NGUYỄN DỖN PHƯỚC - PHAN XUÂN MINH - HÁN THÀNH TRUNG
Ly Thuyet ĐIỀU KHIỂN
Trang 2Nguyễn Dỗn Phước, Phan Xuân Minh, Hán Thành Trung
LÝ THUYẾT
ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN
Trang 3Authors: Nguyen Doan Phuoc, Phan Xuan Minh and Han Thanh Trung
Department of Automatic Control, Electrical Faculty, Hanoi Universily of Technologie Title: Theory of Nonlinear Control
This book presents fundamental methodologies of nonlinear control, such as the conventional methods like Lyapunov Popov stability, harmonic linearization, sliding mode contro} and exact linearization, what recent develoments in last 15 years Many examples and simulations are given to illustrate the theory and ideas The book is written for a course at the graduate level for electrical engineering It is assumed that the reader already has good knowledge in theory of linear control
Chiu trach nhiém xuat ban: PGS TS To Dang Hai
Bién tap: Nguyễn Đăng
Trình bày và chế bản: Tác giả
Vẽ bìa: Hương Lan
In tại: Xưởng in NXB Văn hố Dân tộc Số lượng: 700 cuốn, khuơn khổ 16 x 24cm
Giấy phép xuất bản số: 150-61CXB ngày 4/2/2005
Trang 4Lý thuyết điều khiển phì tuyến luơn thu hút được sự quan tâm của những người
làm iệc trong lĩnh uực kỹ thuật hệ thống Những phương pháp phân tích va tổng hợp hệ thống trên cơ sở lý thuyết điều khiển phí tuyến đưa con người đến gan hơn nữa trong các ứng dụng thực tế Nĩ chính là chiếc cầu nội giữa lý thuyết uà ứng dụng thực tiên, Chính
vi thể, chỉ 15 năm gắn đây, điều khiển phi Huyến đã cĩ những bước nhảy vot về chất
lượng, cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng, Nên mĩng cho sự phát triển này là phép đối trục
toa dé vi phơi (diffeomorphism) xây dựng trên nên hink hoc vi phan, do Isidori dua ra da tạo ra khả nẵng nghiên cứu, phân tích, điều khiến hệ phi tuyến theo hướng lận dụng các kết quả đã cĩ của điều khiển tuyển tính, mà điển hình trong số đĩ lị phương pháp thiết kế bộ điêu khiến tuyến tính hĩa chính xác, phương pháp phân tích động học khơng của
hệ phi tuyến Cũng như tây, Sontag cùng các đồng sự đưa ra khái niệm hàm điều khién Lyapunov (Control Lyapunov Function-CLF) gitip cho viée gidi quyét bai todn thiét kế các bộ điều khiển ổn định được chặt chẽ hơn, rõ ràng hơn, nhất là khi đối tượng cĩ mơ hình bất định (uncertainties), hoặc bị thay đổi ngu nhiên khơng biết trước
Bên cạnh sự phát triển mới uẻ chất lượng trên, trường phái điều khiển phí tuyến
hình điển cũng được bố sung thêm nhiều kỳ thuột thiết kế hữu ích như k§ thuật
gain -echeduling, kỹ thuật cuốn chiếu (bacbstepping technique), da tap trung tâm (center manifold), diéu khiển trượt (Siiding Mode Control-SMC) Khong nhiing thé, diéu khiển phi tuyến đã được ứng dụng thành cơng cho lớp đối tượng phi tuyến cĩ tính chất động học đặc biệt như các hệ thụ động, các hệ hồi tiếp chặt tham số, hệ tiêu tán
Sự tiên bộ to lớn đĩ của điều khiển phi tuyến cần phải được phổ cập, cần phải được
nhanh chĩng ứng dụng ồo thực tiễn cơng nghiệp Việt Nam Đĩ cùng chính là lý do đã cuốn sách đã thụ hút được sự quan tam cua nhiều độc giả Nên chỉ chưa đây hai năm cuốn sách Lý thuyết điều khiển phì tuyến này đã được nhà xuất bản KH&KT để nghị tái bản Trong lần này, chúng tơi đã +
íp xếp lại nội dụng của cuốn sách một cách hệ
thống đi từ đơn giản đến phức tạp, để dễ dàng hơn cho độc giả trong tự nghiên cửu
Quyển sách được bố cục thành các chương:
— Chương mở đầu giái thiệu chung vê hệ phí tuyến nà các đặc điểm cũng như nhiệm
vu phan tich va tong hop chúng:
- Chitong 2 tập trung uào các phương pháp điều khiển phi tuyến kinh điển như
phân tích mặt phẳng pha, tính ổn định tuyệt đối, cân bằng điều hịa, điều khiến
trượt
— Néi dung của chương 3 là tồn bộ lý thuyết Lyapunoe trong phân tích uà tổng hợp
Trang 5— Chương 4 trình bày các phương pháp điều khiển phi tuyến được xây đựng trên nên
lý thuyết điều khiển tuyến tính, nhữ tuyến tính hĩa xấp xú, phân tích hệ thống nhờ đề tạp trung tâm, điều khiển tuyến tính hình thức, kỹ thuật gain-scheduling
—_ Chương ä được dành hồn tồn cho uiệc trình bày các phương pháp phân tích,
tổng hợp điều khiến phí tuyển trên nên hình học ní phân Trọng tơm của chương là
các phương pháp xác định phép đổi trục tọa độ u¡ phơi cũng như thiết bế bộ điều khiển phản hồi trạng thái, phục uụ uiệc tuyến tính hĩa chính xác hệ phí tuyển Quyển sách cĩ mục đích là giới thiệu dới bạn dọc những phương pháp phân tích cơ bản uà thiết kế bộ điêu khiển để can thiệp uào hệ phí tuyến Do mong muốn được cùng
bạn đọc trao đổi tiếp, nên sau mỗi phần trình bày một phương pháp, chúng tơi cịn viét
thêm cúc suy nghĩ của mình uê khả năng mở của phương pháp dưới dạng các lời bàn Cũng nhân đây, chúng tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn đọc đã gĩp ý cho cuốn sách ngày càng được hồn thiện hơn Chúng tơi mong nhận được nhiều hơn nữa những đĩng gĩp chân tình của các bạn đọc gần xa
Quyến sách Lý thuyết điểu khiển phí tuyển được uiết uới sự cảm thơng, giáp đỡ õ cùng to lớn của gia đình các tác giả Nếu khơng cĩ sự hy sinh, sự cổ oũ, khuyến khích của
những người thân gia đình chắc chắn quyển sách khơng thể hồn thành được Bởi vay,
lời cảm ơn đầu tiên của chúng tơi là gửi đến họ
Những lời cám ơn chân thành tiếp theo xin được đến các bạn bè, đồng nghiệp
những người đã luơn úng hộ, khuyến khích uề chúa sẻ khĩ khăn cới chúng tơi
Tiết mong nhận được nhiều hơn nữa những gĩp ý của bạn đọc Thư gĩp ý xin gửi vé:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Bộ mơn Điều khiển Tự động
Số † Đại Cổ Việt, C9/305-306 Tel (04) 8680451 / 8692985
Trang 6Mục lục 4 Nhập mơn 11 1.1 1.1.1 4.2 Những cơng cụ tốn học cần thiết 1.2.1 hiệu hệ phi tuyến 11 Mơ hình tốn học Mơ hình của hệ tĩnh
Mơ hình của hệ động HH ret KH hư
Bản chất phi tuyến: Tính khơng thỏa mãn nguyên lý xếp chồng
Quỹ đạo trạng thái và ý nghĩa trong phân tích hệ thống
Xây dựng quỹ đạo pha bằng phương pháp đường đẳng tà
Xây dựng quỹ đạo pha bằng phương pháp tách biến
Ứng dụng trong việc xác định điểm căn bằng của hệ thống
Ứng dụng trong việc xác định tính ổn định tại một điểm cản bằng
Ý nghĩa trong việc phân tích khả năng tổn tại dao động điều hịa
`Ý nghĩa trong việc phân tích tính ổn định của dao động điều hịa
` nghĩa trong việc phân tích hiện tượng hỗn loạn (chaos) Ý nghĩa trong việc phản tích hiện tượng phân nhánh (bifurcation) Đại số ma trận và ánh xạ tuyến tính Các phép tính với ma trận Hạng của ma trận Định thức của ma trận Ma trận nghịch đảo Vết của ma trận Ảnh xạ tuyến tính
Phép biến đổi tương đương
Trang 7Khơng gian các ánh xạ liên lục 2 Hệ cĩ khâu phi tuyến tĩnh và tuyến tính động 51 2.1 Giới thiệu hệ thống 51 2.44 2.4.2 2.1.3
Sơ đồ khối, mơ hình NL và LN
Một số khâu phi tuyến điển hình Khâu hãi vị trí " Khau khuếch đại bão hịa Khâu ba vị trí ` Khâu khuếch đại cĩ miền chết (khơng nhạy) Khâu hai vị trí cĩ trễ Khâu khuếch đại bão hịa cĩ t Khâu ba vị trí cĩ trễ
Xác định điểm cân bằng, điểm dừng
2.2 Phương pháp phân tích mặt phẳng pha 57 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.25 Nhiệm vụ của cơng việc phân tích
Hệ với khâu phi tuyến bai vị trí
Hệ với khâu phi tuyến hai vị trí cĩ t
Hệ với khâu phi tuyến ba vị trí
Hệ cĩ khâu khuếch đại bão hịa 2.3 Tính ổn định tuyệt đối 73 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 Khải niệm hàm thực-dương và hệ thụ động, Tiêu chuẩn Popov
Bàn thêm về tiêu chuẩn Popov Điều kiện đối với khâu tuyến tính Dạng hình học của tiêu chuẩn
Về gĩc ổn định và phương pháp biến đổi
Tiêu chuẩn đường trịn
Trang 8Khâu khuếch đại bão hịa
2.4.3 Xác định tính ổn định của dao động điều hịa trong hệ kín
2.5 Điều khiển trượt 109
2.5.1 Gợi ÿ ban đầu: Điều khiển đối tượng tích phân kép
Điều khiển phản hồi trạng thái
Vector tin hiệu mẫu là hằng số Điều khiển phân hồi tín hiệu ra 2.5.2 Tổng quát hĩa: Nguyên tắc chung của điều khiển trượt 3 Lý thuyết Lyapunov 119 3.1 Ham Lyapunov va hàm điều khién Lyapunov 118 3.1.1 Tỉnh ổn định Lyapunov và hàm Lyapunov (LF) Xác định điểm cân bằng và điểm làm việc Định nghĩa ổn định Lyapunov
Tiêu chuẩn Lyapunov Vài điều bàn thêm xung quanh u chuẩn ổn định Lyapunov 3.12 Một sổ phương pháp tìm ham Lyapunov Phương pháp Krasovski Phương pháp Schultz-Gibson Phương pháp Aiserman 3.1.3 Ham điều khiển Lyapunov (CLF)
3.2 Phương pháp thiết kế cuốn chiếu (backstepping) 145°
3.2.1 Cuốn chiếu hệ truyền thẳng qua khâu tích phân 3.2.2 Cuổn chiếu hệ truyền thẳng qua khâu tuyến tính 3.2.3 Cuốn chiếu hệ truyền thẳng qua khâu phi tuyến
Khái niệm hệ phi tuyến thụ động
Hệ phi tuyển thụ động được
Cuốn chiếu qua khâu phi tuy:
3.2.4 Cuốn chiếu hệ truyền ngược
Phương pháp thiết kế chưng
Thiết kế bộ điều khiển cuốn chiếu nhờ phép đổi biển vi phơi
4 Điều khiển cận tuyến tính 165
4.1 Tuyến tính hĩa trong lân cận điểm làm việc 165
4.1.1 Tuyến tính hĩa mơ hình trạng thái 165
4.1.2 Phân tích hệ thống 168
Trang 9
Phan tinh tinh ổn định nhở mơ hình tuyến tính tương đương 169
Phân tích tính ổn định nhờ đa tạp trung tâm 173,
Vài điều bàn thêm 182
4.1.3 Thiết kế bộ điều khiển 183
4.2 Phương pháp gain-scheduling 186
4.2.1 Tư tưởng chính của phương pháp „186
4.2.2 _ Thiết kế bộ điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái gán điểm cực T88
4.2.3 Vài điều bàn thêm về phương pháp gain-scheduling .193
Chất lượng động học chung của hệ thống 193
Tỉnh ổn định tồn cục (globai)
Khả năng thiết kế trong miễn phức
4.3 Điều khiển tuyến tính hình thức 195
4.3.1 Cơng cụ tốn học cần thiết ‹ .197
Tích Kronecker ¬
Tốn tử vector hĩa ma trận ¬"
Một ứng dụng của tích Kronecker: Tìm nghiệm phương trinh Sylvester Phép tính giao hốn hàng/cột của ma trận Hee
4.3.2 Phương pháp thiết kế định hướng hình thức theo giá trị riêng
4.3.3 Khả năng thiết kế định hướng hệ tuyến tính
Nguyên tắc chung devises
Phuong phap thiét ké Sieber
5Š Điều khiển tuyến tính hĩa chính xác 215 5.1 Giới thiệu chung 215
5.1.1 Hệ cĩ cấu trúc mơ hình affine
5.1.2 Cơng cụ tốn học: Hình học vi phân
Đạo hàm của hàm vơ hướng (Đạo hàm Lie) Phép nhân Lie, hay đạo hàm của vector Ham md rang (distribution) „218 219 224 5.2 Phan tich hé affine 224 5.2.1 Xác định phép đổi biến để tách hệ 5.2.2 Phân tích tính điều khiển được
Đa tạp các điểm trạng thái đạt tới được Tiêu chuẩn điều khiển được hồn tồn 8.2.3 Xác định bậc tương đối te
Bậc tương đối của hệ affine SISO
Bậc tương đối tối thiểu của hệ affine MISO
Trang 10
Vactor bậc tương đối tối thiểu của hệ affine MIMO
5.2.4 Phép đổi trục tọa độ đưa hệ về dạng chuẩn 248 5.2.5 Phân tích tính động học khơng và khái niệm hệ pha cực tiểu
Tính động học khơng của hệ tuyến tính 253
Động học khơng hệ phi tuyến Ứng dụng trong nghịch đảo hệ thống
5,3 Điều khiển tuyến tính hĩa chính xác 263
5.3.1 Tuyén tinh héa chinh xac hé SISO 263
Tuyến tính hĩa quan hệ vào-ra „
Mối liên hệ giữa khả năng tuyến -ính hĩa chính xắc và tính điều khiển được Tuyến tính hĩa chính xác quan hệ vào-trạng thái
Tuyến tính hĩa chính xác và gắn điểm cực
5.3.2 Tuyến tính hĩa chính xác hệ MIMO
Tuyển tính hĩa chính xác quan hệ vào-ra
Một số nhân xét về phương pháp tuyến tính hĩa chính xác quan hệ vào-ra Tuyến tính hỏa chính xác quan hệ vào-trạng thái
Bàn về điều kiện n22m va van dé md
Tuyển tính hĩa chính xác và gán điểm cực cv
5.4 Khả năng quan sát trạng thái 300
5.4.1 Bộ quan sát Luenberger mở rộng 302
5.4.2 Quan sát theo nguyên lý trượt (siiding mode observer) 304 5.4.3 Bộ quan sát cĩ hệ số khuếch đại lớn (high gain observer} „ 306
5.4.4 Nguyén ly tach (separation principle) 307
Trang 111 1.1 Giới thiệu hệ phi tuyến 1.1.1 Mơ hình tốn học Xét hệ MIMO, viết tắt của nhiều vào/nhiều ra (Mulứi Inputs-Multi Outputs) vdi m
tín hiệu vào (£), w¿(£), ư„„(£) và p tín hiệu ra y(f), yo(t), + , y„(f) như
hình 1.1 mơ tả Nếu viết chung các tín hiệu vào/ra thành vector:
u(t) ) MO
@=| : | y)= tu„() yp(t)
thì mơ hình hệ thống được quan tâm ở đây là mơ hình tốn học mơ tả quan hệ giữa
vector tin hiéu vao w(t) và vector tín hiệu ra y(/), tức là mơ tả ánh xa T:w(t) 4 y(t) Ánh xạ (hay chính xác hơn 1a todn ti) nay được viết như sau:
yứŒ)= Tiu(Œ)¡ qa.)
u(t) Hệ thống kỹ yi(t)
Hình 1.1: Sơ đồ khối một hệ thống kỹ : : thuột 2 OF
thuật cĩ nhiều tín hiệu vào và ra Up, (t) yy ve XQ yp(t)
Nhờ cĩ mơ hình tốn học (1.1) trên ta luơn xác định được vector tín hiệu đầu ra
y() của hệ thống nếu như đã biết trước vector các tín hiệu vao u(t) và (khi cần thiết)
các trạng thái tức thời x;(f), x¿(f), « „x„(#) của nĩ Để gọn trong cách viết, n biến xi)
trang thái này sẽ được ghép chung lại thành vector x(/)= xa)
Trang 12Mơ hình của hệ tĩnh
Một hệ thống được gọi là tĩnh, nếu tín hiệu ra y(/¿) ở thời điểm #=ứ¿ được xác định
trực tiếp từ tín hiệu đầu vào u(t) tai dung thời điểm đĩ Như vậy mơ hình tốn học (1.1) của hệ tĩnh sẽ chỉ là một quan hệ đại số và người ta thường viết nĩ dưới dạng hàm
trong đĩ hàm ƒ(w) cĩ thể là một cơng thức tường minh, song cũng cĩ thể chỉ là một bằng
tra hoặc một đường đồ thị như minh họa ở hình 1.2 y fw Hình 1.2: Mơ tả hé phituyén tah „ x bằng các hàm đại số ' a Mơ hình của hệ động
Một hệ thống được gọi là động, nếu để xác định tín hiệu ra y(ty) tại thời điểm t=¢,
người ta cần phải cĩ các giá trị của tín hiệu đầu vào (7) ở tất cả các thời điểm trước đĩ
£<f¿ Như vậy, để mơ tả một hệ động, mơ hình tốn học (1.1) của nĩ khơng thể chỉ là một quan hệ đại số mà nĩ cịn phải cĩ cả các quan hệ giải tích khác như vi phân hay tích phân Khác với hệ tình trong mơ hình của hệ động cĩ cả sự tham gia của các biến trạng
thái, đơn giản là vì trạng thái của hệ thống là đại lượng mang thơng tin về tính động học
của hệ
Ban chất động học của hệ thống nằm trong quan hệ giữa tín hiệu vào ø(f) và trạng
Trang 133) Mơ hình trạng thái khơng tường minh (implicit)
/CSỄ xu =0
Blew yf) =O
Với mơ hình trang thái người ta cĩ thể xác định được nghiệm z(t), y(t} mé ta su
thay đổi trạng thái và tín hiệu ra của hệ thống theo thời gian dưới tác động của kích
thich u(t) và điểm trạng thái đầu xo=z(0) được giả thiết là đã biết
Ví dụ 1.1: Xây dựng mơ hình trạng thái
Xét hệ co như hình 1.3 mơ tả gồm 1 lị xo, một vật cĩ khối lượng m và khâu suy giảm vận tốc d Tín hiệu vào của hệ là lực ¿(/), tín hiệu ra là quãng đường mà vật đi được, ký hiệu là y()
Khi vật dịch chuyển một khoảng cách y(?) lị xo sẽ sinh ra một lực Ê;„ cĩ hướng ngược lại chiều chuyển động của vật, Lực này phụ thuộc chỉ vào một mình biến y nên
được viết thành:
Fix = fly)
Khau suy gidm van tée ở cũng sinh ra một lực #¿ cản sự chuyển động của vật và
cĩ độ lớn phụ thuộc tuyến tính vào vận tốc của vật: ay
Fy =e(=) d 7 € at
Trang 14Bản chết phi tuyến: Tính khơng thỏa mỡn nguyên lý xếp chồng
Một hệ thơng được gọi là thỏa mãn nguyên lý xếp chồng nếu mơ hình (1.1) của nĩ là một tốn tử tuyến tính, tức là TỊqu?+bu”| = aT{u`i+ oT") (1.4) ệ ứng với hai tin
với œ.b là hai số thực Như vậy khi đã biết các tín hiệu ra ', y"
hiệu đầu vào w°, w” khác nhau thì ta cũng xác đỉnh được tín hiệu đầu ra cho trường
hop 6 đầu vào œ‹
#`+bu” và đĩ là y= ay'+by"
Các hệ thống mà mơ hình tốn học (1.1) của nĩ thỏa mãn nguyên lý xếp chồng (1.4)
được gọi là hệ zuyển tính Ngược lại nếu mơ hình của
ệ khơng thỏa mãn nguyên lý xếp
chồng (1.4) thì hệ được gọi phi tuyến Phần lớn các hệ thống cĩ trong tự nhiên đều mang
tính phi tuyến Chang han don giản như hệ ro-le những hệ sinh học, hệ thủy khí, hệ vật
1ý cĩ cấu trúc hỗn hợp, hay các hệ thống nhiệt động hoc là những hệ phi tuyến, điện trở cũng là hệ phi tuyến Ví dụ 1.2: Hệ phí tuyển tĩnh Xét một hệ thống cĩ một tín hiệu vào u(t) va mét tin hiéu ra y(t), Anh xa T: u() v0 mơ tả quan hệ giữa đầu vào và ra của nĩ được biểu diễn ở hình 1.4 xử) oy
Hình 1.4: Minh họa ví dụ 1.2 w tâu
Từ đường đặc tính vào/ra này ta thấy hệ thống khơng thỏa mãn nguyên lý xếp
chồng Thật vậy nếu gọi:
yea Ti) va y= Te”)
với hai điểm uw’, uv” nhu 6 hinh 14, thi dng véi kich thich u=u’+2u” hé sé 06 dp ứng VETO +2u") # V4 2y”
Vậy nĩ là một hệ phi tuyển
Từ đường đặc tính của hệ ta cũng cĩ được phương trình biểu điễn ánh xạ 7:
Trang 15ye kasgn(u) khi ku khi véi & la hé sé géc cua đoạn thẳng đi qua tâm gốc tọa độ và sgn(u) 1a phép tinh xac dinh dau cua u: 1 nếu „>0 sgn(u) = -1 néu u<O
Tại điểm u=0, ham sgn(z) khéng cĩ một giá trị rõ ràng (từ —1 đến 1) và trong thực tế
điều đĩ cũng khơng cĩ một ý nghĩa gì đặc biệt o Vĩ dụ 3.3: Hệ phi tuyến động Xét lại hệ cơ đã cho ở ví dụ 1.1 với [y| tương đối lớn cĩ: trong đĩ ø,b,eeK š dy dy =aytby? wae fŒ) = ay+by” và ø( ae yee at Suy ra: 2 +c CC C+ay+bhy” su dy : (1.8) ae Cấp 7N Rõ ràng (1.5) khơng thỏa mãn nguyên lý xếp chồng vì: Orton? a ott! nên nĩ là hệ thống phi tuyến a
Chủ ý: Việc phân biệt một hệ thống là tuyến tính hay phi tuyến được thực hiện dựa vào mơ hình tốn học (1.1) của hệ Song trong thực tế, do thường chỉ quan tâm tới bản chất động học của hệ thống nên người ta cũng chỉ sử đụng riêng phần mơ hình động học
mơ tả quan hệ giữa tín hiệu vào u(¢} vA trang thai x(¢), chang han như trong mơ hình
tự trị (1.3) người ta chỉ sử dụng riêng:
a x
a7 few (1.6)
"Tương ứng để kiểm tra xem hệ là tuyến tính hay phi tuyến từ (1.6), người ta sẽ kiểm tra
nĩ theo nghĩa tốn tử:
x(t) = Talus}
cĩ thỏa mãn nguyên lý xếp chẳng hay khơng Nĩi cách khác, nếu cĩ:
Trang 16thì phần động học (1.6) được gọi là tuyến tính, ngược lại thì gọi là phí tuyến Điều này thường dẫn đến việc trong một hệ thống cĩ thể tổn tại cả hai loại mơ hình động học
tuyến tính và phi tuyến
Vĩ dụ 1⁄4: Một hệ được mơ tả động học bằng cả hai mơ hình tuyến tính và phi tuyến Xét hệ cĩ thành phần động học trong mơ hình trạng thái L x, , =m yt IS e “Vay tu) Be om ay, dt
Dé dang kiém tra được ngay là mơ hình này khơng thỏa mãn nguyên lý xếp chồng (1.7) hay nĩ là một mơ hừnhđộng học phí tuyển
Thay bién z,= ¢" vàz¿=x; thì mơ hình trên trở thành đại Send dt Ê l$ Baia
và nĩ là một mơ hành tuyến tình theo nghia (1.7) a
1.1.2 Quỹ đạo trạng thái và ý nghĩa trong phân tích hệ thống
Xét hệ cĩ mơ hình động hoc tu tri (1.2) Goi x(t) la nghiệm của nĩ ứng với ¿=0 và
x(0)=x¿ cho trước, gọi là quỳ đạo trạng thái tự do (vì cĩ =0) tức là nghiệm của phương trình v1 phần dx = = fe, + 1.8 dt (1.8
Biểu diễn nghiệm đĩ trong khơng gian trạng thái R” ta sẽ được đổ thị phụ thuộc tham số
£¿ như mơ tả ở hình Lõa) với chiểu mỗi tên chì chiều tăng của £ Tập tất cả các quỹ đạo trạng thái tự do ứng với những điểm trạng thai ban đầu xạ khác nhau được gọi là họ ede quỹ dạo trạng thái tự do (hình 1.5b)
Họ các quỹ đạo trạng thái tự đo này chứa đựng đây đủ thơng tín về bản chất động
học của hệ thống Bởi vậy một trong những phương pháp đơn giản để phân tích hệ thơng, khảo sát các đặc tính động học vốn cĩ trong hệ thống, là thơng qua dạng các
đường quỹ đạo trạng thái tự đo này Nhưng làm cách nào để cĩ thể cĩ được các quỹ đạo trạng thái tự do mà khơng cần phải tìm nghiệm x(/) của (1.8) Dé trả li, ta xét trường
Trang 17hợp khi mà hệ khơng bị kích thích (1.8) chỉ cĩ hai biến trạng thái, hay trừơng như vậy, người ta gọi quy dao trang thai x(t) đơn giản là quỹ đạo phá bì tì
Hình 1.5: Mơ tả hệ phi tuyến nhờ,
a) _ Quỹ đạo trạng thái của hệ cĩ ba biến trạng thái
b) Họ các quỹ đạo trạng thái của hệ cĩ hai biến trạng thái
Xơy dựng quỹ dao pha bang phương phốp đường đẳng ta
Sau đây ta sẽ xét một phương pháp xây dựng quỹ đạo pha của hệ phi tuyến với hai
Trang 18
SN vo V2 ee _
— \ của hệ khi cắt đường đổ thị của (1.10) sẽ phải cĩ
nên mọi quỹ đạo pha x(t |
l(t
cùng một độ nghiêng @ thỏa mãn tane=k Nĩi cách khác đồ thị (1.10) là tập hợp tất cả các điểm trạng thái mà khi đi qua nĩ các quỳ đạo pha phái cĩ cùng một độ nghiêng Chính vì vậy để thị của (1.10) được gọi là đường đẳng (à (cũng một độ nghiêng)
Chú ý: Đường đẳng ta (1.10) chỉ là tập hợp các điểm trạng thái mà tại đĩ các quỹ đạo pha phải cĩ cùng một độ nghiêng Điều đĩ hồn tồn khơng nĩi rằng các điểm trạng thái đĩ phải thuộc cùng một quỹ đạo trạng thái
Tương ứng với một giá trị #& nhất định ra cơ một đường đẳng tà Cho È thay đối ta
được nhiều đường đẳng tà Láp của nhiều dường đẳng là ứng với những giá trị & khác
nhau tạo ra trong mật phẳng pha một tập hợp các dường đẳng tà, Từ tập các đường đẳng
tà này, ta cĩ thể xây dựng một cách gần đúng quỹ đạo pha của hệ thống với điểm đầu x,
bất kỳ bằng cách xuất phát từ xị, thiết kế một đường đường cong cắt các đường đẳng tà
sao cho tại giao điểm với đường đẳng tà ứng với một giả trị & nhất định thì phải cĩ độ nghiêng đúng bằng ø tính theo tang=h Để cho việc xã
nên vẽ
y dựng đường cong được đễ dàng,
ăn trên đường đẳng tà È các vạch chéo cĩ độ nghiêng là tang
Ví dụ 1.6: Xây dựng quỹ dao pha theo phương pháp đường đẳng tà Xét hệ cĩ mơ hình trạng thái 1) -02x; xứ _đc
Từ phương trình trạng thấi trên ta thấy ngay được hệ chỉ cĩ một điểm cân bằng là
gốc tọa độ 0 Đường đẳng tà # cho trường hợp hệ khơng bị kích thích (w=0) sẽ là
nếu # £ 0.2
x =0 néuk
Trang 19
Như vậy tập những đường dang ta cia h
sẽ là các dường cong bậc 3 khi & # 0,9 và trục hồnh ứng với # = © trục tung ứng với # = 0,5 Trên các đường đẳng tà đĩ ta vẽ sẵn
những vạch nhỏ biếu điễn gĩc nghiêng @ cĩ lanø=k Chẳng hạn trên trục hồnh là các
vạch vuơng gĩc với nĩ (cĩ ore vi tan =b=s (hình 1.6)
Sau khi đã cĩ các đường đẳng tà ta
dựng quỷ đạo pha của hệ Giả sử ta phải vẽ
quỹ đạo pha đi từ điểm trạng thái xa nằm phía trên trục hồnh Do xạ nằm phía trên
ep ey at
trục hồnh va & Sh = x, nén quỹ đạo pha di qua nĩ phải cĩ chiểu từ trấi sang phải, Lúc là
£
chiều tăng của xị Khi gặp đường đăng tà đầu tiên là đường cĩ š = Ư, ta vẽ quỹ đạo trạng
thái tại đĩ cĩ gĩc nghiêng đúng bằng 0 (song song với trục hồnh) Cứ như vậy, dựa vào xạ của hệ như ở hình 16 £T các đường đẳng tà đĩ ta cĩ được đấc đủ quỹ đạo pha chứa xì
Hình 1.6 : Xây dựng quỹ đạo pha theo phương
pháp dutng dang ta Minh hoa vi du 1.5
Xơy dựng quỹ đợo pho bỗng phương phúp lĩch biến
Phương pháp tách biến được sử đụng để xây đựng quỹ đạo pha cho hệ thống cĩ bai biến trạng thái mơ tả bởi (191 Giống như đã làm ở phương pháp đường đẳng Là, nếu „(7)0 là cho trước thì chia hai phương trình trên cho nhau theo từng về, ta sẽ cĩ
(1.12)
Giả thiết cho việc ứng dụng được phương pháp tách biến là vế phái của phương
trình trên phấn cĩ dạng
Fore) = gle )a(ey) 13)
tức là nĩ tách duoe thanh tich cia hai ham mét bign g(x )) va A (ty)
Để xây dựng quỹ đạo pha xuất phát từ điểm trạng thái đầu xạ ta phân biệt hai
trường hợp:
Trang 201) Khi g(x,)=0 Phương trình TẾ = 0 cĩ nghiệm xạ=x(0) là hằng số 2) Khig(x)#0 thì từ (1.12) và (1.13) ta cĩ Tích phân hai vế sẽ được % an ÍR)dy+k- với — & là hàng số phụ thuộc gụ q13) xi0 #Ứ) „in Theo lý thuyết về phương trình vị phân, khi hệ thỏa mãn diéu kién Lipschitz thi bao
giờ cũng tổn tại trong lân cận z„ hàm x¡(x;) và đĩ chính là phương trình mơ tả quỹ đạo pha đi qua xạ của hệ thống Họ các quỹ đạo pha với điểm xuất phát xạ khác
nhau cũng sẽ thu được từ (1.14) với các giá trị È khác nhau
Trang 21b) xo Xy x2 Hinh 1.7: Xây dựng quỹ đạo pha theo phương pháp tách biến, Minh họa cho ví dụ 1.6 ; 8 0 Phương trình (1.16) cĩ đỗ thị dạng hình ellipse với các tâm là (?} va [ |: trong ~e
đĩc *F „ Nĩ được biểu diễn trên hình 1.7a) bằng đường rời nét, Do cĩ điểu kiện z¡>0 của (1.16) nên chỉ cĩ phản nửa đường cllipse này nằm phía trên trục hồnh (tre xa) là
= q ¬=-
thuộc về quỹ đạo pha Hơn nữa, vì cĩ a x¡>0 nên đoạn quỹ dao pha đĩ phải cĩ
chiều từ trái sang phải (chỉ chiều tầng của z„ì
: (0\ (0ì
Tương tự, hình ellipse nét liên với các tâm lọ I ( | là đổ thị của phương trình
LU, ey
(1.17) Do bị rang buộc bởi điểu kién x,<0 nén chỉ cĩ nửa phía dưới trục hồnh của đường ellipse này là thuộc về quỹ đạo pha Nĩ cĩ chiểu từ phải sang trái là chiều chỉ chiểu giảm của xạ (hình 1.7a)
Tựa vào hai nửa các đường ellipse trên ta cĩ thể xây dựng hồn chỉnh một quỹ đạo
pha xuất phát từ diém dau x, nào đĩ cho trước Chẳng hạn với xạ cho trước như ở hình 1.7) thì đo x„ nằm phía đưới trục hồnh quỹ đạo pha khi đi qua xạ phải thuộc về đường ellipse nét liền Theo chiểu mũi tên cho tới khi gặp trục hồnh (điểm A trên hình 1.7b) thì quỹ đạo pha sẽ chuyể:
sang đường ellipse nét rời để di lên phía trên trục
hồnh Theo dưỡng nết rời phía trên trục hồnh cho tới khi gặp trục hồnh (điểm Ư) thì
quỹ đạo pha lại chuyển sang đường nét liền Quá trình đĩ được tiếp tục cho tối khi quỹ đạo pha gặp trục hồnh nằm trong đoạn từ ~c đến e (đoạn được tơ đậm trong hình
1.7) thì đừng lại vì trong đoạn này khơng cịn cĩ đồ thị hình ellipse nào nữa của phương
Trang 22Ứng dụng trong việc xĩc định điểm cơn bằng củ hệ thống
Xét hệ cĩ mơ hình trạng thái khơng tự trị (1.31 Mật điểm trạng thái x„ được gọi là
điểm cần bằng (equilibrium point) néu nhu khi đang ở điểm trạng thái x„ và khơng cĩ một tác động nào từ bên ngồi thì hệ sẽ nằm nguyên tại đĩ Cân cứ theo định nghĩa như vậy thì điểm cân bằng x„ của hệ thống phải là nghiệm của phương trình
dx, Ee, g8 Co
Điều này cùng để hiểu vì theo định nghĩa, điểm cân bằng là điểm mà hệ thống sẽ
5 " sua 2 x dit ang of
nằm im Lại đĩ, tức là trạng thái của nĩ khơng bị thay đổi tap =0) khi khơng cĩ sự tác
động từ bên ngồi @=0)
€ĩ thể thấy ngay được rằng điểm cân bằng sẽ được xác định từ họ các quỹ đạo trạng thái tự do của hệ thơng qua: “Điểm trạng thái mà lợi đĩ các quà đạo trạng thai x(Ê) cĩ
vdn tĩc bằng 0 đêu là điểm edn bằng x, của hệ”
Ví dụ 1.7: Xác định điểm cân bằng từ ho các quỹ đạo pha
Quay lại ví du 1.6 6 dé ta thấy mọi dạo pha của hệ khi gập đoạn trục hồnh nằm
trong đoạn từ —e đến e (doạn được tơ đậm trong hình 1.7) đều đừng lại Điều này chứng
tỏ hệ cĩ các điểm cân bằng x„=
| là những điểm thỏa mãn |x
Ứng dụng trong việc xĩc định lính ổn định tại một điểm cơn bằng
Một hệ thống được gọi là ổa định tiệm cảm) tại điển cân bang x, nếu như cĩ một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi x„ và dưa tối diểm xạ thuộc một lân cận nào đĩ của
+ thì sau đĩ hệ cĩ kha nang ty quay vé được điểm can bang x, ban dau Theo định nghĩa trên thì ta cĩ thể
nhận biết được hệ cĩ ốn định tiêm cận
hay khơng tại một điểm cân bằng thơng
qua đạng họ các đường quỹ đạo trang
thái của nĩ, Nếu hệ ổn định tiệm cận tại một điểm cân bằng x, nào đĩ thì mọi
đường quỹ đạo trang thai tu do x(£) xuất
Hib 1.8: a) Điểm cân bằng ổn định
phát từ một điểm xụ thuộc lân cận của - bị Điểm cân bằng khơng ổn định R :
x, déu phai két thuc tai x, (hình 1.8)
Trang 23Vi du 1.8: Kiểm tra tính ổn định
Hệ đã xét ĩ ví dụ L.õ với bọ các quỹ đạo trạng thái tự do được xây dựng theo phương pháp đường đẳng tà trong hình 1,6 cho thấy hệ (1.11) chỉ cĩ một điểm cân bằng à gốc tọa độ và hệ ổn định tiệm cận tại gốc vĩ mọi quỹ dạo trạng thái tự do của nĩ đều tiến về 0 và kết thúc tại đĩ Qo
Ý nghĩa lrong việc phan tich kha nding tén tai dao déng diéu héa
Giống như hệ tuyến tính, hệ thống phi tuyển cũng cĩ khả năng đơo động điều hoa Chúng được thể hiện ở đạng đường quỹ đạo trạng thái tự đo khép kín tức là những quỳ đạo ứng với =0 mà nếu xuất phát từ một điểm trên dĩ thì sau một khoảng thời gian
hữu hạn sẽ lại quay về điểm bạn đầu Các quỹ đạo trạng thát tự do khép kín này được mơ tả bởi những nghiệm tuần hồn của phương trình trạng thái hệ tự trị (1.2):
Vi dụ 1.8: Phân tích khả năng tồn tại dao động
Xét hệ cĩ sơ đồ khối như ở hình 1.84) Hệ cĩ đối tượng là khâu tích phân bậc 2 và bộ
điểu khiến là khâu phi tuyến hai vị trí
a)
w=o0 oe] | ey
>
— TT is’ |
Hình 1.8: Minh họa ví dụ 1.9 về dao đơng điều
hịa trong hệ phi tuyến
Trang 24
Boi vậy nếu đặt
và Slay, (1.18)
thì đo xị =
dxy jl khi x, <0
—=“ t(f) Fr = UC trong dé vie) Ẳ 6 v(t} = ~1 khi xi >0 ( 1.19)
Như vậy hệ cĩ mơ hình trạng thái đãi “dt dey "để =x (1.20) —sen(x;)
Phương trình (1.20) trên cĩ nghiệm tuần hồn, tức là hệ cĩ dao động diều hịa Điều
đĩ ta cĩ thể nhận thấy từ (1.18) và (1.19) là do ø(2) chỉ nhận giá trị hằng số #1 nên khi
chia hai vế của chúng cho nhau sẽ được (xây dựng quỹ đạo pha bằng phương pháp tách biến): x #2 1 x= ae de, e 2u
với k là hằng số được xác định từ giá trị đầu x,(0) = y(0) cũng như «;(0} —n Đây
cũng chính là phương trình mơ tả quỹ đạo trạng thái đạng parabol của hệ thống khi
khơng bị kích thích Hình 1.90) biểu diễn quỹ đạo trạng thái của hệ Đường liển nét ứng Với =— 1 đường rồi nét ứng với =1 Chiểu mũi tên chỉ hướng quỹ đạo trạng thái được
a nung ,
xác định từ quan hệ ` = sty, tức là phía trên trục tung (x¿>0) nĩ chỉ chiều tăng của +;
và dưới trục tung thì chi chiéu ngược lại
Giả sử hệ đang ở trạng thái xo phía bên phải trục xy Do cĩ z¡>0 nên từ xạ hệ sẽ đi theo đường nét liền cho tới khi gặp trục x¿ thì đổi hướng chuyển sang đường rời nét vì kể từ lúc đĩ «<0, Theo đường rời nết đến khi gặp trục x; thì lại đổi hướng chuyển sang đường nét liễn Cứ như sậy hệ sẽ đi theo đường quỹ đạo trạng thái khép kín xác nhận sự
tổn tại dao động điều hịa autonom trong hệ đ
Mỏ rộng bài tốn xác định sự tổn tại của dao động trong hệ phi tuyến, người ta đã
đã đến bài tốn là làm thế nào để xác định được hệ cĩ quỹ đạo trạng thái khép kín hay khơng mà khơng cần phải xây dựng các quỹ đạo trạng thái của nĩ Câu hỏi này là cĩ lý
Trang 25— _ Thứ nhất là việc cĩ được họ các quỹ đạo trạng thái một cách chính xác cho hệ
thống phụ thuộc rất nhiều vào dạng mĩ hình trạng thái của hệ Ta chỉ cĩ thé xây
dựng được quỹ đạo trạng thái của hệ theo phương pháp giải tích cho một số hệ đặc biệt Chẳng hạn như việc xây dựng quỹ đạo pha cho hệ cĩ hai biến trạng thái theo phương pháp tách biển chỉ thực hiện được nếu như mơ hình của hệ thĩa mãn điều kiện (1.13)
—_ Thứ hai là khi sử dụng các cơng cụ mơ phỏng ta chỉ nhận được một số quỹ đạo trạng thái riêng biệt gắn đúng ứng với những điểm xuất phát xạ khác nhau, chứ
khơng cĩ được dạng chung của tất cả các quỹ đạo trạng thái Nếu như hệ cĩ đao động điều hịa song dao động đĩ lại rất "nhạy cảm" với điểm trạng thái zy được chọn ban đầu thì việc chọn ra được x„ thích hợp để từ đĩ cĩ được quỹ đạo x(Ư
khép kín là hồn tồn may rủi và mỏ mẫm
Phụ giúp cho câu trả lời về khả năng tổn tại quỹ đạo trạng thái khép kín trong hệ
cĩ hai biến trạng thái (quỹ đạo pha khép kín) mà khơng cân phải cĩ đổ thị của họ các
quỹ đạo pha là điểu kiện cần của Bendixson phật biểu như sau:
Định lý 1.1 (Bendixson): Xét hệ bậc 2 cĩ mơ hình khơng bị kích thích
dx >
¬ n 1i Xz)
dx, ae = folxy ry), y= flex) _, x
Nếu trong một miền Ð giới nội cha mat phẳng pha (x1.x,) hai ham f,.f, lin tue
cùng đạo hàm của nĩ và hàm
g(x).x») = oh oh 1.21)
ma ‘
khơng đổi đấu cũng như khơng đồng nhất bằng 0 trong tất cả cdc mién con B, thudc
` thì hệ sẽ khơng cĩ quỹ đạo pha khép kín trong 3, Chứng mình
Giá sử rằng hệ cĩ quỹ đạo pha khép kín e trong 3 Gọi miễn được bao kín bởi quỹ
Trang 26Như vậy, trong 3, hàn g(x¡.x¿) phải hoặc đã đối đấu hoặc phải đồng nhất bằng 0 và
điểu nãy trái với giả thiết Vậy điểu giả sử là sai a
Dinh |
pha khép kín, song cũng là gợi ý cho việc khoanh những vùng khơng cĩ quỹ dao pha khép kín Trên tư tưởng đĩ và để khẳng định rõ răng sự tồn tại quỹ đạo pha khép kin ta
cua Bendix
on chi ta điểu kiện cần cho việc xác định sự tồn tại của quỹ đạo
sẽ loại ra những miền 3 thỏa mãn định lý Bendixson và chỉ tập trung vào các miễn giới nội khác ký hiệu là 8 mà ở đĩ hàm #(x,.x;) đối dấu trong đĩ ØŒy.xa) được xác dịnh theo cơng thức (1.21) cho trường hợp hệ phi tuyển hai trạng thái với mơ hình khơng bị
kích thích Điểu này dẫn La đến định lý Poincaré-Bendixson Nĩ được xem như hệ qua của Bendixson và phát biểu như sau
Định lý 1.2 (Poincare-Bendixson): Cho hệ bậc 2 khơng bị kích thích với mơ hình trạng thái
dx =
ae =đG elven = đữ#¿)
gp Pate Oho = f0 x;)
Nến cĩ một miền kín, giới nội cua mật phẳng phá @;.x») khơng chứa điểm cân
bang va mét guy dao pha x{¢) xuat phat từ bên trong § song khéng roi bo $ thi
trong § phai tén tai ít nhất một quỳ đạo pha khép kín (dao động điều hịa autonom)
Ví dụ 1.10: Phân tích khả năng tồn tại dao động
Xét hệ cân bằng tại gốc với mơ hình: dx dt Ị [ee vat xy Oe + ayes tad =1) ta (1.22)
sox — xy (xf +ayay tay -1)
Miền § ta xét 6 day 1a hình vành khuyên cĩ biên là hai đường trưn tâm gốc tọa độ
va bán kính là È màu #yy„v tức là
$= {xi tư = kP | 0< km SẼ Su} (0.33)
Rõ ràng £ khơng chứa điểm cân bằng, Vấn để báy giị là xác định HA
'Từ mơ hình (1.22) ta cĩ:
~ xx lap = yay + (124)
Trang 27Mặt khác từ phương trình (1.28) mơ tả Ÿ ta cũng cĩ:
(1.95)
*2
Bởi vậy một quỹ đạo pha xŒ) xuất phát từ bên trong £ và khơng ra khỏi ể phải là quỹ đạo cĩ gĩc nghiêng (1.24) giống như (1.25), tức là: 3 2 Xị +#*;(Xj +#jx; +x5 —L x 2 Site tm“) Lg bard tmxy-1=0 Hx (xp +xXpX_QtxXZ-M+xy *%2 Thay
x?+x?= x;=keosp cũngnhư x;=ksing
vào phương trình trên (đổi sang tọa độ cực) ta được 24,1 2 2 t?a+sin2p)=L @ k?=——— + sn3g 2+sin2ø Từ đây suy ra: -— 3 _ Rin = min — = ø \2+sin29 3 2
va Bay = max ,[————_ = ø J2+sin2ø +
Vay trong mién: Hình 1.10: Minh hoa ví du 1,10 LE ses 2} a $= {xf+x hệ cĩ quỹ đạo pha khép kin x(¢) Hình 1.10 là quỹ đạo pha của hệ (1.32) thu được nhờ cơng cụ mơ phỏng a
Ví dụ 1.11: Phân tích khả năng tổn tại dao động
Xét hệ cĩ quan hệ vào-ra được mơ tả bởi phương trình vi phân Van der Pol:
2 2
z-f(4) ¬#£syzs với k>0 (1.26)
dt? dt dt
Trang 28x thì quan hệ vào-ra (1.26) sẽ được biến đổi thành phương trình trạng thái: la toe a (1.27) ¬ = xi —R(xŸ —1)x; +ự
Hệ cĩ điểm cân bằng duy nhất là gốc tọa độ 0 Xem tích &( xÿ~1) như một tham số #= k(xÿ~1) thì mơ hình trạng thái (1.27) sẽ cĩ dạng giống như mơ hình tuyển tính cĩ
tham số thay đổi như sau: dx _(0 1 0 “ ~ fat 1.28) dt (, oat (?)« (res) Mơ hình "tuyến tính" (1.28) cĩ phương trình đặc tính: 2 đet(sĩ- A) =s”+ #s+1 nên nĩ sẽ ổn định khi # >0 và khơng ổn định khi Z < 0 Nếu (1.98) ổn định thì phải cĩ: k>O => |xof>1
đồng thời quy dao trang thai tu do x(t) cua hé la tat dan, hay x,(¢) tién dần về 0 Trong
qua trinh x.(t) tiến về 0 sẽ cĩ thời điểm mà kể từ lúc đĩ cĩ:
Jx|<l=z #<0
tức là kể từ thời điểm đĩ hệ (1.28) lại trỏ
thành khơng ổn định và do đĩ x(t) tang
dân, hay giá trị của x9(t) cũng lớn dẫn Khi giá trị x;(/) ) lớn dần và vượt quá giá trị 1, hệ (1.28) lại trở thành ổn định kéo theo x;(£) lại giảm dần
Cứ như vậy ta thấy quá trình tự do
x() sẽ khơng vượt quá được ra ngồi
một miền nào đĩ cĩ |xz| sai khác tương
đối lớn so với 1, chẳng hạn như (ước
lượng gần đúng):
Trang 29“Theo cách tương tự ta cũng sẻ chỉ ra được x(/) khơng ra khỏi miển nào đĩ cĩ (ước lượng) -8<x) <9 Như vậy thì khi một quỹ đạo pha x(() ứng với ¿=0 đã xuất phát từ bên trong miền #= {xeR” ]|xj|<2 0 <‡e2|< 1,5}
sẽ khơng ra khỏi đỏ nữa Ngồi ra đo¿ể giới nội và khơng chứa điểm cân bằng Ú nên theo định lý 1.2 hé Van der Pol (1,37) phải cĩ một dao động điều hịa autonom trong £
Hình 1.11 là quỹ đạo pha của hệ Van der Pol cho trường hợp =0 và k=1 thu được
nhờ cơng cụ mơ phỏng, n
Chú ý: Cả hai định lý L.1 vA 1.2 phụ giúp cho việc khẳng định sự tổn tại quỹ đạo trạng thái (dao động điều hỏa autonom) trong hệ phi tuyến chỉ được phát biểu cho hệ bậc 2 Su mở rộng định lý cho hệ bậc cao hơn là khơng cĩ cơ số và cho tới nay cũng chưa cĩ
một sự mở rộng nào được chấp nhận
Ý nghĩa trong việc phan tich tinh ổn định của do động điều hịa
So sánh với điểm cần bằng của hệ thống, ta thấy các quỹ đạo trạng thái khép kín
cũng cĩ một tính chất tương tự là khi khơng cĩ sự thay đổi tác động bên ngồi, hệ sẽ giữ nguyên trạng thái (khép kín) đĩ Bởi v y, cùng giống như khái niệm về tính ổn định của
với các quỹ đạo trạng thái khép kín mà ở đầy
được xem như "tập hựp các điểm cân bằng", ta cũng cĩ: "Dœo động điều hịa của hệ được
gọi là ẩn định nếu hệ bị tác động tức thời đánh bật ra khỏi chế độ dao động điều hịa đĩ
hệ phi tuyến tại một điểm cân bằng đố
cĩ bị đưa tối điểm trạng thải xe khác những nằm trong một lần cận nào đồ của quỳ đạo trạng thái khép kăn thì hệ lại tự quay tê được chế độ dao động điều hịa nàn / — a À Y / \ _ ¿ —_—
Trang 30Theo định nghĩa trên, ta cĩ thể thơng qua đạng họ quỹ đạo trạng thái của hệ để
nhận biết tính ổn định của dao động điểu hịa Cụ thể là dao động n định nếu mọi
quỹ đạo trạng thái khi đi qua lân cận của qu dao khép kin ứng với dao động đang xét đều cĩ xu hướng tiến về quỹ đạo khép kín đĩ và kết thúc trên nĩ (hình 1.12)
Tưởng tự khái niệm miền ẩn định của hệ phi tuyến, tính ổn định của một dao động trong hệ phi tuyến chí cĩ ý nghĩa ứng dụng nếu đi kèm với nĩ ta cịn chỉ ra được miền ổn
định @ Lức là phải chỉ ra được lân cận mà các quỹ dạo trạng thái khi đi qua một trong
các điểm thuộc lân cận đĩ thì sẽ đều kết thúc trên quý đạo trạng thái khép kín này Ý nghĩa trong việc phên tích hiện tượng hén logn (chaos)
Ở hệ phi tuyến luơn tốn tại một tập con Z giới nội của khơng gian trạng thái E” mà khi quỹ đạo trạng thái x) đã xuất phát từ một điểm bên trong Z thì sẽ khơng bao giờ xa khỏi đĩ nữa Ngồi ra khi đã ở bên trong Z thì quỹ đạo x(/) sẽ khơng kết thúc ở bất
cứ một điểm trạng thái nào nĩ đi mãi và đi qua mọi điểm x¿ (hoặc lân cận của nĩ) thuộc
Z Nĩi cách khác khi đã ở bên trong Z thì sẽ luơn tổn tại điểm thời gian /a¿ mà quỹ đạo trạng thái x(?) sẽ đi vào lân cận của x; (thậm chí đi qua x;) Hơn nữa, đo Z giới nội nên X(t) bi chain và
x(t) bi chan nén bao gid cing tén tai day diém ty, f,, ty dé x (ty)
xỨy) #Œ¿) hội tụ (theo định lý Weierstrass-Rolzano) Như vậy, Z là tập kín liên thơng và khi đã ở trong Z quỹ đạo trạng thái xứ) luơn cĩ một đấy giá trị thời gian /„
[xứ - xạ <£
với elà một số dương nhỏ tuỷ ý chơ trước
Ta cĩ thể thấy:
—_ Điểm cân bằng xu của hệ là một tập Z đặc biệt, tức là Z=lx,}
— Tap các điểm trạng thái thuộc một quỹ đạo trang thái khép kín (đao đơng điều hịa) cũng là một tập Z theo nghĩa trên
Nếu tập Z khơng thuộc hai trường hợp đặc biệt trên thì người ta nĩi hệ cĩ hiện đượng hỗn loạn (uiện tượng chaos) Tập Z của hiện tượng hỗn loạn cĩ tên gọi là tập giới hạn Tập giới bạn Z của hệ phi tuyến được gọi là ốn định hay đập giái hạn hấp dẫn (attractor) néu mọi quỹ đạo trạng thái xƯ) của hệ khi đi qua lân cận của Z thì sẽ bị hút
vào Z ở lại trong đĩ (hình 1.13)
Trang 31Hình 1.13: Tập giới hạn hấp dan (attractor), hay cịn gọi tập giới hạn ổn định Ví dụ 1.12: Phân tích hiện tượng hỗn loạn Xét hệ cĩ mơ hình trạng thái [đa — dt dxy — = =-0,18x) -—xp +x) +u a 2 3 7X[ tấn
Sử dụng chương trình vẽ mơ phỏng Winfact để vẽ quỹ đạo trạng thái x(/) của hệ ứng với giá trị đầu xạ=0 khi được kích thích
Ang tin hiéu u(¢) = — 0,3 sin(2) ở đầu vào
ta cĩ hình 1.14 Kết quả mơ phỏng này cho thay x(t) luơn đi mãi, khơng dừng lại ở bất
cứ một điểm cân bằng (hoặc điểm dừng) cũng như khơng kết thúc tại một đường cong khép kín nào Hơn nữa, nếu tăng thời gian mơ phỏng lên vơ cùng thì quỹ đạo x(/) sẽ tơ kín một vùng và đĩ chính là tập giới hạn Z của hệ trong trường hợp được cưỡng bức
bang tín hiệu ¿(£)==0,3sin(£) ở đầu vào a
Hinh 1.14: Minh hoa vi du 1.12 vé hién tugng
chao (hỗn loạn) trong hệ phí tuyến
Ví dụ 1.13: Phân tích hiện tượng hỗn loạn
Trang 32Hình 1.15 biểu diễn quỹ đạo trạng thái x(£) của hệ được vẽ nhờ chương trình mơ
phỏng Winfact Ta thấy x(¿) khơng kết thúc tại bất cứ ở một điểm trạng thái nào Nĩ
cũng khơng khép kín mà cứ đi mãi trong một miền kín, giới nội của khơng gian trạng thái và miền đĩ chính là tập giới hạn Z của hiện tượng hỗn loạn trong hệ Lorenz a
Hình 1.15: _ a) Biéu dién quy dao trang thai trong mặt phang (x, , x»)
b) Biểu diễn quỹ đạo trạng thái trong mat phẳng (xạ, xạ)
Cuối cùng, về hiện tượng hỗn loạn và tập giới hạn Z trong nĩ, ta cần lưu ý thêm: Tập giới hạn Z phải chứa quỹ dao trang thái x(/) của hệ Chẳng hạn ở ví dụ 1.6 và hình 1.7 vẽ quỹ đạo trạng thái của hệ (1.15) ta thấy đoạn trục hồnh từ — đến c của mặt phẳng pha cĩ tính chất gần giống như tập giới hạn hấp dẫn Z của hệ
Nĩi rằng nĩ gần giống bởi vì các quỹ đạo pha đều cĩ xu hướng kết thúc trên nĩ
Tuy nhiên bản thân nĩ lại khơng phải là tập giới hạn Z vì khơng tồn tại một quỹ đạo pha x(t) nào đi qua mọi lân cận các điểm thuộc trong nĩ Nĩi cách khác đoạn
thẳng từ = đến e trên trục hồnh xz khơng được "vẽ" lên bởi một quỹ dao pha x(t) nào đĩ Để hệ tự trị (1.2) cĩ quỹ đạo trạng thai tu do x(t) théa man x(0)=xp thì phương trình vi phân: (1.29)
phải cĩ nghiệm Đủ cho điều đĩ là hàm f(x) thỏa mãn điều kién Lipschitz (sé được trình bày ở mục 1.2 đưới đây) Nếu đã thỏa mãn điều kiện Lipschitz, phương trình vi phân (1.29) luơn cĩ nghiệm x(/) với x(0)=x¿ duy nhất, và như vậy quỹ