Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Quảng Trị Câu (4,0 điểm) Câu 1 A x x 3: x x 1 x x Cho biểu thức với x 0 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A (5,0 điểm) 2 x y x xy y y Giải hệ phương trình a , b , c Cho số nguyên đôi khác Chứng minh ba phương trình sau, Câu có phương trình có nghiệm: x 2ax bc 0; x 2bx ca 0; x 2cx ab 0 (3,0 điểm) Câu Câu 2 xy x y Cho số nguyên x, y thỏa mãn x y 1 Chứng minh chia hết cho 40 n n 2 Một giải cầu lơng có vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (hai vận động viên thi đấu với trận, khơng có kết hịa) Chứng minh tổng bình phương số trận thắng tổng bình phương số trận thua vận động viên (6,0 điểm) O , AD D BC Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn đường cao Gọi E , F hình chiếu D AC AB a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp O b) Đường trịn đường kính AD cắt điểm thứ hai M ( M khác A) Chứng minh MD phân giác góc FMC c) Chứng minh đường thẳng MD , đường trung trực BC đường trung trực EF đồng quy (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh 64 a 1 b2 1 c2 1 27 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,0 điểm) 2 1 A x x 3: x x 1 x x Cho biểu thức với x 0 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A Lời giải 2 1 x x x x x 1 x x x x x a) Ta có x2 1 x x 1 x x x2 x 1 x4 x2 1 x A x x 1 x2 x2 x 1 x2 x2 x x 1 A b) Viết lại 1 1 1 3 , x x x x 2 4 x tmdk Dấu xảy MinA x Vậy Câu (5,0 điểm) 2 x y x 3 xy y y Giải hệ phương trình Cho a, b, c số nguyên đôi khác Chứng minh ba phương trình sau, có phương trình có nghiệm: x 2ax bc 0; x 2bx ca 0; x 2cx ab 0 Lời giải Cộng theo vế PT hệ: x y xy x y x y x y x y x y x y x y 1 0 x 1 y 3 y x y y 0 y 3 y 1 0 2 y 1 x Với x y , ta 3 11 y x y y 0 y y 1 0 5 y 1 x Với x 1 y, ta 3 11 ; , 1;1 , ; x ; y 2 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 Ta có ' 1 a bc 1; ' 2 b2 ca 1; ' 3 c ab ' 1 ' 2 ' 3 a b CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2 b c c a Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Không tỉnh tổng quát, giả sử a b c a b 1; b c 1; a c 2 2 a b b c c a 6 ' 1 ' 2 ' 3 0 Câu ' , ' , ' Suy số 1 3 có số khơng âm, phương trình tương ứng có nghiệm (đpcm) (3,0 điểm) 2 xy x y Cho số nguyên x, y thỏa mãn x y 1 Chứng minh chia hết cho 40 n n 2 Một giải cầu lơng có vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (hai vận động viên thi đấu với trận, khơng có kết hịa) Chứng minh tổng bình phương số trận thắng tổng bình phương số trận thua vận động viên Lời giải +) Chứng minh xy x y 8 Từ giả thiết suy y lẻ Khi y 1 mod x y 2 mod y lẻ x y 1 mod x y 8 Do x, y lẻ nên +) Chứng minh xy x y 5 Nếu x 5 xy x y 5 Nếu x 1 mod y 2 x 1 mod x y 5 xy x y 5 Nếu x 4 mod y 2 x 2 mod Như trường hợp ta có xy x y 5 8;5 1 Do nên từ hai chứng minh suy Gọi vô lý xy x y 40 dpcm xi ; yi số trận thắng số trận thua vận động viên thứ i i n Cần chứng minh x12 x2 xn y12 y2 yn x yi n 1, i 1, 2,3 n Do VĐV thi đấu n trận nên i Nên đẳng thức tương đương với x y12 x2 y2 xn yn 0 n 1 x1 y1 x2 y2 xn yn 0 x1 x2 xn y1 y2 yn Mặt khác, tổng số trận thắng VĐV tổng số trận đấu tổng số trận thua VĐV, nên đẳng thức cuối (đpcm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (6,0 điểm) O , AD D BC Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn đường cao Gọi E , F hình chiếu D AC AB a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp O b) Đường trịn đường kính AD cắt điểm thứ hai M ( M khác A) Chứng minh MD phân giác góc FMC c) Chứng minh đường thẳng MD , đường trung trực BC đường trung trực EF đồng quy Lời giải a) Từ giác AEDF có AED AFD 90 90 180 nên nội tiếp Suy AFE ADE Lại có, tam giác ADC vng D , có DE đường cao, nên ADE ACD Suy AFE ACD ECB , hay tứ giác BCEF nội tiếp FAD BAD b) Rõ ràng F nằm đường trịn đường kính AD Suy FMD O nên Lại AMD 90 tứ giác AMBC nội tiếp DMC 90 AMC 90 ABC BAD Từ hai điều suy MD phân giác góc FMC c) Gọi I giao điểm đường trung trực BC , EF Do BCEF nội tiếp nên I BCEF Suy FIC 2 FBC tâm đường trịn Ta có FMC 2 FMD 2 FAD (từ kết ý b), suy FIC FMC 2 FBC FAD 180 , hay tứ giác MFIC nội tiếp Lại IF IC nên MI phân giác góc FMC , Kết hợp với ý b), suy M , D, I thẳng hàng Suy điều cần chứng minh (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh 64 a 1 b2 1 c2 1 27 Lời giải Câu Ta có: a a ab bc ca a b a c CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2 Tương tự b 1, c suy Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 a b c a b b c c a a b b c c a 3 Do đó, cần chứng minh: a b b c c a a b c ab bc ca abc a b c abc , Ta có: ( a b c) 3 ab bc ca 3;1 ab bc ca 3 (abc) a b c 3; abc Suy Vậy 3 a b b c c a a b c abc 3 Ta có điều cần chứng minh Dấu xảy 3 3 a b c 3 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang