìm xy hai điểm C D cho CD = a cho trước chu vi tứ giác ABCD nhỏ 7.5 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD điểm M tam giác Vẽ điểm N, P, A' đối xứng với M qua AB, AC AD a) Chứng minh N P đối xứng qua AA'; b) Gọi B', C' điểm đối xứng với M qua đường phân giác góc B, góc C Chứng minh ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy 7.6 Cho tứ giác ABCD điểm M nằm A B Chứng minh MC + MD nhỏ số lớn hai tổng AC + AD; BC + BD  Đối xứng tâm 7.7 Cho tam giác ABC O điểm tuỳ ý tam giác Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi A', B', C' điểm đối xứng với O qua D, E, F Chứng minh ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy 7.8 Cho góc xOy khác góc bẹt điểm G góc Dựng điểm A  Ox, điểm B  Oy cho G trọng tâm tam giác OAB 7.9 Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B Vẽ điểm E đối xứng với B qua C Vẽ điểm F đối xứng với C qua A Chứng minh tam giác ABC tam giác DEF có trọng tâm 7.10 Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí trung điểm M AB, trung điểm N BC trung điểm P CD 7.11 Dựng tứ giác ABCD biết AD = AB = BC ba điểm M, N, P trung điểm AD, AB BC (biết M, N, P không thẳng hàng) 7.12 Cho hình vng gồm 44 vng Trong viết số 1, 2, 3, Chứng minh tồn hình bình hành có đỉnh tâm bốn ô vuông cho tổng hai số hai đỉnh đối diện Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/