ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐẠI QUICKHULLDISK MỘT THUẬT TOÁN TÍNH BAO LỒI HIỆU QUẢ CHO TẬP HỮU HẠN CÁC HÌNH TRÒN Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐẠI QUICKHULLDISK: MỘT THUẬT TỐN TÍNH BAO LỒI HIỆU QUẢ CHO TẬP HỮU HẠN CÁC HÌNH TRỊN Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Kiều Linh TS Dương Thị Việt An Thái Nguyên, năm 2021 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn ứng dụng 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự định hướng cho hình trịn R2 10 1.3 Một số ứng dụng tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn 17 Chương Thuật tốn QuickhullDisk 20 2.1 Giới thiệu thuật toán QuickhullDisk 20 2.1.1 Tìm hai điểm cực biên hình tròn cực biên tương ứng 21 Init 2.1.2 Xác định tập khởi tạo DR DLInit 23 2.1.3 Tìm hình trịn dr tập P1 P2 24 2.1.4 Tìm next(dp ) prev(dq ) 26 2.2 Sự đắn độ phức tạp tính tốn thuật toán 28 Chương Một số kết tính toán 30 3.1 Giới thiệu liệu thử nghiệm 30 3.2 Một số kết tính tốn 32 Tài liệu tham khảo 38 Danh mục ký hiệu conv(D) bao lồi tập hợp D ∂(conv(D)) biên bao lồi conv(D) CH(D) tập hình trịn cực biên tập D pq đoạn thẳng nối p với q ∆(a, b) đường thẳng định hướng qua hai điểm a, b theo hướng từ a tới b orient(a, b, c) định hướng ba điểm a, b, c CH(pq ) bao lồi tập hình trịn xung quanh đoạn thẳng pq ∆(d, d′ ) đường thẳng tựa khơng âm cặp hình trịn d, d′ dist(c, ∆) khoảng cách từ điểm c đến đường thẳng ∆ I(Σ) giao nón Σ FVOR(D) biểu đồ Voronoi miền xa tập hình trịn D MCS hình tròn nhỏ chứa tập conv(pq) tập lồi nhỏ chứa đoạn thẳng pq số hình trịn xung quanh đoạn thẳng pq Λ(d, d′ ) cạnh bao lồi ∂conv(D) X D∆ tập cắt cực đại ∆−1 đường thẳng có hướng ngược lại ∆ R D∆ tập không dương cực đại đường thẳng định hướng ∆ L D∆ tập không âm cực đại đường thẳng định hướng ∆ DRInit tập không dương cực đại mở rộng ∆ DLInit tập không dương cực đại mở rộng ∆−1 prev(d) hình trịn cực biên kế trước d next(d) hình tròn cực biên kế sau d |P | lực lượng tập P Ùd len(p, td ) độ dài cung pt Mở đầu Một tốn đặc biệt quan trọng lĩnh vực hình học tính tốn tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm Bài tốn có nhiều ứng dụng đồ hoạ máy tính, nhận dạng mẫu, xử lý hình ảnh, tìm đường ngắn cho robot Hơn nữa, tốn tìm bao lồi thường sử dụng toán phụ, bước tiền xử lý quan trọng tốn hình học khác tìm tam giác phân Delaunay, tính biểu đồ Voronoi, tìm đường kính tập hợp, tìm lớp lồi tập hợp, tìm đường ngắn nhất, v.v Những thuật tốn tìm bao lồi với đầu vào tập điểm hữu hạn xuất từ năm 1970 thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học ứng dụng ý nghĩa thực tiễn Bài tốn tìm bao lồi tiếp tục phát triển với đầu vào tập đối tượng khác tập đoạn thẳng, tập đa giác, tập hình trịn, Trong số tốn với tập hình trịn xuất từ năm 1990 có nhiều ứng dụng tốn khó, phức tạp chưa giải đầy đủ Một số tác giả đề xuất thuật toán giải từ việc cải tiến thuật tốn tìm bao lồi cho tập điểm Đầu tiên năm 1992, D Rappaport giới thiệu thuật toán lấy ý tưởng từ thuật toán chia để trị với độ phức tạp O(n log n) [14] Trong báo này, tác giả ứng dụng tốn số vấn đề hình học xác định bán kính tập hình trịn, tìm Voronoi xa nhất, tính miền stabbing xây dựng miền giao tập hình trịn Năm 1995, O Devillers M Golin tiếp tục đề xuất thuật toán O(n log n) cải tiến từ thuật toán tăng dần với tập hình trịn đầu vào xếp theo thứ tự tăng dần bán kính [7] Đến năm 1998, W Chen cộng trình bày phương pháp song song giải toán với ý tưởng thuật toán chia để trị [3] Năm 2004, D.-S Kim cộng sử dụng bao lồi tập hình trịn tốn phụ để giải tốn tìm đường ngắn tránh vật cản hình trịn [6] Năm 2019, N K Linh cộng sử dụng ý tưởng thuật toán Quickhull đề xuất thuật tốn hiệu tính bao lồi tập hữu hạn hình trịn với độ phức tạp tính tốn trường hợp xấu O(n2 ) [10] Với mong muốn tìm hiểu thuật tốn tính bao lồi cho tập hữu hạn hình trịn, đề tài luận văn “QuickhullDisk: Một thuật tốn tính bao lồi hiệu cho tập hữu hạn hình trịn” có mục đích hệ thống lại mảng kiến thức liên quan đến tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn, số ứng dụng quan trọng trình bày thuật tốn hiệu tính bao lồi cho hình trịn có tên QuickhullDisk Nội dung luận văn tham khảo từ tài liệu [10] Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung Luận văn gồm chương cụ thể sau: Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn ứng dụng: Trình bày kiến thức liên quan đến tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm, tập hữu hạn hình trịn số ứng dụng tiêu biểu tốn tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn Chương Thuật tốn QuickhullDisk: Giới thiệu thuật toán QuickhullDisk với ý tưởng lấy từ thuật toán Quickhull tìm bao lồi tập hữu hạn điểm để giải tốn tìm bao lồi tập hình trịn Chương Một số kết tính tốn: Trình bày số thử nghiệm số hiệu thuật toán QuickhullDisk với thuật toán tăng dần Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Kiều Linh TS Dương Thị Việt An Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô, người mang đến cho em kinh nghiệm nghiên cứu quý báu q trình em học tập hồn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình em học tập trường Xin cảm ơn giúp đỡ cảm thông sâu sắc từ bạn bè, gia đình đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2021 Học viên Hồng Văn Đại Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn ứng dụng Chương trình bày kiến thức liên quan đến tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm, tập hữu hạn hình trịn số ứng dụng tiêu biểu tốn tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn Nội dung Chương tham khảo từ tài liệu [1], [6], [10], [12] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong không gian Rn , cho hai diểm p, q Tập hợp tất điểm x có dạng x = (1 − λ)p + λq với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng nối p với q kí hiệu pq Đầu tiên chúng tơi nhắc lại số khái niệm tổ hợp lồi, tập lồi bao lồi tập Định nghĩa 1.1 (xem [1], [12]) Cho p1 , p2 , , pk ∈ Rn Những véc tơ k k P P x ∈ Rn có dạng x = λi pi dó pi ∈ Rn ≤ λi ≤ với λi = i=1 gọi tổ hợp lồi p1 , p2 , , pk ∈ R n i=1 Định nghĩa 1.2 (xem [1], [12]) Một tập S gọi tập lồi với hai điểm p, q tùy ý thuộc S tổ hợp lồi p q nằm S hay đoạn thẳng pq phải nằm hoàn toàn S Đoạn thẳng, tam giác, hình trịn, ví dụ đơn giản tập lồi mặt phẳng Định nghĩa 1.3 (xem [1], [12]) Bao lồi tập S giao tất tập lồi chứa S Ta ký hiệu bao lồi S conv(S) Nhận xét 1.4 (xem trang 32, [9]) Bao lồi tập hữu hạn điểm P ⊂ Rn đa diện lồi Rn Định nghĩa 1.5 (xem [12]) Mỗi p ∈ S thỏa mãn p ∈ / conv(S\{p}) gọi điểm cực biên tập S hay gọi đỉnh conv(S) Trong mặt phẳng, đa giác tạo đỉnh bao lồi gọi biên bao lồi Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa điểm cực đặc biệt tập điểm từ R2 tài liệu [5] Việc tìm điểm thường bước thuật toán tìm bao lồi Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Cho P tập hữu hạn điểm không gian R2 Trong điểm P có tung độ y lớn điểm có hồnh độ x nhỏ gọi điểm tận trái Tương tự ta định nghĩa bảy điểm cực lại: điểm tận trái trên, điểm tận phải, điểm tận phải trên, điểm tận phải dưới, điểm tận phải, điểm tận trái, điểm tận trái Trong Hình 1.1, e1 điểm tận trái trên, e2 điểm tận trái, e3 điểm tận phải, e4 điểm tận phải trên, e5 điểm tận phải dưới, e6 điểm tận phải, e7 điểm tận trái e8 điểm tận trái Phần cuối mục chúng tơi phát biểu tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn điểm tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn hình trịn Hình 1.1: Các điểm cực đặc biệt không gian R2 Bài tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn điểm R2 Theo Nhận xét 1.4 ta lồi tập hữu hạn điểm P ⊂ R2 đa giác lồi R2 Bài toán tìm bao lồi tập P tốn xác định tất đỉnh conv (P ) với thứ tự mà theo ta dựng lại conv (P ) Như vậy, ta có liệu đầu vào toán tập hợp P hữu hạn gồm n điểm p1 , p2 , , pn đầu tập đỉnh bao lồi conv (P ) Bài tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn hình tròn R2 Ký hiệu D = {d1 , d2 , , dn }, n ≥ tập hình trịn di (ci , ri ) có tâm điểm ci (xi , yi ) ∈ R2 bán kính ri ≥ Các hình trịn giao hình trịn chứa hình trịn khác Bài tốn đặt tìm conv(D) hình trịn có nhiều kích thước khác nhau, tức là, bán kính hình trịn tùy ý Nếu D chứa hình tròn nhau,