Tai Lieu Chat Luong bí ẩn Chủ biên: Vũ Công Lập Phạm Văn Thiều Nguyễn Văn Liễn IS GOD A MATHEMATICIAN? Copyright © 2009 by Mario Livio All rights reserved Published by arrangement with the original publisher, Simon & Schuster, Inc Bản tiếng Việt © NXB Trẻ, 2011 BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI THƯ VIỆN KHTH TP.HCM Livio, Mario, 1945Chúa trời có phải nhà tốn học? / Mario Livio ; ng.d Phạm Văn Thiều, Phạm Thu Hằng - T.P Hồ Chí Minh : Trẻ, 2011 370tr ; 20cm - (Kiến thức bách khoa) (Khoa học khám phá) Nguyên : Is God a mathematician? Toán học — Triết học Nhà toán học — Tâm lý học Khám phá khoa học I Phạm Văn Thiều d II Phạm Thu Hằng d III Ts: Is God a mathematician? 510 — dc 22 L788 Tặng Sophie Mục lục Lời tựa Chương 1: Một bí ẩn 11 Chương 2: Những người thần bí: Nhà số học triết gia 30 Chương 3: Các nhà ảo thuật: Bậc thầy kẻ dị giáo 68 Chương 4: Các nhà ảo thuật: Kẻ hoài nghi người khổng lồ 132 Chương 5: Các nhà thống kê xác suất: Khoa học bất định Chương 6: Nhà hình học: Cú sốc tương lai 178 224 Chương 7: Các nhà lôgic: Tư suy luận 255 Chương 8: Tính hiệu đến phi lý? 297 Chương 9: Về trí tuệ người, tốn học vũ trụ 328 lời tựa Khi bạn làm việc ngành vũ trụ học - ngành khoa học nghiên cứu vũ trụ - bạn thường xuyên nhận thư, email hay fax hàng tuần gửi muốn mô tả cho bạn lý thuyết vũ trụ (vâng, người gửi nam giới) Lúc sai lầm lớn mà bạn mắc phải trả lời cách lịch bạn muốn có thêm thơng tin Ngay bạn bị chìm ngập đống thư từ Vậy làm để tránh điều này? Một chiến thuật mà áp dụng hiệu (ngoại trừ cách bất lịch không trả lời) chừng lý thuyết ngôn ngữ chặt chẽ tốn học, khơng thể xác định tính xác Trả lời chặn đứng hết nhà vũ trụ học nghiệp dư Thực tế khơng có tốn học, nhà vũ trụ học đại tiến thêm bước đường tìm hiểu định luật tự nhiên Toán học cung cấp khung vững để gắn kết lý thuyết vũ trụ Điều không gây ngạc nhiên bạn bạn nhận chí chất tốn học chưa hồn tồn rõ ràng Như nhà triết học người Anh Sir Michael Dummett nói: “Hai lĩnh vực trí tuệ trừu tượng nhất, triết học tốn học, CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? gây điều bối rối: chất chúng gì? Sự bối rối không ngu dốt, người thấy khó trả lời câu hỏi này.” Trong sách tơi cố gắng khả để làm sáng tỏ số phương diện chất toán học đặc biệt chất mối quan hệ toán học giới mà quan sát Mục đích sách hồn tồn khơng phải để giới thiệu cách đầy đủ lịch sử toán học Mà thực tơi theo trình tự thời gian biến đổi số khái niệm có ảnh hưởng trực tiếp đến việc làm rõ vai trị tốn học hiểu biết vũ trụ Rất nhiều người có cơng đóng góp, cách trực tiếp hay gián tiếp, khoảng thời gian dài cho ý tưởng sách Tôi muốn cảm ơn Ngài Michael Atiyah, Gia Dvali, Freeman Dison, Hillel Gauchman, David Gross, Ngài Roger Penrose, Huân tước Martin Rees, Raman Sundrum, Max Tegmark, Steven Weinberg Stephen Wolfram trao đổi hữu ích Tơi biết ơn Dorothy Morgenstern cho phép sử dụng toàn câu chuyện Kurt Godel với Sở Di trú Nhập tịch Hoa Kỳ William Christens-Barry, Keith Knox, Roger Easton, đặc biệt Will Noel có nhã ý kể lại cho tơi q trình giải mã da tái chế Archimedes Tơi xin đặc biệt cảm ơn Laura Garbolino cung cấp tài liệu quan trọng hồ sơ lịch sử tốn học Tơi vơ cảm ơn phận lưu trữ đặc biệt Đại học Johns Hopkins, Đại học Chicago, Thư viện Quốc gia Pháp cung cấp cho viết tay quý Tôi biết ơn Stefano Casertano giúp dịch đoạn văn lời tựa khó từ tiếng Latinh Elizabeth Fraser Jill Lagerstrom việc hỗ trợ ngôn ngữ thư mục (với nụ cười thường trực môi) Tôi đặc biệt cảm ơn Sharon Toolan giúp đỡ chuyên nghiệp việc chuẩn bị thảo Ann Field, Kríta Wildt Stacey Benn giúp tơi vẽ số hình Bất tác giả cảm thấy may mắn có ủng hộ kiên nhẫn giống vợ tôi, Sophie, suốt trình viết sách Cuối tơi xin cảm ơn đại diện tơi, Susan Rabiner, khơng có động viên cô, sách hồn thành Tơi biết ơn biên tập viên Bob Bender đọc thảo góp nhiều ý kiến quý báu, Johanna Li hỗ trợ việc xuất bản, Loretta Denner Amy Ryan sửa bông, Victoria Meyer Katie Grinch quảng cáo cho sách, tồn nhóm xuất quảng cáo thuộc NXB Simon & Schuster làm việc để đưa sách đến tay bạn đọc VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 357 Giải pháp tiềm tàng thứ hai Hamming dựa thực tế người lựa chọn, liên tục cải tiến toán học, phù hợp với tình cho Nói cách khác, Hamming cho chứng kiến mà gọi “sự tiến hóa chọn lọc tự nhiên” ý tưởng tốn học - lồi người phát minh số lượng lớn khái niệm toán học, khái niệm phù hợp lựa chọn Trong nhiều năm, tin giải thích hồn chỉnh Một lý giải tương tự đề xuất nhà vật lý đoạt giải Nobel Steven Weinberg Những giấc mơ lý thuyết cuối ơng Nhưng liệu giải đáp dứt điểm cho câu đố Wigner hay chưa? Không nghi ngờ tiến hóa lựa chọn thực diễn Sau sàng lọc qua nhiều hình thức luận cơng cụ tốn học, nhà khoa học giữ lại thứ hiệu quả, họ không ngần ngại nâng cấp chúng thay đổi chúng thành tốt Song chấp nhận ý tưởng này, lại có lý thuyết tốn học giải thích vũ trụ? Quan điểm thứ ba Hamming cho ấn tượng tính hiệu tốn học có thể, thực tế, ảo tưởng, có nhiều thứ giới xung quanh mà toán học thực chưa giải thích Ủng hộ cho quan điểm này, để làm ví dụ, tơi xin lưu ý nhà tốn học Isrăl Moseevich Gelfand trích lời phát biểu sau: “Chỉ có thứ phi lý tính hiệu đến phi lý tốn học vật lý học, tính phi hiệu đến phi lý [nhấn mạnh tác giả] tốn học sinh học” Tơi khơng nghĩ điều tự thân có 358 CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TỐN HỌC ? thể giải thích vấn đề Wigner Sự thật không giống Cẩm nang cho người xin giang tới thiên hà(1), khơng thể nói câu trả lời cho sống, cho vũ trụ thứ bốn mươi hai Tuy nhiên, có số lượng đủ lớn tượng mà toán học thực làm sáng tỏ để bảo đảm cho giải thích Hơn nữa, phạm vi kiện q trình mà tốn học lý giải tiếp tục mở rộng Giải thích thứ tư Hamming tương đồng với quan điểm Atiyah đề xuất, cho “sự tiến hóa theo Darwin chọn lọc cách tự nhiên để đảm bảo sống sót dạng có khả cạnh tranh sống, dạng có đầu óc chúng mơ hình tốt thực - “tốt nhất” nghĩa tốt cho tồn truyền giống.” Nhà khoa học máy tính Fef Raskin (1943-2005), người bắt đầu với dự án Macintosh hãng Apple, giữ quan điểm tương tự với nhấn mạnh đặc biệt đến vai trị lơgic Raskin kết luận Cuốn tiểu thuyết tiếng dựng thành kịch, phim truyền hình “Cẩm nang cho người xin giang tới thiên hà” nhà văn Anh Douglas Adams (xuất năm 1979) kể nhân vật tới thăm hành tinh Magrathea huyền thoại để tìm hiểu cơng nghiệp chế tạo hành tinh sụp đổ Ở họ gặp Slartibartfast, người chuyên thiết kế bờ biển hành tinh Thông qua ghi chép lưu trữ ông kể lại câu chuyện chủng tộc siêu thông minh, người chế tạo thành công máy tính tên Deep Thought để tính đáp số cho Câu hỏi tối hậu Sự sống, Vũ trụ Vạn vật Khi đáp số lộ 42, Deep Thought lại dự đốn máy tính khác, mạnh nó, thiết kế chế tạo để tính tốn câu hỏi cho đáp số (Sau dựa vào đó, Adams tao câu đố 42, câu đố mà dù tiếp cận theo nhiều cách khác nhau, tất thu đáp số 42) - ND VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 359 Lôgic người áp đặt lên giới vật lý tự nhiên phù hợp với Tốn học rút từ lơgic Chính mà tốn học phù hợp với giới vật lý Khơng có bí ẩn - không nên để cảm giác kỳ diệu ngạc nhiên chất vật hiểu chúng cách tốt Hamming tin hơn, chí sức mạnh lập luận ơng Ơng rằng: bạn lấy 4000 năm tuổi khoa học, nói chung, bạn có cận 200 hệ Khi xem xét hậu tiến hóa mà tìm kiếm thơng qua lựa chọn biến thiên may rủi nhỏ, tơi, tiến hóa khơng giải thích nhiều phần nhỏ tính hiệu đến phi lý tốn học Raskin khăng khăng “cơ sở toán học đặt tổ tiên từ lâu trước, có lẽ đến hàng triệu hệ” Tuy nhiên, phải nói tơi khơng thấy lập luận thực có sức thuyết phục Ngay lôgic nhúng sâu não tổ tiên khó mà thấy làm mà khả lại dẫn đến lý thuyết toán học trừu tượng giới hạ nguyên tử, chẳng hạn học lượng tử, lý thuyết tỏ xác đến Điều đáng kể Hamming kết luận báo thừa nhận “mọi giải thích mà tơi đưa gộp lại với 360 CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TỐN HỌC ? cách đơn giản lại khơng đủ để giải thích điều mà tơi muốn lý giải” (mà cụ thể tính hiệu đến phi lý tốn học) Vì vậy, liệu có nên khép lại việc thừa nhận tính hiệu đến phi lý tốn học cịn bí ẩn bắt đầu xem xét không? Trước từ bỏ, cố chắt lọc điều cốt lõi câu đố Wigner việc xem xét gọi phương pháp khoa học Trước hết, nhà khoa học biết kiện tự nhiên thơng qua chuỗi thí nghiệm quan sát Những kiện ban đầu sử dụng để phát triển số loại mô hình định tính tượng (như Trái đất hút táo; hạt hạ nguyên tử va chạm với sinh hạt khác; vũ trụ giãn nở; v.v Trong nhiều nhánh khoa học, lý thuyết xuất cịn dạng phi tốn học Một ví dụ tốt lý thuyết kiểu có khả giải thích mạnh mẽ thuyết tiến hóa Darwin Thậm chí chọn lọc tự nhiên khơng dựa hình thức luận tốn học nào, song thành cơng việc làm sáng tỏ nguồn gốc loài đáng kể Trái lại, vật lý bản, thường bước liên quan đến nỗ lực nhằm xây dựng lý thuyết toán học, định lượng (như thuyết tương đối rộng; điện động lực học lượng tử; lý thuyết dây, v.v.) Cuối cùng, nhà nghiên cứu sử dụng mơ hình tốn học để tiên đoán tượng mới, hạt kết thí nghiệm quan sát chưa bao giờ-được-thực-hiện-trước-đây Điều khiến Wigner Einstein bối rối thành cơng kỳ lạ hai q trình sau Làm mà hết lần đến lần khác nhà vật lý ln tìm VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 361 cơng cụ tốn học khơng giải thích kết thí nghiệm quan sát hữu mà dẫn tới hiểu biết sâu sắc hồn tồn tiên đốn mới? Tôi cố gắng trả lời câu hỏi cách vay mượn ví dụ tuyệt vời từ nhà toán học Reuben Hersh Hersh đề xuất theo tinh thần việc phân tích nhiều tốn toán học (và thực tế vật lý lý thuyết) ta nên xem xét trường hợp đơn giản Xét thí nghiệm dường tầm thường cho viên sỏi vào bình khơng suốt Giả sử bạn bỏ vào bốn viên sỏi trắng, sau bỏ vào bảy viên sỏi đen Tại thời điểm lịch sử mình, lồi người nhận thấy số mục đích, họ biểu diễn tập hợp viên sỏi có màu sắc định khái niệm trừu tượng mà họ phát minh - số tự nhiên Tức là, tập hợp viên sỏi trắng gắn với số (hay IIII hay IV hay ký hiệu khác sử dụng vào thời đó) viên sỏi đen gắn với số Thông qua việc thực nghiệm theo kiểu mà vừa mơ tả đây, lồi người khám phá khái niệm khác phát minh - phép cộng số học - biểu diễn đắn hành động vật lý kết tập Nói cách khác, kết trình trừu tượng ký hiệu 4+7 tiên đốn cách rõ ràng số sỏi cuối có bình Vậy tồn điều có ý nghĩa gì? Nó có nghĩa lồi người phát triển cơng cụ toán học kỳ diệu, cho phép tiên đoán cách đáng tin cậy kết thí nghiệm thuộc kiểu này! Cơng cụ thực tầm thường người ta tưởng nhiều, lại khơng vận hành với giọt nước, chẳng 362 CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TỐN HỌC ? hạn Nếu bạn cho bốn giọt nước khác vào bình, sau cho tiếp bảy giọt nước nữa, bạn không nhận 11 giọt nước khác bình Thực tế, để làm kiểu tiên đốn thí nghiệm tương tự với chất lỏng (hay khí) lồi người phải phát minh khái niệm hoàn toàn khác (như cân, chẳng hạn) nhận họ phải cân riêng giọt nước thể tích khí Bài học q rõ ràng Các cơng cụ tốn học không lựa chọn cách tùy tiện mà phải thật xác dựa khả tiên đoán đắn chúng kết thí nghiệm quan sát có liên quan Vì với trường hợp đơn giản này, tính hiệu chúng bảo đảm Lồi người khơng cần phải đốn trước tốn học đắn Tự nhiên ưu cho họ thử sai để định có hiệu Họ sử dụng công cụ cho trường hợp Đơi hình thức luận tốn học thích hợp với vấn đề cho lại chưa tồn phải phát minh (như trường hợp Newton phát minh phép tính vi tích phân, hay nhà tốn học đại phát minh ý tưởng tơpơ/hình học khác bối cảnh nỗ lực lý thuyết dây) Trong trường hợp khác, hình thức luận thực tồn cần khám phá giải pháp chờ đợi tốn thích hợp (như trường hợp Einstein sử dụng hình học Riemann, hay nhà vật lý hạt sử dụng lý thuyết nhóm) Vấn đề thơng qua ham hiểu biết cháy bỏng, cố chấp bướng bỉnh, trí tưởng tượng sáng tạo tâm mạnh mẽ, lồi người tìm hình thức VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 363 luận tốn học thích hợp cho việc lập mơ hình số lượng lớn tượng vật lý Một đặc tính tốn học quan trọng mà tơi gọi tính hiệu “thụ động”, đắn vĩnh cửu Hình học Euclid cịn đắn tận hơm vào năm 300 trước CN Chúng ta ngày hiểu tiên đề khơng phải tất yếu thay biểu thị chân lý tuyệt đối không gian, chúng biểu thị chân lý vũ trụ cụ thể cảm nhận người hình thức luận người phát minh có liên quan Tuy nhiên, hiểu thấu đáo bối cảnh giới hạn định lý cịn Nói cách khác, nhánh toán học sát nhập thành nhánh lớn hơn, tồn diện (như hình học Euclid phiên hình học), song tính đắn bên nhánh trì Chính tuổi thọ vơ hạn cho phép nhà khoa học thời điểm cho tìm kiếm cơng cụ tốn học phù hợp tồn kho tàng hình thức luận phát triển Ví dụ đơn giản viên sỏi bình chưa xử lý hai yếu tố câu đố Wigner Thứ nhất, cịn câu hỏi số trường hợp, dường từ lý thuyết nhận độ xác cao so với đặt vào nó? Trong thí nghiệm với viên sỏi, độ xác kết “được tiên đoán” (kết tập số viên sỏi khác nhau) khơng tốt độ xác thí nghiệm dẫn đến hình thành nên “lý thuyết” (phép cộng số học) từ ban đầu Trái lại, lý thuyết hấp dẫn Newton chẳng hạn, độ xác 364 CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TỐN HỌC ? tiên đốn lại tỏ vượt xa độ xác kết quan sát dẫn đến lý thuyết Tại vậy? Một xem xét lại ngắn gọn lịch sử lý thuyết Newton cung cấp cho ta hiểu biết sâu sắc thêm Mơ hình địa tâm (coi Trái Đất trung tâm vũ trụ - ND) Ptolemy thống trị khoảng 15 kỷ Trong mơ hình khơng có tính phổ qt - chuyển động hành tinh nghiên cứu cách riêng rẽ - không đề cập đến nguyên nhân vật lý (như lực; gia tốc), phù hợp với quan sát lại hợp lý Nicolaus Copernicus (1473-1543) cơng bố mơ hình nhật tâm vào năm 1543, Galileo, nói rằng, đặt lên tảng vững Galileo thiết lập tảng cho định luật chuyển động Nhưng Kepler người rút từ quan sát định luật tốn học (dù có tính tượng luận) chuyển động hành tinh Ông sử dụng tập hợp đồ sộ liệu mà nhà thiên văn Tycho Brahe để lại để xác định quỹ đạo Hỏa tinh Ông coi hàng trăm trang tính tốn liên miên “cuộc chiến tranh với Hỏa tinh(1)” Ngoại trừ hai sai lệch, cịn quỹ đạo trịn phù hợp với quan sát Dù vậy, Kepler chưa hài lịng với lời giải sau ơng mơ tả q trình tư mình: “Nếu tơi tin bỏ qua phút (góc) [tức khoảng 1/4 đường kính góc Mặt trăng trịn], tơi sửa lại giả thiết tơi cho phù hợp Giờ khơng phép vậy, nên phút góc thơi Đây trị chơi chữ, Mars (Hỏa tinh) thần thoại Hy Lạp thần chiến tranh VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 365 đường tiến tới cải cách hoàn toàn thiên văn học” Những hệ tỉ mỉ, cẩn trọng ấn tượng Kepler suy quỹ đạo hành tinh khơng phải hình trịn mà hình elíp, ông phát biểu thêm hai quy luật định lượng áp dụng cho tất hành tinh Khi định luật kết hợp với định luật Newton chuyển động, chúng trở thành sở cho định luật vạn vật hấp dẫn Newton Tuy nhiên, nhớ lại cách mà Descartes đưa lý thuyết lốc xốy, hành tinh mang quanh Mặt trời lốc xốy hạt chuyển động trịn Lý thuyết không xa, trước Newton chứng minh mâu thuẫn, Descartes khơng phát triển cách xử lý toán học hệ thống cho lốc xốy Vậy học từ lịch sử ngắn ngủi này? Khơng thể nghi ngờ định luật vạn vật hấp dẫn Newton sản phẩm thiên tài Song thiên tài hoạt động chân không Một số tảng lát đặt cách cẩn thận nhà khoa học trước Như tơi lưu ý Chương 4, nhà toán học Newton nhiều, kiến trúc sư Christopher Wren nhà vật lý Robert Hooke, đề xuất cách độc lập định luật hấp dẫn nghịch đảo bình phương Sự vĩ đại Newton thể khả độc vô nhị ông việc tổ hợp tất chúng lại với tạo nên thuyết thống kiên định ông việc cung cấp chứng minh toán học cho hệ lý thuyết Tại hình thức luận lại xác đến vậy? Một phần giải vấn đề - lực hai vật thể hấp dẫn 366 CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TỐN HỌC ? chuyển động kết Khơng có yếu tố làm phức tạp hóa khác tham gia vào Chính vấn đề vấn đề mà Newton thu lời giải hoàn chỉnh Vì vậy, lý thuyết xác song ứng dụng phải trải qua trình tinh lọc liên tục Hệ Mặt trời cấu tạo hai thiên thể Khi tính đến tác dụng hành tinh khác (vẫn theo định luật nghịch đảo bình phương), quỹ đạo khơng cịn hình elíp đơn giản Chẳng hạn, quỹ đạo Trái đất tìm thấy thay đổi dần định hướng không gian, chuyển động gọi tiến động, tương tự chuyển động biểu trục quay Trong thực tế, nghiên cứu đại cho thấy, trái với kỳ vọng Laplace, quỹ đạo hành tinh cuối trở nên hỗn độn Tất nhiên, thân lý thuyết Newton sau xếp gộp vào thuyết tương đối rộng Einstein Và xuất lý thuyết đến sau loạt khởi đầu sai lầm ngấp nghé thành cơng Vì độ xác lý thuyết lường trước Qua thử thách biết hay dở - sửa đổi điều chỉnh tiếp tục thực đạt độ xác mong muốn Một số trường hợp mà đạt độ xác thượng thừa bước biểu thần kỳ Rõ ràng có thực tế quan trọng nằm tảng khiến cho tìm kiếm định luật trở nên có giá trị Quả thực tự nhiên tử tế với chi phối quy luật phổ quát, luật lệ cục nhỏ hẹp Một nguyên tử hyđro Trái đất, mép phía bên dải VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 367 Ngân hà, hay chí thiên hà cách xa 10 tỷ năm-ánh sáng, hành xử xác theo cách Và điều hướng thời điểm quan sát Các nhà toán học vật lý phát minh thuật ngữ toán học để gán cho tính chất vậy; chúng gọi tính đối xứng chúng phản ánh tính miễn trừ thay đổi vị trí, định hướng, hay thời gian mà bạn bấm đồng hồ Nếu khơng có tính đối xứng (và khác nữa), hy vọng giải mã thiết kế vĩ đại tự nhiên biến mất, thí nghiệm phải lặp lại cách liên tục điểm không gian (nếu sống nảy sinh vũ trụ vậy) Một đặc tính khác vũ trụ ẩn náu bên lý thuyết toán học gọi tính địa phương Điều phản ánh lực việc xây dựng nên “bức tranh lớn” giống trị chơi ghép hình, xuất phát từ mô tả tương tác hạt Giờ đến yếu tố cuối câu đố Wigner: Điều bảo đảm lý thuyết toán học rốt tồn tại? Nói cách khác, lại có lý thuyết tương đối rộng, chẳng hạn? Hay khơng tồn lý thuyết tốn học hấp dẫn? Câu trả lời thực đơn giản bạn tưởng Thực tế khơng có đảm bảo hết! Vẫn tồn vơ số tượng mà chúng khơng có dự đốn xác khả dĩ, nguyên tắc Loại bao gồm, ví dụ như, nhiều hệ động lực tạo nên hỗn độn, thay đổi nhỏ điều kiện ban đầu tạo kết cuối 368 CHÚA TRỜI CĨ PHẢI LÀ NHÀ TỐN HỌC ? hồn tồn khác Các tượng bộc lộ hành vi kiểu gồm có thị trường chứng khốn, hình mẫu thời tiết núi Rocky, nảy máy chơi trị cị quay, khói bay lên từ điếu thuốc lá, thực quỹ đạo hành tinh hệ Mặt trời Nói khơng có nghĩa nhà tốn học khơng phát triển hình thức luận tài tình để giải số khía cạnh quan trọng vấn đề này, song chưa có lý thuyết tất định có khả tiên đốn tồn Tồn lĩnh vực xác suất thống kê sáng tạo cách xác nhằm xử lý lĩnh vực mà người ta khơng có lý thuyết tạo nhiều thứ mà người ta đặt vào Tương tự vậy, khái niệm gọi độ phức tạp tính tốn vạch giới hạn khả việc giải toán giải thuật thực tiễn, định lý bất tồn Gơdel đánh dấu giới hạn định toán học thân Vì tốn học thực có hiệu phi thường số mô tả, đặc biệt khoa học bản, tốn học khơng thể mơ tả vũ trụ tất chiều kích Ở phạm vi đó, nhà khoa học thường lựa chọn làm việc vấn đề dựa sở vấn đề dẫn đến cách xử lý tốn học Vậy giải dứt điểm bí ẩn tính hiệu tốn học hay chưa? Tơi chắn đưa đóng góp tốt mình, tơi nghi ngờ tất người bị thuyết phục hoàn tồn lập luận mà tơi VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TỐN HỌC VÀ VŨ TRỤ 369 trình bày rõ ràng sách Tuy nhiên, tơi xin trích dẫn lời Bertrand Russell Những vấn đề triết học: Vậy gút lại bàn luận giá trị triết học; Triết học cần nghiên cứu câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi nó, khơng có câu trả lời xác định nào, thường lệ, lại biết cả, mà thân câu hỏi đó; câu hỏi mở rộng quan niệm khả dĩ, làm giàu thêm trí tưởng tượng trí tuệ làm giảm bớt giáo điều bịt kín trí tuệ tư biện; hết vì, thơng qua vĩ đại vũ trụ mà triết học chiêm nghiệm, trí óc trở nên rộng lớn hơn, hợp với vũ trụ làm nên tốt đẹp chúa trời có phải nhà tốn học ? Mario Livio Phạm Văn Thiều - Phạm Thu Hằng dịch _ Chịu trách nhiệm xuất bản: NGUYỄN MINH NHỰT Biên tập: hải vân Bìa: bùi nam Sửa in: việt Trình bày: vũ phượng _ NHÀ XUẤT BẢN TRẺ Địa chỉ: 161B Lý Chính Thắng, Phường 7, Quận 3, Thành phố Hồ Chí Minh Điện thoại: (08) 39316289 - 39316211 - 39317849 - 38465596 Fax: (08) 38437450 E-mail: nxbtre@hcm.vnn.vn Website: www.nxbtre.com.vn CHI NHÁNH NHÀ XUẤT BẢN TRẺ TẠI HÀ NỘI Địa chỉ: Phòng 602, số 209 Giảng Võ, Phường Cát Linh, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội Điện thoại: (04) 37734544 Fax: (04) 35123395 E-mail: chinhanh@nxbtre.com.vn VỀ TRÍ TUỆ CON NGƯỜI, TOÁN HỌC VÀ VŨ TRỤ 371