49 hsg9 quảng trị

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Quảng Trị Câu (4,0 điểm) Câu  1   A   x     x    3:  x  x  1 x  x   Cho biểu thức với x 0 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A (5,0 điểm) 2  x  y  x   xy  y  y  Giải hệ phương trình  a , b , c Cho số nguyên đôi khác Chứng minh ba phương trình sau, Câu có phương trình có nghiệm: x  2ax  bc  0; x  2bx  ca  0; x  2cx  ab  0 (3,0 điểm)  Câu Câu  2 xy x  y Cho số nguyên x, y thỏa mãn x  y 1 Chứng minh chia hết cho 40 n n 2  Một giải cầu lơng có  vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (hai vận động viên thi đấu với trận, khơng có kết hịa) Chứng minh tổng bình phương số trận thắng tổng bình phương số trận thua vận động viên (6,0 điểm) O , AD D  BC  Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn   đường cao  Gọi E , F hình chiếu D AC AB a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp O b) Đường trịn đường kính AD cắt   điểm thứ hai M ( M khác A) Chứng minh MD  phân giác góc FMC c) Chứng minh đường thẳng MD , đường trung trực BC đường trung trực EF đồng quy (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh 64 a 1 b2 1 c2 1  27 -Hết -     CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,0 điểm) 2  1   A   x     x    3:  x  x  1 x  x   Cho biểu thức với x 0 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A Lời giải 2 1           x     x     x     x     x   1 x  x x  x  x      a) Ta có  x2  1 x  x 1 x  x  x2  x 1 x4  x2 1 x  A    x  x 1 x2 x2  x 1 x2 x2 x  x 1        A b) Viết lại 1 1 1 3        , x x x  x 2 4  x   tmdk  Dấu xảy MinA  x  Vậy Câu (5,0 điểm) 2  x  y  x   3 xy  y  y  Giải hệ phương trình Cho a, b, c số nguyên đôi khác Chứng minh ba phương trình sau, có phương trình có nghiệm: x  2ax  bc  0; x  2bx  ca  0; x  2cx  ab  0 Lời giải Cộng theo vế PT hệ: x  y  xy  x  y   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y  1 0    x 1  y 3  y  x  y  y  0   y  3  y  1 0  2   y 1  x  Với x  y , ta 3 11  y  x  y  y  0   y    y  1 0  5   y 1  x  Với x 1  y, ta   3  11   ;  ,   1;1 ,  ;   x ; y    2   5  Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 Ta có  ' 1 a  bc  1;  ' 2 b2  ca  1;  ' 3 c  ab    ' 1   ' 2   ' 3  a  b  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2   b  c   c  a   Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Không tỉnh tổng quát, giả sử a  b  c  a  b 1; b  c 1; a  c 2 2   a  b    b  c    c  a  6   ' 1   ' 2   ' 3 0 Câu  ' ,  ' ,  ' Suy số  1    3 có số khơng âm, phương trình tương ứng có nghiệm (đpcm) (3,0 điểm)   2 xy x  y Cho số nguyên x, y thỏa mãn x  y 1 Chứng minh chia hết cho 40 n n 2  Một giải cầu lơng có  vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (hai vận động viên thi đấu với trận, khơng có kết hịa) Chứng minh tổng bình phương số trận thắng tổng bình phương số trận thua vận động viên Lời giải +) Chứng minh xy  x  y  8 Từ giả thiết suy y lẻ Khi y 1 mod   x  y  2  mod   y lẻ x  y 1 mod   x  y 8 Do x, y lẻ nên +) Chứng minh xy  x  y  5 Nếu x 5  xy  x  y  5 Nếu x 1 mod   y 2 x  1 mod   x  y 5  xy  x  y  5 Nếu x 4  mod   y 2 x  2  mod  Như trường hợp ta có xy  x  y  5 8;5 1 Do   nên từ hai chứng minh suy Gọi vô lý xy  x  y  40  dpcm  xi ; yi số trận thắng số trận thua vận động viên thứ i  i n  Cần chứng minh x12  x2   xn  y12  y2  yn x  yi n  1, i 1, 2,3 n Do VĐV thi đấu n  trận nên i Nên đẳng thức tương đương với x  y12    x2  y2     xn  yn  0   n  1  x1  y1  x2  y2   xn  yn  0  x1  x2   xn  y1  y2   yn Mặt khác, tổng số trận thắng VĐV tổng số trận đấu tổng số trận thua VĐV, nên đẳng thức cuối (đpcm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (6,0 điểm) O , AD D  BC  Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn   đường cao  Gọi E , F hình chiếu D AC AB a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp O b) Đường trịn đường kính AD cắt   điểm thứ hai M ( M khác A) Chứng minh MD  phân giác góc FMC c) Chứng minh đường thẳng MD , đường trung trực BC đường trung trực EF đồng quy Lời giải    a) Từ giác AEDF có AED  AFD  90  90 180 nên nội tiếp Suy AFE  ADE   Lại có, tam giác ADC vng D , có DE đường cao, nên ADE  ACD    Suy AFE  ACD ECB , hay tứ giác BCEF nội tiếp    FAD BAD b) Rõ ràng F nằm đường trịn đường kính AD Suy FMD    O  nên Lại AMD 90 tứ giác AMBC nội tiếp    DMC 90  AMC 90  ABC BAD  Từ hai điều suy MD phân giác góc FMC c) Gọi I giao điểm đường trung trực BC , EF Do BCEF nội tiếp nên I    BCEF  Suy FIC 2 FBC tâm đường trịn    Ta có FMC 2 FMD 2 FAD (từ kết ý b), suy     FIC  FMC 2 FBC  FAD 180 , hay tứ giác MFIC nội tiếp  Lại IF IC nên MI phân giác góc FMC , Kết hợp với ý b), suy M , D, I thẳng hàng Suy điều cần chứng minh (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh 64 a 1 b2 1 c2 1  27 Lời giải  Câu      Ta có: a  a  ab  bc  ca  a  b   a  c  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2 Tương tự b  1, c  suy  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 a     b  c    a  b   b  c   c  a    a  b  b  c  c  a  3 Do đó, cần chứng minh:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc a  b  c  abc , Ta có: ( a  b  c) 3  ab  bc  ca  3;1 ab  bc  ca 3 (abc) a  b  c  3; abc  Suy Vậy 3  a  b   b  c   c  a  a  b  c  abc  3 Ta có điều cần chứng minh Dấu xảy 3  3 a b c  3 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 