Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN BÌNH DƯƠNG CHÉO HĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Bình Dương CHÉO HĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TSKH Đoàn Thái Sơn Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Bình Dương Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn PGS TSKH Đoàn Thái Sơn i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TSKH Đồn Thái Sơn Tơi xin cảm ơn thầy hướng dẫn tận tình hiệu kinh nghiệm trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo tổ môn giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực luận văn thạc sĩ Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên suốt trình làm luận văn Tuy nhiên, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý từ thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Bình Dương ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Tính nhị phân mũ 1.2 Phổ nhị phân mũ 1.3 Ví dụ 15 Chương Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 17 2.1 Một số kết chuẩn bị tích phân Lebesgue hàm liên tục tuyệt đối 17 2.2 Phép biến đổi tương đương 23 2.3 Chéo hóa 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực Rn×n tập ma trận vng cấp n A : R → Rn×n Hàm ma trận khả tích địa phương ∅ tập rỗng ⊕ tổng trực tiếp GLN (R) Nhóm ma trận tuyến tính khả nghịch cấp N im P Ảnh phép chiếu P ker P Nhân phép chiếu P kết thúc chứng minh iv Mở đầu Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (1) với hàm ma trận A : R → RN ×N liên tục bị chặn Nếu (1) phương trình vi phân với hệ số không phụ thuộc thời gian, tức x˙ = Ax, A ∈ RN ×N việc thay đổi biến x 7→ T −1 x biến phương trình thành phương trình có dạng x˙ = T −1 ATx Do đó, cách lựa chọn ma trận khả nghịch T cách phù hợp ta đơn giản hóa phương trình tuyến tính với hệ số khơng phụ thuộc thời gian Ví dụ ta chọn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT dạng chuẩn Jordan Trong khuân khổ nội dung luận văn này, tìm hiểu kết tương tự cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc thời gian (1) Ở sử dụng khái niệm khả quy định nghĩa Coppel [3] Cụ thể, hệ (1) gọi khả quy tồn phép đổi biến khả nghịch phụ thuộc thời gian biến đổi hệ (1) thành hệ đường chéo khối với số chiều đường chéo khối nhỏ hẳn N Để mở rộng kết dạng chuẩn Jordan cho hệ tuyến tính phụ thuộc vào thời gian cần nhắc tới lý thuyết phổ phù hợp hệ (1) Khái niệm phổ coi khái niệm khái quát giá trị riêng theo cách thích hợp Nhắc lại rằng, lịch sử có nhiều khái niệm phổ cho phương trình (1), ví dụ khái niệm phổ Lyapunov cho hệ quy, khái niệm phổ Morse cho hệ động lực tích lệch (xem Colonius Kliemann [4]), khái niệm phổ Bohl với mục đích mơ tả tất tốc độ tăng trưởng hệ với thời gian dương (xem Daleckii Krein [5]) Tuy nhiên, khái niệm phổ Sacker-Sell, hay gọi phổ nhị phân mũ, dường khái niệm phổ phù hợp để giải câu hỏi mở rộng Nhằm trình bày cách có hệ thống kết mở rộng định lý dạng chuẩn Jordan cho hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian Siegmund [9], luận văn bao gồm nội dung sau: Chương 1: Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Chương 2: Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính không gian hữu hạn chiều Cuối phần kết luận tóm tắt kết đạt danh mục tài liệu tham khảo Chương Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng x˙ = A(t)x (1.1) với A : R → RN ×N hàm đo khả tích địa phương, tức với đoạn [a, b] ⊂ R ta có Z b kA(t)k dt < ∞ a Mục đích chương trình bày khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình (1.1) định lý phổ nhị phân mũ cho phương trình Kết chương chứng minh [9] 1.1 Tính nhị phân mũ Ta kí hiệu Φ : R × R → RN ×N , (t, τ ) 7→ Φ(t, τ ) toán tử tiến hóa phương trình (1.1), tức Φ(., τ )ξ giải toán giá trị ban đầu (1.1) với χ(τ ) = ξ Một phép chiếu bất biến (1.1) định nghĩa hàm P : R → RN ×N phép chiếu P (t), t ∈ R, cho P (t)Φ(t, s) = Φ(t, s)P (s), t, s ∈ R (1.2) Lưu ý P liên tục đồng thức P (·) ≡ Φ(., s)P (s)Φ(s, ) Chúng ta nói (1) có tính nhị phân mũ có phép chiếu bất biến P số K ≥ 1, α > cho kΦ(t, s)p(s)k ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s kΦ(t, s)[I − P (s)]k ≤ Keα(t−s) với t ≤ s Tiếp theo nghiên cứu lớp phương trình dịch chuyển sau x˙ = (A(t) − γI)x (1.3) γ ∈ R Dễ dàng thấy Φγ (t, s) := e−γ(t−s) Φ(t, s) tốn tử tiến hóa Nếu với giá trị γ mà phương trình dịch chuyển (1.3) có tính nhị phân mũ với họ phép chiếu bất biến P P phép chiếu bất biến x˙ = A(t)x, tức (1.2) thỏa mãn Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau kΦ(t, s)P (s)k ≤ Ke(γ−α)(t−s) với t ≥ s kΦ(t, s)[I − P (s)]k ≤ Ke(γ+α)(t−s) với t ≤ s Nhận xét 1.1 Nếu x˙ = [A(t) − γI]x có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P ≡ I x˙ = [A(t) − ζI]x có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến cho ζ > γ Khẳng định với ζ < γ P ≡ Tiếp theo ta trình bày khái niệm mơ tả tốc độ tăng trưởng mũ hàm số Định nghĩa 1.2 Giả sử γ ∈ R Một hàm liên tục g : R → RN (a) γ + - bị chặn supt≥0 kg(t)k e−γt < ∞ (b) γ − - bị chặn supt≤0 kg(t)k e−γt < ∞ [a,b] liên tục tuyệt đối Bổ đề sau với hàm liên tục tuyệt đối khả vi hầu hết điểm bổ đề mối liên hệ đạo hàm hàm với phép lấy tích phân Bổ đề 2.2 Với a, b ∈ R, với a ≤ b ta có khẳng định sau: (A) Nếu f : [a, b] → RN khả tích Lebesgue Z t f (σ)dσ, t ∈ [a, b] F (t) := a liên tục tuyệt đối Dt F (t) = f (t) tồn với hầu hết giá trị t ∈ [a, b] (B) Nếu F : [a, b] → RN liên tục tuyệt đối Dt F (t) tồn với hầu hết giá trị t ∈ [a, b] , Dt F có tính chất khả tích Lebesgue [a, b] Z t F(t) − F(a) = Dt F (σ)dσ a Chứng minh Xem Craven [1] Tích f.g hai hàm liên tục tuyệt đối f, g : I ⊂ R → R liên tục tuyệt đối hàm hợp f ◦ g hàm liên tục tuyệt đối chưa liên tục tuyệt đối Mệnh đề sau giả thiết thêm để đảm bảo cho tính liên tục tuyệt đối phép lấy hợp thành Bổ đề 2.3 Giả sử gi : R → R, i = 1, , N hàm liên tục tuyệt đối f : RN → R khả vi liên tục Khi hàm hợp f ◦ (g1 , , gN ) : R → R, t 7→ f (g1 (t), , gN (t)) liên tục tuyệt đối Chứng minh Giả sử [a, b] ⊂ R khoảng compact Khi tính khả vi liên tục f tồn số C > với N |f (x1 , , xn ) − f (¯ x1 , , x¯N )| ≤ C max |xi − x¯i | , xi , x¯i ∈ gi ([a, b]) i=1 18 Bây giờ, cho trước ε > Do tính liên tục tuyệt đối gi tồn δ > cho N max i=1 n X |gi (βk ) − gi (αk )| < ε/C k=1 với a ≤ α1 < β1 ≤ α2 < β2 ≤ · · · ≤ αn < βn ≤ b với Pn k=1 (βk − αk ) < δ Điều suy n X |f (g1 (βk ) − gm (βk )) − f (g1 (αk ) − gm (αk ))| < ε k=1 có điều phải chứng minh Đặt Sym := {A ∈ RN ×N : AT = A} biểu thị tập ma trận đối xứng N × N Đặt L(Sym) tập ánh xạ tuyến tính Sym đặt P d := {A ∈ Sym : A xác định dương} Giờ xét hàm sau σ : Sym → Sym, A 7→ A2 Dễ dàng nhận thấy σ |P d : P d → P d có tính song ánh Giờ tính đạo hàm Bổ đề 2.4 Ánh xạ σ : P d → Sym, A 7→ A2 khả vi liên tục với đạo hàm Dσ : P d → L(Sym), A 7→ Dσ(A) Dσ(A) : Sym → Sym, X 7→ XA + AX phép đẳng cấu tuyến tính với A ∈ P d Chứng minh Lấy A ∈ P d X ∈ Sym Khi 2 (A + X) − A − [XA + AX] ≤ kXk điều σ khả vi P d Để chứng minh tính liên tục Dσ đặt A, B ∈ P d X ∈ Sym Khi bất đẳng thức kDσ(A)X − Dσ(B)Xk = kXA + AX − XB − BXk = kX(A − B) + (A − B)Xk ≤ kA − Bk · kXk 19 kDσ(A) − Dσ(B)kL(Sym) ≤ kA − Bk tính liên tục Dσ chứng minh Để kết thúc chứng minh, ta cần Dσ ∈ L(Sym) Tính tồn ánh: Với A ∈ P d Q ∈ Sym phương trình Lyapunov (hoặc Sylvester) XA + AX = Q có nghiệm X ∈ Sym từ ta có tính tồn ánh Tính đơn ánh : Với A ∈ P d Q ∈ Sym với Dσ(A)X = Chúng ta X = 0, có nghĩa Ker Dσ(A) = {0} Đặt v vectơ riêng A với giá trị riêng a > 0, có nghĩa Av = av Do AX = −XA nên ta có AXv = −XAv = −aXv Xv vectơ riêng A với giá trị riêng −a Ma trận A xác định dương nên khơng có giá trị riêng giá trị âm Do X = Bổ đề 2.5 Ánh xạ σ: Pd → Pd, A 7→ A2 vi phơi C nghịch đảo √ σ −1 : Pd → Pd, A 7→ A liên tục Chứng minh Chúng ta σ: Pd → Pd, A 7→ A2 , vi phôi C (2.1) Dựa vào Bổ đề 2.4, σ khả vi liên tục với A ∈ P d đạo hàm Dσ(A) phép đẳng cấu tuyến tính Định lý ánh xạ nghịch đảo cho kết σ vi phôi C lân cận A σ(A) Do σ : P d → P d có tính song ánh, (2.1) chứng minh Giờ chứng minh phát biểu bổ đề Với tính khả vi liên tục √ σ −1 : Pd → Pd, A 7→ A , ta có với A ∈ P d X ∈ Sym bất đẳng thức √ √ −1 A + X − A − Dσ (A)X ≤ R(X) kXk Với limX→0 R(X) = Từ ta thu chứng minh bổ đề Bổ đề 2.6 Đặt P0 ∈ RN ×N phép chiếu đối xứng X : R → GLN (R), t 7→ X(t), liên tục tuyệt đối Khi ta có: 20 (A) Ánh xạ ˜ : R → RN ×N , t 7→ P0 X(t)T X(t)P0 +[I−P0 ]X(t)T X(t)[I−P0 ] (2.2) R ˜ liên tục tuyệt đối R(t) xác định dương, đối xứng với t ∈ R Hơn nữa, có hàm liên tục tuyệt đối R : R → RN ×N ma trận đối xứng xác định dương R(t), t ∈ R thỏa mãn ˜ R(t)2 = R(t), P0 R(t) = R(t)P0 (B) Ánh xạ S : R → RN ×N , t 7→ X(t)R(t)−1 liên tục tuyệt đối ma trận S(t) khả nghịch thỏa mãn S(t)P0 S(t)−1 = X(t)P0 X(t)−1 thỏa mãn kS(t)k ≤ √ r 2 −1 −1 −1 S(t) ≤ X(t)P0 X(t) + X(t)[I − P0 ]X(t) (2.3) (2.4) với t ∈ R Chứng minh (A) Chứng minh chia làm ba bước ˜ : R → RN ×N xác định (2.2) liên tục tuyệt đối Bước 1: Ánh xạ R ˜ xác định dương đối xứng R(t) ˜ Do P0 có tính chất đối xứng, nên rõ ràng R(t) có tính chất đối xứng với t ∈ R Kết luận P0 X(t)T X(t)P0 P0 = xác định dương P0 6= 0, với v ∈ RN ta có D E T v, P0 X(t) X(t)P0 v = hX(t)P0 v, X(t)P0 vi > 21 ˜ xác định dương tương tự vậy, ta có kết luận thứ hai R(t) ˜ có tính tuyệt Do X có tính tuyệt đối liên tục , ta suy R đối liên tục Bước 2: Tồn hàm liên tục tuyệt đối R : R → RN ×N ma trận xác định dương, đối xứng R(t) , t ∈ R ˜ R(t)2 = R(t) ˜ ˜ Do R(t) ∈ P d, R(t) liên hợp với ma trận đường chéo với giá trị ˜ dương Do mà tồn bậc hai R(t) R(t) ma trận có tính đối xứng xác định dương Mọi giá trị tính R tổng hàm vi phân liên tục với giá trị liên tục tuyệt ˜ Một tổng liên tục tuyệt đối hàm ma trận R đối R liên tục tuyệt đối Bước 3: Với t ∈ R ma trận R(t) R(t)−1 giao hoán với phép chiếu P0 Xem Coppel [2] (B) Việc chứng minh chia làm hai bước Bước 1: Ánh xạ S(t) = X(t)R−1 (t) liên tục tuyệt t ∈ R ma trận S(t) khả nghịch thỏa mãn S(t)P0 S(t)−1 = X(t)P0 X(t)−1 X(t) R−1 (t) khả nghịch, S(t) khả nghịch Mỗi phần tử X R−1 hàm liên tục tuyệt đối t ∈ R Do tổng tích hàm liên tục tuyệt đối có tính liên tục tuyệt đối nên ta suy giá trị tính S liên tục tuyệt đối t ∈ R Chúng ta có S(t)P0 S(t)−1 = X(t)R(t)−1 P0 R(t)X(t)−1 Do P0 giao hoán với R(t) với t ∈ R nên đồng thức S(t)P0 S(t)−1 = X(t)P0 X(t)−1 22 thỏa mãn Bước 2: Với t ∈ R ước lượng (2.3) (2.4) Xem Coppel [2] 2.2 Phép biến đổi tương đương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (2.5) với hàm ma trận khả tích địa phương A : R → RN ×N , N ∈ N Trước hết giới thiệu khái niệm tương đương hai phương trình vi phân tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian Định nghĩa 2.7 Xét hệ (2.5) hệ z˙ = B(t)z (2.6) với B : R → RN ×N khả tích địa phương Khi (2.5) (2.6) gọi tương đương tồn hàm liên tục tuyệt đối S : R → GLN (R) cho −1 −1 |S| := sup kS(t)k < ∞ S := sup S(t) < ∞ t∈R (2.7) t∈R z(t) = S(t)−1 x(t) Bổ đề 2.8 Với hàm liên tục tuyệt đối S : R → GLN (R) thỏa mãn điều kiện tính bị chặn (2.7) phát biểu sau tương đương (A) Hệ (2.5) (2.6) tương đương theo phép biến đổi.S (B) Với toán tử tiến hóa ΦA ΦB (2.5) (2.6) thỏa mãn ΦA (t, τ )S(τ ) = S(t)ΦB (t, τ ) không đổi với t, τ ∈ R (C) Hàm S giải phương trình vi phân S˙ = A(t)S − SB(t) 23 Chứng minh Xem Bổ để 2.2 Daleckii Krein [5, Chứng minh bổ đề 2.1, trang 158] Bổ đề 2.9 Giả sử hệ (2.5) (2.6) tương đương theo phép biến đổi S Nếu với γ ∈ R hệ x˙ = [A(t) − γI]x có tính nhị phân mũ với hàng số K ≥ 1, α > phép chiếu bất biên P (t), t ∈ R, hệ z˙ = [B(t) − γI]z có tính nhị phân mũ với số |S| · S −1 · K ≥ 1, α > phép chiếu bất biến S(t)−1 P (t)S(t), t ∈ R Chứng minh Đặt γ ∈ ρ(A) x˙ = [A(t) − γI]x nhận phép nhị phân theo số mũ với số K ≥ 1, α > phép chiếu bất biến P Chúng ta z˙ = [B(t) − γI]z nhận phép nhị phân theo số mũ Chúng ta xác định phép chiếu Q(t) := S(t)−1 P (t)S(t) Sử dụng Bổ đề 2.8 ta dễ dàng thấy Q(t)ΦB (t, s) = ΦB (t, s)Q(s) với t, s ∈ R Q toán tử bất biến với (2.6) Các bất đẳng thức nhị phân với x˙ = [A(t) − γI]x