Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUN - 2018 i Danh mưc h¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Ph²p düng ngô gi¡c ·u Php dỹng ngụ giĂc Ãu cừa Richmond Nôm bữợc düng ngô gi¡c ·u Thêp giĂc lỗi Ãu, thêp giĂc Ãu Mët sè a gi¡c ·u Düng 15−gi¡c ·u 10 bữợc dỹng 17giĂc Ãu 8 13 15 16 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 L¡t phng Ãu loÔi 36 L¡t phng Ãu loÔi 14 + 28 L¡t ph¯ng Ãu loÔi 13 + 212 Khổng tỗn tÔi lĂt phng Ãu loÔi 25 + 110 LĂt phng Ãu loÔi 14 + 16 + 112 a-LĂt phng Ãu loÔi 44 v b-loÔi 13 + 24 + 16 Khổng cõ lĂt phng Ãu loÔi 23 + 26 kiu a) Khổng cõ lĂt phng Ãu loÔi 23 + 14 + 112 LĂt phng Ãu loÔi 43 + 1α6 LĂt phng Ãu loÔi 33 + 24 kiu a) L¡t ph¯ng Ãu loÔi 33 + 24 kiu b) 22 23 23 24 25 26 27 27 28 29 29 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 L¡t ph¯ng bði tù gi¡c L¡t ph¯ng bði tù gi¡c lỗi hoc lóm Ghp thnh cĂc hẳnh chỳ nhêt Ghp thnh hẳnh bẳnh hnh Vẵ dö 3.1.3 31 31 32 33 33 ii 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 V½ dư 3.1.4 34 35 35 36 40 42 43 43 44 45 46 48 49 51 53 q = SABCD L¡t ph¯ng bði c¡c h¼nh lưc gi¡c b¬ng Ba kiºu l¡t ph¯ng bði c¡c lưc gi¡c Têng c¡c gâc tam gi¡c Di»n tẵch bơng 1/2 Diằn tẵch hẳnh bẳnh h nh nhä nh§t Chùng minh nh lỵ Pythagoras LĂt phng tự giĂc tũy ỵ H¼nh vng nh lỵ Napoleon Phữỡng phĂp diằn tẵch Dịng nguy¶n t­c Dirichlet B i to¡n phõ Tia liản ợi iii Möc lưc Líi c£m ìn Mð ¦u a gi¡c ·u v  c¡ch düng 1.1 1.2 1.3 a gi¡c ·u 1.1.1 Kh¡i ni»m cì b£n 1.1.2 Düng ngô gi¡c ·u a gi¡c ·u, h m Euler v  c¡c sè Fermat Düng n−gi¡c ·u vỵi n câ dÔng 2k 3.5.17 1.3.1 Dỹng 15giĂc Ãu 1.3.2 Düng 17−gi¡c ·u L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c Ãu 2.1 2.2 Bi toĂn số hồc liản quan án l¡t ph¯ng L¡t ph¯ng v  l¡t ph¯ng ·u 2.2.1 L¡t ph¯ng ·u vỵi ph¯ng ¿nh 2.2.2 L¡t ph¯ng ·u vỵi ph¯ng ¿nh 2.2.3 L¡t ph¯ng ·u vỵi ph¯ng ¿nh 2.2.4 L¡t ph¯ng ·u vỵi ph¯ng ¿nh C¡c b i to¡n li¶n quan 3.1 câ a gi¡c câ a gi¡c câ a gi¡c câ a gi¡c v 4 12 12 16 18 18 20 22 25 26 28 30 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng 30 3.1.1 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c tam gi¡c, tù gi¡c b¬ng 30 3.1.2 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c lưc gi¡c b¬ng 35 iv 3.2 3.3 3.1.3 L¡t m°t ph¯ng bi cĂc ngụ giĂc bơng Hẳnh hồc trản lĂt ph¯ng 3.2.1 C¡c b i to¡n ìn gi£n 3.2.2 nh lỵ Pythagoras 3.2.3 Tù gi¡c v  löc gi¡c 3.2.4 nh lỵ Napoleon C¡c b i to¡n kh¡c T i li»u tham kh£o 36 39 39 43 44 45 47 58 v Líi c£m ìn Tỉi xin ch¥n th nh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu, Phỏng o tÔo, Khoa ToĂn tin Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc - Ôi Hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi ữủc tham dü khâa håc, xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc ToĂn K10B2 (2016 - 2018)  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi Hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng nôm 2018 Ngữới viát Luên vôn TrƯn Th Thưm M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn a gi¡c ·u l  mët chõ · quan trång cõa h¼nh håc ph¯ng Euclide Ph²p düng a gi¡c ·u 17 cÔnh l cổng trẳnh xuĐt sưc m Gauss  cống hián cho nhƠn loÔi Bi toĂn t l: HÂy phõ m°t ph¯ng b¬ng c¡c a gi¡c ·u? Câ bao nhiảu cĂch "lĂt kẵn" mt phng? Cũng vợi bi toĂn â, l  i·u ki»n düng ÷đc c¡c a gi¡c ·u cõ liản quan gẳ án số hồc? Trẳnh by cĂch giÊi quyát cĂc bi toĂn trản l lỵ  tæi chån · t i "L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a giĂc Ãu" Mửc ẵch cừa à ti l: - Trẳnh b y làch sû, c¡ch düng mët sè a gi¡c ·u bơng thữợc v com pa Mối liản hằ giỳa php dỹng a giĂc Ãu bơng thữợc k v com pa vợi cĂc số Fermat - Trẳnh by lới giÊi bi to¡n l¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u (l¡t ph¯ng ·u) lỵp c¡c b i to¡n v· phõ m°t phng - Bờ sung thảm kián thực cho giĂo viản cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh hồc giọi mổn Hẳnh håc Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · cƯn giÊi quyát Trẳnh by mởt cĂch hằ thống cĂch düng mët sè a gi¡c ·u, i·u ki»n c¦n v  ừ  dỹng ữủc mởt a giĂc Ãu bơng com pa v thữợc k Giợi thiằu bi toĂn lĂt mt ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u, chùng minh ành lỵ và lĂt phng Ãu M rởng sang cĂc bi to¡n li¶n quan: L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c bơng nhau, hẳnh hồc trản lĂt phng v cĂc bi toĂn khĂc Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Ch÷ìng a gi¡c ·u v  c¡ch düng B i to¡n dỹng a giĂc Ãu bơng thữợc k v compa l mởt nhiÃu bi toĂn dỹng hẳnh nời tiáng cừa hẳnh hồc: CĂch dỹng cĂc a giĂc õ nhữ thá no phử thuởc vo số cÔnh cừa mội a giĂc Mởt ngụ giĂc Ãu dỹng ữủc bơng thữợc v com pa tứ thới xa xữa phÊi 2000 nôm sau cĂc nh toĂn hồc khổng tẳm ữủc cĂch dỹng mët th§t gi¡c ·u Hâa câ nhi·u a gi¡c Ãu khổng dỹng ữủc bơng thữợc v com pa (n = 7, 9, 11, 13, ) Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 a gi¡c ·u 1.2 a gi¡c ·u, h m Euler v  c¡c sè Fermat 1.3 Düng n− gi¡c ·u vỵi n cõ dÔng 2k 3.5.17 Chữỡng LĂt mt phng bi cĂc a giĂc Ãu Ơy l phƯn trồng tƠm vợi bi toĂn phƠn loÔi cĂc lĂt phng Ãu Luên vôn trẳnh by ữủc mởt kát quÊ quan trồng: Cõ 11 v ch 11 loÔi lĂt phng Ãu Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Bi toĂn số hồc liản quan án lĂt phng 2.2 LĂt phng v lĂt phng Ãu Chữỡng CĂc bi toĂn liản quan Bi to¡n l¡t ph¯ng l  mët nhi·u b i to¡n v· phõ, â l  nëi dung quan trång cõa h¼nh håc tờ hủp Chữỡng ny giợi thiằu thảm cĂc bi toĂn liản quan án lĂt phng Ãu Nởi dung bao gỗm: 3.1 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng 3.2 Hẳnh hồc trản lĂt phng 3.3 CĂc bi toĂn khĂc 44 ổ ọ cừa lữợi Những iÃu õ cõ nghắa l diằn tẵch cừa mội ổ, tực l tờng diằn tẵch cĂc hẳnh vuổng dỹng trản cÔnh huyÃn, bơng diằn tẵch hẳnh vuổng cÔnh mu ọ, õ chẵnh l nh lỵ Pythagoras Ta cỏn nhên thĐy rơng: mội ổ ữủc chia thnh hai hẳnh vuổng m tứ õ cõ th cởng lÔi  ữủc h¼nh vng m u ä: Mët c¡ch ìn gi£n l  c­t theo c¡c ÷íng m u ä â cơng l  mët c¡ch chựng minh khĂc cừa nh lỵ 3.2.3 Tự giĂc v lửc giĂc Ta cõ th xt cĂc hẳnh phực tÔp hỡn Ta bưt Ưu vợi mởt lĂt phng tự giĂc tũy ỵ LĐy hẳnh bẳnh hnh ỡn giÊn nhĐt v Ănh dĐu cĂc im cho cĂc im ữủc sưp xáp nhữ tĐt cÊ cĂc hẳnh bẳnh hnh Nối mội im Ănh dĐu vợi cĂc nh hẳnh bẳnh hnh v tổ mu ọ (cÔnh cừa cĂc hẳnh bẳnh hnh) LĂt phng nhên ữủc gỗm cĂc tự giĂc lỗi bơng (phƯn mu xanh trản hẳnh 3.14) LĂt phng nhữ Hẳnh 3.14: LĂt phng tự giĂc tũy ỵ vêy cõ th dỹng ữủc tứ tự giĂc lỗi tũy ỵ (xem phƯn tự giĂc bơng nhau) CĂc bi toĂn sau câ nhi·u c¡ch gi£i, câ thº coi c¡ch l m nhữ cĂc vẵ dử  trẳnh by l mởt gủi þ: B i to¡n 3.3 Trong h¼nh vng câ mët h¼nh vuổng nhọ , cĂc nh hai hẳnh vuổng ữủc nối vợi nhữ hẳnh 3.15 Chựng minh rơng tờng diằn tẵch s1 + s2 bơng tờng diằn tẵch s3 + s4 45 H¼nh 3.15: H¼nh vng B i to¡n 3.4 Chựng minh rơng ở di ữớng trung bẳnh cừa mởt tự giĂc ( oÔn thng nối trung im cÔnh èi di»n) khỉng v÷đt qu¡ nûa têng ë d i cÔnh cừa tự giĂc ng thực xÊy ch cÔnh ny song song Bi toĂn 3.5 Thới cờ xữa diằn tẵch cừa mởt tự giĂc ữủc tẵnh l tẵch cừa nỷa tờng hai cÔnh ối diằn Chựng minh rơng cĂch tẵnh nhữ vêy ch cho kát quÊ úng tự giĂc l hẳnh chỳ nhêt Bi toĂn 3.6 (M1169-số hiằu bi toĂn tÔp chẵ Kvant) GiÊ sỷ P l im tũy ỵ hẳnh chỳ nhêt ABCD Chựng minh rơng diằn tẵch cừa nõ khổng vữủt qu¡ P A.P C + P B.P D B i to¡n 3.7 Cho lưc gi¡c câ t¥m èi xùng Ba ¿nh cừa nõ lĐy ối xựng tÔo thnh mởt tam giĂc Chựng minh rơng diằn tẵch cừa nõ bơng mởt nỷa diằn tẵch lửc giĂc 3.2.4 nh lỵ Napoleon Chúng ta chựng minh mởt nh lỵ nời tiáng mang tản v tữợng PhĂp Napoleon Bonapac nh lỵ 3.1 (Bi toĂn Napoleon) Tứ cĂc cÔnh cừa tam giĂc ABC tũy ỵ dỹng ngo i c¡c tam gi¡c ·u CAB1, BCA1, ABC1 Khi õ cĂc tƠm P, Q, R cừa chúng tÔo thnh mët tam gi¡c ·u 46 Chùng minh Ph²p chùng minh D.F Ricbi à xuĐt Dỹng tĐt cÊ hẳnh v trản mt phng (nhữ hẳnh 3.16): TĐt cÊ tam giĂc mu trưng bơng tam giĂc ABC  cho CĂc tam gi¡c tỉ m u l  c¡c tam gi¡c ·u t÷ìng ựng dỹng trản cĂc cÔnh ABC Hẳnh v ban Ưu (gỗm tam giĂc  cho, tam giĂc Ãu v tam giĂc tÔo bi cĂc tƠm) chuyn thnh hẳnh v tiáp theo nhớ php quay 1200 , tƠm quay l  t¥m n o â cõa c¡c tam gi¡c ·u Tø õ suy ra, chng hÔn, cĂc tƠm tam giĂc mu hỗng thnh lữợi tam giĂc ảu m cõ tƠm trũng vợi tƠm cĂc tam giĂc mu xanh hoc mu vng Ta câ c¡c tam gi¡c SQM v  SQN l  c¡c tam giĂc Ãu s bián thnh chẵnh chúng qua php quay gõc 1200 vợi tƠm quay tữỡng ựng l R v S Những õ chẵnh cĂc tƠm cừa Hẳnh 3.16: nh lỵ Napoleon tĐt cÊ cĂc tam giĂc tổ mu tÔo thnh lữợi cĂc tam giĂc Ãu (ữớng lữợi l mu ọ) c biằt, tam giĂc Napoleon P QR l  tam gi¡c ·u â l  i·u c¦n chùng minh CƯn nõi thảm rơng lữợi Ricbi thỹc sỹ tỗn tÔi: Xt tam giĂc ABC v 47 cĂc tam giĂc Ãu ABC1 , CAB1 Ta dỹng trản cÔnh AC1 D, EB1 A c¡c tam gi¡c b¬ng ∆ABC (chóng nhên ữủc tứ ABC qua php quay 1200 quanh tƠm R v P theo chiÃu ngữủc chiÃu kim ỗng hỗ) Chú ỵ rơng AD = BC = AE v DAE = 600 (v¼ têng c¡c gâc c¡c tam gi¡c m u trng tÔi nh A bơng 1800 ) Nghắa l ADE Ãu Vc tỡ BC nhên ữủc tứ AD qua ph²p quay t¥m S , gâc quay 1200 , m vc tỡ DE nhên ữủc tø AD qua ph²p quay t¥m S , gâc quay 1200 Bði vªy, BC = DE −−→ −−→ −−→ −−→ T÷ìng tü, CB1 = C1 D v  B1 E = BC1 Nhữ vêy, cĂc cÔnh ối diằn cõa lưc gi¡c BCB1 EDC1 b¬ng v  song song CĂc lửc giĂc nhữ vêy cõ th lĂt ữủc mt phng Tứ nh lỵ Napoleon ta cỏn thu ữủc cổng thùc t½nh di»n t½ch tam gi¡c Napoleon P QR C¡c tƠm cừa tĐt cÊ cĂc tam giĂc tổ mu cõ th xt nhữ cĂc nút cừa lữợi hẳnh thoi (mội hẳnh thoi gỗm hai tam giĂc Ãu) Ta coi diằn tẵch hẳnh thoi l thẳ diằn tẵch tam giĂc P QR bơng 1/2: Diằn tẵch lửc giĂc tẳm ữủc câ thº t½nh qua c¡c nót: nâ câ óng nút m khổng cõ nút no trản cÔnh, bi vêy diằn tẵch cừa nõ bơng 3, tực l lợn hỡn lƯn diằn tẵch P QR Những diằn tẵch lửc giĂc gỗm tam giĂc ABC v tam giĂc Ãu dỹng trản cĂc cÔnh tam giĂc ABC Vªy ta câ h a2 √ √ √ b c2 i 6SP QR = 3SABC + + + √ 4 (a + b2 + c2 ) =⇒ SP QR = SABC + 24 3.3 C¡c b i to¡n kh¡c C¡c b i to¡n l¡t ph¯ng kh¡c hay g°p l  c¡c l¡t phng hỳu hÔn hoc lĂt phng cõ thảm iÃu kiằn rng buởc Phữỡng phĂp giÊi cĂc bi toĂn ny rĐt a dÔng, ngữới ta thữớng dũng phữỡng phĂp phÊn chựng (c biằt Ăp dửng nguyản lỵ Dirichlet), phữỡng phĂp diằn tẵch, phữỡng phĂp cỹc hÔn, phữỡng phĂp tÔo cac ữớng th¯ng song song, Ta x²t mët sè v½ dư (tham kh£o [1], [3]) 48 V½ dư 3.3.1 Bản mởt hẳnh vuổng cÔnh 100, ngữới ta t 35 ỗng xu hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh Cõ th t ữủc hay khổng mởt tĐm bẳa hẳnh trỏn bĂn kẵnh nơm hẳnh vuổng m khổng gĂc lản mởt ỗng xu no hay khổng? Chựng minh CƠu tr£ líi l  câ C¡ch Dịng ph÷ìng ph¡p di»n tẵch - V 35 hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh + = vợi tƠm l tƠm cừa cĂc ỗng xu  cho - Thu nhọ hẳnh vuổng cÔnh 100 mội phẵa 7, ữủc hẳnh vuổng ỗng tƠm cõ cÔnh 100 14 = 86 - Gồi S1 l diằn tẵch 35 hẳnh trỏn bĂn kẵnh 8, S2 l diằn tẵch hẳnh vuổng cÔnh 86 - Ta thĐy S1 < S2 v¼ S1 ≤ 35.π.82 < 35.3, 2.64 = 7168 ≤ 7396 − 862 = S2 Do â tỗn tÔi im A nơm hẳnh vuổng cÔnh 86, nơm ngoi cĂc hẳnh trỏn bĂn kẵnh Hẳnh trỏn (A, 7) l hẳnh trỏn cƯn dỹng CĂch Dũng nguyản lỵ Dirichlet Hẳnh 3.17: Phữỡng phĂp diằn tẵch 100 = 16 - Theo nguyản lỵ Dirichlet, tỗn tÔi mởt hẳnh vuổng B khổng chựa tƠm cừa mởt ỗng xu no - Thu nhọ hẳnh vuổng B thnh hẳnh vuổng B ỗng tƠm vợi B , cõ cÔnh 14 (cÔnh 16 32 xuống cÔnh 14) - Chia hẳnh vuổng cÔnh 100 thnh 36 ổ vuổng cõ cÔnh = 49 - Dỹng hẳnh trỏn nởi tiáp h¼nh vng B Rã r ng h¼nh trán n y thọa mÂn bi toĂn Hẳnh 3.18: Dũng nguyản tưc Dirichlet Nhên xt - Vợi cĂch giÊi dũng phữỡng phĂp diằn tẵch ta cõ th khng nh bi toĂn văn úng náu hẳnh vuổng ban Ưu t thảm mởt ỗng xu nỳa - Nguyản lỵ Dirichlet thữớng ữủc sỷ dửng  chựng minh sỹ tỗn tÔi, k thuêt hay dũng l "chia thnh cĂc lỗng" Vẵ dử 3.3.2 Bản mởt hẳnh vuổng cÔnh 100, ngữới ta t 63 ỗng xu hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh Cõ th t ữủc hay khổng mởt tĐm bẳa hẳnh vuổng cÔnh 10 nơm hẳnh vuổng m khổng gĂc lản mởt ỗng xu no hay khổng? Vẵ dử 3.3.3 Bản mởt ữớng trỏn bĂn kẵnh 1, t mởt tam giĂc cõ diằn tẵch lợn hỡn Chựng minh rơng tam giĂc chựa tƠm ữớng trỏn Vẵ dử 3.3.4 Chựng minh rơng mởt hẳnh chỳ nhêt kẵch thữợc 10 ì 13 cõ th xáp ữủc thnh dÂy cĂc hẳnh trỏn khổng gĂc lản cho tờng cĂc bĂn kẵnh cừa chúng bơng 1000 Chựng minh Xt hẳnh vuổng cÔnh 10 (nơm hẳnh chỳ nhêt) GiÊ sỷ ta chia mội cÔnh hẳnh vuổng thnh n oÔn bơng nhau, ở di mội 50 10 ữủc n2 hẳnh vuổng nhọ Trong mội hẳnh vuổng nhọ v hẳnh n trỏn nởi tiáp 5 BĂn kẵnh mội ữớng trỏn nhọ l Tờng cĂc bĂn kẵnh bơng n2 = n n 5n  tờng cĂc bĂn kẵnh bơng 1000 ta phÊi cõ 5n = 1000, tực l n = 200 Nhữ vêy ta chia cÔnh hẳnh vuổng 10 ì 10 thnh 200 oÔn bơng nhau, mội oÔn di , ta ữủc 40.000 hẳnh vuổng nhọ CĂc hẳnh trỏn nởi tiáp 20 cĂc hẳnh vuổng xáp thnh dÂy khổng gĂc lản v tờng cĂc bĂn kẵnh bơng 40.000 = 1000 40 oÔn = CĂc bi toĂn sau Ơy liản quan án khĂi niằm phừ: Ta nõi mởt hẳnh H ữủc phõ bði c¡c h¼nh Fi , i = 1, , n náu mội im cừa hẳnh H Ãu thuởc ẵt nhĐt mởt cĂc hẳnh Fi , i = 1, , n Nâi c¡ch kh¡c, H ÷đc n [ phõ bði c¡c h¼nh Fi , i = 1, , n náu H Fi i=1 Vẵ dử 3.3.5 Cho hẳnh trỏn tƠm O, bĂn kẵnh Chựng minh rơng i Cõ thphừ ữủc hẳnh trỏn  cho bi hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh bơng ii Khổng th phừữủc hẳnh trỏn  cho bi hẳnh trỏn câ cịng b¡n k½nh nhä hìn Chùng minh √ i Dỹng tam giĂc Ãu nởi tiáp ữớng trỏn (O, 2) Ta câ AC = Do gâc ∠AOC = 1200 > 900 nản tƠm O nơm ữớng trỏn cõ ữớng kẵnh AC , õ hẳnh trỏn ữớng kẵnh AC phừ AOC v phừ hẳnh quÔt AOC Tữỡng tỹ hẳnh trỏn ữớng kẵnh AB phừ hẳnh quÔt AOB , hẳnh trỏn cõ ữớng kẵnh BC phừ hẳnh quÔt BOC Nhữ vêy ba hẳnh trỏn ữớng kẵnh AC, AB, BC (bĂn kẵnh 3), phừ kẵn (O) √ ii X²t ÷íng trán (O0 , r) i qua iºm C ∈ (O), â r < GiÊ sỷ (O0 ) cưt (O) tÔi D Ta câ CD ≤ 2r < V³ tam gi¡c ·u ABC √ nëi ti¸p (O), ta câ AC = 51 Do cung CD nhä hìn cung CA nản cung CD < 1200 Nhữ vêy hẳnh trán (O0 , r) khỉng phõ k½n cung 1200 cõa (O), õ hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh r khổng phừ kẵn hẳnh trỏn (O) Hẳnh 3.19: Bi toĂn phõ Mët sè v½ dư sau l  c¡c b i thi Olympic toĂn quốc tá mĐy nôm gƯn Ơy Mội bi ·u câ nhi·u c¡ch gi£i Khi tr¼nh b y chóng tỉi lüa chån c¡ch gi£i sû dưng ki¸n thùc v· a giĂc Ãu, lĂt phng, nguyản lỵ Dirichlet, Hai bi nôm 2014, 2015 câ tham kh£o c¡ch gi£i cõa N.T Dông [1] V½ dư 3.3.6 (IMO 2013, #2) Cho 2013 im ọ v 2014 im xanh bĐt ký trản mt ph¯ng cho khæng câ iºm th¯ng h ng Mët ph²p chia m°t ph¯ng gåi l  "ho n h£o" n¸u khỉng cõ miÃn no gỗm cĂc im khĂc mƯu XĂc nh sè nhä nh§t c¡c sè k cho ph²p chia ho n h£o ln câ thº thüc hi»n ÷đc bði k ÷íng th¯ng Chùng minh Ta s³ chùng minh 2013 l  gi¡ trà nhä nh§t cõa k m  câ thº £m bÊo php chial hon hÊo Trữợc hát ta ch cĐu hẳnh cĂc im m 2013 ữớng thng l cƯn º thüc hi»n ph²p chia ho n h£o X²t a gi¡c Ãu 4027 cÔnh A1 A2 A4027 nởi tiáp ữớng trán ìn Gi£ sû c¡c ¿nh A2k+1 l  m¦u ä vỵi k ∈ {0, 1, 2, , 2013} cán cĂc nh khĂc mƯu xanh Vợi mội j {1, 2, , 4026} c¡c cung ng­n Aj Aj+1 ph£i giao vợi mởt cĂc ữớng cừa php chia Do õ câ 4026 iºm l  giao iºm cõa ÷íng trán ìn v vợi cĂc ữớng cừa php chia Vẳ mội ữớng cõ th cõ ẵt nhĐt im nản ta cƯn cõ ẵt nhĐt 2013 ữớng php chia õ 52 BƠy giớ ta s chựng minh rơng luổn tÔo ÷đc mët ph²p chia ho n h£o tø vi»c sû dưng 2013 ÷íng Gi£ sû câ 2013 iºm ä v  2014 iºm xanh Gåi W1 , W2 , , Wk l  bao lỗi cĂc im ny Náu mởt im bĐt ký cừa bao lỗi ny mƯu ọ, chng hÔn W1 thẳ s³ câ mët ÷íng th¯ng m t¡ch m°t ph¯ng th nh mi·n m  mët chóng ch¿ chùa W1 Gi£ sû {R1 , , R2012 } l  tªp c¡c iºm ä kh¡c W1 Vỵi méi j ∈ {1, 2, , 1006} ta x²t ÷íng th¯ng R2j−1 R2j : Cõ hai ữớng thng lj v lj0 song song vợi R2j−1 R2j cho mi»n giúa lj v  lj0 khæng chùa b§t ký iºm n o kh¡c R2j−1 v  R2j C¡c ÷íng th¯ng m, l1 , l10 , l2 , l20 , , l1006 , l1006 tÔo thnh mởt php chia hon hÊo Náu tĐt cÊ cĂc im W1 , W2 , , Wk l mƯu xanh thẳ cõ mởt ữớng thng p song song vợi W1 W2 tĂch m°t ph¯ng th nh mi·n m  mët mi·n ch¿ chùa cĂc im W1 , W2 Ta kỵ hiằu B1 , B2 , , B2012 l  c¡c iºm xanh cán lÔi Vợi mội j {1, 2, , 1006} ta x²t ÷íng th¯ng B2j−1 B2j : Câ ÷íng th¯ng lj v  lj0 song song vỵi B2j−1 B2j cho mi·n giúa lj v  lj0 khỉng chùa b§t ký iºm n o kh¡c B2j−1 v  B2j Lóc â c¡c ÷íng tÔo thnh mởt php chia hon hÊo thng p, l1 , l10 , l2 , l20 , , l1006 , l1006 V½ dư 3.3.7 (IMO 2014, #6) Gi£ sû cõ n ữớng thng trản mt phng cho khổng câ ÷íng n o song song v  khỉng câ ữớng no ỗng quy Chựng minh rơng cõ th tổ ẵt nhĐt n ữớng mu xanh cho khổng câ mi·n bà ch°n n o câ bi¶n to n l  m u xanh Chùng minh Gi£ sû ta x²t thuªt to¡n (T) sau: Ưu tiản ta tổ ữớng bĐt ký mƯu xanh; sau õ cỏn tổ thảm ữớng no õ mƯu xanh m khổng cõ miÃn no cõ biản mƯu xanh thẳ ta lÔi tổ tiáp ữớng õ, cỏn náu khổng tổ ữủc thảm thẳ dứng lÔi Gồi số ữớng  tổ xanh vo thới im dứng lÔi l k Náu ta chựng minh ữủc k n thẳ thuêt toĂn (T) l hon hÊo v bi toĂn ữủc chựng minh PhÊn chựng: Ta gồi ữớng cĐm náu nõ chữa ữủc tổ mu xanh v náu tổ nõ mu xanh thẳ s cõ miằn b chn cõ biản ton m u xanh Ta quan k(k − 1) (iºm nót xanh= iºm giao cõa ÷íng xanh) Con số ny bơng chn trản cừa số ữớng cĐm m s¡t th§y: Sè iºm nót xanh= 53 ta mn chựng minh Tứ Ơy nÊy ỵ tững: Náu chng hÔn mội ữớng cĐm phÊi ữủc gưn vợi im nút xanh v  c¡ch g­n â méi iºm nót xanh ữủc gưn vợi khổng quĂ ữớng cĐm thẳ số ữớng cĐm khổng vữủt quĂ lƯn số im nút xanh, tùc khỉng qu¡ 2× k(k − 1) = k(k 1) ữớng cĐm Mởt ữớng cĐm tÔo miÃn b chn cõ biản ton xanh v cõ oÔn biản chẵnh l ữớng cĐm õ Trản miÃn õ cõ nh nút xanh gƯn kà vợi ữớng cĐm Ta gồi tia cÔnh xanh xuĐt phĂt tứ nh õ và phẵa nh trản ữớng cĐm l tia liản ợi Hai nh xanh gƯn liÃn kà cõ th trũng thnh mởt tia liản ợi khổng trũng Nhữ vêy mội ữớng cĐm ựng vợi ẵt nhĐt tia liản ợi Ngữủc lÔi mội nh nót xanh ch¿ câ tia xanh xu§t ph¡t, tùc l nõ tÔo nhiÃu nhĐt tia liản ợi cho tĐt cÊ cĂc ữớng cĐm (dạ thĐy tia khổng th l tia liản ợi cừa ữớng cĐm lúc) Nhữ vêy, số tia liản ợi số nút xanh ì4 v số tia liản ợi số ữớng cĐm ì2 Suy ra: Hẳnh 3.20: Tia liản ợi 54 số ữớng cĐm số nút xanh ì = × sè nót xanh = k(k + 1) = k k Vêy náu n > k th¼ sè n − k > k k ữớng chữa tổ cõ ẵt nhĐt ữớng khổng b cĐm v ta cõ th tổ xanh ữớng õ, vổ lỵ Thuêt toĂn (T) l hon h£o V½ dư 3.3.8 (IMO 2015, #1) Gåi V l  mởt têp hỳu hÔn cĂc im trản mt phng Ta nõi rơng V l cƠn bơng náu vợi im phƠn biằt bĐt ký A, B V tỗn tÔi iºm thù ba C ∈ V cho CA = CB Ta nõi rơng V l khổng cõ tƠm náu nhữ khổng tỗn tÔi mởt bở im phƠn bi»t A, B, C, P ∈ V cho P A = P B = P C i Chùng minh rơng vợi n thẳ tỗn tÔi mởt têp hủp V cƠn bơng cõ úng n im ii Vợi nhỳng n no thẳ tỗn tÔi têp hủp V cƠn bơng v khổng cõ tƠm vợi úng n iºm Chùng minh X²t tø mët sè gi¡ trà nhọ cừa n: 10 Vợi n = 3, thĐy V = {A, B, C} l cƠn bơng v  ch¿ ∆ABC ·u v  â V khæng cõ tƠm 20 Vợi n = 4, tữỡng tỹ trữớng hủp trản, ta cõ th ghp tam giĂc Ãu thnh hẳnh thoi v cõ têp hủp cƠn bơng Trữớng hủp ny V cõ tƠm: BA = BC = BD v  DA = DB = DC Ta s³ chựng minh náu V gỗm im l cƠn bơng thẳ nõ cõ tƠm Thêt vêy, im lêp thnh cp im , mội cp cõ ẵt nhĐt im cƠn bơng cừa chúng Vẳ số cp l nản theo nguyản lỵ Dirichlet tỗn tÔi im l im cƠn bơng cừa ẵt nhĐt cp im khĂc Gåi hai c°p iºm â l  (A1 , A2 ), (B1 , B2 ) v im cƠn bơng chung l C Náu tĐt cÊ A1 , A2 , B1 , B2 phƠn biằt thẳ V cõ ẵt nhĐt im phƠn biằt (thảm C ), vổ lỵ Bi vªy c°p ph£i câ iºm chung (khỉng chung cÊ vẳ náu vêy cp trũng nhau) Chng hÔn A2 B1 Khi õ CA1 = CA2 = CB1 = CB2 Do â, C l  t¥m iºm cõa bë iºm A1 , A2 , B2 , tực l V cõ tƠm 30 Vợi n = 5, náu cõ tƠm im nhữ n = thẳ cõ th tÔo tam giĂc Ãu cõ nh, khổng dẵnh vo Ta ữủc mởt têp hủp cƠn bơng v cõ tƠm vợi im Náu ta khổng muốn têp cõ tƠm, chng hÔn 55 ngơ gi¡c ·u ABCDE th¼ ¿nh A, B cõa AB c¡ch ·u D cán ¿nh A, C cõa AC c¡ch ·u B T÷ìng tü cho cĂc ữớng cho khĂc, õ, vợi ABCDE l ngụ gi¡c ·u tªp V = {A, B, C, D, E} cƠn bơng v khổng cõ tƠm 40 Vợi n > 5, dỹa vo cĂc suy luên trản ta cõ giÊ thuyát sau: a) Náu n l thẳ tỗn tÔi têp n im cƠn bơng v khổng cõ tƠm b) Náu n chđn thẳ cụng tỗn tÔi têp n im cƠn bơng cĂc têp ny khổng cõ tƠm Thêt vêy, trữớng hủp a) ch cƯn sỷ dửng ngiĂc Ãu vợi n l Chú ỵ rơng n chđn têp cĂc nh cừa ngiĂc Ãu khổng l têp cƠn bơng Trữớng hủp b), n chđn lợn hỡn hoc bơng 4, ta lĐy trữớng hủp n = v thảm v o â c¡c tam gi¡c ·u câ chung ¿nh B¥y gií ta x²t 2m(2m − 1) = 2m2 − m c°p iºm (khæng s­p thù tü) Méi c°p im cõ ẵt nhĐt im cƠn bơng (cĂch Ãu) sè c¡c iºm cõa V v  v¼ V câ 2m iºm n¶n s³ câ iºm P ∈ V 2m2 m l im cƠn bơng cừa ẵt nhĐt = m − c°p iºm kh¡c 2m Vẳ < nản thỹc P phÊi l im cƠn bơng cừa (ẵt nhĐt) m cp im khĂc Náu tĐt cÊ cĂc im m cp õ Ãu phƠn biằt thẳ tờng cởng cõ 2m + = n + im (thảm P ), vổ lỵ Nhữ vêy cõ cp im cõ chung im, v½ dư c°p (A, B) v  c°p (B, c) Khi â ta câ P A = P B = P C , tùc P l  t¥m iºm cõa bë iºm (A, B, C) n = 2m ≥ 4: V lªp th nh Cn2 = B i to¡n 3.8 (64, [1]) Cho iºm tr¶n m°t ph¯ng, hai iºm n o cơng câ kho£ng cĂch lợn hỡn Chựng minh rơng khổng th phừ tĐt cÊ im Đy bi mởt hẳnh trỏn cõ ữớng kẵnh khổng quĂ Bi toĂn 3.9 (66, [1]) Cho mởt a giĂc lỗi Xáp ữủc nhiÃu nhĐt 10 ỗng xu hẳnh trỏn cõ ữớng kẵnh 1, ổi mởt khổng giao v cõ tƠm nơm a giĂc Chựng minh rơng 10 hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh ỗng tƠm vợi 10 ỗng xu a cho s phừ k½n a gi¡c 56 B i to¡n 3.10 (67, [1]) Bản mởt hẳnh chỳ nhêt cõ diằn tẵch 35, °t tam gi¡c, méi tam gi¡c câ di»n t½ch Chựng minh rơng tỗn tÔi hai tam giĂc cõ diằn tẵch phƯn chung khổng nhọ hỡn Bi toĂn 3.11 ( Thẵ dử 41, [1]) Chựng minh rơng cõ thº chia mët tam gi¡c vng c¥n th nh c¡c tam giĂc vuổng cƠn ổi mởt khổng bơng Bi toĂn 3.12 ( Th½ dư 44, [1]) a Cho mët tí giĐy hẳnh vuổng cõ cÔnh bơng Chựng minh rơng cõ th cưt ữủc tứ tớ giĐy õ hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh bơng b Cho mởt tớ giĐy hẳnh vuổng cõ cÔnh bơng a Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt cừa a  cõ th cưt ữủc tứ tớ giĐy õ hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh bơng B i to¡n 3.13 (IMO 2016, #6, B i to¡n ách) Cõ N oÔn thng ổi mởt giao cho khổng cõ oÔn thng no ỗng quy Nhữ vêy, trản mội oÔn cõ N im nút c­t v  nót ¦u i Th¦y Minh chìi trá nhữ sau: t N ách vo N im nút ngoi (nút Ưu uổi) cừa N oÔn thng õ, mội oÔn rỗi thƯy vộ tay N lƯn Mội lƯn vộ tay thẳ tĐt cÊ ách ỗng thới nhÊy, no cụng nhÊy trản oÔn thng cừa õ theo hữợng cố nh tứ im xuĐt phĂt án Ưu tứ nút ang ựng sang nút tiáp theo Chựng minh rơng: a) Náu N l thẳ cõ th t ách cho nhÊy nhữ vêy khổng cõ lƯn no cõ ách nhÊy vo nút b) Náu N chđn thẳ dũ t ¸ch kiºu g¼ cơng câ lóc câ ¸ch cịng nh£y v o nót ð mët l¦n vé tay no õ 57 Kát luên cừa luên vôn Luên vôn trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ sau Nhưc lÔi và php dỹng a giĂc Ãu bơng com pa v thữợc k Hon thnh bi toĂn lĂt mt phng bi cĂc a giĂc Ãu vợi kát quÊ thu ÷đc 11 kiºu l¡t ph¯ng ·u, ngo i khỉng cán kiu no khĂc Kát quÊ ny ữủc trẳnh by chi tiát dỹa theo nhỳng gủi ỵ bi bĂo [6] cừa Kolmogorov Trẳnh by kát quÊ cĂc vĐn à liản quan: LĂt mt phng bơng cĂc a giĂc bơng nhau, hẳnh hồc trản cĂc lĂt phng, cĂc bi toĂn kh¡c Sau ho n th nh c¡c v§n · °t ra, chúng tổi nhên thĐy cõ cĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo: - Ùng dưng k¸t qu£ b i to¡n l¡t ph¯ng ·u v o gi£i b i to¡n kh¡c - X²t b i to¡n t÷ìng tü cho c¡c a di»n ·u khỉng gian 58 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t [1] Vơ Húu B¼nh (2016), nëi, Tõ s¡ch Sputnik H¼nh håc tê hủp, NXB Ôi hồc quốc gia H [2] PhÔm Th Lan (2010), Lỵ thuyát trữớng v bi toĂn dỹng hẳnh bơng thữợc k v compa, luên vôn ThÔc sắ Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản Tiáng Anh [3] Viktor Prasolov, (Translated and edited by Dimitry Leites) (1989), Problems in Plane and Solid Geometry, V.1 Plane Geometry, Moscow, Nauka, Chapter 6, Chapter 8, Chapter 25, Chapter 27 [4] Paul Yiu (1998), Euclidean Geometry, (Preliminary Version), Departement of Mathematics, Florida Atlatic University.( Chapter 1, Chapter 6) Ti¸ng Nga [5] ợởũớủờốộ (1989),ẽờồũ ốỗ ữồũỷồúóợởỹớốờợõ, ấõớũ, ợỡồ 11-1989 [6] ấợởỡợóợợõ ..(1986), ẽờồũỷ ốỗ ùõốởỹớỷừ ỡớợóợúóợởỹớốờợõ, ấõớũ, ợỡồ 08-1986