Tính lồi của tập nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng..... cee cece eee eee eee eee eee e eens 36 Trang 6 Danh muc cac ky hiéu, cAac chit viét tat f: X73 Y F:X 2 dom F’ gph F A:=
Trang 1
DAI HOC THAI NGUYEN TRUONG DAI HOC SU PHAM
LUU HAI VINH
HAM VO HUGNG PHI TUYEN VA SU TON TAI NGHIEM CUA
BAI TOAN CAN BANG VECTO DOI XUNG
Trang 2DAI HOC THAI NGUYEN TRUONG DAI HOC SU PHAM
LUU HAI VINH
HAM VO HUGNG PHI TUYEN VA SU TON TAI NGHIEM CUA
BAI TOAN CAN BANG VECTO DOI XUNG
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS BÙI THÊ HÙNG
Trang 3Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và
khơng trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hồn thành luận văn là nguồn tài liệu mở Các thơng tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc
Thái Nguuên, tháng 7 năm 2021 Người viết luận văn
Trang 4Loi cam ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn
sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chi bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn này
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể các
thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ
cho tơi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tơi những ý kiến đĩng gĩp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ,
động viên tơi trong suốt quá trình làm luận văn
Tơi xin chân thành cảm ơn]
Thái Nguuên, tháng 7 năm 2021 Người viết luận văn
Lưu Hải Vĩnh
Trang 5Mục lục
Lời cam đOan «co HH n HH Ho VY VY non v Vu vo 1
IFUfv.ì0@aDiiaiiiiẳaiẳiẳdả+ nett eee eeeees ii
Mục LIC cc cc ce ee eee eet eee eee eee eee eeeeees lil Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt IV
Mở đầu - Ốc na 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Nĩn trong khơng gian tuyến tính 3
nh “-aaaaa n nes 4 1.3 Tính liên tục theo nĩn của ánh xạ đa fTỊ 7
1.4 Tính lơi theo nĩn của ánh xạ đa trị 13
Chương 2 Hàm vơ hướng phi tuyến và sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng - 15
2.1 Bài tốn cân bằng vectơ đối xứng 15
2.2 Hàm vơ hướng phi tuyến 16
2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng 18
2.4 Tính lồi của tập nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng 31
Kết luận .-.cc Sen 39
Tài liệu tham khao cee cece eee eee eee eee eee e eens 36
Trang 6Danh muc cac ky hiéu, cAac chit viét tat f: X73 Y F:X 2 dom F’ gph F A:=B Ae ACB AZEB AUB ANB A\B Ax B A,clA int A tập các số thực tập số thực khơng âm tập số thực khơng dương
khơng gian vectơ Euclide ø— chiều
tập các vectơ khơng âm của R” tập các vectơ khơng dương của R” tập tất cả các tập con của X anh xa don tri tt tap X vao tap Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y miền định nghĩa của ánh xạ đa trị đồ thị của ánh xạ đa trị F A được định nghĩa bằng Ư tập rỗng phần bù của tập A
A la tap con của
A khơng là tập con của B hợp của hai tap hdp A va B giao cua hai tap hdp A va B
hiệu của hai tập hợp A va B
tích Descartes cua hai tap hop A va B bao đĩng tơpơ của tập hợp 4
phần trong tơpơ của tập hợp 4
Trang 7bao lỗi của tập hợp A4
bài tốn cân bằng vectơ đối xứng loại 1 bài tốn cân bằng vectơ đối xứng loại 2 bài tốn cân bằng vơ hướng đối xứng loại 1 bài tốn cân bằng vơ hướng đối xứng loại 2
nửa liên tục trên nửa liên tục dưới
Trang 8Mở đầu
Bài tốn cân bằng vơ hướng được E Blum và W Oettli [4| nghiên cứu vào
năm 1994 Từ bài tốn này ta cĩ thể suy ra các bài tốn khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài tốn tối ưu, bài tốn bất đắng thức biến phân, bài tốn
bù, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn điểm yên ngựa, bài tốn điểm bất động,
Đau đĩ bài tốn trên được mở rộng cho ánh xạ vectơ đơn trị cũng nhu da tri
từ tập con khơng rỗng nào đĩ vào khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh bởi
nĩn và người ta gọi bài tốn này là bài tốn cân bằng vectơ hay cịn được gọi là
bài tốn cân bằng đa mục tiêu Hệ bài tốn cân bằng vectơ là một họ các bài
tốn cân bằng vectơ khác nhau được giới thiệu vào năm 2000 bởi Ansari và các
cộng sự [3] Bài tốn này bao hàm một số bài tốn khác như bài tốn cân bằng vectơ, bài tốn bất đăng thức biến phân vectơ, bài tốn tối ưu veectơ, bài tốn diem bat dong, Khi nghiên cứu hệ bài tốn cân bằng người ta thường quan tâm đến các vấn đề sau đây: Sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm và thuật tốn tìm nghiệm Bài tốn cân bằng vectơ đối xứng là hệ các bài tốn cân bằng vectơ đối xứng nhau đã được M Fakhar và J Zafarani quan tâm nghiên cứu (xem [6|,) Năm 2018, bằng phương pháp sử dụng hàm vơ hướng phi tuyến, các tác gia A P Farajzadeh, R Wangkeeree, J Kerdkaew [5] đã xây dựng một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của bài tốn đĩ Mục đích của luận văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả trong cơng trình [5| về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo
Trang 10Chucng 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở về nĩn trong khơng gian tuyến tính, ánh xạ đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trỊ Một số kiến thức cơ sở và kết quả chính của chương này được chúng tơi trích ra từ các tài liệu [1Ị, |2]
1.1 Nĩn trong khơng gian tuyến tính
Trong phần này, ta nhắc lại khái niệm khơng gian vectơ tơpơ, nĩn trong khơng gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là khơng gian vectơ trên trường
() Một tơpơ 7 trên X được gọi là ương thích với câu trúc đại số của X nếu
các phép tốn cộng và nhân vơ hướng là các ánh xạ liên tục
(ii) Mot khơng gian tơpơ tuyến tính hay khơng gian vectơ tơpơ trên trường K là một cặp (X,7), trong đĩ X là khơng gian vectơ trên trường X và 7 là một tơpơ tương thích với câu trúc đại số của X
Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là khơng gian tuyến tính và Œ là một tập con khơng rong trong Y Ta noi rang Œ là nĩn cĩ đỉnh tại gốc trong Y néu te € C, véi
moice C vat > 0
Nếu Œ là nĩn cĩ đỉnh tại gốc thì Œ + z là nĩn cé dinh tai vp Vi vay trong luận án này chúng tơi chỉ quan tâm đến nĩn cĩ đỉnh tại gốc va dé tránh nhầm lẫn ta gọi nĩn thay cho nĩn cĩ đỉnh tại gốc
Trang 11(ii) C la nén nhon néu l(C) = {0}, trong đĩ l(C) = CN (-C)
Trong trường hợp Y là khơng gian tơpơ tuyến tính và Œ là non trong Y, ta ky hiéu clC,int C,coC là bao đĩng tơpơ, phần trong tơpơ và bao lỗi của Œ,
tương ứng Nĩn Œ gọi là đĩng nếu Œ là tập đĩng trong Y Ta nĩi Ở là nĩn lơi đĩng nhọn nêu Œ là nĩn lồi, đĩng và nhọn
Dưới đây là một số ví dụ về nĩn trong khơng gian tuyến tính
Ví dụ 1.1.4 1 Cho Y là khơng gian tuyến tính Khi đĩ {0}, Y là các nĩn trong Y và ta gọi chúng là các nĩn tầm thường trong Y
2 Cho khơng gian tuyến tính IR“ Khi đĩ tap
Ri = {x = (£1, %2, ,%,) € R”: 2; > 0,1 = 1,2, ca}
là nĩn lồi đĩng nhọn trong IR“ và ta gọi là nĩn orthant dương trong IR”
3 Gọi CÍ0, 1] là khơng gian tuyến tính các hàm số xác định và liên tục trên đoạn |0, 1| với các phép tốn cộng và nhân vơ hướng: (z + )) = zÚ) + 90): (Az)(#) = Ax(t) khi đĩ tập C,[0, 1] = {x € C[0, 1] : x(t) > 0 vdi moi £ € |0, 1|} là nĩn lồi đĩng nhọn trong CT0, 1] 1.2 Anh xa da tri
Giả sử X và Y là hai tập hợp Ký hiệu 2* lA tap tất cả các tập con của X
Định nghĩa 1.2.1 Một ánh zạ đa trị P` từ X vào Y mà ứng với mỗi phần tử
œ€ X cho một tập con của Y, được ký hiệu F : X —> 9Ì
Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X —> 2Ý được đặc trưng bởi một tập con
của X x Y, ký hiệu là gph #' và được xác định bởi
Trang 12Tap hop gph F dude gọi là dé thi cha F
Miền xác định của Ƒ`, ký hiệu dom F', xác định bởi dom F := {ae X: F(x) 4}
Ví dụ 1.2.2 Xét hệ phương trình tuyến tính với hệ số thực
,
đ111 + đ12a2 + + địn#„ = Dị
đ2121 đaa2 + -E dan„y = Ủa
LƠ Ami L1 + Ami L2 + + AmnXn = Om
Quy tắc cho ứng mỗi ma trận A = (a;;)j=1,2, myj=12, n © Matmyn(R) vdi tap
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên, kí hiệu bởi F(A), cho ta một ánh
xa da tri
F : Matmyn(R) 3 2°"
từ khơng gian các ma trận thuc Matmy,(R) vao khong gian R”
Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y là các khơng gian tuyến tính và ánh xạ đa trị
F:X — 2° Ta noi rang:
(i) F c6 gid tri loi néu F(x) la tap 16i trong Y, v6i moi x € X (ii) F la ánh xạ lơi nêu gph Ƒ' là tập lồi trong X x Y
Định nghĩa 1.2.4 Cho X,Y là các khơng gian tơpơ và #': X —> 2Ÿ là ánh
xạ đa trị Ta nĩi rằng:
(i) F cĩ giá trị đĩng nêu F'(z) là tập đĩng trong Y, với mọi z€ X (ii) F 1A ánh xạ đĩng nếu gph Ƒ là tập đĩng trong X x Y
(ii) F 1A dnh xa mé néu gph F 1a tap mé trong X x Y
(iii) F la dnh xa compdc néu F(X) là tập compắc tương đối trong Y Ta đễ dàng chứng minh được kết quả đơn giản dưới đây
Mệnh đề 1.2.5 Giá sử X,Y là các khơng gian tơpơ tuyến tính vai ánh xa da
trị `: X 2Ì Khi đĩ:
(i) Néu F là ánh xạ đĩng thà F` cĩ giá trị đĩng (ii) Néu F la ánh xạ mở thà F` cĩ giá trị mở
Trang 13(iii) Nếu F là dnh xa lot thi F cé gid tri lồi (iv) F la anh xa loi khi uà chỉ khi
(1 —t)F(a#)+tF(a") C F((1 —t)a + ta’) vdi moi x, a" € X vat € [0,1] Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị cĩ giá trị lơi chưa chắc là ánh xạ lồi và ánh xạ đa trị cĩ giá trị đĩng chưa chắc là ánh xạ đĩng
Ví dụ 1.2.6 Cho ánh xạ đa trị `: Đ* — 2Š định nghĩa như sau co {1,2, ,m— 1}, nếu n> 2, B(n) = { {0}, nếu n=l Hiển nhiên 7' là ánh xạ đa trị với giá trị lồi Tuy nhiên #' khơng là ánh xạ lồi Ví dụ 1.2.7 Xét ánh xạ đa trị Ƒ' : IR —> 2Š xác định bởi F(x) = [0,1], nếu z =0,
— L, trong trường hợp cịn lại
Hiển nhiên ánh xạ #' cĩ giá trị đĩng Mặt khác ta cĩ
eph F = { (a, y) ER’: ye F{z)} = ({0} x |0,1|)U (R\{0} xR) là tập khơng đĩng trong IR và như vậy #' khơng là ánh xạ đĩng
Định nghĩa 1.2.8 Cho X,Y, Z là các khơng gian tuyến tính và các ánh xạ đa tri F|G:X 32°,H:Y 3 24
(i) Anh xa tổng của F va G 1a Anh xa da tri F+G:X —- 2Ÿ xác định bởi
(F+G)(x) = F(a) + G(x) véi moi x € X
(ii) Anh xa giao cla F va G là ánh xạ đa trị FAG: X > 2” xc dinh bởi
(FO G)(«) = F(z)n G(z) với mọi z € X
(iii) Anh xa hợp của F va Gla ánh xạ da tri FUG: X — 2” xc định bởi
(FUG)(2) = F(x) U G(2) véi moi x € X
(iv) Anh xa hợp thành của F va H 1a nh xa da tri Ho F : X — 2% xác định
boi
Trang 14(v) Ánh xạ tích Descartes cha F va G la Anh xa da tri F x G: X > 3Ÿ” xác định bởi
(F x G)(x) = F(x) x G(2)
(vi) Ánh zạ bao lồi của F 1A Anh xa da tri co F : X > 2” xdc dinh béi co F(x) = co(F(x)) v6i moi x € X
Dinh nghia 1.2.9 Cho X,Y là các khơng gian tơpơ Anh za bao déng của F
là ánh xạ đa tri clF : X > 2° ma dé thi cia nĩ là bao đĩng của đồ thị của
ánh xạ F', tức là
gph(cl F’) = cl(gph F)
Dinh nghĩa 1.2.10 Gia sử F : X — 2* là ánh xạ đa trị từ X vao Y Ta goi
ánh xa nguoc cha F, ky hiéu la F~!: Y — 2*, dude xac dinh bdi
F(y)={r@eX:ye F(a)}, voiyey
Ta nĩi F!(0) là ảnh ngược của 9
1.3 Tính liên tục theo nĩn của ánh xạ đa trị
Trước hết ta nhắc lại khái niệm nửa liên tục của hàm số
Định nghĩa 1.3.1 Gia sử X là khơng gian tơpơ và hàm ø : X — lR Ta nĩi
rằng:
(a) ø nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại z € X nếu mỗi e > 0, tồn tại một
lân cận Ư của # sao cho
g() < g(Z) + e với mọi ø € U,
(b) ø nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại Z € X nếu mỗi e > 0, tồn tại một
lân cận Ư của # sao cho
Trang 15Nhận xét 1.3.2 Nếu X là khơng gian metric thi g 1a usc (tuong ting, Isc) tai z nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {z„} hội tụ tới #, ta luơn cĩ
lim sup ø(#„) < ø(Z)(tương ứng, lim inf g(a,) > g(Z))
NCO noo
Điều này cũng tương đương: với mỗi œ € R, tap {x € X : g(z) < œ} (tương tng, {2 € X : g(x) > a}) là đĩng trong X
Định nghĩa 1.3.3 Mot anh xa don tri f : X —> Y từ khơng gian tơpơ X vào
khơng gian tơpơ Yˆ được gọi là liên tục tại zo € X nếu với mọi tập mở V trong
Y chứa ƒ(zo), tồn tại lân cận mở Ù trong X chứa zọ sao cho ƒ(U) CV
Định nghĩa 1.3.4 Giả sử X,Y là các khơng gian định chuẩn Ánh xạ
F: X2 được gọi là
(1) nửa liên tục trên (viết tắt là use) tại # nếu với mỗi tập mở V chứa F(), tồn tại lân cận U của # sao cho F(U) CV
(1đ) nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại # nếu với mỗi tập md V trong Y thỏa mãn Ƒ(#)nV z Ú, tồn tại lân cận Ứ của # sao cho F(x) NV 4 0 vdi mọi „€U
(iii) liên tục tại # nếu nĩ là use và lse tại Z
Các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới là hồn tồn khác nhau
Các ví dụ dưới đây minh họa cho điều khẳng định đĩ
Ví dụ 1.3.5 Cho ánh xạ đa trị F : R —> 2Š xác định bởi cơng thức
R, nếu «=O,
B(a) = { {0}, nếu z £0
Khi đĩ dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị #' là nửa liên tục trên tai zp = 0,
nhưng #' khơng nửa liên tục dưới tại #o = 0
Ví dụ 1.3.6 Cho ánh xạ đa trị F : R —> 2Š xác định bởi cơng thức {0}, nếu #z=0,
lR, trong trường hợp cịn lại
F(x) = {
Khi đĩ dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị #' là nửa liên tục dưới tại zạ = 0,
Trang 16Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới
và nửa liên tục trên
Mệnh đề 1.3.7 Giá sử X,Y là các khơng gian tơpơ uà anh va da tri F: X 3 21, Khi đĩ (i) F la Isc trên X néu va chỉ nếu uới mọi tập mở V trong Y, tập ƑƑ_{V):= {z cdomF': F(z)nV # 0} là mở trong X (ii) F la usc trên X nếu 0à chỉ nếu uới mmọi tập mở V trong VY, tập FT(V):= {2 €domF': F(x) CV} la mé trong X Chiing minh (i) Gia st F' là lsc trên X và V là tập mở trong Y Ta chứng mình tập F ` (V):=‡{z cdomF': F(z)nV z# 0}
la mé trong X That vay, neu F-(V) = @ thi F-(V) latap md Gia st (V) # Ú Lấy 2 € F-(V) bat ky Ti dé suy ra F(x) NV 49 Vi F 1a lsc tai x nén tồn
tai lan can U cua x sao cho
F(x) NV £0 véi moi e € UN dom F Diéu nay chitng t6 U C F(V) Vay F-(V) la tap mở
Ngược lại, lấy zạ € dom # tùy ý và V là là tập mở Y thỏa mãn Ƒ(zo)f\V z Ú Từ đĩ suy ra zo € F(V) Vì F(V) mở trong X nên tơn tại lân cận của zo sao cho €C Ƒ~(V) Điều này chứng tỏ #(+)fđV 4 @ véi moi x € UN dom F
Vậy F la Isc
(ii) Gia su F 1a usc trén X va V là tap mé trong Y Ta chitng minh tap FT(V) :={2 €domF': F(x) CV}
la mé trong X Néu F*(V) = @ thi Ft(V) là tap mo Gia st FT(V) 4 @ Lay ro € F*(V) bat ky Ti do suy ra F(x) CV Vi F 1a usc tai xo nén ton tai lan
cận U cua xp sao cho
F(x) CV véi moi « € UN dom F
Trang 17Điều này chứng tỏ U C Ƒ'†(V) Vậy F T(V) là tập mở
Ngược lại, lấy zo € dom #' tùy ¥ va V là là tập mở Y' thỏa mãn (+) C V Từ
d6 suy ra zg € Ft(V) Vi F*(V) mod trong X nén ton tại lân cận U cia 29 sao cho U C Ft(V) Diéu nay chitng t6 F(x) C V véi moi x € UN dom F Vay F
la usc L]
Giả sử X,Y là hai khơng gian tơpơ tuyến tính và Œ là nĩn trong Y” Tiếp
theo, ta trình bày khái niệm liên tục theo nĩn của ánh xạ đa tTỊ
Định nghĩa 1.3.8 Cho anh xa da tri F : X —> 2Ï Ta nĩi rằng:
(i) là C- liên tục trên (dưới) tại z € dom F` nêu với mdi lan can V của gốc trong Y, tồn tại lân cận của # trong X sao cho
F(x) © F(t)+V+C
(F(z) CC F(z)+V—C, tương ứng)
v6i moi x € UM dom F
(ii) Néu F 1a C- lién tuc trén và C- lién tục dưới tại # đồng thời, thì ta nĩi
F la C- hiên tục tại Z
(iii) Nếu F 1A C- lién tuc trén, C- lién tuc dudi va C- lién tuc tai mọi điểm
trong dom F’, ta nĩi #' là C- liên tục trên, C- liên tục dưới và C- liên tục trong
X
Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục theo nĩn (cĩ thể xem trong [1])
Mệnh đề 1.3.9 G7đ sử X là khơng gian tơpơ, Y là khơng gian tơpơ tuyến tính uới thú tự sinh bởi nĩn lồi C va anh va da tri F : X —> 2Ÿ với F(zo) là tập compact trong Y Khi do:
(i) F la C- lién tuc trén tai xp néu va chi néu vdi moi tap md V, F(a) C
V+C déu ton tai lan can U ctia xp sao cho F(x) C V+C, vdi moix € UNdom F (ii) F la C- én tục dudi tai xq néu va chi néu vdi moi y € F (ao) va lan cin V ctia y, ton tại lân cận Ù của #ọ sao cho F(x) N(V +C) 4 @ vdi moi
x€UNMdom F
(iii) F la C- lién tuc dudi tai xq néu va chỉ nếu uới mọi tập mở Œ thỏa mãn
F(x) (G+ C) # 0, luơn ton tai lan can U ctia xo sao cho F(x)N(G+C) 40
voi mot x € UN dom F
Trang 18Chứng minh (i) Gia stt F la C- lién tuc trén tai xo Lay V là tập mở trong Y sao cho F(ag) CV +C Vi F(x9) compact nén tồn tại lân cận Wọ của 0 sao cho F(zo) + Vụ C V +C Vì F là C- liên tục trên tại #o nên tồn tại lân cận U của
Xo sao cho
F(a) C F(a) +Vo+C véi moi « € UN dom F
Từ đĩ suy ra
F(a) CV+C+C=V-+C véi moi « € UN dom F
Ngược lai, lay W 1a lân cận mở bất kỳ của 0 trong Y Dat V = F (xq) + W Khi đĩ V là tập mở thỏa mãn Ƒ'(zg) C V + Œ Theo giả thiết, tồn tại lân cận U cua xp trong X sao cho F(x) CV +C véi moi x € UN dom Ƒ' Từ đĩ suy ra
F(x) C F(ao) +W4+C véi moi « € UN dom F Điều này chứng tỏ # là C- liên tuc trén tai zx
(ii) Gia su F 1a C- liên tục dưới tại zọ Lây € F(zo) tùy ý và V là lân cận của bất kỳ Đặt W = — V Khi đĩ W là lân cận của 0 trong Y Vì # là C- liên tục dưới tại zg nên tồn tại lân cận của zo trong X sao cho
Flœo) C F(+) + W — C với mọi z € U n dom È:
Vi y € F(x) nén y € F(x) + W — Œ Ta cĩ thể viết = y* + — ec, ở đây y € F(x),w eW vwaceC Tu dé kéo theo y* = y-w+cEV+C Diéu nay ching t6 y* € F(a)N(V +C) Vay F(x) AV +C) 490 với moi x € UNdom F
Ngược lại, giả sử V là lân cận mở của 0 trong Y Ta cĩ F(w)C |] (w+V) €Ft(œo) Vì F(zo) compaect nên tồn tại yz, a, ,1„ € F(zo) sao cho F(zo) C| ](w + V) i=l
Véi i € {1,2, ,n}, vi y; + V là lan can cia y; € F(x9) nén ton tại lân cận U;
cua Xp sao cho
F(z) (y+V+C) 490 voi moi « € U; A dom F
Trang 19Dat U = 7_,U; Khi do U la lan cận của #o và
F(z)fn(u¿ + V +€) # Ú với mọi z € Ư 1 dom #'! và ¿ = 1,2, ,n
Ta chứng mình
F(a) C F(a) + V —C véi moi « € UN dom F Thật vậy, lẫy o € F(zo) tùy ý Từ đĩ suy ra
1o €Ì JÚw + V)
i=l
Do vay tồn tai ip € {1,2, ,m} và ø € V sao cho y = y;, + v Mat khac bdi F(x) (yi, +V + C) 40 véi moi x € UN dom F nén ton tai y € F(x) va v' € V,c€ Csao cho y = y,, +v' +c Tr dé suy ra yo = ytu-—v'—ce F(x)4+V—-C Vay F(x) C F(a) + V —C voi moi « € UN dom F Ching to F 1a C- lién tuc
dudi tal Xo
(1) Giả sử F 1a C- lién tuc dưới tại zo Lấy G là tập mở bất kỳ thỏa mãn F(zo)nm(GŒ +) # 0 Từ đĩ suy ra tồn tại yo € F'(zo) sao cho ọ = g + e, ở đây gc€GvàccC Vì G là mở nên tơn tai lan cận mở WV của 0 sao cho g+ W CG
Tu d6 suy rag+c+V CG+C hay o+V € G+(C Mặt khác o+V là lần cận
của +ạ nên theo (11), tồn tại lân cận U ctia v9 sao cho F(x) N (yon + V+C) 40 v6i moi x € UN dom F Diéu nay kéo theo
F(a) N(G+C) 490 véi moi x € UN dom F
Ngược lại, lấy yo € F(a) va V là lân cận mở của ÿoọ Từ đĩ suy ra ọ € F(zo)n (V +) Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của z sao cho F(œ)(V +€Œ) # J với mọi + € Ưndom È Theo (đ), #' là C- liên tục dưới tại
#0: LÌ
Nhận xét 1.3.10 (¡) Nếu Œ = {0} và Ƒ{zo) là tập compắc thì Định nghĩa 1.3.8 phần (1) ở trên đồng nhất với định nghĩa về tính nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới của Berge
(đ) Nếu #' là ánh xạ đơn trị thì từ định nghĩa ta thấy tính C- liên tục trên
Trang 20(iii) Trong trường hợp Y = R, C = R, va néu ánh xạ đơn trị #' là C- liên tục
tại zp thì ' nửa liên tục dưới tại zo theo nghĩa thơng thường Nếu lấy Œ =IR_
và P' là C- liên tục tại zo thì #' nửa liên tục trên tại zo
(iv) Từ mệnh đề trên ta cĩ thể nĩi rằng một ánh xạ đa trị F 1a C- liên tục
trên tại zo nếu '(z) khơng giãn ra quá so với F'(zg) + Ở khi x gan zp va F la Œ- liên tục dưới tại zo nếu Ƒ{z) khơng bị thu lại quá nhỏ so với Ƒ*(z¿) + Œ khi
L gan Lo
1.4 Tính lồi theo nĩn của ánh xạ đa trị
Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi đơn trị: Một hàm f : D > R xac định trên tập lồi 2 được gọi là lồi nếu với mọi z,+€ J và À € [0, 1] ta luơn cĩ
f(A + (I1— À)w) <Àƒ(z) +(1—À)ƒ00)
Trong phần này chúng tơi luơn giả thiết 2 là tập con lồi của khơng gian tuyến tính X và Y là khơng gian tuyến tính với nĩn Œ Ta nhắc lại khái niệm
hàm vectơ lồi theo nĩn
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử ƒ: 2D —> Y là hàm vectơ Ta nĩi rằng: () ƒ là C- lỗi trong D nếu với mọi z, € D va a € |0, 1], ta luơn cĩ
/{œz + (1= ø)u) € œƒ(+) +(1— œ)Jƒ(u) — C
(ii) f 1a C- tua 16i (quasiconvex) trong D néu véi 21,22 € D vaa € [0,1] thi luơn tồn tại chỉ số ¿ € {1,2} sao cho
flav + (1 — œ)#¿) € ƒ(œ;) — C
Các khái niệm dưới đây là mở rộng các khái niệm trên cho ánh xạ vectơ đa tri
Dinh nghia 1.4.2 Cho F : D > 2° là ánh xạ đa trị Ta nĩi rằng: (i) F la C- 16i trén trong D néu véi moi x1, 72 € D,t € [0,1], thi
tF'(21) + (1 — t)F (x2) C F(tzn + (1 — t)za) + Œ
(ii) #' là C- lồi dưới trong D nếu với mọi 21,22 € D,t € [0,1], F(tzi + (1— t)z:2) C†F (xi) + (L— t)F(aa) — Œ
Trang 21Dinh nghia 1.4.3 Cho F : D - 2° là ánh xạ đa trị Ta nĩi rằng:
(i) F la C- tua 16i trén trong D néu véi moi 71,22 € D va a € [0,1], thi ton tại 7 € {1,2} sao cho
F(a;) C F(œz + (1 — œŒ)Z2) + Œ
(ii) F la C- tựa lỗi dưới trong D nếu với mọi #,#¿ € D và œ € [0,1], tồn tại 7€ {1,2} sao cho
Ft(dzi + (L— œ)z¿) C F(+;) — C
Nhận xét 1.4.4 Các khái niệm C-lồi và C- tựa lồi của ánh xạ đa trị là hồn tồn khác nhau Ví dụ sau đây minh họa cho điều đĩ
Ví dụ 1.4.5 Xét các ánh xạ } Œ : R —> RZ xác định bởi
F(x) = (x3;x) và G() = (œ;1— z)
Với nĩn C = R?, ta dé dang kiểm tra được #' là ánh xạ Œ- tựa lồi nhưng khơng là C- lồi và ánh xạ Œ là C- lồi nhưng khơng là C- tựa lồi
Trang 22Chương 2
Hàm vơ hướng phi tuyên và sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đỗi xứng
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng bằng phương pháp sử dụng hàm vơ hướng phi tuyến Ngồi ra, chúng tơi cũng trình bày tính chất tập nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng Các kết quả chính của chương này được chúng tơi trích dẫn từ cơng trình [5]
2.1 Bài tốn cân băng vectơ đỗi xứng
Giả sử X,Y,E va Z là các khơng gian vectơ tơpơ Hausdorf thực;
AC X và ĐC E là các tập con khơng rỗng, lồi, đĩng Gọi C,P lan lượt là các nĩn lồi đĩng nhọn trong Y, Z với int Ở # Ú và int P # Ú Với các ánh xạ đa trị": Axx A—> 2Ï và: AxBxB—-›2⁄, ta xét các bài tốn cân bằng vcctơ đối xứng sau:
(SVEP):: Tìm (z,)€ Ậx B sao cho
F{+œ,,u) Z —intC với mọi u € A, G(z,y,v) Z —int P với mọi 0 € Ư (SVEP);: Tìm (z,)€ Ax B sao cho
F(a,y,u)M (—int C) = với mọi u € A, G(x, y,v) A (—int P) = 0 véi moi v € B
Ta kí hiệu $1, S2 lan luot 1a tap nghiém ctia cdc bai todn (SV EP);, (SV EP)s
Trang 23Nhận xét 2.1.1 (i) Nu = P; ƒ: Axư—>Y vàg: Ax B— Z là hai ánh xa don tri Dat
F(x,y,u) = f(u,y) — f(x,y) vai moi (a, y,u) € Ax Bx A G(2,y,v) = g(2,v) — g(x,y) v6i moi (v7,y,v) € Ax Bx B
Khi đĩ bài tốn (5V EP)» tré vé bai tốn cân bằng vectơ đối xứng đơn trị được nghiên cứu trong |10]
(đ) Nêu G = C và Ƒ(+,,u) = ƒ(œ,u) với mọi (z,,u) € Ax Bx A thì bài tốn (SV EP); trở về bài tốn cân bằng được nghiên cứu trong [9]
(iii) Nu GŒ =0 và 7': 4 — B(X,Y), trong đĩ Ø(X,Y) là khơng gian các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đĩ bài tốn (SVEP); trở về bài tốn bất đẳng thức biến phân vectơ được giới thiệu bởi Giannessi [11]
2.2 Hàm vơ hướng phi tuyến
Định nghĩa 2.2.1 ([S]) Giả sử g € intC Xét hàm vơ hướng phi tuyến €, :
Y — R xác định bởi
€„(u) = min{£ €lR : € #q— C} với mọi € Y
Trong trường hợp Ý = R’, C = RY và g = (1,1, ,l) € int RY thì hàm vơ
hướng phi tuyến được biểu diễn như sau
E(y) = max {yi} với mọi 1 = (y1, Yo yr) € R’
Bồ đề 2.2.2 ([S]) Giá sử g €intC vay CY, r ECR Khi do
(i) &(y) <r — ye rq—intC; (ii) &(y) <r — yerq-C;
(iii) &(y) =r — yeErq—OC,7 6 day OC là bién cua C;
đv) Q4) =T;
(v) &„ liên tục, thuần nhất dương, dưới cộng tính 0à lơi trên Y
Trang 24(vi) É„ đơn điệu, túc là Ua — Uị € C => E_(y) < Eq(y2) va đơn điệu chặt, tức là 2 — yi € — int C => 6Ú) < §():
Từ (iv) của Bổ đề 2.2.2, ta luơn cĩ
€„(u+rq) = €„() +r với mọi € Y và €TR
Với mỗi g € int C, ta dat
CY :={y EC: (y*,q) = 1} Khi d6 C4 1a tap compact yéu* cia Y*
Ménh dé 2.2.3 ([7]) Cho q € intC Khi dé vdi méi y EY, ta c6 &(y) = max (y", 4)
Mệnh đề 2.2.4 ([7]) Hàm €, la Lipschitz tren Y va hang s6 Lipschitz ctia €, la % 1 L:= sup |ly"l| € [—, +00) yee lai ` 1 Vi du 2.2.5 (i) Neu Y = R va C = R,, thi hang so Lipschitz cua €, la Lb = — qd VỚI g > Ú và I ge ` l&„(#) — €„(0)| = gi — 9| với mọi z, € ]R và g >0 , 1 , (ii) Neu Y = R? vaC = {(y1, yo) € R?: qu < yo < 2y,} Lay q = (2,3) € int C khi đĩ
CT = {(y1, yo) € R: 2y, + 8y = 1; yr € [-0, 1; 2]}
Hơn nữa, hằng số Lipschitz ctia £„ là
L := sup |ly*|| = |(—2: || = v5 y* EC"
và |€„() — €„(w)| = w5 |ụ — '| với mọi ,' € IR
Bổ đề 2.2.6 ([13]) Ánh xạ đa trị F`: X — 2Ÿ là nửa liên tục dưới tại z € X néu va chi néu uới mỗi day {x;} trong X hội tụ vé x vay € F(x), ton tai day
{0¡}, ¿ C F(%;) voi moi i, sao cho y;, —> 9
Trang 25Bồ đề 2.2.7 ([14|) Giá sử uới mỗi ¡ € T, X; là tập cơn khơng rỗng, lồi của khơng
gian vecto topé Hausdorff E;¡ uà uới mỗi ¡ € Ï, ánh xạ P,: X := [[X; —> 3“
¡el
thoa man:
() Với mỗi ¡ € T uà # = (aj)ier, P(x) la loi; (H) Với mỗi z € X; x¡ £ P,(œ) uới mọi ¡ € I; (iii) Voi moi y; € X;, Po '(y;) la mé trong X;
(iv) Voi méii € I, ton tại tập con khơng rỗng, compact N của X va tap con khơng rỗng, lồi, compact B, của X; sao cho tới mỗi z € X \ N, ton tại ¡€ Ï thỏa mãn Đ,(z) đ Bị # 0
Khi đĩ ton tai x € X sao cho P,(x) = vdi moii € I
2.3 Sự tơn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng
Trong phần này, bằng phương pháp vơ hướng hĩa chúng tơi trình bày sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng thơng qua bài tốn cân bằng vơ hướng đối xứng Với g € int C va q’ € int P, ta xét các bài tốn cân bằng vơ hướng đối xứng sau:
(5S5EP):(£): Tìm (z,) € A x B sao cho
Vu A,3z € F{z,u,u) : &(z) = 0,
Vụ € B,3u € G(z,9,0) : €„(@) > 0
(5S5EP):(£€): Tìm (z,) € A x B sao cho
E,(F (2, y,u)) C Ry véi moi u € A, Ey (G(x, y,v)) CR, v6i moiv € B
Ta ki hiéu S,(€) va S2(€) lan lugt 1A tap nghiém ctia cdc bai todn (SSE P),(€) va (SSEP)(€)
Bo đề 2.3.1 Với mỗi q € intC va q' € int P, ta luơn cĩ
Đi = S1(€)
Trang 26Chitng minh Gia stt (2',y’) € S, Khi dé véi méi (u,v) € A x B, tén tai z€ F(a’, y’,u),w € G(2',y’,v) sao cho
z # —1ntŒ và u ¢€ — int P Theo Bồ đề 2.2.2, ta suy ra
E,(z) > 0 va E(w) = 0 Điều này chứng tỏ (+) € S¡(€@) Vậy Sị C S¡(€)
Ngược lại, với (+z,) € S¡(€), theo Bổ đề 2.2.2, ta được (2) € $%¡ Do đĩ Si(€) © Si Vay 51 = 616)
LÌ Định lý 2.3.2 Giá sử các điều kiện sau thơa mãn:
() Với mỗi (+,U) € A x Ư, F(z,u,xz)nC # ồ G(z,0,u)nP #0;
(ii) Voi méi (x,y) € Ax B, F(2,y,.) la C- tựa lồi trên A uà G(z,,.) là P-
tua loi trén B;
(iii) Voi mdi (u,v) € Ax B, F(.,.,u) va G(.,.,v) la cắc anh xa Isc trén A x B; (iv) Ton tai céc tap con khơng rong, loi, compact D, C A va Dz C B sao cho
voi moi (x,y) € (A x B)\(D, x Dez), hoặc tơn tai x’ € Dy thoa man F(z,,z) € —imtC
hoặc tơn tại € Da thỏa mãn
G(z,y,y') © — int P
Khi dé tap nghiém S, cua bai todn (SV EP), la khéng rong
Chứng mình Ta định nghia cAc anh xa da tri P,: Ax Bo 24 vA P,: Ax Bo
2 bởi cơng thức
Pi(a,y) = {ue A: &(z) € Ry voi moi z € (z,0,u)} Py(x,y) := {vu € B: &y(w) € Ry voi moi w € G(z, y, v)}
Trang 27Ta chứng mình Đ,(z,g) lồi với mọi (z,) € A x B That vay, gia stt P, (2, y) khơng lồi Khi đĩ tồn tai t,t € [0,1] với t) + tg = 1 va wy, u2 € Pi(z,y) sao cho fqu + fzua ý P,(z,ø) Từ đĩ suy ra tồn tại z € F(a, y,tyu, + teug) sao cho €„(z) €1R¿ Bởi giả thiết (1), ta cĩ
Fœ,,u) C Fz, 9, tiui + faua2) + C
hoặc
F(z,,ua) C F(œ,, tui + taua) + C
Điều này kéo theo
E(F (x,y, ur)) C E(F (x,y, tiw + taua)) + E,(C) C Ry
hoac
fa F(a, ys Ua) © Sg F(x, y, titi + toua)) + &(C) C Ry
Điều này mâu thuẫn véi uj,u € Pi(z,y) Vay Py(x,y) la tap 16i véi mọi (z,z) € Ax Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ ›(z, y) 1A tap 161 v6i mọi (x,y) € Ax B Tiếp theo, ta chỉ ra khẳng dinh (ii) trong Bo đề 2.2.7 được thỏa man That vay, ta chi ra x € Pi(x,y) vay ¢ P›(œ,u) với mọi (z,) € A x Ư Với mỗi (z,) € Ax Ư, bởi F(z,0,+z)0C # 0 và G(z,,)đP # Ũ nên tồn tại (z,u) € Fœ,0,+) x G(œ,0,) sao cho
€„(z) €lR+ và €„(u) € Ry
Bởi định nghĩa của f và ), ta cĩ
œ€ P(œ,u) và U € P(,0)
Ta chứng minh khẳng định (1i) trong Bổ đề 2.2.7 được thỏa mãn Với mỗi
(x,y) € Ax B, lấy dãy {,)} (P.10) sao cho (2;,y;) —> (o,ạ) Bởi
F(zo, 0ọ, u) # nên ta chon mot phan ttt 2) € F(x, yo, u) Theo Bo dé 2.2.6, tồn tai day {z;} C F(2;,y;,u) sao cho z; > 2 Stt dung tinh lién tục của hàm E_ ta CĨ
Eq (zi) — €q(Z0)
Điều này kéo theo &,(zo) > 0 Vậy (20, yo) € (P.10) Do d6 P-(u) 1A mé
trong A Chitng minh tương tự, ta cũng cĩ ; †(ø) là mở trong Ư Cuối cùng,
Trang 28ta kiểm tra điều kiện (iv) trong Bồ đề 2.2.7 được thỏa mãn Theo giả thiết, tồn
tại các tập con khơng rỗng, lồi, compact Dị C A và Dạ CB sao cho với mỗi
(z,) € (A x B)\(D, x Dz), hoac tén tai x’ € Dị thỏa mãn F(x,y,2') C —intC hoặc tồn tại € Dy thoa man G(z,,) C —int P Điều này kéo theo, với mỗi (z,œ) € F(z,,z) x G(z,,), ta cĩ €„(z) ếR¿, hoặc €„(u) ý R
Bởi định nghĩa 1, Л, ta suy ra x’ € Pi(x,y) hoac y’ € Po(x,y) Chứng tỏ điều kiện (iv) trong Bổ đề 2.2.7 được thỏa mãn Ấp dụng Bồ đề 2.2.7, tồn tại (Z,0)€ A x B sao cho P.(z,9) = 0 và P›(z, 0) = Ú Khi đĩ với mỗi (u,) € A x B, tồn tại (z,+) € F(Z,0,u) x G(,ÿ,0) sao cho €„(z) €lR+ và €„(u) € Ry Do đĩ (#,ÿ) € S¡(€) Bởi Bổ đề 2.3.1, ta suy ra (Z,Ø) € %¡ Định lý được chứng minh LÌ Ví dụ dưới đây mình họa cho Dinh ly 2.3.2 Ví dụ 2.3.3 Giả sử X =Y =Z=R,A=B-=|0,1|,C=P—=R, và các ánh xạ đa trị": Axưx A->2Ý và: Ax Bx B— 2“ xác định bởi
F(z,,u) = |z — u,u| với (z,,u)€AxBxA, Œ(%,,0) = |UT— 0,u| với (z,U,u)c€ Ax Bx 8Ư
Dễ thấy giả thiết (¡) của Định lý 2.3.2 thỏa mãn Ta kiểm tra giả thiết (11) của
Định lý 2.3.2 Lay Uy,U2 © A va t,t € |0, 1] VỚI f{ + f#¿ — l Cả SỬ uy < Đua
Khi d6 véi moi z € F(a, y, uz) ta cĩ
Trang 29Diéu nay kéo theo
x — tu, — sua Š z € tu + tots Điều này cĩ nghĩa là
F(ax,y,u1) C F(œ, y, tru, + tou) C F(a, y, tyuy + toug) + C
Vậy Ƒ(z,,.) là C- tựa lồi Tương tự ta cũng chỉ ra được G(z,y,.) la P- tựa lồi Vậy giả thiết (1) của Định lý 2.3.2 thỏa mãn Hiển nhiên với mỗi (u,v) € Ax B, F(.,.,u) va G(.,.,v) lA cdc ánh xạ lse trên 4 x Ư Điều đĩ cĩ nghĩa là giả thiết (ii) của Định lý 2.3.2 thỏa mãn Cuối cùng ta kiểm tra giả
thiết (iv) của Định lý 2.3.2 Bằng cách chọn 2 = Dz = [5, 1] Khi đĩ với mỗi
(x,y) € (A x B)\(D, x Do), ton tai (2’ = 1,y/ = 1) € D, x Dz sao cho F(z,y,2') = [x — 1,1] va G(2,y,y') = [u — 1,1]
Do dé
F(2x,y,2') C [-1,0) C —intC va G(z,y,y’) C [-1,0) C —int P,
véi moi (x,y) € Ax B Vay giả thiết (iv) của Định lý 2.3.2 được thỏa mãn Vậy tất cả các giả thiết cia Dinh ly 2.3.2 được thỏa mãn Ta chỉ ra S, 4 0 That
vay, vi
Trang 30Ta chi ra gid thiét (i) cua Dinh ly 2.3.2 khơng thỏa mãn Thật vậy, bằng cách chon z = y = 0, ta cĩ 1 F(x,y,2) NC = F(0,0,0) Ry = (—5,0) Ri = 0 1 G(x, y.y) NP = G(0,0,0) Ry = (5,0) Ry = 0
Điều này chứng tỏ giả thiết (¡) của Định lý 2.3.2 khơng thỏa mãn Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy các giả thiết cịn lại của Định lý 2.3.2 được thỏa mãn Mặt khác, với mỗi (z,) € A x B, ton tai (u,v) = (0,0) € A x B sao cho
1
F(a,y,u) = F(a,y,0) = (5:0) C —intR, =—intŒ G(z,,0) = F(z, u,0) = —g.0) C —intR, = —int P
Điều này chứng tỏ Š¡ = 0 Vay bai toan (SV EP), khong c6 nghiém
Ví dụ dưới đây chỉ ra giả thiết (ii) của Dinh ly 2.3.2 khơng thể bỏ được Ví dụ 2.3.5 Giả sử X =Y =Z=R,A=B=|0,1|,C=P—=R, và các ánh xa da trif: Ax Bx A> 2? vaG: Ax Bx B- 2% xc dinh béi — ƒ Gh nến r=a F(a,y,u) = { (Cu — 1,u— 1Ì, trong trường hợp cịn lại, s— {3}, néu v = y,
GẮ, , 0) = { (Cị— 1, — I1], trong trường hợp cịn lại
Trang 31Fz,,ua) Z F(a, y, teu, + tou2) + C
Điều này chứng tỏ giả thiét (ii) cia Dinh ly 2.3.2 khong théa mãn Hơn nữa, với mỗi (x,y) € A x B, ton tai (u,v) = (0,0) € A x B sao cho
F(x,y,u) = (—2,-1] C —int Ry = —intC G(x,y,v) = (—2,-1] C —intR, = —int P
Diéu nay chitng to S, = 0
Ví dụ dưới đây chỉ ra giả thiết (ii) của Định lý 2.3.2 khơng thể bỏ được Ví dụ 2.3.6 Giả sử X =Y =Z=R,Al=B-=|-I,l|,C=P—=R, và các ánh xạ đa trị ": Ax8xA->2” và: Ax 8x B—› 2“ xác định bởi {z — u}, nếu ø < 0, F (x, Ù: 0) — { [—3 5): trong trường hợp cịn lại, — {U — vf, néu y < 0,
G(r, y,0) = { [—3 „), trong trường hợp cịn lại
Dé thay gia thiét (i), (ii) va (iv) cla Dinh ly 2.3.2 thỏa mãn Ta kiểm tra giả thiết (1i) của Định lý 2.3.2 Bằng cách chọn vz’ = y' = 0,u = 1, ta cĩ F(a',y',u) = {—1} Giả sử z € F(a',w,u) Khi đĩ (—š,—3) là lân cận của z Hơn nữa, với mỗi lân can V cua (2’,y’) ta c6
Điều này chứng tỏ F(.,.,) khơng lsc trén A x B Vay giả thiết (11) của Định
lý 2.3.2 khơng thỏa mãn Ta chỉ ra 5¡ = Nếu z < 0 thì
F(x,y,u) = {x —u} C —int Ry = —intC với mọi u € (0, 1| Néu x > 0 thi
lu ae
F(z,y,u) = T5: 3) C —intR, = —int C với mọi € |[—1,0)
Diéu nay chitng to S, = 0
Trang 32Ví dụ dudi day chi ra giả thiết (iv) của Dinh lý 2.3.2 khơng thể bỏ được Vi du 2.3.7 Giasu X =Y = Z=R,A=B=(0,1],C = P=R, va cdc Anh xạ đa trị": Axưx A->2Ý và: Ax Bx B— 2“ xác định bởi
_—ru — cu © = 0
p — J (zu—#,zu), nêu ø = #0,
(x,y, u) { [—1,#u), trong trường hợp cịn lại,
— (—yuv — x, yv), nêu # = y £0,
G(a, U; 0) — { [—1, yv), trong trường hợp cịn lại
Dé thay gia thiét (i), (ii) va (iii) cha Định lý 2.3.2 thỏa mãn Ta kiểm tra giả thiết (iv) của Định lý 2.3.2 Với mỗi tập khơng rỗng, compact Dị x Dz C Ax B, ta chon (x,y) = (1,1) € (Ax B)\(D, x De) Khi d6 với mỗi (2’, y') € Dy x Dao,
ta co
F(ax,y,2') = (—a' — 1,2) Z —intR, = —intC
G(#, 9, U) — (—y’ ~~ 1,y') ự —1nt + = —int P
Điều này chứng tỏ giả thiết (iv) của Định lý 2.3.2 khơng thỏa mãn Mặt khác, với mỗi (x,y) € A x B, ton tai (u,v) = (0,0) € A x B sao cho
0)
—x,0) C —intC, néur = y £0,
— 1ntC, trong trường hợp cịn lại,
(—y,0) C —intP, nếu z = #0,
[—1,0) C—intP, trong trường hợp cịn lại
su.) = {
Diéu nay chitng to S, = 0
Bo dé 2.3.8 Voi méi q € —intC va q' € —int P, ta ludn co
Sy = So(€) Chiing minh Gia stt (2’, y') € So Khi đĩ
F(a’, y’,u) MN (—int C) = @ với mọi u € A G(z,,0)f(—int P) = Ú với moi v € B
Trang 33Theo Bồ đề 2.2.2, với mỗi (u,) € Ax Ư, ta cĩ
z€é-—intC vaw € — int P,
với mọi (z,w) € F(a’, y’,u) x G(a',y’,v) Tu do véi mdi (u,v) € A x B, E,(z) € Ry va €)(w) € R4,
với mọi (z,w) € F(a’, y',u) x G(a’,y’, v) Boi định nghĩa của £„ và €„, ta được
E (F(z, y, u)) CR, v6i moi u€ A
Ev (G(x, y,v)) C Ry voi moi v € B Diéu nay chitng td (2’, y’) € So(€) Vay Sy C 95(E)
Neude lai, vdi (x',y’) € S(€), theo Bo dé 2.2.2, ta dude (x’, y’) € So Do dé 52(€) C So Vay Sy = So(€)
LJ Dinh nghĩa 2.3.9 Cho T : D > 2Ý là ánh xạ đa trị Ta nĩi rằng 7' là C- tựa
lồi suy rộng trên D néu véi moi 71,22 € D vat € [0,1] thì hoặc
T (21) 8a IT (ta + (1 — t)za) + C| Ft Ú hoặc
T (22) 8 IT (ta + (1 — t)x2) + C| Ft Ú
Định lý 2.3.10 Giá sở các điều kiện sau thơa mãn:
(i) Với mỗi (z,) € Ax B, F(z.u,x) CC va G(a,y,y) C P;
(H) Với mỗi (z,) € Ax®B, F(z,,.) là C- tựa lỗi suy rộng trên A ồ G(z, ,.)
là P- tua loi suy rộng trên B;
Trang 34(iv) Voi mdi (u,v) € Ax B, F(.,.,u) va G(.,.,v) la cdc anh xa Isc trên A x B; (v) Tén tai các tập con khéng rong, loi, compact Di C A va Dy C B sao cho uới mỗi (x,y) € (A x B)\(D, x D2), ton tai x! € DỊ thỏa mãn F(z,u,z) đ -intC z# hoặc tồn tại € D;y thỏa mãn G(z,,)n—int P z 0
Khi dé tap nghiém Sy cua bai todn (SV EP) la khơng rỗng
Chitng minh Ta dinh nghia céc ánh xa da tri Q; : Ax BO 24 wa
Qs: Ax B->y 2” bởi cơng thức
Q1(2, 9) = {u C A: Ej (F(z, y, u)) Z R,}
Qo(z,y) = {v € B: (G(x, y,v)) EZ Ry}
Ta chứng mình @¡(z,ø) lồi với mọi (z,) € A x Ư Thật vậy, giả sử Qi (2, y) khong 16i Khi do t6n tai ty, t2 € [0,1] vdi t) + tg = 1 va ị,ua © Qi(z,y) sao
cho tyu, + tou2 Z Qi (x,y) Tt do suy ra
(F(x, y,u)) C Ry
Bởi giả thiết (1), ta cĩ
Trang 35Điều này mâu thuẫn với f + tous € Qi(z,y) Vay Qi(z,y) 1A tap 16i véi moi
(x,y) € Ax B Chứng minh tương tự, ta cing c6 Qo(z,y) là tập lỗi với mọi (x,y) € Ax B Tiếp theo, ta chỉ ra khẳng dinh (ii) trong Bo đề 2.2.7 được thỏa mãn Thật vậy, ta chỉ ra z £ P(z,) và £ P›(z,) với mọi (z,) € A x Ư Lấy (z,) € Ax B cơ định Với mỗi (z,u) € F(z,g,z) x G(z,,), bởi giả thiét (ii) ta suy ra z € C va w € P Điều này kéo theo z # —1ntŒ và u ¢€ — int P Bởi Bồ đề 2.2.2, ta thu được (2z) € Ry va €¢(w) € Ry, với mọi (z,+) € F(2,y,x2) x G(z,,) Điều này chứng tỏ €(f(œ,,ø)) CR và @„(G(%,,)) C R
Bởi định nghĩa của f và ), ta cĩ
xc €é Pi(x,y) vay € Po(x,y) voi moi (x,y) €E Ax B
Ta chứng minh khẳng định (1i) trong Bổ đề 2.2.7 được thỏa mãn Với mỗi
(z,u) € Ax B, lấy dãy {,,)} € (2i14)) sao cho (#,) (aor yo)
Bởi gia thiét (iv), v6i mdi z € F(x, yo,u), ton tai z; € F(2;,y;,u) sao cho z¿ —> z0 Sử dụng tính liên tục của hàm £, ta cĩ €„(zo) € R Từ đĩ suy ra €u(F(%o, 9o, w)) C Ry Diéu nay kéo theo (29, yo) € (Q71(u)) Do do Q;'(u) IA mở trong 4 Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ Q; †(ø) là mở trong Cuối cùng, ta kiểm tra điều kiện (iv) trong Bồ đề 2.2.7 được thỏa mãn Theo giả thiết, tồn
tại các tập con khơng rỗng, lồi, compact Dị C A và Dạ CB sao cho với mỗi
(x,y) € (A x B)\(D, x Dg), ton tại zˆ € Dị thỏa mãn F(z,,+) C —inbC hoặc tồn tại € 2s thỏa mãn G(z,,/) C —imtP Điều này kéo theo, với mỗi (z,w) € F(a,y,2’) x G(a,y,y’'), ta co
€„(z) € Ry hoac €/(w) ¢ Ry
Boi dinh nghia P,, P2, ta suy ra x’ € Pi(x,y) hoac y’ € Py(x,y) Chứng tỏ diéu kién (iv) trong Bé dé 2.2.7 được thỏa mãn Áp dụng Bồ đề 2.2.7, tồn tại (Z,0)€ A x B sao cho
PĐ(z,ÿ) = và P›(z, 0) = 0
Trang 36Khi đĩ với mỗi (u,) € A x B, tồn tại (z,+) € F(Z,0,u) x G(,ÿ,0) sao cho €„(z) €lR+ và €„(u) € Ry Do đĩ (#,ÿ) € S¡(€) Bởi Bổ đề 2.3.1, ta suy ra (Z,Ø) € %¡ Định lý được chứng minh LÌ Ví du 2.3.11 Đặt X =Y =Z=R, A= B= |0;I| và C=P—=R;¿ Xét các ánh xạ đa trị": Axưx A> 2Ï và: Ax Bx B— 2“ xác định bởi Fứ.w.1) = { (u,u + 1), nếu, u <2, [—u,1), trong trường hợp cịn lại, (o,o +1), nếu 0 < ÿ, [—o, 1), trong trường hợp cịn lại Ga.) = { Trước tiên, ta chứng minh #' khơng là C- tựa lồi Thật vậy, bằng cách chọn 1 # —=~,tị — Ì,ua = Ư vat, =to= 2; 2 ¬.—= =, ta co F(s ia) = (01)# (5.+<) 1 3 = (~-)+R (5:5) + = F(x,y,tyu2 + tou2) +C 1
F(ax,y,u1) = [-1,1) Z (5 ta) = F(œ,U,tfiua + taua) + C
Do đĩ Ƒ' khơng là Œ— tựa lồi Ta kiểm tra tất cả các giả thiết trong Định lý 2.3.10 được thỏa mãn Dễ thấy điều kiện (i) trong Dinh ly 2.3.10 dude théa mãn Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện (ii) Với (z,) € Ax ;ui,uas € A và ,ta € |0, 1| với f¡ + fs = 1 Giả sử rằng uị < uạ Xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu uị < ua < z thì ftui + faua < uạ < x và
F(+,,ua)(01|F (+, tui + tua) + C] = (ua, la + 1) (Hui + teue, +00) £ 0
Trudng hop 2: Néu u, < x < ue thi ta c6 tyu, + tous > x hodc tu, + tous < # Khi đĩ
F(+,,ua)(01|F (+, tui + tua) + C]
Trang 37= (—u2, L) 1 (—fiu — fzua, +o©) # Ú
hoặc
F(x,y,u2) A |F (x,y, tus + teu) + C] = (—wg, 1) (tiu1 + tous, +00) A 0
Trường hợp 3: Nếu z < ui < ue thi tyu; + teu, > x va do dé
F(x,y,u2) [F (x,y, tui + tua) + C]
= (—ug, 1) N (—tyu, — tee, too) 4 0
Vay F la C— tua léi suy rong.Chitng minh tuong tu, G la C— tua 160i suy rong
Tiếp theo, ta kiểm tra giả thiết (ii) Với mỗi u € A tacé F(x, y,u)N—int C # Ú nếu > x Giả sử z € Fz,,u) Khi đĩ z € [—u,1) C [—I,1) Từ đĩ suy ra z—€ŒC —intC Tương tự, ta cĩ thể chỉ ra rằng Œ cũng thỏa mãn điều kiện này Vậy giả thiết (ii) được thỏa mãn Tiếp theo ta kiểm tra giả thiết (iv) của Dinh ly 2.3.10 Với (z,) € Ax B và z€ F(a’, y’,u), ta xét các trường hợp sau:
Truéng hop 1: Néu u < 2’ thi z € (2’,2’ + 1) Goi U là lân cận tùy ý của z Khi đĩ với mỗi (x, y) thudc lân cận (u,2’] x B cua (2’, y’), ta c6
(z,#ˆ +1) C F(z,,u) với mọi z € (u, 2’)
Do đĩ
F(z,y,u) AU z# Ú với mọi (z,9) € (u,z] x B
Trường hợp 2: Nếu u > z thì z € [—u, 1) Gọi U là lân cận tùy ý của z Khi
đĩ với mỗi (z, ) thuộc lân cận [x’, 1] x B cua (2’, y’), ta c6 z €|[-u,1) = F(a,y,u)
Do đĩ
F(z,y,u) AU # 0 với mọi (z,9) € [+1] x B
Vậy F\(.,.,u) là lsc trên A x Tương tự ta cũng chỉ ra được G(.,., ø) là ]se trên Ax B Cuéi cùng, ta kiểm tra điều kiện (v) của Định lý 2.3.10 Bằng cách chọn
1 1
dD, = | C A và Lạ — S| C B Khi đĩ với (x,y) C (Ax B)\ (D, x Do),
ton tai x’ = 1 € D, vay’ = 1 © Dz sao cho
F(a2,y,2')M—int C = [-1,00) N —int Ry = [-1,0) £9
Trang 38Do đĩ tất cả các giả thiết trong Dinh ly 2.3.10 được thỏa mãn Hơn nữa, bằng
kiểm tra trực tiếp, ta cĩ (1, 1) € So
2.4 Tính lồi của tập nghiệm của bài tốn cân bằng vectơ đối xứng
Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, cĩ thể
kể đến nguyên ly diém bat dong Brouwer nam 1912, nguyén ly anh xa co Banach năm 1922 Năm 1929 ba nha toan hoc Knaster, Kuratowski va Mazurkiewicz
đã chứng minh một kết quả rất quan trọng mà ngày nay chúng ta gọi là "Bồ đề KKM" Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển sang khơng gian tơpơ tuyến tính với ánh xạ đa trị và kết quả thu được ngày nay ta gọi là "Bồ dé Fan-KKM" "Trước tiên ta nhắc lại khái niệm ánh xạ KKM
Định nghĩa 2.4.1 Giả sử D là tập con khơng rỗng của X Ánh xạ đa trị #':
D— 2* được gọi là ánh zạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {#,#a, , #„}
trong , ta luơn cĩ
CO{Z1, #a, ,®„} C B Fta;) i=l
Định lý 2.4.2 (Bồ dé Fan-KKM, xem [12|) Giả sử D là tập cơn khơng rỗng
của khơng gian tơpơ tuuến tính X uà `: D —> 2` là ánh zạ KKM tới giá trị
đĩng Phi đĩ uới mọi tập hữu han A C D, ta luơn cĩ xEA
Chiing minh Ta chittng minh dinh ly bang phan chitng Gia sit tén tai tap hitu hạn {#,#a, ,#„} C D sao cho
Vail (xi) = Ú
Dat L = span{zi,zas, ,#„} và d là khoảng cách trên L tương thích với tơpơ cam sinh từ X Ta kí hiệu A = co{2i,2a, ,#„} và G(a;) = F(a) NL véi ¡¿ = 1,2, ,n Với mỗi z € A, đặt œ;(+) = d(+,G(z;)) Vi NL, F(a) = Ú nên M'_,G(x;) = Do đĩ với mỗi + € A, tồn tại ¿ sao cho + £ G(z;) Vì G(z,) đĩng nên a;(z) > 0 Ta đặt
a(x)
Lu¿() — 5 a,(0) ced
Trang 39Khi đĩ các hàm /„ liên tục và 0 < (#) < 1, >05_, w(x) = 1 véi moi x € A
Xét ánh xạ 7': ÀA > A xác định bởi
La = S_ pi(x)a
j=l
Rõ ràng 7' liên tục trên A là tập con lồi và compact của khơng gian con hữu
hạn chiều L Sử dụng Định lý điểm bất động Brouwer, tồn tai Z € A sao cho T(Z) = z Đặt I(Z) := {¿€ {1,2, ,n} : (#) > 0} Vì 3` 6ðr(Z) = 1 nên icl (Zz) I(z) # Mặt khác ta lại cĩ f= T(z) =) mila); ~ 20 u( ¿cl( Từ đĩ suy ra
# €co{z¿:2€ 1(3)} C Vjerzy F (xi)
Vì ;() > 0 với mọi ¡ € J(Z), nén ta c6 & ¢ G(a,) Vi Z € L nén & ¢ F(a;) véi moi i € I(%) Ching to ¢ Ujerz) F(a) Dieu nay mau thuẫn với
& E Viera f(a) Vay dinh ly được chứng minh L]
Nhận xét 2.4.3 Trong Dinh lý 2.4.2 nếu tồn tại z € D sao cho Ƒ'(zo) là tập
compact trong X thi
Định lý 2.4.4 Giá sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Với mỗi (z,) € Ax B, F(z.u,x) CC va G(a,y,y) C P;
(H) Với mỗi (z,U) € Ax B, F(2,y,.) la C- loi trén A va G(z,y,.) la P- loi
trén B;
(iii) Voi mdi (u,v) € Ax B, F(.,.,u) va G(.,.,v) la cắc anh xa Isc trén A x B; (iv) Ton tat cdc tap con khéng rong, loi, compact D, x Dz C Ax B va tap compact M, x Mz C Ax B sao cho vdi modi (x,y) € (A x B)\(M, x My), ton tai (2',y’) © Dy x Dy thoa man F(x, y,2')N —intC # Ú hoặc G(z,,)n—int P z 0
Trang 40Khi đĩ tap nghiém S2(€) cua bai tốn (SSEP):(€) là khơng rỗng uà compact Hơn nữa, tập nghiệm S› của bài tốn (SV EP)s là lồi
Chứng mình Lây q € —intC va gq’ € —intP Ta định nghĩa ánh xạ đa trị
T:Ax B- 24" béi cong thite
T(z,w) :={(@,y)€ Ax B: & (F(a, y, z)) C Re va €y(G(a, y, w)) C Ry}
khi đĩ
52(€) — (\xz„)ceAxp, w)
Ta chứng mình 7' là ánh xạ KKM Giả sử ngược lại, tồn tại tập con hữu hạn { (21, Yt), (a, Y2), «+5 (Ln; Yn) } cua A x B va (z,w) € A x B sao cho
(z, w) C cot (21, y1); (x2, y2), ney (Tn, Yn) }\ ;—¡ Ta, U¡)-
Từ đĩ suy ra tồn tại a1, Q9, ,@, € Ry sao cho » a; = 1 và (Z, +) => (4, 1): Do vậy, với mỗi ¿ € {1,2, ,n}, ta cĩ G(,y,2z)) £ R hoặc §„(G(%,,4)) £ R (2.1) Bởi giả thiết (đ) về tính lơi theo nĩn của F' va G, ton tai 7 € {1,2, ,n} sao cho F(z,w,2;) C F(z,w,z)+C G(z,w,y;) C G(z,w,w) + P Từ đĩ suy ra GÚG, t6,#j)) C &ÚŒ,0,2)) + 6(C) C Ry €(G(2,10,9j)) C §y/(G(2,10,0)) + 6y/(C) C Rụ
Điều này mâu thuẫn với (2.1) Vậy 7 là ánh xạ KKM Tiếp theo ta chứng minh 7' là ánh xạ cĩ giá trị đĩng Thật vậy, với mỗi (z,u) € 4x và dãy