Điều khiển tích cực dao động của hệ thống ống dẫn dầu khí trong khai thác dầu biển

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN -*** - NGUYỄN ANH ĐỨC ĐIỀU KHIỂN TÍCH CỰC DAO ĐỘNG CỦA HỆ THỐNG ỐNG DẪN DẦU KHÍ TRONG KHAI THÁC DẦU BIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Thái Nguyên - Năm 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu cá nhân tơi hướng dẫn tập thể nhà khoa học tài liệu tham khảo trích dẫn Kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Anh Đức iii LỜI CẢM ƠN Trong trình làm luận án với đề tài “Điều khiển tích cực dao động hệ thống ống dẫn dầu khí khai thác dầu biển”, tơi nhận nhiều góp ý chuyên môn ủng hộ tổ chức, tập thể cán hướng dẫn, nhà khoa học, bạn đồng nghiệp Tôi xin gửi tới họ lời cảm ơn sâu sắc Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến GS TS Đỗ Khắc Đức tâm huyết hướng dẫn tơi suốt thời gian qua để hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, tập thể nhà khoa học Trường đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, Viện Điện trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có ý kiến đóng góp q báu, Phịng ban Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Khoa Điện tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình thực đề tài luận án Tơi giành lời biết ơn chân thành gửi đến gia đình Sự động viên, chia sẻ giúp đỡ gia đình động lực mạnh mẽ giúp tơi vượt qua khó khăn, thử thách để hồn thành luận án Tác giả Nguyễn Anh Đức iv MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv Các ký hiệu sử dụng vii Các ký hiệu viết tắt ix Bảng danh mục hình vẽ x PHẦN MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết, mục đích nhiệm vụ đề tài Mục tiêu luận án Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục luận án CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ỐNG DẪN DẦU TRONG LỊNG BIỂN 1.1 Các hệ thống khai thác dầu khí đại dương 1.1.1 Phân loại hệ thống ống dẫn dầu khí 1.1.2 Hệ thống neo giữ tàu khai thác biển 1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng tới làm việc hệ thống ống dẫn dầu khí 11 1.1.4 Cơ cấu dẫn động hệ thống ống dẫn dầu 12 1.2 Bài toán điều khiển ống dẫn dầu 14 1.2.1 Các giả thiết đơn giản hóa 14 1.2.2 Các điều kiện biên ống dẫn dầu 15 1.3 Các phương pháp điều khiển biên ống dẫn dầu 17 1.3.1 Các phương pháp điều khiển kinh điển 17 1.3.2 Các phương pháp điều khiển đại 18 1.3.2.1 Phương pháp điều khiển theo mơ hình 18 1.3.2.2 Phương pháp điều khiển biên 19 v 1.3.3 Các nghiên cứu khoa học lĩnh vực khai thác dầu khí Việt Nam 21 1.4 Bài tốn nghiên cứu điều khiển ống dẫn dầu khí luận án 23 1.5 Kết luận chương 25 CHƯƠNG 2:ĐIỀU KHIỂN BÙ CHUYỂN ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA ỐNG DẪN DẦU TRONG LỊNG BIỂN 2.1 Các phương pháp điều khiển có 26 27 2.1.1 Bù thụ động 27 2.1.2 Bù chủ động 28 2.1.2.1 Nguyên lý chung 29 2.1.2.2 Một số phương pháp sử dụng 30 2.2 Đề xuất hai phương pháp điều khiển bù chủ động 32 2.2.1 Chuẩn hóa mơ hình nhiệm vụ điều khiển 33 2.2.2 Đề xuất thứ nhất: Bộ điều khiển backstepping giả định rõ 37 2.2.2.1 Thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái 38 2.2.2.2 Xây dựng quan sát nhiễu 41 2.2.2.3 Bộ điều khiển backstepping giả định rõ 44 2.2.2.4 Tính ổn định hệ kín 44 2.2.2.5 Xác định tham số điều khiển để hệ thỏa mãn thêm điều kiện ràng buộc 46 2.2.3 Đề xuất thứ hai: Bộ điều khiển tối ưu thích nghi 48 2.2.3.1 Bộ điều khiển tối ưu tiền định 49 2.2.3.2 Xây dựng khâu ước lượng thành phần nhiễu 51 2.2.3.3 Hệ thống điều khiển tối ưu thích nghi 52 2.2.3.4 Tính ổn định hệ kín 53 2.2.3.5 Khả thỏa mãn thêm điều kiện ràng buộc 54 2.2.4 Đánh giá chất lượng hai điều khiển đề xuất thông qua mô 56 2.2.4.1 So sánh đánh giá chất lượng ước lượng thích nghi thành phần nhiễu hai điều khiển 57 2.2.4.2 So sánh đánh giá chất lượng điều khiển bám có ràng buộc hai điều khiển 2.3 Kết luận 59 60 vi CHƯƠNG 3:ĐIỀU KHIỂN BÙ CHUYỂN ĐỘNG HAI CHIỀU DỌC VÀ NGANG TRỤC CỦA ỐNG DẪN DẦU TRONG LỊNG BIỂN 60 3.1 Mơ hình mơ tả dạng uốn cong đường ống dẫn dầu 3.1.1 Nguyên lý Hamilton mở rộng 64 65 3.1.2 Phương trình mơ tả độ cong đường ống dẫn dầu lòng đại dương tác động ngoại lực 66 3.1.2.1 Mô hình hóa độ cong đường ống dẫn dầu theo chiều 67 3.1.2.2 Mơ hình hóa độ cong đường ống theo hai chiều không gian 72 3.2 Thiết kế điều khiển 77 3.2.1 Bộ điều khiển theo phương ngang 77 3.2.1.1 Thiết kế điều khiển 78 3.2.1.2 Đánh giá chất lượng ổn định hệ kín 82 3.2.1.3 Chứng minh tồn nghiệm hệ thống vịng kín 86 3.2.2 Bộ điều khiển theo hai phương dọc ngang trục không gian 86 3.2.2.1 Thiết kế điều khiển 87 3.2.2.2 Đánh giá chất lượng ổn định hệ kín 92 3.2.2.3 Chứng minh tồn nghiệm hệ thống vịng kín 99 3.3 Kiểm chứng chất lượng điều khiển thông qua mô 3.3.1 Kiểm chứng chất lượng điều khiển theo phương ngang 99 99 3.3.2 Kiểm chứng chất lượng điều khiển theo hai phương dọc ngang trục không gian 107 3.4 Kết luận KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 117 118 Những vấn đề giải 119 Những vấn đề tồn kiến nghị 120 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 PHỤ LỤC 126 vii Các ký hiệu sử dụng Ký hiệu Ý nghĩa mH Khối lượng cán xi-lanh hệ thủy lực xH Độ dịch chuyển cán xi-lanh (pít-tơng) hệ thủy lực x Hv Độ dịch chuyển van trượt AH Diện tích bề mặt pít-tơng PH Áp suất tải xi-lanh bH Hệ số ma sát nhớt lên pít-tơng iH Dòng điện đầu vào điều khiển hệ thủy lực D (t , x H , z , x H , z ) Lực tác dụng lên cán xi-lanh từ ống dẫn dầu (nhiễu tác động lên hệ) b He Mô-đun đàn hồi tác dụng L Khoảng cách từ đầu ống dẫn dầu xuống tới đáy biển Chuyển động dọc trục tàu/giàn khoan z (t ) Khối lượng cấu chấp hành Các hệ số liên quan đến vị trí vận tốc cấu chấp hành Biến điều khiển ảo Các sai lệch vị trí M D,B a x 1e , x 2e , … Tốc độ chuyển động lên xuống tàu khai thác Hàm Lyapunov Hàm mục tiêu Hàm Hamilton w V J H T p = (p1 , p2 ) Biến đồng trạng thái hệ dW Tín hiệu điều khiển tối ưu Động Thế Năng lượng tạo từ biến dạng vật chất phía bên Năng lượng chịu tải vật chất tác động ngoại lực Biến thiên lượng chịu tải vật chất Wc Công ảo gây lực khơng bảo tồn Wb Sự chuyển mơ-men ảo biên v T P U W viii I Diện tích mặt cắt ngang ống dẫn dầu Hệ số đàn hồi Young Mơ-men qn tính mặt cắt ngang ống dẫn dầu P0 Lực hướng trục không đổi A E c, d1, d2 Hệ số cản nhớt rw Khối lượng riêng nước CD Hệ số vận tốc dịch chuyển ngang D Đường kính ống dẫn dầu u (z , t ) Căn bậc hai tốc độ hạt nước a (z , t ) Gia tốc hạt nước f x, f z Các thành phần ngoại lực tác động lên ống dẫn dầu theo phương dọc ngang trục x , z u (z , t ) Véc tơ mô tả biến dạng đường ống dẫn dầu không gian hai chiều x , z u x (z , t ) Mơ hình độ cong đường ống dẫn dầu theo phương ngang trục x thành phần ngoại lực f x u z (z , t ) Mơ hình độ cong đường ống dẫn dầu theo phương dọc trục z thành phần ngoại lực f z D ˆ D Thành phần nhiễu bất định De Sai lệch ước lượng nhiễu Khâu ước lượng nhiễu ix Các ký hiệu viết tắt Viết tắt AHC PHC BOP DP ISS Ý nghĩa Bộ bù chủ động Bộ bù thụ động Bộ phận bít an toàn Định vị động Trạng thái ổn định ISS Active Heave Compensator Passive Heave Compensator Blowout Preventer Dynamic Positioning Input-to-State Stability x Bảng danh mục hình vẽ Hình 1.1: Mơ hình hệ thống ống dẫn tàu khai thác dầu biển Hình 1.2: Hệ thống tàu khai thác dầu biển 10 Hình 1.3: Hệ thống ống dẫn điển hình 12 Hình 1.4: Sơ đồ minh họa cấu trúc hệ thống van pít-tơng thủy lực 12 Hình 1.5: Sơ đồ áp suất đỉnh ống dẫn dầu với thùng chứa [12] 15 Hình 1.6: Hệ thống ống dẫn biển thiết bị liên quan [12] 16 Hình 2.1: Nhiệm vụ điều khiển ổn định dọc trục ống dẫn dầu 26 Hình 2.2: Cấu trúc hệ thống điều khiển PHC 28 Hình 2.3: Mơ hình hệ thống bù AHC 29 Hình 2.4: Hành trình xi-lanh AHC 30 Hình 2.5: Sơ đồ minh họa hệ thống AHC 31 Hình 2.6: Hệ quy chiếu lực tác dụng lên ống dẫn theo phương dọc trục 33 Hình 2.7: Tốc độ chuyển động lên xuống tàu khai thác 40 Hình 2.8: Tín hiệu nhiễu D 41 () Hình 2.9: Khoảng cách trì x + z t - L 41 Hình 2.10: Sơ đồ cấu trúc điều khiển bù chuyển động dọc trục 44 Hình 2.11: Ngun lý bù thích nghi tín hiệu đầu vào 49 Hình 2.12: Sơ đồ khối điều khiển tối ưu 51 Hình 2.13: Sơ đồ khối khâu ước lượng nhiễu 52 Hình 2.14: Hệ thống điều khiển tối ưu thích nghi 52 Hình 2.15: Hệ thống điều khiển tối ưu thích nghi có ràng buộc độ lớn tín hiệu điều khiển 56 Hình 2.16: Giá trị thực w giá trị ước lượng wˆ (sử dụng quan sát) 57 ˆ (sử dụng quan sát) 57 Hình 2.17: Giá trị thực D giá trị ước lượng D ˆ 58 Hình 2.18: Giá trị thực D giá trị ước lượng D () Hình 2.19: Khoảng cách trì x + z t - L sử dụng phương pháp điều khiển chiếu 59 127 n n n ( ) f dz = - EI ò (u ) f dz + P ò (u ) f dz + 3EA + ò (u ) (u ) f dz + ò (f ) f dz m ò0L uttx L x zzzz L x z L 0 n2 x zz n x zz L x n EA x u z (L , t ) + x x + D t , u t (L , t ) + Du t (L , t ) + Bu x (L , t ) = u (t ) ( x Muttx (L , t ) - EIu zzz (L , t ) + P0u zx (L , t ) + ( ) ) (A.4) với điều kiện đầu: n n (u ) (z , t ) = u (z , t ), (u ) (z , t ) = u (z , t ) Các điều kiện đầu hoàn toàn khả thi (u (z , t ), u (z , t )) Ỵ x x 0 x t x t (A.5) x x t WSn với n ³ Ở ta lưu ý rằng, phương trình (A.4) (A.5) thực tế hệ phương trình vi phân thường theo biến t , có nghiệm cục éê0, t n ) Sau tiến hành ước lượng, ë nghiệm gần mở rộng khoảng éê0,T ù với T > cho trước ë ú û n2 ( ) Ước lượng 1: Từ giá trị chặn tích phân ị0L utx n2 ( ) dz + ị0L u zzx dz phương trình (A.4), ta chọn f = htn xét hàm Lyapunov sau: V = m0 L x ò u t n2 ( ) L n ( )( ) + g ò z utx P0 L x ò u z EI L x n dz ò u zz ư2 l n n Mỉ gL x n ữ x x ỗ u z dz + u z ( L , t )÷ + D en (A.6) çç ut (L , t ) + ÷ ÷ çè m0 ø dz + n2 ( ) dz + ( ) EA L x ò u z n4 ( ) dz + ( ) ( ) với g số dương xác định phần thiết kế điều khiển; l số dương Đạo hàm hàm V phương trình (A.6) theo nghiệm (A.4), áp dụng bước tương tự phần thiết kế điều khiển, ta có: 128 3g EA L x n 3g EI L x n dz dz ò0 u z ò0 u zz 8m 2m ỉ n ư2 n2 n g L ÷ L x x x - c ị0 u t dz - (c5 - s )ỗỗỗ u t (L , t ) + u (L , t )÷ ữ ữ ỗố m0 z ứ n2 gL g LEA x n c6 u zx (L , t ) uz (A.7) (L, t ) m0 8m æ ửữ n ử2 ổ ỗỗl K ả a K + K ổ 1 ữ ữ ỗỗ ỗỗ 1ữ ữ ữ ữ - ỗỗ s D en ữ ữ ữ ỗ ỗ n ữ ữ ữ ỗố a m H ữ ỗỗm H 4s ỗả ữ ứ 4s ốỗ m H ứ 4s ố ø÷ l + g L L xL n + Dn2 + dz , ò0 f 4s 4e số dương c3 , c4 c5 số dương s số dương n2 ( ) V £ - c ò0L u zx ( ) dz - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tùy ý Phương trình (A.6) (A.7) ln tồn giá trị s đủ nhỏ giá trị l đủ lớn, cho: W n £ - cnW n + Qn (A.8) với cn số dương Q n giá trị lớn của: (l ) 4s D n + n2 ((1 + gL ) 4e) ò (f ) L xL dz (A.9) bị chặn số số không âm ( Khi đó, từ bất phương trình vi phân (A.9), ta có: W n (t ) £ wn (t ) - Qn C n ) nghĩa tồn số không âm M cho: L n2 ( ) x ò0 u t n2 ( ) dz + ò0L u zx n2 ( ) dz + ò0L u zzx dz £ M (A.10) với " t Ỵ éê0,T ù ú, n Ỵ N ë û Ước lượng 2: Cũng tương tự, từ giá trị chặn tích phân uttx (z , t ) chuẩn L2 Trong phương trình đầu (A.4), ta chọn f = uttz (z , t ) t = t ta được: 129 n2 n n ( ) (z, t )dz = - EI ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + + P ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + (A.11) 3EA + u z , t u z , t u z , t dz + ò ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + ò (f ) (u ) (z, t )dz m ò0L uttx L 0 x zzzz L 0 x zz n x x tt L L x tt n n2 x z x zz n x tt n n x tt t = t0 n Sau số biến đổi, ta có: (m - 4m ) L ò0 (EI ) n2 (u ) (z, t )dz £ x tt 4m1 ỉ3EA ÷ ư2 L x ỗ ữ +ỗ ũ0 u z ữ ỗố ÷ ø 4m1 L ò0 n2 (u ) x zzzz n4 P02 L x (z , t )dz + 4m ò0 u zz n2 ( ) (z , t )dz n2 ( ) (z, t )(uzzx ) (z, t )dz + L x ò0 f 4m1 n2 ( ) t = t0 dz (A.12) với m1 số dương tùy ý n2 ( ) (z , t )dz , Do giá trị đầu u x (z , t ) utx (z , t ) đủ trơn ò0L u tx L n2 n2 ( ) (z , t )dz , ò (u ) (z , t )dz x L ò0 u z x zz bị chặn, nên từ phương trình (A.12), việc lấy m1 nhỏ so với m tồn số không âm M cho: L n2 ( ) (z , t )dz £ M x ò0 u tt với " t Ỵ éê0,T ù ú, n Ỵ N ë û (A.13) x Ước lượng 3: Từ giá trị chặn uttx (z , t ) u zzt (z, t ) chuẩn L2 Để ước lượng biên thành phần này, ta sử dụng phương pháp vi phân Ta chọn t x cho x < T - t Lúc này, đạo hàm phương trình đầu (A.4) n n ( ) (t + x)- (u ) (t ), ta được: với t = t + x t = t , đặt f = utx m0 L d ổ x ỗỗ u ũ0 dt ỗố t EI L d + ũ0 dt đó: x t ư2 ÷ (z , t + x)- u (z , t )ø÷÷ dz + n ổ x n ử2 x ữ ỗỗ u z , t + x ) - u zz (z , t )ữ ữ dz + W1 + W2 = ỗố zz ( ø n ( ) ( ) n ( ) x t ( ) (A.14) 130 n ö P0 L d ổ x n x ữ ỗỗ u (z , t + x ) - u (z , t )÷ dz W1 = ị z ÷ ø dt ỗố z EA L ổ ỗ u x n z, t + x + u x z, t + x u x + ũỗ ( ) z( ) z ỗỗố z ( ) ( ) ( ) n2 ( ) + u æ W2 = ççM çè x z æ x çç u èç tt n ( ) (z, t ) + ổ x ỗỗ u ốỗ z (z, t )dtd n n ( ) (z, t + x)- (u ) x z n öö ÷ ÷ (z, t )÷÷ø÷÷÷ dz , ø ö n ( ) (L, t + x)- (uttx ) (L, t )÷÷÷ø+ D (utn (L, t + x)- ỉ n ö - B (t + x ) - (t ) çç u tx (L , t + x ) - u tx (L , t )ữ ữ ữ ỗố ứ Lổ n n ửổ x n ỗỗ u (L , t + x ) - u x - ũ ỗỗ f x t := t + x - f x t := t ữ ữ t ữ ỗ ứốỗ t 0è ) u tn (L , t ) )) ( ) ( ( ) ( ) (A.15) n ö ( ) (L, t )ø÷÷÷dz ( ) Do điều kiện đầu u x (z , t ) utx (z , t ) đủ trơn, nên ta có u x (0, t ) = , uzzx (0, t ) = , u zzx (L, t ) = với u x Ỵ W S tất thành phần L n2 ( ) x ò0 u t n2 n2 ( ) (z , t )dz , ò (u ) (z , t )dz dz , ò0L u zx L x zz bị chặn Sử dụng định lý giá trị trung bình, Bổ đề Bổ đề [16], ta thấy tồn số không âm M 31 M 32 cho: æ W1 + W2 Ê M 31 ũ u ỗỗ utx ỗố L n n ( ) (z, t + x)- (u ) x x t ổ + M 32 ũ ỗỗ u zzx ỗ 0ố L ữ (z , t )ø÷÷ dz n n ( ) (z, t + x)- (u ) x zz ÷ (z , t )ø÷÷ dz (A.16) Từ (A.16) ta viết lại (A.14) dạng sau: dF n t , x ) £ M 33F n (t , x ) ( dt Þ F (t , x ) £ F (t 0, x )e M 33 (t - t ) (A.17) với M 33 số không âm, và: æ F (t , x ) = m ũ ỗỗ utx ỗ 0ố n L n n ( ) (z, t + x)- (u ) x t æ + EI ũ ỗỗ u zzx ỗ 0ố L n ÷ (z , t )ø÷÷ dz + n ( ) (z, t + x)- (u ) x zz ÷ (z, t )ø÷÷ dz (A.18) 131 Chia vế bất phương trình cuối (A.17) cho x sau lấy giới hạn x ® ta được: n2 n2 ( ) (z, t )dz + EI ò (u ) (z, t )dz £ m ò0L uttx L x zzt + EI L ò0 é L x êm ò0 u tt êë n2 (u ) x zzt n2 ( ) (z , t )dz ù (z, t )dz úúe M 33(t - t0 ) û (A.19) với £ t £ t £ T Lúc từ ước lượng có phương trình (A.10) (A.12), ta suy từ (A.19) rằng: tồn M ³ phụ thuộc vào T cho: n2 n2 ( ) (z , t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz £ M m ò0L u ttx L x zzt (A.20) Từ ước lượng cho (A.10), (A.13) (A.19), ta sử dụng định lý Lions-Aubin, ta thấy hệ phi tuyến (A.4) tiến đến giới hạn, chứng minh tồn nghiệm toàn cục khoảng éê0,T ù ë ú û A.2 Chứng minh tính Đặt u v hai nghiệm hệ thống vịng kín (3.17) Tiếp theo, ta đặt v = u - v , ta có v (z, t ) = v t (z, t ) = , từ phương trình (A.3) ta viết lại sau: L m ị0L v ttx f dz = - EI ò v 3EA L ổ x + ũ0 ỗ ỗỗố u z t f dz + ò v zzx f dz + zzzz ( )u Ta đặt f = v L x x zz ( ) - v x z L vzzx ÷ f dz + fx ò ÷ ÷ ø ( ux = u - f x u x = vx )f dz (A.21) (z, t ) bỏ qua giới hạn ước lượng (A.10), (A.12) (A.19), ta có: d L L L L 2 ò0 v t dz + ò0 v ssdz £ M ò0 v t dz + ò0 v ssdz , dt ( ) ( với M số dương Do v (z, t ) = v ) t (z, t ) = (A.22) , sử dụng Bổ đề Gronwall ta có v = nghĩa u = v với t ³ t ³ z Ỵ éê0, L ù ú ë û 132 PHỤ LỤC B: Chứng minh tồn nghiệm hệ thống vịng kín (3.28), (3.29) (3.30) Lời chứng minh tiến hành tương tự PHỤ LỤC A B.1 Chứng minh tồn Equation Section (Next) Gọi H (0, L ) không gian Hilbert thông thường Để chứng minh tồn tính ta sử dụng khơng gian Sobolev sau: V S = q Ỵ H (0, L ) với chuẩn WS (B.1) q(0,t )= = qss + qssss , và: 2 W S = q ẻ V S ầH (0, L ) Sử dụng chuẩn WS (B.2) qss (0,t )= 0, qss (L ,t )= = qss + qssss , p mơ tả chuẩn L p Thực phép nhân hai vế hai phương trình đầu (3.28) với f 1, f Ỵ V S lấy tích phân từ đến L , ta thu được: EA L x ò0 u z - W1D ò0L utx f 1dz - EA ò0L u zz u zx f 1zdz + ò0L f xL f 1dz - éêK 1u x (L, t ) + K 2utx (L , t )ù úf (L , t ) = ë û ( )f - m ò0L uttx f 1dz - EI ò0L u zzx f zzdz - P0 ò0L u zx f 1zdz - 1z dz (B.3) EA L x L z ò0 u z f 2zdz - W2D ò0 u t f 2dz + ò0L f zL f 2dz - éêK 5u z (L , t ) + K 6u tz (L , t )ù f L, t = ú ë û 2( ) - m ò0L u ttz f 2dz + EA ò0L u zz f 2zdz - ( ) (B.4) Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin ta thấy với f 1, f Ỵ V S tồn u x Ỵ W S u z Ỵ V S cho (B.3) (B.4) Đặt f 1j f 2j phần tử hệ trực giao hoàn toàn W S V S , với {u (z, t ), u (z, t )} x x t Ỵ { Span f 11, f 12, , f 1n } {u (z, t ), u (z, t )} z z t Ỵ 133 { } { Span f 21, f 22 Tương ứng với n Ỵ N , ta đặt W Sn Î Span f 11, f 12, , f 1n { n ( ) (s, t ) = uz å n j=1 n ( ) (s, t ) = } V Sn Ỵ Span f 11, f 12, , f 1n , ta tìm hàm u x å n j=1 } K 1j (t )f 1j K 3j (t )f 2j cho với f Ỵ W S f Ỵ V Sn ln thỏa mãn phương trình sau: n ( ) - m ò0L u ttx n ( ) f 1n dz - EI ò0L u zzx n n ( ) ( ) n ( ) f 1nzz dz - P0 ò0L u zx n ( )( ) EA L x n n f 1z dz ò0 u z n n u x dz - ( ) f 1nz dz - ( )( ) - W1D ò0L u tx f 1n dz - EA ò0L u tz u zx f 2nz dz + ò0L f xL n n é ù - êK u x (L , t ) + K u tz (L , t )úf 1n (L , t ) = êë úû ( ) (B.5) EA L x n n f 2z dz ò0 u z n n - W2D ò0L u tz f 2n dz + ò0L f zL f 2n dz n n é ù - êK u z (L , t ) + K u tz (L , t )úf 3n (L , t ) = êë ú û n ( ) - m ò0L u ttz n ( ) ( ) ( ) f 2n dz + EA ò0L u zz ( ) ( ) ( ) f 2nz dz - æ Ước lượng 1: Từ giá trị chặn tích phân ũ0L ỗỗ utx ỗố (B.6) 2ử + utz ữ ÷ ÷dz tích phân ø ( ) ( ) ổ ỗố L x ũ0 ỗ ỗ uz 2ử L x + u zz ÷ dz + u dz , ta chọn f = utn f = wtn phương ị ÷ zz ÷ ø ( ) ( ) ( ) trình (B.3) (B.4), phương trình viết dạng sau: n n n n n ( )( ) ( ) ( ) ( ) dz EA ò (u ) (u ) dz - W ò (u ) dz - EA ò (u ) (u ) dz + ò (f ) (u ) dz é ù - êK (u ) (L , t ) + K (u ) (L , t )ú(u ) (L , t ) = êë úû - m ò0L u ttx u tx L L x n3 x z z z dz - EI ò0L u zzx n x zt x z n n f zzt dz - P0 ò0L u zx L 1D n L n x t xL n n u ztx n2 x t x t x t n n (B.7) 134 ò (u ) (u ) dz ( ) (u ) dz + EA ò (u ) (u ) dz - EA W ò (u ) dz + ò (f ) (u ) dz é ù êK (u ) (L , t ) + K (u ) (L , t )ú(u ) (L , t ) = êë ú û - m ò0L u ttz - n n z t L 2D n2 z t z L L z t n n z zt n zL n z z L x z n2 z zt n n z t n (B.8) n z t Xét hàm Lyapunov sau: Vn = m0 L ổ x ũ0 ỗ ỗỗố u t n2 ( ) P0 L z n ÷ dz + dz + V n ị0 u z ÷ ø÷ 2 n2 x ÷ uz ÷ EI L x n ÷ ÷ + dz + dz + ị0 u zz ÷ ÷ ÷ ÷ ø n2 ( ) + u tz ổ ỗ EA L ỗỗ z + ũ0 ỗ u z ỗỗ ỗố n ( ) ( ) ( ) n ( ) n n ( )( ) ( ) (B.9) n ( )( ) + r ò0L u x u tx dz + r ò0L u z u tz dz + ổ ổ K r x n2 ỗỗK + K r ữ ữ ữ + ỗỗỗK + ÷ u L , t + uz ( ) ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố m0 ứ m0 ứ ốỗ n2 ( ) (L, t ) r , r K i với i = số dương Đạo hàm phương trình (B.9) dọc theo nghiệm (B.7) (B.8) áp dụng bước tương tự phần thiết kế điều khiển, ta có: Vn £ - K r1 x u m0 n2 ( ) (L, t )- đó: D cn = r1 L x ò0 u m0 + (B.10) n cV n + D cn n r2 ( ) (f ) dz + m L ò0 n2 ( ) (L , t )- n2 ( ) (L, t ) - - K u tz K 3r z u m0 n2 ( ) (L, t )- K u tx n xL n L n n ( ) (f ) dz ò0 u z zL n (B.11) n (u ) (f ) dzdz + (u ) (f ) dz x t xL L ò0 z t zL Giá trị chặn D c viết là: D cn n2 4L2 r L x n L x n2 L xL £ dz + g ò0 f dz + dz + ò0 u t ò0 u z g5 m g6 n2 n2 g r L z n2 + ò0L f xL dz + dz + g ò0L f zL dz + ò0 u t m0 g7 n2 4L r L z n g r + dz + ò0L f zL dz ò0 u z m g8 m0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B.12) 135 tồn số dương x cho bất đẳng thức sau thoả mãn: n2 n2 n2 n2 ổ D cn Ê x ỗỗũ0L u zx dz + ò0L u tx dz + ò0L u zz dz + ũ0L u tz dz ữ ữ ữ ỗố ứ (B.13) n2 g r ư÷ L xL n 1ổ 1ổ L zL ỗỗg + g r ữ ữ + ỗỗỗg + ữ f dz + f dz ữũ0 ữũ0 x ỗố m ứữ x ốỗỗ m ứữ T giỏ tr chặn hàm V , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) æ x ççị0L u zx çè ( ) V dz ÷ £ x ÷ ÷ ø z (B.14) ìï ü ïï K 2r ö K 4r ö EA EI ổ 1ổ ữ ữ ù ỗ ỗ ữ ữ , , ỗỗK + , K + ỗ đó: z = í c1, c2, c3, c4 ý ữ ữ ùù ữ ốỗỗ ữùù 2 ỗố m0 ứ m0 ứ ợ ỵ (B.15) n2 ( ) n2 ( ) dz + ò0L utx n2 ( ) dz + ò0L u zz n2 ( ) dz + ò0L u tz Thay (B.13) (B.14) vào (B.10) được: r1 x u m0 ( ) (L, t )- Vn £ - K n2 ( ) - K u tz ỉ ỉ gr ççg + g 8r ÷ ÷ ÷ Qn = çççg5 + ÷ Q + ÷ ÷Q m ứữ 1n ốỗỗ m ứữ 2n ốỗ Q1n = max ò0L f xL n2 ( ) Nếu x lựa chọn cho c = c - V n £ - cV n + (B.16) (B.17) n2 ( ) dz , Q2n = max ò0L f zL t³ ( ) (L, t ) æ (L, t ) - ỗỗỗc - zx ữữữữV n + 1x Qn è ø với t³ K 3r z u m0 n2 ( ) (L, t )- K u tx (B.18) dz x dương, đó: z Q x n (B.19) Nhân hai vế bất phương trình với e ct lấy tích phân thu được: ỉ - c (t - t ) ÷ V n (t ) Ê ỗỗV n (t ) + Qn ữ e + Qn f = wttn (z , t ) ữ ữ ỗố x ứ x (B.20) T (B.20) kết luận tồn s khụng õm M cho: ổ ốỗ L x ũ0 ỗ ỗ ut n2 ( ) n2 ( ) + utz ổ ữ dz + ũ0L ỗỗ u zx ữ ữ ứ ốỗ n2 ( ) n2 ( ) + u zz ÷ dz + ị0L u zzx ÷ ÷ ø n2 ( ) dz (B.21) 136 với " t Ỵ éê0, T ù ú, n Î N ë û n2 ( ) (z, t )dz Ước lượng 2: Từ giá trị chặn ò0L uttx n2 ( ) (z, t )dz ò0L uttz chuẩn L2 Ta chọn f = uttn (z , t ), t = t Từ phương trình (B.3) (B.4) tương ứng, ta có: n2 - n n ( ) (z, t )dz - EI ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz - P ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )(u ) (z , t )dz W ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + ò (f ) (z , t )(u ) (z , t )dz é ù êK (u ) (L , t ) + K (u ) (L , t )(u ) (L , t )ú(u ) (L , t ) = êë úû - m ò0L u ttx L 0 L n3 x zz L L 1D n 0 x ztt x t x ztt n 0 L n x z n n L 0 n n 0 x tt x zztt n n x z x t x n z z x ztt x zz n zL n x tt x tt n x tt n (B.22) và: - n2 n n ( ) (z, t )dz + EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz W ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + ò (f ) (z , t )(u ) (z , t )dz é ù êK (u ) (L , t ) + K (u ) (L , t )ú(u ) (L , t ) = êë úû - m ò0L uttz L x z L 2D z t z L n2 n x ztt n z t 0 L 0 n z ztt n z tt z z n z tt zL n z tt n n (B.23) Lấy tích phân phần (B.22) (B.23) áp dụng điều kiện tương hợp: EA x u z n n = - K u x (L, t ) - K utx (L, t ) n ( ) x - EI u zzz n ( ) (L, t ) + P0 uzx (L, t ) + ( ) n3 ( ) n điều kiện biên, ta có: ( ) ( ) (L, t ) + EA2 (u ) (L, t ) = - K (u ) (L, t )- EA u zz n ( ) (L, t ) (L, t ) + EA uzz x z n2 z n n ( ) (L, t ) K utz 137 n2 n n ( ) (z, t )dz - EI ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + P ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz 3EA + ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + ò (f ) (z , t )(u ) (z , t )dz = m ò0L uttx L 0 n x zz L xL x tt 0 (B.24) n x tt n x zz n x z n 0 n2 x z n z zz n x tt n x tt x zzzz n x tt L L L 0 n2 n n ( ) (z, t )dz - EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + + EA ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz - W ò (u ) (z , t )(u ) (z , t )dz + + ò f (z , t )(u ) (z , t )dz = - m ò0L u ttz L x z L 2D L z t L 0 n zL z tt 0 0 n z tt n z tt n x zz n z zz (B.25) 0 Từ phương trình (B.24) (B.25), ta có: (m - 7m ) L ò0 (EI ) n2 (u ) (z, t )dz £ x tt + P02 L m1 L ò0 n2 ( ) (z , t )dz x ò0 u zzzz W12D n2 (u ) (z, t )dz x zz m1 ỉ3EA ư÷2 L x ữ + ỗỗ ũ0 (z, t ) u z ỗố ứữ ữ m m1 L n2 ( ) (z, t )dz x ò0 u t n4 n2 ( ) (z, t )(u ) (z, t )dz (B.26) x zz 0 + (EA ) L n2 m1 n ( ) (z, t )(u ) (z, t )dz z ò0 u zz x z + + (EA ) m1 L n2 n ( ) (z, t )(u ) (z, t )dz z ò0 u zz L xL ò0 f m1 x zz n2 ( ) (z, t )dz = 0 (m - 4m2 ) L ò0 n2 (u ) (z , t )dz £ z tt (EA ) m3 L n2 ( z ) (z , t )dz ò0 u zz + - (EA ) m3 L n2 n2 ( x ) (z , t )(u zzx ) (z , t )dz ò0 u z 2D n2 W L zL n L z ò0 (u t ) (z , t )dz + ò (f ) (z , t )dz = m3 m3 (B.27) 138 m1 m2 số dương Ta có tìm giá trị chặn ổ ỗố L x ũ0 ỗ ỗ ut n2 ( ) đầu u x n2 ( ) + utz ö Lổ ữ ỗỗ u x , dz ũ ữ ữ ỗố z ứ n2 ( ) n2 ( ) + u zz ÷ ÷ ÷dz ø L ò0 (u ) dz x zz giá trị ban (z, t )u z (z, t ), utx (z, t ) u z (z, t ) đủ trơn, từ bất phương trình (B.26) (B.27), kết luận rằng: L n2 ( ) (z , t )dz £ x ò0 u tt L (B.28) M3 (B.29) n2 ( ) (z , t )dz £ z M2 ò0 u tt với t Ỵ éê0,T ù ú, n Ỵ N , M M số không âm, cho ë û m1 m2 chọn nhỏ m0 m0 n2 Ước lượng 3: Giới hạn ò0L (uttx ) (z , t )dz L n2 ( z ) (z , t )dz ò0 utt chuẩn L2 Để ước lượng giới hạn thành phần này, ta chọn giá trị t , x > cho x < T - t Đạo hàm phương trình (B.3) (B.4) với t = t + x t = t n n n n thay f f (utx ) (t + x) - (utx ) (t ) (utz ) (t + x) - (utz ) (t ), ta có: m0 d L é x ò0 ê u dt êë t n n ( ) (z, t + x) - (u ) x t EI d L é x + ò0 ê u dt êë zz n ù2 (z, t )úú dz û n ( ) (z, t + x) - (u ) x zz ù2 (z, t )úúdz + W1 = û (B.30) đó: n n é n ùé n ù W1D = P0 ò0L ê(u zx ) (z , t + x) - (u zx ) (z , t )úê(u ztx ) (z , t + x) - (u ztx ) (z , t )údz ë ûë û n EA L é x n ù x + ò0 ê(u z ) (z , t + x) - (u z ) (z , t )ú dz ë û n n é ùé n ù - ò0L ê(f xL ) (z , t + x) - f xL (z , t )úê(u tx ) (z , t + x)- (u tx ) (z , t )ú+ ë ûë û n n é n ùé n ù + EA ò0L ê(u zz ) (z , t + x) - (u zz ) (z , t )úê(u zx ) (z , t + x) - (u zx ) (z , t )údz ë ûë û 139 n é n ù ´ ê(u ztx ) (z , t + x) - (u ztx ) (z , t )údz + ë û n n n é + êK (u x ) (L , t + x) - K (u x ) (L , t ) + K (u tx ) (L , t + x) - (B.31) ê ë n n ùé n ù - K (utx ) (L , t ) úê(utx ) (L , t + x) - (utx ) (L , t )ú úë û û ( ) m0 d L é z ò0 ê u dt êë t n n ( ) (z, t + x) - (u ) z t EA d é z + dt êë t n ù2 (z , t )úú dz û n ( ) (z, t + x) + (u ) z t (B.32) ù2 (z , t )úú + W2 = û đó: W2D = n2 ùé n EA L é x n z , t + x ) - u zx (z , t )úê u zz (z , t + x ) ò0 ê u z ( êë úê ûë n n n é ù é + W1D ò0L ê utz (z , t + x ) - u tz (z , t )ú dz - ò0L ê f zL (z , t êë ú êë û n n n é é ù æ ´ ê utz (z , t + x ) - u tz (z , t )ỳdz + ờỗỗK u z (L , t + x ) ờởỗố ờở ú û n n ỉ ứé z n ú + ççK u tz (L , t + x ) - K u tz (L , t )÷ ÷ ữỳờờở u t (z , t + x ) ốỗ ø û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ù n (u ) (z , t )úûúdz ( ) z z + x)- ù n ( ) (z , t )úúû f zL ö n ( ) (L , t )÷÷÷ø K uz ù n (u ) (z , t )úúûdz z t (B.33) Lấy tích phân W1 W2 với điều kiện đầu u x (z , t ), utx (z , t ), u z (z , t ) utz (z , t ) đủ trơn, u x (0, t ) = , uzzx (0, t ) = , uzzx (L, t ) = , uzz (0, t ) = , uzzz (0, t ) = , uzzz (L, t ) = với u x (z , t ) Î W S u x (z , t ) Î V S Thêm vào đó, utx (z , t ) đạo hàm không gian u x (z , t ) bị chặn đến bậc Sử dụng Bổ đề Bổ đề [16], ta có: é W1 £ M 31 ị0L êutx êë n ( ) n ( ) (z, t + x)- utx ù2 é z , t ( )úú dz + M 32 ò0L êêuzzx û ë n n ù ( ) (z, t + x)- (u ) (z, t )úúû x zz (B.34) W2 £ M L 33 ò0 é z ê ut êë n n ( ) (z, t + x)- (u ) z t ù2 é (z, t )úú dz + M 34 ò0L êêuzzx û ë n n ( ) (z, t + x)- (u ) x zz ù2 (z , t )úú dz û (B.35) 140 đó: M 3i , với i = số không âm Thay giá trị phương trình (B.34) (B.35) vào (B.30) (B.32), ta có: d F 1n (t , x ) dt d F n2 (t , x ) dt £ M 35F 1n (t , x ) Þ F (t , x ) £ F (t 0, x )e M 35 (t - t ) £ M 36F n3 (t , x ) Þ F (t , x ) £ F (t , x )e (B.36) M 36 (t - t ) (B.37) M 35 M 36 số không âm và: F n (t , x) = m L ò0 é x ê ut êë F (t , x) = m L ò0 n ( ) (z, t + x)- (u ) + EI n n é z ê ut êë L ò0 x t é x ê u zz êë ù2 (z , t )úú dz û n n ( ) (z , t + x)- (u ) x zz n n ( ) (z, t + x)- (u ) z t é + EI ò0L ê u zzz êë ù2 (z , t )úú dz û n n ( ) (z, t + x)- (u ) z zz (B.38) ù2 (z , t )úú dz û (B.39) ù2 (z, t )úú dz û Chia hai vế (B.36) (B.37) cho x lấy giới hạn x ® ta được: n2 n2 ( ) (z, t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz é ù £ êm ò (u ) (z , t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz úe êë ú û m ò0L uttx L L 0 x tt x zzt n2 L 0 n2 n2 x zzt L L 0 z tt z zzt (B.40) n2 ( ) (z, t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz é ù £ êm ò (u ) (z , t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz úe êë úû m ò0L uttz M 35 (t - t ) n2 L 0 z zzt n2 M 36 (t - t ) (B.41) Từ Ước lượng Ước lượng nhận thấy tồn số không âm M , M M bất đẳng thức phụ thuộc vào T cho: n2 n2 ( ) (z , t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz £ m ò0L u ttx n2 L x zzt L z zzt (B.42) M5 (B.43) n2 ( ) (z , t )dz + EI ò (u ) (z , t )dz £ m ò0L u ttz M4 141 Từ Ước lượng 1, và áp dụng định lý Lions-Aubin, ta thấy hệ phi tuyến (B.5) (B.6) tiến đến giới hạn, chứng minh tồn nghiệm toàn cục B.2 Chứng minh tính Đặt u , w u , w hai nghiệm khác cho hệ thống vịng kín phương trình (4.19) Độ lệch hai số q1 = u - u q2 = u - w Cần chứng minh q1 (z , t ) = q2 (z , t ) = q1t (z , t ) = q2t (z , t ) = , và: EA L L ò0 q1z f 1zdz - W1D ò0 q1t f 1dz L L xL é - EA ò0 q2z q1z f 1zdz + + ò0 f f 1dz - êK 1q1 (L , t ) + K 2q1t (L , t )ùúf (L , t ) = ë û (B.44) - m ò0L q1tt f 1dz - EI ò0L q1zz f 1zzdz - P0 ò0L u 1xz f 1zdz - EA L L ò0 q1z f 2zdz - W2D ò0 q2t f 2dz (B.45) + ò0L f xL f 2dz - éêK 5q2 (L , t ) + K 6q2t (L , t )ùúf (L , t ) = ë û Lấy tương ứng f = q1t (z , t ) f = q2t (z , t ) (B.44), (B.45) tiến hành - m ò0L q2tt f 2dz + EA ò0L q2z f 2zdz - bước làm tương tự Ước lượng 3, ta kết sau: d dt éò L q2 dz + ò L q2 dz ù£ M éò L q2 dz + ò L q2 dz ù 1zz 1zz ê êë 1t úû úû ë 1t (B.46) d dt éò L q2 dz + ò L q2 dz ù£ M éò L q2 dz + ò L q2 dz ù 2z 2z ê êë 2t úû úû ë 2t (B.47) đó: M M số dương Sử dụng bổ đề Gronwall điều kiện đầu q1 = q2 = để chứng minh lời giải cho vấn đề cần giải