(Luận văn) phân tích phổ chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Võ Minh Tâm PHÂN TÍCH PHỔ CHUỖI THỜI GIAN lu an va n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Võ Minh Tâm PHÂN TÍCH PHỔ CHUỖI THỜI GIAN lu an va Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học n Mã số chuyên ngành: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Bác Văn TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2013 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiênĐại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn khoa học Thầy giáo PGS TS Nguyễn Bác văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy, người dành nhiều thời gian quý báu, quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cho tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo PGS TS Tô Anh Dũng, Thầy giáo PGS TS Trần Lộc Hùng, Thầy giáo TS Dương Tôn Đảm Thầy giáo, Cơ giáo Khoa Tốn-Tin học tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nâng cao trình độ kiến thức lu an Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp Khoa Tốn học- va Trường Đại học Đồng Tháp bạn học viên cao học Lý thuyết Xác n suất Thống kê Toán học K21 ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn tránh thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ Thầy giáo, Cơ giáo bạn để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Tp.HCM, ngày 09 tháng 09 năm 2013 Tác giả Võ Minh Tâm ii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục hình vẽ v Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số khái niệm an 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên chuỗi thời gian 1.1.2 Quá trình dừng 1.1.3 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt 1.1.4 Mơ hình cho chuỗi thời gian khơng dừng 11 1.1.5 Tích phân theo trình ngẫu nhiên 13 Giải tích Fourier 15 1.2.1 Dãy hàm trực giao - Hệ số Fourier 15 1.2.2 Biểu diễn phức chuỗi lượng giác 20 1.2.3 Biến đổi Fourier 21 va n 1.2 lu 1.1 Chương PHÂN TÍCH PHỔ CHUỖI THỜI GIAN 23 2.1 Giới thiệu 23 2.2 Chu kỳ đồ 26 iii 2.3 Biểu diễn phổ phân phối phổ 33 2.4 Mật độ phổ 38 2.4.1 Mật độ phổ mẫu 38 2.4.2 Mật độ phổ lý thuyết 40 2.4.3 Bộ lọc tuyến tính bất biến theo thời gian 43 Mật độ phổ cho trình ARMA 46 2.5 Chương ƯỚC LƯỢNG PHỔ CHUỖI THỜI GIAN 55 Tính chất thống kê mật độ phổ mẫu 55 3.2 Làm trơn mật độ phổ 63 3.3 Độ chệch phương sai 66 3.4 Băng thông (Bandwidth) 68 3.5 Khoảng tin cậy cho phổ 69 3.6 Rò rỉ (Leakage) vuốt thon (Tapering) 72 n lu 3.1 an va 3.6.1 Rò rỉ 72 3.6.2 Vuốt thon 75 3.7 Ước lượng phổ tự hồi quy 78 3.8 Một số phương pháp ước lượng phổ khác 85 Chương ỨNG DỤNG: PHÂN TÍCH PHỔ CHUỖI GIÁ 90 4.1 Ví dụ chuỗi giá vàng 90 4.2 Ví dụ chuỗi giá xăng 100 Kết luận 105 Tài liệu tham khảo 106 iv Phu lục 108 Phụ lục 111 Chỉ mục 122 lu an va n v Danh mục hình vẽ 2.1 Đường cosin với n = 96 hai tần số pha 24 2.2 Tổ hợp tuyến tính hai đường cosin 24 2.3 Chu kỳ đồ chuỗi thời gian Hình 2.2 28 2.4 Chuỗi thời gian với chu kỳ “ẩn” 29 2.5 Chu kỳ đồ chuỗi thời gian Hình 2.4 29 2.6 Độ sáng thay đổi qua 600 đêm liên tiếp 30 2.7 Chu kỳ đồ chuỗi thời gian Hình 2.6 30 2.8 Chu kỳ đồ chuỗi thời gian Hình 2.6 với < f < 1/2 32 2.9 Minh họa tính tương đồng (alias) lu an 2.10 Chuỗi thời gian với với cỡ mẫu 96 Ví dụ 2.3.1 32 37 va 2.11 Hàm phân phối phổ F (f ), ≤ f ≤ 1/2 chuỗi thời gian n Ví dụ 2.3.1 37 2.12 Mật độ phổ trình MA(1) với θ = 0.9 48 2.13 Mật độ phổ trình MA(1) với θ = −0.9 48 2.14 Mật độ phổ trình MA(2) với θ1 = θ2 = −0.6 49 2.15 Mật độ phổ trình AR(1) với φ = 0.9 50 2.16 Mật độ phổ trình AR(1) với φ = −0.6 50 2.17 Mật độ phổ trình AR(2) với φ1 = 1.5 φ2 = −0.75 51 2.18 Mật độ phổ trình AR(2) với φ1 = 0.1 φ2 = 0.4 52 2.19 Mật độ phổ trình ARMA(1,1) với φ = 0.5 θ = 0.8 52 2.20 Mật độ phổ trình MA theo mùa với θ = 0.4, Θ = 0.9, s = 12 vi 54 2.21 Mật độ phổ trình AR theo mùa với φ = 0.5, Φ = 0.9, s = 12 54 3.1 Mật độ phổ mẫu q trình AR(1) mơ 56 3.2 Trung bình mật độ phổ mẫu cho q trình MA(1) mơ với θ = 0.9 n = 48 3.3 60 Độ lệch chuẩn mật độ phổ mẫu cho q trình MA(1) mơ với θ = 0.9 n = 48 60 3.4 Biểu đồ QQ phân phối phổ f = 15/48 61 3.5 Trung bình mật độ phổ mẫu cho q trình AR(2) mơ với φ1 = 1.5, φ2 = −0.75 n = 96 3.6 61 Độ lệch chuẩn mật độ phổ mẫu cho q trình AR(2) mơ 62 3.7 Biểu đồ QQ phân phối phổ f = 40/48 62 3.8 Phổ trơn sử dụng cửa sổ Daniell với m = 64 3.9 Phổ trơn sử dụng cửa sổ Daniell với m = 15 n 65 3.10 Cửa sổ phổ Daniell biến đổi tích chập 65 3.11 Giới hạn tin cậy từ mật độ phổ trơn 71 3.12 Logarit phổ trơn từ Hình 3.9 72 lu với φ1 = 1.5, φ2 = −0.75 n = 96 an va 3.13 Chu kỳ đồ chuỗi thời gian {Yt } với đỉnh f = 0.088 f = 14/96 73 3.14 Nhân Dirichlet nhân Dirichlet sau vuốt thon 75 3.15 Chuông cosin vuốt thon 10% chuông cosin tách với n = 100 77 3.16 Ước lượng tự hồi quy mật độ phổ 78 3.17 Phổ độ sáng biến đổi với vuốt thon 0%, 10%, 20% 50% 79 3.18 Các mật độ phổ ước lượng 80 vii 3.19 Ước lượng phổ AR: Ước lượng (nét chấm), thực (nét liền) 81 3.20 Ước lượng phổ cho mơ hình phổ lõm AR(2) 82 3.21 Ước lượng phổ AR: Ước lượng (nét chấm), thực (nét liền) 82 3.22 Ước lượng phổ cho trình ARMA(1,1) 83 3.23 Ước lượng phổ AR cho trình ARMA(1,1) 83 3.24 Ước lượng phổ cho trình theo mùa 84 3.25 Ước lượng phổ AR cho trình theo mùa 84 3.26 Phổ theo mùa ước lượng với cửa sổ chập 85 4.1 Giá vàng SJC mua vào 93 4.2 Đồ thị dãy tự tương quan dãy tự tương quan riêng 94 4.3 Sai phân logarit chuỗi giá vàng 94 4.4 Đồ thị dãy tự tương quan chuỗi sai phân logarit giá vàng 4.5 Biểu đồ phân phối sai phân logarit giá vàng n 95 4.6 Biểu đồ Q-Q chuẩn sai phân logarit giá vàng 96 4.7 Chu kỳ đồ chuỗi sai phân logarit giá vàng với tần số lu chuỗi giá vàng an 95 va Fourier 96 4.8 Mật độ phổ mẫu chuỗi sai phân logarit giá vàng 97 4.9 Phổ trơn sử dụng cửa sổ Daniel với m = 13, m = 27, m = 53 chuỗi sai phân logarit giá vàng 98 4.10 Ước lượng phổ AR chuỗi sai phân logarit giá vàng 98 4.11 Các mật độ phổ ước lượng chuỗi sai phân logarit giá vàng 99 4.12 Phổ chuỗi sai phân logarit giá vàng 99 4.13 Giá xăng Mogas 92 100 viii 4.14 Đồ thị dãy tự tương quan dãy tự tương quan riêng chuỗi giá xăng 101 4.15 Sai phân logarit chuỗi giá xăng 102 4.16 Chu kỳ đồ chuỗi sai phân logarit giá xăng với tần số Fourier 102 4.17 Mật độ phổ mẫu chuỗi sai phân logarit giá xăng 103 4.18 Phổ trơn sử dụng cửa sổ Daniel với m = 5, m = 11, m = 21 chuỗi sai phân logarit giá xăng 103 4.19 Phổ trơn sử dụng cửa sổ Daniel với m = 21 chuỗi sai phân logarit giá xăng 104 4.20 Phổ trơn sử dụng tích chập lần cửa sổ Daniel với m = 21 chuỗi sai phân logarit giá xăng lu an va n ix 104 C(e−2πif ) SX (f )e2πif k df −1/2 44 Nhưng Z 1/2 SY (f )e2πif k df γY,k = −1/2 Do đó, theo Nhận xét 1.2.1, tr 21 ta phải có SY (f ) = C(e−2πif ) SX (f ) = C(e2πif )C(e−2πif )SX (f )  Biểu diễn (2.4.12) có giá trị lớn cho việc nghiên cứu hiệu TILF phổ Đặc biệt, giúp tìm dạng mật độ phổ cho trình ARMA Chúng ta tính mật độ phổ tổng hai trình dừng độc lập qua mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4.4 Giả sử {Xt } {Yt } hai chuỗi dừng độc lập với mật độ phổ SX (·) SY (·) Khi q trình dừng Zt = Xt + Yt có mật độ phổ (2.4.13) lu SZ (·) = SX (·) + SY (·) an va Chứng minh Cho {γk }, {γX,k } {γY,k } hàm hiệp phương n sai tương ứng {Xt + Yt }, {Xt } {Yt } Hàm mật độ phổ {Xt + Yt } xác định S(f ) = γ0 + ∞ X γk cos(2πf k) (2.4.14) k=1 Vì {Xt } {Yt } chuỗi độc lập, nên ta có γk = Cov(Xt + Yt , Xt−k + Yt−k ) = Cov(Xt , Xt−k ) + Cov(Yt , Yt−k ) = γX,k + γY,k , k = 0, 1, Thay (2.4.15) vào (2.4.14), ta S(f ) = γ0 + ∞ X γk cos(2πf k) k=1 = γX,0 + γY,0 + ∞ X k=1 45 (γX,k + γY,k ) cos(2πf k) (2.4.15) = γX,0 + ∞ P γX,k cos(2πf k) + γY,0 + k=1 ∞ P γY,k cos(2πf k) k=1 hay S(f ) = SX (f ) + SY (f )  Ví dụ 2.4.3 Xác định mật độ phổ chuỗi thời gian cho Zt = A cos(2πf t) + B sin(2πf t) + et A, B hai biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng phương sai σ , {et } trình nhiễu trắng độc lập với A, B có kỳ vọng phương sai σe2 Đặt Xt = A cos(2πf t) + B sin(2πf t) Khi đó, {Xt } {et } hai trình dừng độc lập với Theo (2.3.2) (2.4.6), ta có mật độ phổ {Xt } lu SX (f ) = σ + ∞ X ! cos2 (2πf k) an k=1 va có Se (f ) = σe2 (theo (2.4.7)) Do đó, theo Mệnh đề 2.4.4, n {Zt } có mật độ phổ S(f ) = σ + ∞ X ! cos2 (2πf k) + σe2 k=1 2.5 Mật độ phổ cho trình ARMA Trong Mục 1.1.3, ta giới thiệu số mơ hình ARMA thường sử dụng phân tích chuỗi thời gian Bây giờ, áp dụng cơng thức (2.4.6) (2.4.12), ta tìm mật độ phổ cho trình ARMA Mật độ phổ MA(1) Xét q trình MA(1) (1.1.3), mật độ phổ trình xác định theo (2.4.12) S(f ) = θ(e2πif ) Se (f ), 46 Se (f ) = σe2 (theo (2.4.7)) Hơn nữa, ta tính hàm truyền theo Mệnh đề 2.4.3