Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN MINH TRANG BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT THÁI NGUYÊN - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Líi cam oan Tỉi xin cam oan nởi dung luên vôn ThÔc sắ chuyản ngnh ToĂn giÊi tẵch vợi à ti "Bi toĂn ờn nh hõa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cõ trạ" ữủc hon thnh bi nhên thực cừa tổi, khổng trũng lp vợi luên vôn, luên Ăn v cĂc cổng trẳnh  cổng bố ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 Ngữới viát Luên vôn Nguyạn Minh Trang i Lới cÊm ỡn Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn tợi GS TSKH Vụ Ngồc PhĂt, ngữới  nh hữợng chồn à ti v tên tẳnh hữợng dăn, cho tổi nhỳng nhên xt quỵ bĂu  tổi cõ th hon thnh luên vôn Tổi cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi Sau Ôi hồc, cĂc thƯy cổ giĂo dÔy cao hồc chuyản ngnh ToĂn giÊi tẵch trữớng Ôi hồc sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  giúp ù v tÔo iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu khoa hồc NhƠn dp ny tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi gia ẳnh, bÔn b  luổn ởng viản, cờ vụ, tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 Ngữới viát luên vôn Nguyạn Minh Trang ii Mửc lửc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mưc lưc ii M Ưu Mởt số kỵ hiằu viát tưt Cì sð to¡n håc 1.1 H» ph÷ìng trẳnh vi phƠn iÃu khin 1.2 B i to¡n ên ành hâa 1.2.1 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov 1.2.2 B i to¡n ên ành hâa 1.3 C¡c bê · bê trñ Bi toĂn ờn nh hõa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cõ trạ 11 iii 2.1 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ 11 2.2 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán ổtổnổm cõ trạ 14 2.3 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ 27 Kát luên chung 45 T i li»u tham kh£o 46 iv Mð ¦u Trong lỵ thuyát nh tẵnh cĂc hằ ởng lỹc, bi to¡n ên ành v  ên ành hâa câ vai trá rĐt quan trồng Sỹ nghiản cựu bi toĂn ờn nh hằ thống  tr thnh mởt hữợng nghiản cựu khổng th thiáu lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hằ thống v ựng dửng Tẵnh ờn nh l mởt nhỳng tẵnh chĐt quan trồng cừa lỵ thuyát nh tẵnh cĂc hằ ởng lỹc v ữủc sỷ dửng nhiÃu cĂc lắnh vỹc cỡ hồc, vêt lỵ toĂn, k thuêt, Nõi mởt cĂch hẳnh tữủng, mởt hằ thống ữủc gồi l ờn nh tÔi trÔng thĂi cƠn bơng no õ náu cĂc nhiạu nhọ cừa cĂc dỳ kiằn hoc cĐu trúc ban Ưu cừa hằ thống khổng lm cho hằ thống thay ời nhiÃu so vợi trÔng thĂi cƠn bơng õ Sỹ nghiản cựu bi toĂn ờn nh hằ thống ữủc bưt Ưu tứ cuối thá k XIX bði nh  to¡n håc V Lyapunov v  ¸n  tr thnh mởt hữợng nghiản cựu khổng th thiáu lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hằ thống v ựng dửng Tứ nhỳng nôm 60 cừa thá k XX, song song vợi sỹ phĂt trin cừa lỵ thuyát iÃu khin v nhu cƯu nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt nh tẵnh cừa hằ thống iÃu khin, ngữới ta bưt Ưu nghiản cựu tẵnh ờn nh cĂc hằ iÃu khin dÔng x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0(0.1) b i to¡n ên ành hâa cõa h» l tẳm hm iÃu khin ngữủc: u(t, x) = h(t, x) cho h» ëng lüc x(t) ˙ = f (t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t)) l  ờn nh hoc ờn nh tiằm cên tÔi trÔng thĂi cƠn bơng Trong cĂc bi toĂn ờn nh hõa tờng quĂt, hằ iÃu khin (0.1) thữớng ữủc mổ hẳnh hõa vợi cĂc tĂc ởng cừa iÃu khin ngữủc, cừa cĂc nhiạu iÃu khin v quan sĂt, Nhữ vêy mửc ẵch cừa vĐn à ờn nh hõa mởt hằ thống iÃu khin l tẳm cĂc hm iÃu khin ngữủc cho hằ thống  cho ựng vợi iÃu khin õ tr thnh hằ thống ờn nh ữủc tÔi trÔng thĂi cƠn bơng Cỡ s toĂn hồc cừa bi toĂn ờn nh hõa l lỵ thuyát ờn nh Lyapunov Dỹa trản nhỳng kát quÊ  biát cừa tẵnh ờn nh Lyapunov ngữới ta  nghiản cựu, phĂt trin v ựng dửng v o gi£i b i to¡n ên ành hâa c¡c h» thèng iÃu khin Nởi dung cừa bÊn luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng trẳnh by cỡ s toĂn hồc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn iÃu khin, phữỡng phĂp hm Lyapunov lỵ thuyát ờn nh, bi toĂn ờn nh hõa v cĂc bờ à liản quan Chữỡng trẳnh by bi toĂn hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cõ trạ, hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán ổtổnổm cõ trạ, hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ Mởt số kỵ hiằu viát tưt R+ Têp hủp cĂc số thỹc khổng Ơm Rn Khæng gian Euclid n chi·u < x, y > hoc xT y Tẵch vổ hữợng cừa vctỡ x, y kxk Chuân vctỡ Euclid cừa x Rnìr Khổng gian cĂc ma n ì r chiÃu AT Ma chuyn v cừa A I Ma ỗng nhĐt λ(A) Gi¡ trà ri¶ng cõa A λmax (A) = max{Reλ : (A)} (A) Chuân phờ cừa ma ÷đc x¡c ành bði: η(A) = p λmax (AT A) L2 ([0, t], Rn ) ë o cõa ma trªn A x¡c ành bði : µ(A) = λmax (A + AT ) Khổng gian khÊ tẵch bêc tr¶n [0, t] gi¡ trà Rn A≥0 Ma xĂc nh khổng Ơm A>0 Ma xĂc nh dữỡng C([h, 0], Rn ) Khổng gian cĂc hm liản tửc trản [h, 0] giĂ tr Rn à(A) kxt k = sups∈[−h,0] kx(t + s)k BM + (0, ∞) Tªp hđp c¡c h m ma trªn x¡c ành khỉng Ơm v b chn trản [0, ) Chữỡng Cỡ s toĂn hồc Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực cỡ s toĂn hồc và hằ phữỡng trẳnh vi phƠn iÃu khin, phữỡng phĂp hm Lyapunov, bi toĂn ên ành hâa v  c¡c bê · bê trñ Nëi dung chữỡng ny ữủc trẳnh by tứ ti liằu [1], [2] 1.1 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn iÃu khin Hằ phữỡng trẳnh iÃu khin mổ tÊ bi phữỡng trẳnh vi phƠn hay rới rÔc dÔng: x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2, õ x(t)(x(k)) Rn l vctỡ trÔng thĂi, u(t)(u(k)) Rm , n ≥ m, l  v²ctì i·u khiºn v  h m f (t, x, u) : R+ × Rn × Rm → Rn C¡c èi t÷đng i·u khiºn cĂc mổ hẳnh iÃu khin hằ ởng lỹc ữủc mổ tÊ nhữ nhỳng dỳ liằu Ưu vo cõ tĂc ởng quan trång, ð mùc ë n y ho°c mùc ë kh¡c, cõ th lm Ênh hững án sỹ vên hnh Ưu cừa hằ thống Nhữ vêy, ta hiu mởt h» thèng i·u khiºn l  mët mỉ h¼nh to¡n håc ữủc mổ tÊ bi phữỡng trẳnh toĂn hồc biu th sü li¶n h» v o - : u(t) → x˙ = f (t, x, u) → x(t) Mët nhúng mưc ½ch ch½nh cõa b i to¡n i·u khiºn h» thèng l tẳm iÃu khin (Ưu vo) cho hằ thống (Ưu ra) cõ nhỳng tẵnh chĐt m ta mong muốn Thỉng th÷íng, vi»c chuyºn mët h» thèng câ i·u khiºn tø tr½ n y sang tr½ kh¡c câ thº thỹc hiằn bơng nhiÃu phữỡng phĂp dữợi tĂc ởng bi c¡c i·u khiºn kh¡c C«n cù v o nhúng mưc ẵch cử th cừa hằ thống Ưu ngữới ta x¡c ành c¡c b i to¡n i·u khiºn kh¡c nhau: b i to¡n i·u khiºn ÷đc, b i to¡n ên ành hâa, b i toĂn iÃu khin tối ữu, v.v Trong luên vôn n y chóng ta ch¿ x²t b i to¡n ên ành hâa 1.2 B i to¡n ên ành hâa B i to¡n ên ành hâa l  b i to¡n ên ành (ên ành Lyapunov) c¡c h» i·u khiºn Do â cì sð to¡n håc cõa bi toĂn ờn nh hõa l lỵ thuyát ờn nh Lyapunov Dỹa trản nhỳng kát quÊ  biát cừa tẵnh ờn nh Lyapunov ngữới ta  nghiản cựu, phĂt trin v  ùng döng v o gi£i b i to¡n ên ành hâa c¡c h» thèng i·u khiºn T½nh ên ành l  mët nhỳng tẵnh chĐt quan trồng cừa lỵ thuyát nh tẵnh cĂc hằ ởng lỹc v ữủc sỷ dửng nhiÃu cĂc lắnh vỹc cỡ hồc, vêt lỵ toĂn, Nõi mởt cĂch hẳnh tữủng, mởt hằ thống ữủc gồi l ờn nh tÔi mởt trÔng thĂi cƠn bơng no õ náu cĂc nhiạu nhọ cừa cĂc dỳ kiằn hoc cĐu trúc ban Ưu cừa hằ thống khổng lm cho h» thèng thay êi Sû döng Bê · 1.3.1 l¦n núa, chóng ta câ 2b(p + β)eαh ky(t − h(t))kky(t)k ≤ 1 (1 − δ) ky(t − h(t))k2 3 + b2 (p + β)2 e2αh ky(t)k2 , 1 (1 − δ) v  < B(t)B T (t)y(t), y(t) >≤ kBk2 ky(t)k2 , < (Aα (t) + ATα (t))y(t), y(t) >≤ 2µ(Aα )ky(t)k2 , < A1,α (t)AT1,α (t)y(t), y(t) >≤ η (A1,α )ky(t)k2 Do â V˙ (t, xt ) ≤< [P˙ (t) + ATα (t)P (t) + P (t)Aα (t) − P (t)Q(t)P (t) + I]y(t), y(t) > −[2 − 2a(p + β) − b2 (p + β)2 e2αh − c(p + β)2 kBk]ky(t)k2 1 (1 − δ) V¼ P (t) l  nghi»m cõa (RDE1), chóng ta câ V˙ (t, xt ) ≤ [2 − 2a(p + β) − b2 (p + β)2 e2αh − c(p + β)2 kBk]ky(t)k2 1 (1 − δ) Do â, ¡p döng c¡c i·u ki»n (i1 , i2 , i3 ), ta câ V˙ (t, yt ) ≤ 0, ∀t ≥ (2.33) Hìn núa, theo t½nh bà ch°n cõa nghi»m y(t, φ) cõa h» (2.31) ∃N > : ky(t, φ)k ≤ N kφk, ∀t ≥ n¶n tr lÔi nghiằm x(t, ) cừa hằ (2.28) bơng php bián ời (2.30), ữủc kx(t, )k N kφke−αt , ∀t ≥ 0, 32 suy sü ên ành mô cõa h» âng (2.28) º x¡c ành h» số ờn nh N , tẵch phƠn hai vá cừa (2.33) tø ¸n t, chóng ta câ V (t, yt ) ≤ V (0, y0 ), ∀t ≥ Ngo i ra, tø (2.32) suy βky(t)k2 ≤ V (t, yt ) ≤ V (0, y0 ) Tø V (0, y0 ) ≤ (p + β + h1 )kφk2 Vẳ ky(t)k N kk nản ta tr lÔi php bián ời x(t) ữủc kx(t, )k N et kk, t nh lỵ ữủc chựng minh xong V½ dư 2.3.3 X²t h» i·u khiºn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ : x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), 1 vỵi h m ban ¦u φ(t) ∈ C([− , 0], R2 ), v  h m tr¹ : h(t) = v  t 2 2sin ( )     −  √2 e sint    a(t)   A(t) =   , A1 (t) =      −1 b(t) − √ e cost 33    cos t + B(t) =   sin t +  1  x1 (t)sin[x2 (t − h(t))] − x2 (t − h(t))sin[tx1 (t − h(t))] f (t, ) =   u2 (t)cos[tx(t)] ð â 1 a(t) = (cos4 t + 4cos2t + 4)e−t − − 4et , 2 1 b(t) = ( sin4 t − cos2t + 1)e−t − − 4et  i·u ki»n t«ng cõa h m kf (t, x(t), x(t − h(t)), u(t))k ÷đc ¡nh gi¡ l  1 kf (t, x(t), x(t − h(t)), u(t))k ≤ kx(t)k + kx(t − h(t))k + ku(t)k, 1 1 â: a = , b = , c = , h = , δ = Cho α = 1, chóng ta câ 2        √3 sint a(t) +  Aα (t) =  , A1,α (t) =    √ cost −1 b(t) + µ(Aα ) = 1, kBk = 3, η(A1,α ) = √ , 11 L§y β = , 1 = 2, 2 = + ,  = v  16   cos (t) + 4cos2t +  Q(t) =  , sin t − cos2t + 34 Thẳ nghiằm cừa (RDE1) ữủc xĂc nh l  −t e P (t) =   0  ≥ 0, −t e ∀t ∈ R+ , v  cõ th kim tra ữủc tĐt cÊ cĂc iÃu kiằn cừa nh lỵ (2.3.2), õ hằ l α− ên ành hâa, v  h m i·u khiºn ng÷đc l :   −t (1 − 4e )(cos t + 2)  u(t) =   x(t) −t (1 − 4e )( sin t + 1) Chú ỵ rơng nghiằm cừa (RDE1) khổng phö thuëc v o c¡c sè a, b, c cõa h m nhiạu phi tuyán f (.), nhiản nh lỵ (2.3.2) ch úng vợi cĂc nhiạu ny nhọ ( vẳ theo cĂc iÃu kiằn i1 i3 ) é nh lỵ dữợi, bơng viằc cÊi tián cĂc hon thiằn hm Lyapunov-Krasovskii s thu ữủc kát quÊ tốt hỡn nh lỵ (2.3.2) s úng vợi cĂc sỹ nhiạu phi tuyán tũy ỵ ( t.l cĂc số a, b, c khổng cƯn ừ nhọ) Vợi cĂc số dữỡng , , h, i , i = 1, 2, 3, a, b, c chóng ta °t Pβ (t) = P (t) + βI, γ = −1 a + b2 + c2 , −2αh 1 e (1 − δ) µ(A) = sup µ(A(t)), t∈R+ η(A1 ) = sup η(A1 (t)), t∈R+ 3 Q(t) = B(t)B T (t) − A1 (t)AT1 (t) − γI, −2αh 1 e (1 − δ) 35 s M = p + β + h1 + 2h2 2 , N = M , β  = 2αβ + β γ + 1 + 2 he2αh + 3 + 3β kBk2 3β +2βµ(A) + η (A1 ) −2αh 1 e (1 − δ) nh lỵ 2.3.4 Cho > GiÊ thiát rơng tỗn tÔi cĂc số dữỡng , 1, 2, 3 v mët ma trªn h m sè P ∈ BM + (0, ) thọa mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati sau Ơy: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)Q(t)P (t) + 2(α + βγ)P (t) + I = (RDE2) Th¼ h» (2.1) l  α - ên nh hõa ữủc vợi hm iÃu khin ngữủc: u(t) = − B T (t)[P (t) − 2βI]x(t) Hìn núa, nghi»m x(t, φ) thäa m¢n i·u ki»n kx(t, φ)k ≤ N e−αt kφk, ∀t ≥ Chùng minh Gi£ sû u(t) = K(t)x(t), ð â K(t) = − 12 B T (t)[P (t) − 2βI], t ≥ Vỵi h» âng (2.28), chóng ta x²t h m Lyapunov-Krasovskii sau V (t, xt ) = V1 + V2 + V3 + V4 , ð ¥y V1 =< P (t)x, x >, V2 = βkx(t)k2 , Zt V3 = 1 e2α(s−t) kx(s)k2 ds, t−h(t) 36 Z0 Zt V4 = e2α(s+h−t) kx(s)k2 dsdr h t+rh(t+r) Dạ dng thĐy rơng kx(t)k2 V (t, xt ) ≤ λ2 kxt k2 , ∀t ≥ 0, vợi cĂc hơng số dữỡng , LĐy Ôo hm cừa V (t, xt ) theo t dåc theo nghi»m x(t), chóng ta câ V˙ + V˙ = < P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > +2β < x(t), ˙ x(t) > = < (P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)[P (t) − 2βI])x(t), x(t) > + < P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > + < P (t)f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > + β < (A(t) + AT (t) − B(t)B T (t)[P (t) − 2βI])x(t), x(t) > + 2β < A1 x(t − h(t)), x(t) > +2β < f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > = < [P˙ + AT P + P A − P BB T P ]x(t), x(t) > + < βP (t)B(t)B T (t)x(t), x(t) > + < [2β B(t)B T (t) + β(A(t) + AT (t))]x(t), x(t) > +2 < P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > + 2β < A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > + < Pβ (t)f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > ˙ V˙ (t, xt ) = − 2αV3 (t, xt ) + 1 kx(t)k2 − 1 e−2αh(t) (1 − h(t))kx(t − h(t))k2 ≤ −2αV3 (t, xt ) + 1 kx(t)k2 − 1 e−2αh (1 − δ)kx(t − h(t))k2 37 V˙ (t, xt ) = − 2αV4 (t, xt ) + 2 he2αh kx(t)k2 − 2 e −2αh (1 − δ) Z0 kx(t + s − h(t + s))k2 ds −h ≤ −2αV4 (t, xt ) + 2 he2αh kx(t)k2 Ð â, ta câ V˙ (t, xt )+2αV (t, xt ) = V˙ (t, x) + 2αV1 (t, x) + V˙ (t, x) + 2αV2 (t, x) + V˙ (t, xt ) + 2αV3 (t, xt ) + V˙ (t, xt ) + 2αV4 (t, xt ) ≤< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t)]x(t), x(t) > + < βP (t)B(t)B T (t)x(t), x(t) > + < [2β B(t)B T (t) + β(A(t) + AT (t))]x(t), x(t) > + < P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > + 2β < A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > + < Pβ (t)f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > + 2α[< P (t)x(t), x(t) > +βkx(t)k2 ] + 1 kx(t)k2 − 1 e−2αh (1 − δ)kx(t − h(t))k2 + 2 he2αh kx(t)k2 ≤< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + 2αP (t)]x(t), x(t) > 38 + < βP BB T x(t), x(t) > + < [2β BB T + β(A(t) + AT (t))]x(t), x(t) > +2 < P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > 1 e−2αh (1 − δ) < x(t − h(t)), x(t − h(t)) > − 1 e−2αh (1 − δ) − < x(t − h(t)), x(t − h(t)) > + < Pβ (t)f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > + (2αβ + 1 + 2 he2αh )kxk2 + 2β < A1 x(t − h(t)), x > 1 e−2αh (1 − δ) − kx(t − h(t))k2 (2.34) Sû döng Bê · (1.3.1), ta ÷đc 1 e−2αh (1 − δ) < P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > − < x(t − h(t))x(t − h(t)) > 3 ≤ < P (t)A1 (t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t) >, −2αh 1 e (1 − δ) (2.35) 1 e−2αh (1 − δ) < x(t − h(t)), x(t − h(t)) > 2β < A1 (t)x(t − h(t)), x(t) > − 3β < A1 (t)AT1 (t)x(t), x(t) > ≤ −2αh 1 e (1 ) (2.36) LĐy (2.29) thá vo ta câ < Pβ (t)f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > ≤ 2kxT (t)Pβ (t)kkf (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t)k ≤ 2akxT (t)Pβ (t)kkx(t)k + 2bkxT (t)Pβ (t)kkx(t − h(t))k (2.37) + 2ckxT (t)Pβ (t)kku(t)k 39 Ti¸p tưc sû dưng Bê · 1.3.1 chóng ta câ < Pβ (t)f (t, x(t)x(t − h(t)), u(t)), x(t) > ≤ 3−1 a2 kxT (t)Pβ (t)k2 + 3 kx(t)k2 + b2 kxT (t)Pβ (t)k2 −2αh 1 e (1 − δ) 1 e−2αh (1 − δ) kx(t − h(t))k2 + c2 kxT (t)Pβ (t)k2 + ku(t)k2 3 b2 + c2 ]Pβ2 (t)x(t), x(t) > ≤< [−1 a + −2αh 1 e (1 − δ) 1 e−2αh (1 − δ) + 3 kx(t)k + kx(t − h(t))k2 + < [P (t) − 2βI]B(t)B T (t)[P (t) − 2βI]x(t), x(t) > + (2.38) ≤ γ < [P (t) + 2βP (t) + β I]x(t), x(t) > 1 e−2αh (1 − δ) + 3 kx(t)k + kx(t − h(t))k2 + < [ P (t)B(t)B T (t)P (t) − βP (t)B(t)B T (t) + β B(t)B T (t)]x(t), x(t) > (2.39) Vªy, tø c¡c i·u ki»n (2.34) - (2.38) ta câ V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + 2(α + βγ)P (t)]x(t), x(t) > − < [ 43 P (t)B(t)B T (t)P (t) − P (t)A1 (t)AT1 (t)P (t) −2αh 1 e (1 − δ) 2 −γP (t)]x(t), x(t) > + < [3β B(t)B T (t) + β(A(t) + AT (t)) 3β + −2αh A1 (t)AT1 (t)]x(t), x(t) > 1 e (1 − δ) +(2αβ + β γ + 1 + 2 he2αh + 3 )kx(t)k2 Chú ỵ rơng < B(t)B T (t)x(t), x(t) >≤ kBk2 kx(t)k2 , < (A(t) + AT (t))x(t), x(t) >≤ 2µ(A)kx(t)k2 , 40 < A1 (t)AT1 (t)x(t), x(t) >≤ η (A1 )kx(t)k2 , th¼ V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) −P (t)Q(t)P (t) + 2(α + βγ)P (t)]x(t), x(t) > +[2αβ + β γ + 1 + 2 he2αh + 3 + 3β kBk2 3β +2βµ(A) + η (A1 )]kx(t)k2 1 e−2αh (1 − δ) ≤< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)Q(t)P (t) +2(α + βγ)P (t) + I]x(t), x(t) > Tø P(t) l  nghi»m cõa (RDE2), chóng ta câ V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ 0, ∀t Vẳ vêy V (t, xt ) 2V (t, xt ), ∀t ≥ 0, (2.40) Sû döng Bê · 1.3.3, h» l  α - ên ành º t¼m hằ số ờn nh N , lĐy tẵch phƠn hai v¸ cõa (2.39) tø ¸n t, chóng ta câ V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2αt , ∀t ≥ M°t kh¡c, tø ¡nh gi¡ bà ch°n cõa V (t, xt ) ta câ βkx(t)k2 ≤ V (t, xt ), suy s kx(t, φ)k ≤ ∀t ≥ 0, V (0, x0 ) −αt e , β 41 ∀t ≥ Hìn núa, ta câ V (0, x0 ) ≤ (p + β + h1 )kφk2 + 2 Z0 Z0 e2α(s+h) kx(s)k2 dsdr, −h r−h(r) ≤ ((p + β + h1 )kφk2 + 2h2 2 kφk2 ≤ M kφk2 , n¶n kx(t, φ)k ≤ N e−αt kk, t nh lỵ ữủc chựng minh xong Chú ỵ rơng cĂc số a, b, c iÃu kiằn tông cừa hm nhiạu phi tuyán ch xuĐt hiằn (RDE2) chự khổng cƯn thọa mÂn cĂc rng buởc õ nhä i1 − i3 , â h» l  ờn nh hõa ữủc vợi cĂc nhiạu phi tuyán tũy ỵ Vẵ dử 2.3.5 Xt hằ phi tuyán khổng ổtổnổm vợi trạ bián thiản: x = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), vợi hm trạ ban Ưu C([ , 0], R2 ) v hm trạ bián thiản h(t) nhữ Vẵ dử 2.3.3 v 2 2x2 (t)sin[tx1 (t − h(t))] − 2u1 (t)cos[t x(t)] f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)) =   √ 2x1 (t − h(t))sin[x(t)x1 (t − h(t))]   a(t)  A(t) =  , −1 b(t) 42 √ sint  A1 (t) =     √ 2cost  ,   2(sin t + 3) B(t) =  , 2 √ (cos t + 4) 11 a(t) = e−4t ( sin4 t + ) − 5e4t , 2 b(t) = e−4t cos4 t 5e4t ìợc lữủng kf (t, x(t), x(t − h(t)), u(t))k cho kf (t, x(t), x(t − h(t)), u(t))k ≤ 2kx(t)k + √ 2kx(t − h(t))k + 2ku(t)k √ 1 h = , δ = , a = 2, b = 2, c = 2, 2 µ(A) = 2, kBk = 8, η(A1 ) = √ Vỵi α = 1, cho β= 3e 991 , 1 = , 2 = ( − 3), 3 = 1, 16 64e Ta câ γ = 16,  = 10,    3sin t + 11 Q(t) =   cos t Nghiằm cừa (RDE2) ữủc tẳm bi  −4t  e + P (t) =   ≥ 0, ∀t ∈ R e−4t 43 Khi õ, hằ l ờn nh hoĂ ữủc vợi hm i·u khiºn ng÷đc l    −4t (sin t + 3)( − e )   u(t) =   x(t) 1 √ (cos2 t + 4)( − e−4t ) 44 K¸t luên chung Luên vôn  trẳnh by ữủc cĂc vĐn à sau ã Trẳnh by v hiu cĂc khĂi niằm hằ phữỡng trẳnh vi phƠn iÃu khin, hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ, phữỡng phĂp hm Lyapunov viằc gi£i b i to¡n ên ành hâa v  c¡c bê · liản quan ã Trẳnh by cĂc tiảu chuân và tẵnh ờn nh hõa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ: hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán ổtổnổm cõ trạ, hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ vợi cĂc chựng minh chi tiát v vẵ dử minh håa 45 T i li»u tham kh£o T i li»u Ti¸ng Viằt [1] Vụ Ngồc PhĂt, (2001), Nhêp mổn lỵ thuyát iÃu khin toĂn hồc, NXB Ôi Hồc Quốc Gia, H Nëi T i li»u Ti¸ng Anh [2] J Hale and S.M Lunel (2003), Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York [3] VT Tai and V.N Phat (2009), Global exponential stabilization of nonautonomous diferential equations via Riccati equations, Nonlinear Functional Analysis and Applications, , pp 245-260 14 [4] M.V Thuan, V.N Phat, T.L Fernando and H Trinh (2014), Exponential stabilization of time-varying delay systems with nonlinear perturbations, IMA J Contr Inform , pp 441-464 31 46