Chuong 3 b2

2 Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa Nếu f(x) liên tục [a,b], với nguyên hàm F(x) tích phân xác định f(x) [a,b] là: b  f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) a b 2.2 Tính chất (SGK) x  Nếu f(x) liên tục [a,b] thì:   f (t )dt  = f(x),  x  (a;b) a  a +T Nếu f(x) tuần hồn có chu kỳ T thì:  T f (x)dx =  f (x)dx a a f ( x) leû  −a, a  →  f ( x)dx = −a a a −a f ( x) chaün  −a, a  →  f ( x)dx =  f ( x)dx a  f ( x)dx = a   b fTB =   f ( x )dx   b−a a x Ví dụ cos t dt  Tính I = lim x →0 x x Nhận xét x →0 cos t dt ⎯⎯⎯ →0  0 Tích phân có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital /     cos t dt  cos x 0  x = lim = cos0 = I = lim / x→0 x →0 ( x )x x sin x Tính I = lim+ Ví dụ x →0  tan tdt tan x  sin tdt 0   0 I = lim+ x →0 = lim+ x →0    sin x  /  tan tdt  x /  tan x    sin tdt   x = lim+ x→0 tan(sin x )  cos x sin(tan x )  (1 / cos x ) tan(sin x)  ( sin x ) ' sin(tan x)  (tanx)' VCB = lim+ x →0 x  cos x = x  (1 / cos x ) Tích phân suy rộng 3.1 Tích phân suy rộng loại 3.1.1 Định nghĩa: + t a a f ( x ) dx  f ( x)dx = lim  t →+ Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân gọi hội tụ Ngược lại, tích phân gọi phân kỳ Ý nghĩa hình học: Cho hình phẳng (S): y = f ( x )  0;trục hoành Ox; đường thẳng x=a (D) t Diện tích (D) : S + t a a → + f ( x ) dx =  f ( x) dx= lim  t →+ Các tích phân sau tích phân suy rộng loại a a − t f ( x ) dx  f ( x)dx = lim  t →− + a + − − a  f ( x)dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx Chú ý: + a + − − a (Với a tùy ý)  f ( x )dx hội tụ   f ( x )dx  f ( x )dx hội tụ 3.1.2 Tính tích phân suy rộng loại theo công thức Newton – Leibnitz : Thiết lập công thức: Giả sử F(x) nguyên hàm f(x)  a, + ) Ta coù: + t f ( x ) dx  f ( x )dx = lim  t →+ a ( = lim F (x) a a = lim F (t) − F(a) t →+ t →+  a x →+ + f ( x)dx = F ( x) = lim F (x) − F(a) a x →+ ) = lim F ( x ) − F(a) Ta có công thức: + t 3.1.2 Công thức Newton – Leibnitz Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) miền lấy tích phân Ta có: +  + f ( x)dx = F ( x) a = lim F (x) − F(a) x→+ a a F (x)  f ( x)dx = F ( x) − = F (a ) − xlim →− a − + + F (x) − lim F (x)  f ( x)dx = F ( x) − = xlim →+ x →− − Ví dụ: + Tính tích phân suy rộng loại sau: −1 b) J =  dx − x a ) I =  e dx x + a ) I =  e dx = e −1 x x + + c)K =  dx − + x ( ) = lim e x − e = + x →+ (Kết vô hạn nên tích phân phân kỳ) 1 b) J =  dx = − 2x − x −1 1  = − 1 − lim  = − 2  x→− x  − (Kết hữu hạn nên tích phân hội tụ) + c) K =  dx − + x = arctanx + − = lim ( arctan x ) − lim ( arctan x ) x →+ x →−    = −−   2 = (Kết hữu hạn nên tích phân hội tụ) Chú ý 1: + 1) +  k f ( x )dx = k  f ( x )dx (k  0) a + a + 2)Nếu  f ( x )dx  g ( x )dx hội tụ ta có: + a a +   f ( x )  g ( x ) dx =  a + + a + f ( x )dx   g ( x )dx a 3)  udv = (uv −  vdu ) a + + a Nếu uv a  vdu hưu hạn ta có: a +  udv = uv a + a + −  vdu a Chú ý 2: Khi tính I = +  f ( x)dx, việc tìm nguyên hàm F(x) a hàm f(x) tích phân phức tạp ta chia toán thành hai bước: B1: Tính  f ( x)dx = F(x) + C B2: Vận dụng công thức N-L + I= F ( x) a = lim F (x) − F(a) x→+ Ví dụ Tính tích phân I = +  dx ( x − 2)( x − 3) + + +   1 I=  − dx dx −  dx  =  x−2  x −3 x−3 x−2 + + = ln | x − | − ln | x − | = (+) − (+) Dạng vơ định ? Lời giải sai hai tích phân tách không hội tụ + 1  +  Lời giải đúng: I =   − dx = ( ln | x − | − ln | x − |) x−2  x −3 + x−3  x −3 = ln = lim  ln x − x→+  x −  4−3  − ln − = ln1 − ln = ln  Ví dụ: Tính I= +  arctan x dx 1+ x Đổi biến: t = arctan x  dt = Đổi cận: dx + x2   x =  t = ; ( x → + )   t →  2   /2  /2 t  I =  tdt = = 20 Định lý sau thường dùng giải toán: +   dx hội tụ    a 0 x Tương tự: a 0   dx hội tụ    − x 3.2 Tích phân suy rộng loại hai 3.2.1 Định nghĩa b t f ( x )dx  f ( x )dx =  f ( x )dx = lim  t →b − a [ a ,b ) a Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân gọi hội tụ Ngược lại, tích phân gọi phân kỳ Tóm lại ta có định nghóa vắn tắt dạng tích phân suy rộng loại nhö sau: t f ( x )dx  f ( x )dx = lim  t →b − [ a ,b ) a b f ( x )dx  f ( x )dx = lim  t →a + ( a ,b ] t  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx ( a ,b ) Chú ý: ( a ,c ] [ c ,b )  f ( x )dx hội tụ   f ( x )dx  f ( x )dx hội tụ ( a ,b ) ( a ,c ] [ c ,b ) Ví dụ: Các tích phân sau suy rộng loại dx A=  ( hàm gián đoạn vô x=0) x x dx B= ( hàm gián đoạn vô x=2) x−2 x −2 dx C= ( hàm gián đoạn vô ( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2) taïi x=1, x = 2) 3.2.2 Tính tích phân suy rộng loại theo cơng thức Newton – Leibnitz : Nếu F(x) nguyên hàm f(x), ta có: b−  f ( x )d x = F ( x ) a = lim− F (x) − F(a)  f ( x)d x = F ( x) a+ = F(b) − lim+ F (x)  a ;b ) ( a ;b  ( a ;b )  x →b b x →a b− f ( x)d x = F ( x) a+ = lim− F (x) − lim+ F (x)  a ;b\c x→b f ( x )d x =   a ;c ) f ( x )d x + x →a  ( c ;b ] f ( x )d x (Với a