Quickhulldisk một thuật toán tính bao lồi hiệu quả cho tập hữu hạn các hình tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐẠI QUICKHULLDISK: MỘT THUẬT TỐN TÍNH BAO LỒI HIỆU QUẢ CHO TẬP HỮU HẠN CÁC HÌNH TRỊN Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Kiều Linh TS Dương Thị Việt An Thái Nguyên, năm 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn ứng dụng 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự định hướng cho hình trịn R2 10 1.3 Một số ứng dụng tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn 17 Chương Thuật tốn QuickhullDisk 20 2.1 Giới thiệu thuật toán QuickhullDisk 20 2.1.1 Tìm hai điểm cực biên hình trịn cực biên tương ứng 21 Init 2.1.2 Xác định tập khởi tạo DR DLInit 23 2.1.3 Tìm hình trịn dr tập P1 P2 24 2.1.4 Tìm next(dp ) prev(dq ) 26 2.2 Sự đắn độ phức tạp tính tốn thuật toán 28 Chương Một số kết tính tốn 30 3.1 Giới thiệu liệu thử nghiệm 30 3.2 Một số kết tính tốn 32 Tài liệu tham khảo 38 Danh mục ký hiệu conv(D) bao lồi tập hợp D ∂(conv(D)) biên bao lồi conv(D) CH(D) tập hình trịn cực biên tập D pq đoạn thẳng nối p với q ∆(a, b) đường thẳng định hướng qua hai điểm a, b theo hướng từ a tới b orient(a, b, c) định hướng ba điểm a, b, c CH(pq ) bao lồi tập hình trịn xung quanh đoạn thẳng pq ∆(d, d0 ) đường thẳng tựa khơng âm cặp hình trịn d, d0 dist(c, ∆) khoảng cách từ điểm c đến đường thẳng ∆ I(Σ) giao nón Σ FVOR(D) biểu đồ Voronoi miền xa tập hình trịn D MCS hình trịn nhỏ chứa tập conv(pq) tập lồi nhỏ chứa đoạn thẳng pq số hình trịn xung quanh đoạn thẳng pq Λ(d, d0 ) cạnh bao lồi ∂conv(D) X D∆ tập cắt cực đại ∆−1 đường thẳng có hướng ngược lại ∆ R D∆ tập không dương cực đại đường thẳng định hướng ∆ L D∆ tập không âm cực đại đường thẳng định hướng ∆ Init DR tập không dương cực đại mở rộng ∆ DLInit tập không dương cực đại mở rộng ∆−1 prev(d) hình trịn cực biên kế trước d next(d) hình tròn cực biên kế sau d |P | lực lượng tập P Ùd len(p, td ) độ dài cung pt Mở đầu Một tốn đặc biệt quan trọng lĩnh vực hình học tính tốn tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm Bài tốn có nhiều ứng dụng đồ hoạ máy tính, nhận dạng mẫu, xử lý hình ảnh, tìm đường ngắn cho robot Hơn nữa, tốn tìm bao lồi thường sử dụng toán phụ, bước tiền xử lý quan trọng tốn hình học khác tìm tam giác phân Delaunay, tính biểu đồ Voronoi, tìm đường kính tập hợp, tìm lớp lồi tập hợp, tìm đường ngắn nhất, v.v Những thuật tốn tìm bao lồi với đầu vào tập điểm hữu hạn xuất từ năm 1970 thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học ứng dụng ý nghĩa thực tiễn Bài tốn tìm bao lồi tiếp tục phát triển với đầu vào tập đối tượng khác tập đoạn thẳng, tập đa giác, tập hình trịn, Trong số tốn với tập hình trịn xuất từ năm 1990 có nhiều ứng dụng tốn khó, phức tạp chưa giải đầy đủ Một số tác giả đề xuất thuật toán giải từ việc cải tiến thuật tốn tìm bao lồi cho tập điểm Đầu tiên năm 1992, D Rappaport giới thiệu thuật toán lấy ý tưởng từ thuật toán chia để trị với độ phức tạp O(n log n) [14] Trong báo này, tác giả ứng dụng tốn số vấn đề hình học xác định bán kính tập hình trịn, tìm Voronoi xa nhất, tính miền stabbing xây dựng miền giao tập hình trịn Năm 1995, O Devillers M Golin tiếp tục đề xuất thuật toán O(n log n) cải tiến từ thuật toán tăng dần với tập hình trịn đầu vào xếp theo thứ tự tăng dần bán kính [7] Đến năm 1998, W Chen cộng trình bày phương pháp song song giải toán với ý tưởng thuật toán chia để trị [3] Năm 2004, D.-S Kim cộng sử dụng bao lồi tập hình trịn tốn phụ để giải tốn tìm đường ngắn tránh vật cản hình trịn [6] Năm 2019, N K Linh cộng sử dụng ý tưởng thuật toán Quickhull đề xuất thuật tốn hiệu tính bao lồi tập hữu hạn hình trịn với độ phức tạp tính tốn trường hợp xấu O(n2 ) [10] Với mong muốn tìm hiểu thuật tốn tính bao lồi cho tập hữu hạn hình trịn, đề tài luận văn “QuickhullDisk: Một thuật tốn tính bao lồi hiệu cho tập hữu hạn hình trịn” có mục đích hệ thống lại mảng kiến thức liên quan đến tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn, số ứng dụng quan trọng trình bày thuật tốn hiệu tính bao lồi cho hình trịn có tên QuickhullDisk Nội dung luận văn tham khảo từ tài liệu [10] Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung Luận văn gồm chương cụ thể sau: Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn ứng dụng: Trình bày kiến thức liên quan đến tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm, tập hữu hạn hình trịn số ứng dụng tiêu biểu tốn tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn Chương Thuật tốn QuickhullDisk: Giới thiệu thuật toán QuickhullDisk với ý tưởng lấy từ thuật toán Quickhull tìm bao lồi tập hữu hạn điểm để giải tốn tìm bao lồi tập hình trịn Chương Một số kết tính tốn: Trình bày số thử nghiệm số hiệu thuật toán QuickhullDisk với thuật toán tăng dần Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Kiều Linh TS Dương Thị Việt An Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô, người mang đến cho em kinh nghiệm nghiên cứu quý báu q trình em học tập hồn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình em học tập trường Xin cảm ơn giúp đỡ cảm thông sâu sắc từ bạn bè, gia đình đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2021 Học viên Hồng Văn Đại Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn ứng dụng Chương trình bày kiến thức liên quan đến tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm, tập hữu hạn hình trịn số ứng dụng tiêu biểu tốn tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn Nội dung Chương tham khảo từ tài liệu [1], [6], [10], [12] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong không gian Rn , cho hai diểm p, q Tập hợp tất điểm x có dạng x = (1 − λ)p + λq với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng nối p với q kí hiệu pq Đầu tiên chúng tơi nhắc lại số khái niệm tổ hợp lồi, tập lồi bao lồi tập Định nghĩa 1.1 (xem [1], [12]) Cho p1 , p2 , , pk ∈ Rn Những véc tơ k k P P x ∈ Rn có dạng x = λi pi dó pi ∈ Rn ≤ λi ≤ với λi = i=1 n i=1 gọi tổ hợp lồi p1 , p2 , , pk ∈ R Định nghĩa 1.2 (xem [1], [12]) Một tập S gọi tập lồi với hai điểm p, q tùy ý thuộc S tổ hợp lồi p q nằm S hay đoạn thẳng pq phải nằm hoàn toàn S Đoạn thẳng, tam giác, hình trịn, ví dụ đơn giản tập lồi mặt phẳng Định nghĩa 1.3 (xem [1], [12]) Bao lồi tập S giao tất tập lồi chứa S Ta ký hiệu bao lồi S conv(S) Nhận xét 1.4 (xem trang 32, [9]) Bao lồi tập hữu hạn điểm P ⊂ Rn đa diện lồi Rn Định nghĩa 1.5 (xem [12]) Mỗi p ∈ S thỏa mãn p ∈ / conv(S\{p}) gọi điểm cực biên tập S hay gọi đỉnh conv(S) Trong mặt phẳng, đa giác tạo đỉnh bao lồi gọi biên bao lồi Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa điểm cực đặc biệt tập điểm từ R2 tài liệu [5] Việc tìm điểm thường bước thuật toán tìm bao lồi Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Cho P tập hữu hạn điểm không gian R2 Trong điểm P có tung độ y lớn điểm có hồnh độ x nhỏ gọi điểm tận trái Tương tự ta định nghĩa bảy điểm cực lại: điểm tận trái trên, điểm tận phải, điểm tận phải trên, điểm tận phải dưới, điểm tận phải, điểm tận trái, điểm tận trái Trong Hình 1.1, e1 điểm tận trái trên, e2 điểm tận trái, e3 điểm tận phải, e4 điểm tận phải trên, e5 điểm tận phải dưới, e6 điểm tận phải, e7 điểm tận trái e8 điểm tận trái Phần cuối mục chúng tơi phát biểu tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn điểm tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn hình trịn Hình 1.1: Các điểm cực đặc biệt không gian R2 Bài tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn điểm R2 Theo Nhận xét 1.4 ta lồi tập hữu hạn điểm P ⊂ R2 đa giác lồi R2 Bài toán tìm bao lồi tập P tốn xác định tất đỉnh conv (P ) với thứ tự mà theo ta dựng lại conv (P ) Như vậy, ta có liệu đầu vào toán tập hợp P hữu hạn gồm n điểm p1 , p2 , , pn đầu tập đỉnh bao lồi conv (P ) Bài tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn hình tròn R2 Ký hiệu D = {d1 , d2 , , dn }, n ≥ tập hình trịn di (ci , ri ) có tâm điểm ci (xi , yi ) ∈ R2 bán kính ri ≥ Các hình trịn giao hình trịn chứa hình trịn khác Bài tốn đặt tìm conv(D) hình trịn có nhiều kích thước khác nhau, tức là, bán kính hình trịn tùy ý Nếu D chứa hình tròn nhau, (điểm r chọn ta gọi r điểm cuối (endpoint)) Trong trường hợp có nhiều hình trịn tiếp xúc r ta chọn dr hình trịn có bán kính lớn Với cách chọn rõ ràng dr hình trịn cực biên tập D R+ Do P1 = Dk R+ ∆(p,r) P2 = Dk ∆(r,q) , nên để xác định P1 P2 ta làm tương Init tự cách xác định tập DR cách thay ∆(p, q) ∆(p, r) ∆(r, q) Từ cách xác định đường tròn dr tập P1 P2 ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2 Xác định hình trịn dr tập P1 P2 tập Dk có độ phức tạp tính tốn O(|Dk |) phép đệ quy Trong thuật toán QuickhullDisk điểm thuộc tập P0 := Dk \{P1 ∪ P2 } không nhắc tới (xem hình 2.3, P0 tập hình trịn nét đứt), hình trịn tập khơng thể hình trịn cực biên nên bỏ Trong bước đệ quy ta không xét đến hình trịn Hình 2.3: Các tập hợp P0 , P1 P2 : P1 (tương ứng P2 ) chứa hình trịn thuộc D1 khơng nằm phía dương pr (tương ứng rq), P0 tập đường thuộc D1 nằm phía dương pr rq (các hình trịn nét đứt) 25 2.1.4 Tìm next(dp ) prev(dq ) Thơng thường dr 6= dp dr 6= dq , nhiên có tình đặc biệt dr = dp dr = dq Khi kiểm tra có tình xảy ta cần xác định hình trịn cực biên liền sau next(dp ) hình tròn cực biên liền trước prev(dq ) tập CH(D) để thuật tốn tránh bị lặp vơ hạn Dưới lấy ví dụ tình đặc biệt Hình 2.4(a) minh họa tám hình trịn cho ba hình trịn biên bao lồi tiếp xúc với đường thẳng chung Cụ thể, d1 , d2 d3 hình trịn biên tiếp xúc với đường tiếp tuyến chung Điểm x ∈ ∂d3 có khoảng cách xa tới ∆(p, q), với p q điểm cực biên p ∈ ∂d1 , q ∈ ∂d5 Hình 2.4(b) hinh họa chi tiết tình đặc biệt Với phép đệ quy sử dụng ∆(p, x) tập hình trịn {d1 , d2 , d3 }, điểm x0 có khoảng cách xa đến ∆(p, x) x0 ∈ ∂d3 Nếu tiếp tục sử dụng đệ quy với ∆(p, x0 ) tập hình trịn {d1 , d2 , d3 } ta tìm điểm x00 có khoảng cách xa tới ∆(p, x0 ) x00 ∈ ∂d3 Như tình khơng xử lý thuật tốn bị lặp vơ hạn Hình 2.4: Tình đặc biệt, tất đỉnh x, x0 x00 xuất ∂d3 (a) Tám hình trịn đường kẻ cho ba hình trịn biên bao lồi tiếp xúc với đường thẳng chung (b) Quá trình đệ quy với ∆(p, q), ∆(p, x), ∆(p, x0 ), ∆(p, x00 ), 26 Bởi vậy, kiểm tra thấy dr = dp dr = dq ta cần tìm hình trịn next(dp ) prev(dq ) tương ứng để tránh lặp vơ hạn Việc tìm hình trịn mơ tả chứng minh chi tiết tài liệu [2] Ở trình bày lại thủ tục để xác định next(dp ) prev(dq ) Khi tìm hình trịn next(dp ) ta cần xem xét tiếp tuyến phải dp với hình trịn d ∈ Dk Do dp cố định nên để thuận tiện ta ký hiệu tiếp điểm tiếp tuyến phải dp hình trịn d ∈ Dk theo hình trịn d, cụ thể ta gọi td t˜d hai tiếp điểm tương ứng dp d tiếp tuyến Ù d cung có hướng từ p đến td phải Ngoài ra, ta ký hiệu pt đường tròn dp (sau để đơn giản ta viết "cung" thay cho "cung có Ù d Thủ tục 2.2 tìm hình trịn cực hướng") len(p, td ) độ dài cung pt biên next(dp ) Dk Thủ tục 2.2 FindNextDisc(Dk , dp , dq ) Đầu vào: Tập Dk = {d1 , d2 , , dm } gồm m hình trịn khơng phía dương pq Đầu ra: next(dp ) l := Tính len(p, tdl ) for i = l to m if (len(p, tdl ) > len(p, tdi )) or ((len(p, tdl ) = len(p, tdi ) and [tdi , t˜di ])) then đặt l = i and goto 2; ([tdl , t˜dl ] > next(dp ) dl Return dl Để tìm hình trịn cực biên liền trước prev(dq ) hình trịn dq ta thực tương tự tìm next(dp ) dp Giả sử d ∈ Dk , ta ký hiệu tiếp điểm đường tiếp tuyến phải d dq theo d, tức gọi t˜d td tiếp điểm tiếp tuyến tương ứng trên d dq Bổ đề 2.3 Thủ tục 2.2 tìm next(dp ) (tương ứng, Thủ tục 2.3 tìm prev(dq )) thời gian O(|Dk |) 27 Thủ tục 2.3 FindPrevDisc(Dk , dp , dq ) Đầu vào: Tập Dk = {d1 , d2 , , dm } gồm m hình trịn khơng phía dương pq Đầu ra: prev(dp ) l := Tính len(tdl , q) for i = l to m if (len(tdl , q) > len(tdi , q)) or ((len(tdl , q) = len(tdi , q) and > [tdi , t˜di ])) then đặt l = i and goto 2; ([tdl , t˜dl ] prev(dq ) dl Return dl 2.2 Sự đắn độ phức tạp tính tốn thuật tốn Một nhiệm vụ quan trọng hàm đệ quy xác định dừng phép đệ quy Có hai tiêu chuẩn dừng phụ thuộc vào kích thước D thuật toán QuickhullDisk: |D| = |D| = Ở nội dung trước thảo luận việc tránh trường hợp lặp vô hạn Trong [2] chứng minh thuật toán QuickhullDisk dừng số hữu hạn bước đệ quy Tài liệu [2] chứng minh tính đắn dộ phức tạp tính tốn thuật tốn QuickhullDisk Chúng tơi tóm tắt lại số kết thơng qua Định lý 2.4 Định lý 2.5 Định lý 2.4 Đầu thuật tốn QuickhullDisk danh sách hình trịn cực biên D xếp theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ Giả sử tập hợp D gồm n hình trịn có tâm thuộc tập C chọn theo phân bố xác suất ∆ Độ phức tạp tính tốn QuickhullDisk phát biểu Định lý 2.5 Định lý 2.5 QuickhullDisk có độ phức tạp tính tốn trường hợp xấu O(n2 ) độ phức tạp tính tốn trung bình O(n log2 n) 28 Kết luận Chương Chương giới thiệu thuật tốn QuickhullDisk có ý tưởng kết hợp từ thuật toán xếp Quicksort thuật toán Quickhull chiến thuật chia để trị với mục đích tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn Các thảo luận để tránh tình lặp vơ hạn, tính đắn độ phức tạp tính toán thuật toán cho trường hợp xấu nhất, trung bình trình bày nội dung 29 Chương Một số kết tính tốn Chương trình bày số kiểu liệu dùng để thử nghiệm số so sánh thời gian tính tốn thuật toán QuickhullDisk thuật toán tăng dần [7] Các chương trình viết ngơn ngữ C++ Các thử nghiệm chạy PC 2.4GHz Intel Core i5 với GB RAM 3.1 Giới thiệu liệu thử nghiệm Các kiểu liệu sử dụng tính tốn minh hoạ cho thuật tốn liệu hình tròn rỗng, liệu ngẫu nhiên, liệu biên liệu hỗn hợp mô tả Dữ liệu hình trịn rỗng: Các hình trịn loại liệu tạo ngẫu nhiên với bán kính chạy từ đến 10 Các hình trịn nằm hình vành khăn hai hình trịn đồng tâm (xem Hình 3.1) Dữ liệu ngẫu nhiên: Các hình trịn tập đầu vào tạo ngẫu nhiên hình trịn hình chữ nhật lớn Bán kính hình trịn tập liệu tạo ngẫu nhiên từ đến 10 (xem Hình 3.2) Dữ liệu biên: Đặt ngẫu nhiên hình trịn vào hình trịn lớn cho hình trịn nằm hồn tồn bên hình trịn lớn tiếp xúc với hình trịn lớn Các hình trịn có bán kính Trường hợp tất 30 hình trịn đóng góp cung vào biên bao lồi (xem Hình 3.3) Dữ liệu hỗn hợp: Dữ liệu tạo cách kết hợp liệu ngẫu nhiên liệu biên Tức đặt ngẫu nhiên hình trịn vào hình trịn lớn cho hình trịn nằm hồn tồn bên hình trịn lớn tiếp xúc với hình trịn lớn Các hình trịn có bán kính từ đến 10, hai hình trịn giao lẫn hình trịn nằm hình trịn (xem Hình 3.4) Hình 3.1: Kiểu liệu hình trịn rỗng Hình 3.2: Kiểu liệu ngẫu nhiên Hình 3.3: Kiểu liệu biên Hình 3.4: Kiểu liệu hỗn hợp 31 3.2 Một số kết tính tốn Mục trình bày kết thuật toán việc thử nghiệm cho ví dụ tạo từ bốn kiểu liệu so sánh thời gian chạy thuật toán QuickhullDisk thuật tốn tăng dần [7] Hình 3.5-3.10 số hình ảnh minh hoạ sử dụng thuật tốn QuickhullDisk tính bao lồi số tập hình trịn, minh hoạ trường hợp đặc biệt, chẳng hạn hình trịn đóng góp nhiều cung vào biên bao lồi, tất hình trịn đóng góp cung vào biên bao lồi, Hình 3.5: Bao lồi tập liệu ngẫu Hình 3.6: Hình trịn to đóng góp nhiều cung nhiên gồm hình trịn vào biên bao lồi Hình 3.7: Bao lồi tập gồm 100 hình Hình 3.8: Bao lồi tập gồm 1.000.000 tròn tạo ngẫu nhiên hình chữ hình trịn tạo ngẫu nhiên hình nhật trịn Bảng 3.1, Bảng 3.2, Bảng 3.3 Bảng 3.4 liệt kê thời gian chạy thuật toán tăng dần (Tăng dần) thuật toán QuickhullDisk (QuickhullDisk) 32 Hình 3.10: Các hình trịn có bán kính Hình 3.9: Các hình trịn có bán kính tạo đường tạo hình trịn lớn, tất hình chữ nhật, tất hình trịn hình trịn hình trịn cực biên tơ màu xanh hình trịn biên bao lồi bao lồi Cột cuối bảng liệt kê hệ số tăng tốc thuật toán QuickhullDisk so với thuật toán tăng dần Bảng 3.1: Thời gian chạy tính bao lồi cho kiểu liệu hình trịn rỗng (đơn vị: giây) Đầu vào Tăng dần QuickhullDisk Hệ số tăng tốc 1.000 0,008 0,002 4,00 2.000 0,014 0,004 3,50 5.000 0,035 0,010 3,50 10.000 0,070 0,020 3,50 20.000 0,140 0,039 3,59 50.000 0,334 0,102 3,27 100.000 0,749 0,193 3,88 200.000 1,436 0,413 3,48 300.000 2,178 0,665 3,28 400.000 2,946 0,816 3,61 500.000 3,634 1,022 3,56 Từ Bảng 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 Hình 3.11, 3.12, 3.13, 3.14 ta nhận thấy thuật toán QuickhullDisk chạy nhanh đáng kể so với thuật tăng dần Hệ số tăng tốc thuật toán QuickhullDisk so với thuật toán tăng dần từ 3,27 đến lần liệu hình trịn rỗng, từ 2,39 đến 4,06 33 Bảng 3.2: Thời gian chạy tính bao lồi cho kiểu liệu ngẫu nhiên (đơn vị: giây) Đầu vào Tăng dần QuickhullDisk Hệ số tăng tốc 10.000 0,086 0,036 2,39 20.000 0,327 0,091 3,59 30.000 0,438 0,108 4,06 40.000 0.605 0.175 3,46 50.000 0,667 0,228 2,93 60.000 0,773 0,261 2,96 70.000 0,893 0,337 2,65 80.000 0,976 0,408 2,39 90.000 1,879 0,559 3,36 100.000 1,979 0,595 3,33 Bảng 3.3: Thời gian chạy tính bao lồi cho kiểu liệu biên (đơn vị: giây) Đầu vào Tăng dần QuickhullDisk Hệ số tăng tốc 10.000 1,143 0,477 2,40 20.000 2,310 0,825 2,80 30.000 3,183 1,246 2,55 40.000 5,352 1,881 2,85 50.000 2,044 6,216 3,04 60.000 7,366 2,250 3,26 70.000 8,385 3,356 2,50 80.000 10,581 3,782 2,80 90.000 11,752 3,992 2,94 100.000 13,510 4,235 3,19 lần liệu ngẫu nhiên, từ 2,4 đến 3,26 lần liệu biên từ 2,15 đến 3,51 lần liệu hỗn hợp Trong Hình 3.11, 3.12, 3.13 3.14 đường màu đỏ minh họa hệ số tăng tốc thuật toán QuickhullDisk so với thuật tốn tăng dần Qua ta thấy tỉ lệ tăng tốc thuật toán 34 Bảng 3.4: Thời gian chạy tính bao lồi cho kiểu liệu hỗn hợp (đơn vị: giây) Đầu vào Tăng dần QuickhullDisk Hệ số tăng tốc 10.000 0,232 0,069 3,36 20.000 0,372 0,146 2,55 30.000 0,814 0,243 3,35 40.000 1,074 0,306 3,51 50.000 1,124 0,401 2,80 60.000 1,374 0,576 2,39 70.000 1,501 0,698 2,15 80.000 2,007 0,738 2,72 90.000 2,339 0,831 2,81 100.000 3,027 1,077 2,81 QuickhullDisk so với thuật toán tăng dần ổn định Hình 3.11: Đồ thị so sánh thời gian chạy Hình 3.12: Đồ thị so sánh thời gian chạy thuật toán tăng dần thuật toán thuật toán tăng dần thuật toán QuickhullDisk cho kiểu liệu hình trịn QuickhullDisk cho kiểu liệu ngẫu rỗng nhiên 35 Hình 3.13: Đồ thị so sánh thời gian chạy Hình 3.14: Đồ thị so sánh thời gian chạy thuật toán tăng dần thuật toán thuật toán tăng dần thuật toán QuickhullDisk cho kiểu liệu biên QuickhullDisk cho kiểu liệu hỗn hợp Kết luận Chương Trong chương mô tả số kiểu liệu dùng để thực nghiệm cho thuật tốn Các tính tốn thuật toán QuickhullDisk chạy nhanh đáng kể so với thuật toán tăng dần 36 Kết luận Luận văn trình bày thuật tốn QuickhullDisk - thuật tốn tính bao lồi hiệu cho tập hữu hạn hình trịn Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn định hướng cho hình trịn tròn phát biểu Chương Tầm quan trọng toán thể qua số ứng dụng chẳng hạn tính biểu đồ Voronoi tập hình trịn, tốn tìm hình trịn nhỏ chứa tập hình trịn, tốn tìm đường ngắn hai điểm có vật cản hình trịn, tốn tìm đường kính tập hình trịn Các kiến thức có liên quan trình bày chương Chương giới thiệu thuật tốn QuickhullDisk tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn với đầu tập hình trịn cực biên chứng minh tính đắn thuật tốn Độ phức tạp tính tốn trường hợp xấu độ phức tạp trung bình thuật tốn nêu rõ Chương trình bày kết thuật toán nêu Chương qua thử nghiệm với kiểu liệu so sánh thời gian chạy với thuật tốn tăng dần Đóng góp tác giả biên dịch trình bày lại cách có hệ thống thuật tốn QuickhullDisk tìm bao lồi cho tập hình trịn, trình bày số liệu thử nghiệm thuật toán 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Kiều Linh (2019), Luận án tiến sĩ tốn học “Bài tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm hình trịn”, Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] W Chen, K Wada, K Kawaguchi, and D Z Chen (1998), “Finding the convex hull of discs in parallel”, International Journal of Computational Geometry & Applications 3, pp 305–319 [4] M M David (2002), Computation Geometry, Department of Computer Science [5] N D Hoang and N K Linh (2015), “Quicker than quickhull”, Vietnam Journal of Mathematics 43, pp 57–70 38 [6] D.-S Kim, K Yu, Y Cho, D Kim, and C Yap (2004), “Shortest paths for disc obstaches”, Lecture Notes in Computer Science 3045, pp 62–70 [7] D Olivier and G Mordecai (1995), “Incremental algorithms for finding the convex hulls of disks and the lower envelopes of parabolas”, Information Processing Letters 56, pp 157–164 [8] M Megiddo (1989), “On the ball spanned by balls”, Discrete & Computational Geometry [9] P McMullen and G C Shephard (1971), Convex polytopes and the upper bound conjecture, Cambridge University Press, Cambridge [10] N K Linh, C Song, J Ryu, P T An, N.-D Hoang, and D.-S Kim (2019), “QuickhullDisk: A faster convex hull algorithm for disks”, Applied Mathematics and Computation 363, 124626 [11] J O’ Rourke (1998), Computational Geometry in C, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge [12] F P Preparata and M I Shamos (1985), Computational Geometry, 2nd Printing Springer-Verlag, New York [13] D Rappaport (1989), “Computing the furthest site Voronoi diagram for a set of discs”, Technical report no 89–250, Dept of Computing and Information Science, Queen’s University [14] D Rappaport (1992), “A convex hull algorithm for disks, and application”, Computational Geometry: Theory and Applications 1, pp 171– 187 [15] M Shamos (1975), Computational Geometry, Ph.D Dissertation, Yale University 39