Cơ học lý thuyết-Chương 7 pdf

-85- Chơng 7 Chuyển động tổng hợp của điểm 7.1. Chuyển động tuyệt đối, chuyển động tơng đối và chuyển động kéo theo. Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đợc tạo thành khi điểm tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời. Ta xét bài toán trong mô hình sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o 1 x 1 y 1 z 1 gắn trên vật A. Vật A lại chuyển động trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem hình 7.1). x y z O x 1 y 1 z 1 M A r r o z 1 o 1 y 1 x 1 k 1 j 1 i 1 Chuyển động của điểm M so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của chuyển động tuyệt đối ký hiệu là : a v r và a w r . Hình 7.1 Chuyển động của điểm M so với hệ động o 1 x 1 y 1 z 1 gọi là chuyển động tơng đối ký hiệu là và . r v r r w r Chuyển động của hệ động (vật A) so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển động kéo theo. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M chiếm chỗ ( trùng điểm ) trong chuyển động kéo theo là vận tốc và gia tốc kéo theo của điểm M và ký hiệu là : e v r và e w r . Nh vậy chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động tổng hợp của hai chuyển động tơng đối và kéo theo của nó. Thí dụ : Con thuyền chuyển động với vận tốc u r so với nớc. Dòng nớc chảy với vận tốc v r so với bờ sông. ở đây chuyển động của con thuyền so với bờ sông là chuyển động tuyệt đối . Chuyển động của con thuyền so với mặt nớc là chuyển động tơng đối với vận tốc .uv r r r = Chuyển động của dòng nớc so với -86- bờ là chuyển động kéo theo, vận tốc của chuyển động kéo theo . vv e rr = Theo định nghĩa trên ta thấy, để xét chuyển động tơng đối ta xem hệ động nh cố định. Khi đó phơng trình chuyển động viết dới dạng véc tơ nh sau : 11111111 kzjyixMOr r r r r r ++== . (7-1) ở đây 1 i r , 1 j r , 1 k r là các véc tơ đơn vị trên các hệ động. Khi xét chuyển động tơng đối nh ở trên đã nói các véc tơ 1 i r , 1 j r , 1 k r đợc xem nh không đổi. Còn các toạ độ x 1 , y 1 , z 1 là các hàm của thời gian. x 1 = x 1 (t) ; y 1 = y 1 (t) ; z 1 = z 1 (t). Muốn xét chuyển động kéo theo của điểm ta chỉ cần cố định nó trong hệ động khi đó phơng trình chuyển động của M so với hệ cố định oxyz là phơng trình chuyển động kéo theo. Ta có : 111111010 kzjyixrrrOMr r r r rr r r +++=+== (7-2). Trong phơng trình (7.2) vì ta cố định điểm trong hệ động nên các toạ độ x 1 , y 1 , z 1 là không đổi, còn 1 i r , 1 j r , 1 k r là các véc tơ biến đổi theo thời gian. )t(rr 00 r r = ; )t(ii r r = ; )t(jj r r = ; )t(kk r r = . 7.2. Định lý hợp vận tốc. Xét điểm M chuyển động tơng đối trong hệ động o 1 x 1 y 1 z 1 với vận tốc ; Hệ động chuyển động trong hệ cố định oxyz kéo theo điểm M chuyển động với vận tốc kéo theo (xem hình 7-2). Để xác định vận tốc tuyệt đối ta thiết lập phơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm M. Ta có : r v r e v r r o r a x y z O x 1 y 1 z 1 M c 1 c 2 v e v r v 1 r o 1 Hình 7.2 111111010 kzjyixr)t(rrr r r r r r r r +++=+= (7-3) -87- Phơng trình này giống phơng trình (7-2) nhng cần lu ý là mọi tham số của phơng trình đều là các hàm của thời gian. Đạo hàm bậc nhất theo thời gian phơng trình (7-3) ta đợc : ++ +++== 1 1 1 1 1 1 111 0 a k dt dz j dt dy i dt dx dt kd z dt jd y dt id x dt rd dt rd v rrr r r r r r r Trong kết quả tìm đợc, nhóm số hạng thứ nhất +++ dt kd z dt jd y dt id x dt rd 111 0 r rr r chính là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7-2) (phơng trình chuyển động kéo theo ) là vận tốc kéo theo e v r . Nhóm các số hạng còn lại : + 1 1 1 1 1 1 k dt dz j dt dy i dt dx rrr là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7.1) (phơng trình chuyển động tơng đối ) do đó đợc thay thế bằng vận tốc tơng đối r v r . Thay các kết quả vừa tìm đợc vào vận tốc tuyệt đối ta đựơc : rea vvv r r r += . Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm vận tốc tuyệt đối bằng tổng hình học vận tốc kéo theo và vận tốc tơng đối : rea vvv r r r + = . (7-4) 7.3. Định lý hợp gia tốc Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm (phơng trình 7.3). Ta có : ++ +++=== 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 2 a 2 a k dt zd j dt yd i dt xd dt kd z dt jd y dt id x dt rd dt vd dt rd w rrr r r r r r r r -88- ++ dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2 111111 r r r Trong kết quả tìm đợc nhóm các số hạng thứ nhất : +++ 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 2 dt kd z dt jd y dt id x dt rd r rr r là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.2) ( phơng trình chuyển động kéo theo ) có thể thay bằng gia tốc kéo theo e w r . Nhóm các số hạng thứ hai : + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 k dt zd j dt yd i dt xd rrr là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.1) ( phơng trình chuyển động tơng đối ) có thể thay bằng gia tốc tơng đối r w r . Nhóm các số hạng còn lại : + dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2 111111 r rr đợc gọi là gia tốc quay hay gia tốc Koriolit ký hiệu là . k w r Thay các kết quả tìm đợc vào biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đợc : krea wwww rrrr ++= . Ta đi đến định lý sau đây gọi là định lý hợp gia tốc. Đinh lý 7.2 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm gia tốc tuyệt đối bằng tổng hình học của gia tốc kéo theo, gia tốc tơng đối và gia tốc Koriolit. krea wwww rrrr ++= . (7.5) 7.4. Gia tốc Koriolit. Gia tốc Koriolit k w r đợc xác định theo biểu thức : += dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2w 111111 k r r r r -89- Khi hệ động có chuyển động quay thì các véc tơ đơn vị 1 i r , 1 j r , 1 k r sẽ quay theo khi đó đạo hàm của nó theo thời gian khác không. Trong trờng hợp hệ động không tham gia chuyển động quay thì các đạo hàm của nó sẽ bằng không và do đó gia tốc Koriolit sẽ không có vì vậy gia tốc này còn đợc gọi là gia tốc quay. Gia tốc Koriolit biểu diễn ảnh hởng chuyển động quay của hệ động đến gia tốc của điểm. Nếu vận tốc góc của hệ động (vận tốc góc kéo theo ) là thì khi hệ động quay quanh trục o e 1 với vận tốc góc e thì đạo hàm bậc nhất theo thời gian của các véc tơ đơn vị 1 i r , 1 j r , 1 k r chính là vận tốc đầu mút của chúng trong chuyển động quay quanh trục o 1 . (xem hình 7.3). z x y A O k 1 j 1 i 1 v A e Ta có : 1e 1 i dt id r r r ì= 1e 1 j dt jd r r r ì= 1e 1 k dt kd r r r ì= Thay các kết quả biểu thức trên vào biểu thức của ta đợc : k w r Hình 7.3 ++= dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2w 111111 k r r r r () ()() ++= kx dt dz jx dt dy ix dt dx 2 C 1 C 1 C 1 r r r r r r re1 1 1 1 1 1 e v2k dt dz j dt dy i dt dx x2 r r rrr r ì= ++= Nh vậy gia tốc Koriolit bằng hai lần tích hữu hớng giữa vận tốc góc kéo theo và véc tơ vận tốc tơng đối. -90- rek v2w r r r ì = . ( 7.6) Từ (7.6) ta có thể xác định độ lớn của gia tốc Koriolit theo biểu thức : ( ) rerek v.sinv.2w = . Ta thấy ngay gia tốc Koriolit bằng không trong trờng hợp sau : - Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa là khi e = 0 ; - Khi động điểm đứng yên trong hệ động, nghĩa là khi 0v r = r ; - Khi chuyển động tơng đối theo phơng dọc theo trục quay của chuyển động kéo theo nghĩa là khi góc hợp giữa e r và r v r bằng không hoặc bằng 180 0 . e v r r w k Hình 7.4 Hình 7.4 e w K M v' r v r e Theo (7.6) gia tốc Koriolit có phơng vuông góc với mặt phẳng chứa hai véc tơ e r và có chiều sao cho khi nhìn từ mút của nó xuống mặt phẳng đó sẽ thấy r v r e r quay ngợc chiều kim đồng hồ đi một góc nhỏ hơn 180 0 sẽ đến trùng với (xem hình 7.4). r v r Hình 7.5 Trong thực hành ta có thể xác định phơng chiều của nh sau : k w r Chiếu véc tơ vận tốc tơng đối r v r lên mặt phẳng vuông góc với trục quay của chuyển động kéo theo. Sau đó quay hình chiếu r v r đó đi một góc 90 0 theo chiều quay của e trong mặt phẳng trên (xem hình 7.5) ta sẽ xác định đợc phơng chiều của gia tốc Koriolit. Sau đây sẽ giới thiệu một số ví dụ vận dụng các định lý hợp vận tốc và hợp gia tốc trong chuyển động tổng hợp của điểm. -91- Thí dụ 7.1: Tay quay OA của cơ cấu tay quay cu lit quay quanh trục O vuông góc với mặt phẳng của cơ cấu. Đầu A của tay quay nối bằng khớp bản lề với con trợt B. Con trợt B có thể trợt trong máng BC của cu lit. Máng BC có thể chuyển động tịnh tiến lên xuống nhờ rãnh hớng dẫn E. Xác định vận tốc, gia tốc của máng BC cũng nh vận tốc gia tốc của con trợt so với cu lit BC. A E D C B O Cho biết tay quay có chuyển động quay đều với vận tốc góc n = 120 vòng/phút. Độ dài OA = 1 = 30cm (xem hình 7.6). Hình 7.6 Bài giải: Nếu chọn hệ động gắn với cu lit (máng BC) và hệ cố định gắn với trục quay O thì chuyển động của con trợt A trong máng là chuyển động tơng đối. Chuyển động của máng tịnh tiến lên xuống là chuyển động kéo theo còn chuyển động của A quay quanh O là chuyển động tuyệt đối. Trớc hết ta có thể xác định đợc vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm A. Vận tốc của tay quay OA. )s/rad(4 30 120. 30 n. = = = . r B 3 C 3 B 1 C 1 A 1 x r E D B A 3 O A w r w r v r v r v r e w r e a Vị trí của cơ cấu đợc xác định bằng góc quay của tay quay OA : = t = 4t (rad). Đầu A của tay quay thực hiện chuyển động tròn tâm O bán kính OA = 1. Vận tốc của điểm A : V a = .1 = 4.30 = 120 3,77 m/s. H ình 7.7 -92- a v r có phơng vuông góc với OA hớng theo chiều quay (xem hình 7.7). a v r chính là vận tốc tuyệt đối của điểm A : v a = v A . Vì tay quay quay đều nên gia tốc điểm A chỉ có một thành phần pháp tuyến. n AA ww rr = về độ lớn w A = 2 .1 = 16 2 .1 = 16 2 .30 4733 cm/s 2 ; = 47,33 m/s 2 Gia tốc có chiều hớng từ A vào O. Gia tốc tuyệt đối của điểm A là A w r A w r . Để tìm vận tốc của máng (vận tốc kéo theo) và vận tốc của con trợt A trong máng (vận tốc tơng đối) ta áp dụng định lý hợp vận tốc. Ta có : rea vvv r rr += ở đây Aa vv r r = đã biết cả độ lớn và phơng chiều. e v r là vận tốc của máng chuyển động tịnh tiến lên xuống do đó có phơng thẳng đứng. Còn là vận tốc của con trợt dọc theo máng BC nên có phơng nằm ngang. Từ định lý hợp vận tốc ta có thể nhận đợc một hình bình hành mà đờng chéo là còn hai cạnh là và . Dễ dàng tìm đợc các véc tơ vận tốc kéo theo r v r a v r e v r r v r e v r và nh trên hình (7.7). Ta có : r v r )s/m(t.4sin.77,3sin.vv Ae == )s/m(t.4cos.77,3cos.vv Ar == Phơng chiều của các vận tốc e v r và r v r nh hình vẽ. Để xác định gia tốc kéo theo và tơng đối (gia tốc của máng và gia tốc của con trợt trong máng) ta áp dụng dịnh lý hợp gia tốc. -93- krea wwww rrrr ++= . Trong bài toán này hệ động chuyển động tịnh tiến nên ta chỉ còn biểu thức : 0w k = r rea www rrr += . ở đây gia tốc tuyệt đối đã đợc xác định. Gia tốc kéo theo e w r có phơng thẳng đứng còn gia tốc tơng đối r w r có phơng năm ngang. Cũng dễ dàng nhận thấy các véc tơ gia tốc kéo theo e w r và gia tốc tơng đối r w r là hai cạnh của hình bình hành nhận gia tốc làm đờng chéo (xem hình 7.7). Ta có : a w r t.4cos.33,47cos.ww Ae == t.4sin.33,47sin.ww Ar == Phơng chiều của gia tốc e w r và r w r nh trên hình vẽ 7.7 . Kết quả trên cho thấy vận tốc, gia tốc của máng BC ( v e, w ed ) và vận tốc, gia tốc con trợt trong máng ( v r , w r ) là hàm của thời gian. Ta có thể xác định chúng tại các vị trí đặc biệt sau : Khi 1 = 4t = 0 ta có v e = 0 ; v r = 3,77 m/s W e = 47,33 m/s ; w r = 0 Khi 2 = 4t = / 2 ta có v e = 3,7 m / s ; v r = 0 w e = 0 m / s ; w r = 3,77 m / s Thí dụ 7.2 : Động điểm M chuyển động bắt đầu từ đỉnh O của nón dọc theo đờng sinh OC với vận tốc không đổi v r = 24 cm / s . Nón cũng đồng thời quay bắt đầu cùng thời điểm xuất phát của điểm M theo quy luật = 0,125t 2 . Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của động điểm M tại thời điểm t = 4 giây. (xem hình 7.8). Cho biết góc đỉnh nón là 60 0 . -94- Bài giải Trong bài toán này chuyển động của điểm M dọc theo đờng sinh OC là chuyển động tơng đối. Nh vậy vận tốc tơng đối của điểm đã biết. z B A O e e k C r v r e v r M v r V r = 24 cm / s = 0,24 m / s có phơng chiều từ O đến C. a Chuyển động quay của nón quanh trục AB với quy luật = 0,125t 2 là chuyển động kéo theo. Để xác định đợc vận tốc kéo theo của điểm ta phải xác định vị trí của nó tại thời điểm t 1 trên nón. Hình 7.8 Ta có OM = v r .t = 24.4 = 96 cm Khoảng cách từ động điểm tại vị trí đang xét tới trục quay AB là : MK = OM.sin30 0 = 96.0,5 = 48 cm. z B A C M v r w e k r e r e O w k w n e y x Vận tốc kéo theo tại thời điểm t 1 là : t25,0 dt d e = = với t = t 1 = 4 giây et1 = 0,25.4 = 1 rad / s ; Gia tốc góc trong chuyển động kéo theo là : )s/rad(25,0 d t d 2 2 2 e = = Hình 7.9 Các véc tơ e và e biểu diễn trên hình vẽ (7.9). Các véc tơ vận tốc kéo theo e v r và vận tốc tơng đối là tại thời điểm t r v r 1 = 4s đợc biểu diễn trên hình 7.8. Về độ lớn vận tốc kéo theo xác định đợc : v e = MK . e = 48,1 cm / s 0,48 m / s . [...]... dụ 7. 3 : Cơ cấu điều chỉnh ly tâm biểu diễn nh hình vẽ 7. 10 Tại -96thời điểm đang xét quả cầu quay quanh điểm treo O cùng với thanh OM với vận tốc góc và gia tốc góc 1 = 2 rad / s và 1 = 0,2 rad / s2 Cơ cấu quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc và gia tốc góc 2 =4 rad / s và 2 = o,8 rad / s2 Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của quả cầu M tại thời điểm đó Cho biết kích thớc của cơ. .. wrn sin300 - wen ; = 8 0,866 - 160 0,5 - 400 = - 473 cm / s2 ; Cuối cùng ta có : wM = w2 + w2 + w2 = x y z ( 574 )2 + ( 473 )2 + (142 )2 = = 869 cm / s2 = 8,69 m / s2 Để xác định phơng chiều của M ta phải xác định các góc chỉ phơng của chúng đối với các trục : cos(w M x ) = cos(w M z ) = wx wM wz wM 574 = 869 = 142 869 ; cos(w M y ) = wy wM = 473 869 ... hớ theo chiều quay của cơ cấu ; Vr tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển động tơng đối có nghĩa là vuông -97góc với thanh OM hớng theo chiều quay của r , có trị số Vr = l.r = 40.2 = 80 cm/s r r Nh vậy hai véc tơ v e và v r vuông góc với nhau vì vậy độ lớn vận tốc tuyệt đối xác định đợc : 2 v M = v e + v 2 = 100 2 + 80 2 = 128(cm / s) r Phơng chiều của VM xác định nh trên hình vẽ 7. 10 Vì chuyển động tơng... tìm thấy nh ở hình vẽ (7. 11) r Để xác định gia tốc tuyệt đối w M ta chiếu phơng trình (a) lên 3 trục xyz chọn nh hình vẽ r r e e C O Z wn r wtc Kết quả chiếu lên các trục thu đợc :wx = - wk - wen = - wr y wn e R M x rr r Với cách chọn hệ trục trên ta thấy gia tốc w k và w e rn r r nằm trên trục x các gia tốc w e , w rr , w n năm trong mặt r phẳng yMz wK Hình 7. 11 -98554 - 20 = - 574 cm / s2 wy = wer... định lý hợp vận tốc ta có : v a = v e + v r Về độ lớn vận tốc tuyệt đối của M tại thời điểm t1 là : 2 Va = VM = v e + v 2 = 48 2 + 24 2 = 53,64(cm / s) = 0,5364(m / s) r Để xác định gia tốc tuyệt đối của M, từ định lý hợp gia tốc ta có : r r r r r wa = wM = we + wr + wk r rn rr Chuyển động kéo theo là chuyển động tròn nên w e = w e + w e rn Trong đó : w e có phơng chiều hớng từ M về K (xem hình 7. 9),... Bài giải Trong bài toán này, chuyển động của cơ cấu quay quanh trục thẳng đứng là chuyển động kéo theo Vận tốc góc kéo theo e = 2 = 4 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động kéo theo là e = 2 = 0,8 rad / s 2 2 l l ze e o 1 1 C R 2 ve M vM = vA vr Chuyển động của quả cầu M quay quanh O là chuyển động tơng đối.Vận tốc góc trong chuyển động tơng đối là Hình 7. 10 r = 1 = 2 rad / s và gia tốc góc trong . ta có v e = 0 ; v r = 3 ,77 m/s W e = 47, 33 m/s ; w r = 0 Khi 2 = 4t = / 2 ta có v e = 3 ,7 m / s ; v r = 0 w e = 0 m / s ; w r = 3 ,77 m / s Thí dụ 7. 2 : Động điểm M chuyển động. làm đờng chéo (xem hình 7. 7). Ta có : a w r t.4cos.33,47cos.ww Ae == t.4sin.33,47sin.ww Ar == Phơng chiều của gia tốc e w r và r w r nh trên hình vẽ 7. 7 . Kết quả trên cho thấy. Vận tốc của điểm A : V a = .1 = 4.30 = 120 3 ,77 m/s. H ình 7. 7 -92- a v r có phơng vuông góc với OA hớng theo chiều quay (xem hình 7. 7). a v r chính là vận tốc tuyệt đối của điểm A