63 hsg9 yên bái

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 99 Câu (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức Cho Câu S= 2- 6-3 + 2 P  x  = x  ax  bx  c Tính giá trị biểu thức Câu Câu Tỉnh Yên Bái P   = P  3 2023 với a, b, c số thực Biết Q = P  5  P    x  25  8     x (3,0 điểm) Giải phương trình  3x  x   (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O B ) Qua điểm H kẻ dây cung MN vng góc với đường kính AB Một điểm C động cung nhỏ AN ( C khác A N ) Gọi L giao điểm BC MN a) Chứng minh ACLH tứ giác nội tiếp BH BA BL.BC b) Chứng minh BN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN c) Đường thẳng qua N vng góc với AC cắt MC D Tìm vị trí điểm C cung nhỏ AN đường trịn tâm O cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn (4,0 điểm)  p, q, r  Tìm tất ba số nguyên tố p thỏa mãn  1  q  1 r  Cho m n số nguyên dương thỏa mãn mn  chia hết cho 24 Chứng minh Câu m  n chia hết cho 24 (3,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z 3 Chứng minh yz zx x y   3 x 1 y 1 z 1 Để chuẩn bị cho Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, bạn Tùng định luyện tập giải số tốn vịng tuần Theo dự định, bạn Tùng giải tốn ngày khơng q 10 tốn tuần Chứng minh tồn chuỗi ngày liên tiếp mà khoảng thời gian tổng số toán Tùng giải 23 _ Hết _ CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 69  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 LỜI GIẢI Câu (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức Cho 2- 6-3 + 2 P  x  = x  ax  bx  c Tính giá trị biểu thức Câu S= P   = P  3 2023 với a, b, c số thực Biết Q = P  5  P    x  25  8     x (3,0 điểm) Giải phương trình  3x  x   Lời giải Ta có:    6-3  2- 6-3 2- 6-3 2- 6-3 +  +     2  3- 3 2- 6-3 3 31 S=  2-  3- 3   31      1 Ta có: P   = P  3 2023   a  2b  c 27  9a  3b  c 2023  5a  b  19 Do đó: Q = P    P    125  25a  5b  c   c 125   5a  b  125    19  30 Câu  x  25  8     x (3,0 điểm) Giải phương trình  3x  x   Lời giải     x0  x5 + Điều kiện:   x  25 6x x  25  8   1   *  1  x x  25 x + Ta có:  x  3x   x  25 x  25 x   t2   2 x x t x  25 + Đặt + Khi đó, phương trình  *   t  t  t  48 0  t  4t  3t  48 0   t    t  3t  12  0  t 4 t  x  1,  th.m  x  25 2 t 4    x  16 x  25 0    x  25 , (loai ) x  19 + Với t Câu + Vậy: Phương trình cho có tập nghiệm (6,0 điểm) CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 S   1  Trang 70  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O B ) Qua điểm H kẻ dây cung MN vng góc với đường kính AB Một điểm C động cung nhỏ AN ( C khác A N ) Gọi L giao điểm BC MN a) Chứng minh ACLH tứ giác nội tiếp BH BA BL.BC b) Chứng minh BN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN c) Đường thẳng qua N vng góc với AC cắt MC D Tìm vị trí điểm C cung nhỏ AN đường tròn tâm O cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn Lời giải    a) Tứ giác ACLH có: AHL 90 ACL  ACB 90 Suy ACLH nội tiếp Ta có: HLB ∽ CAB, ( g.g )  BH BL   BH BA BL.BC BC BA b) Ta có:   BNL BNM   NCL  NCB    Do AB  MN  B điểm cung MN Do BNM BCN   Suy BNL NCL Suy BL tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CNL c) Do ND  AC BC  AC nên ND // BC Gọi J giao điểm AC DN       Ta có: JCN  NCB 90 , DCJ  JCN  NCB  BCM 180 mà     BCM BCN  DCJ NCJ Suy CJ đường trung trực ND hay AC trung trực ND Ta có: AD  AN  AM CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 71  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Kẻ AK  DM  AKM ∽ ACB, ( g g ) S  AM   AKM   const  S AKM a.S ACB ,  a const  S ACB  AB  Ta có : S ADM lớn  SAKM lớn  S ACB lớn S ACB  d  C , AB  AB d  C , AB  R Mà: lớn  C điểm cung AB , ( ) Câu (4,0 điểm)  p, q, r  Tìm tất ba số nguyên tố p thỏa mãn  1  q  1 r  1 * Lời giải  p, q, r  Vì ba số nguyên tố thỏa mãn  r  chẵn  p  1; q  không lẻ p  1  q  1 r   r   r lẻ 2  *  5q  r Giả sử p 2  p  5 lẻ  q  chẵn Từ + Nếu q số ngun tố khơng chia hết cho q 1 (mod 3)  5q 2 (mod 3)  5q  0 (mod 3)  r 0 (mod 3)  r 0 (mod 3) , mà r số nguyên tố lớn , (không thỏa mãn)  q 3 + Khi đó: r 49  r 7  p, q, r  Vậy: ba số nguyên tố p thỏa mãn  1  q  1 r  1 *  2;3;7  ;  3; 2;7  : mn  m n 24 Cho số nguyên dương thỏa mãn chia hết cho Chứng minh m  n chia hết cho 24 Lời giải A mn   m  n  m  1  n  1 ; B mn   m  n  m  1  n  1 + Đặt : A.B  m  n  + Xét    2 + Vì mn  124  m 24 n 24  m 3 n 3  m  13 n  13  A.B3 ,   2 + Mặt khác, mn  124  m.n lẻ  m n lẻ  m  18 n  18  A.B8 ,  2  A24 A.B 242    B 24  + Từ (1) (2) suy ra: Câu   mn  1  m  n24  m  n 24 ,   mn  1 24     mn  1   m  n  24  m  n24 (3,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z 3 Chứng minh yz zx xy   3 x 1 y 1 z 1 Lời giải A Đặt yz zx x y   x 1 y 1 z 1 + Vì: x  y  z 3  x  y 3  z; y  z 3  x; x  z 3  y CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 72  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 + Khi đó: 3 x 3 y 3 z  3 x   3 y   3 z  A    A    1    1    1 x 1 y 1 z 1  x 1   y 1   z 1  4   x 1 y 1 z 1 + Vì x  y  z 3  x  y  z    6 4 A36   x 1   y 1  z 1 x 1 y 1 z 1 + Ta có:  A3     x 1     x  1 4 x  x    + Áp dụng, bất đẳng thức Cơ- Si, ta có:    y 1     y  1 4 y 1 y 1   Tương tự:    z 1     z  1 4 z  z    + Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên, suy ra: A  4    A 3 + Dấu “ ” xảy   x  x    A  4      y   x  y  z 1 y    z    z 1 Để chuẩn bị cho Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, bạn Tùng định luyện tập giải số tốn vịng tuần Theo dự định, bạn Tùng giải tốn ngày khơng q 10 tốn tuần Chứng minh tồn chuỗi ngày liên tiếp mà khoảng thời gian tổng số toán Tùng giải 23 Lời giải + Gọi xi số toán mà Tùng giải ngày thứ i , ( i 42, i   ) Do Tùng giải tốn ngày khơng q 10 tốn tuần nên:  xi 4 + Đặt :  Si  x1  x2   xi , i 1, 42  , ta có: S i  S j , i  j; j 1, 42  B  S1  23; S2  23; ; S 42  23 A  S1 ; S2 ; ; S42  + Xét tập hợp với Si 60 với 24 S j  23 83  1; 2;3; ;83 , (vì Hai tập hợp A B có tất 84 phần tử, nhận giá trị tập hợp S 42  x1  x2   x42 6.10 60 nên S 42  23 60  23 83 ) nên theo nguyên lý Đi- -lê, tồn hai phần tử S S j Mặt khác, hai phần tử không thuộc A, không thuộc B i nên S  23  B phần tử thuộc A phần tử thuộc B, chẳng hạn Si  A j S S j  23,  i  j  S  S j 23 Khi đó: i nên i Vậy, từ ngày thứ j đến ngày thứ i chuỗi ngày liên tiếp mà khoảng thời gian tổng số toán Tùng giải 23 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 73  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 74 