Tai Lieu Chat Luong FERMAT’S ENIGMA Copyright © 1998 by Simon Singh All rights reserved Bản tiếng Việt © Nhà xuất Trẻ, 2010 Phạm Văn Thiều - Phạm Việt Hưng dịch Tái lần thứ Mục lục giới thiệu lời tựa 14 I “Có lẽ xin phép dừng ” 17 II tác giả câu đố 59 III Sự tủi hổ toán học 103 IV vào trừu tượng 163 V Chứng minh phản chứng 231 VI Những tính tốn bí mật 269 VII Một toán nhỏ 327 VIII toán học thống 354 Phụ lục 388 định lý cuối fermat lời giới thiệu Cuối có mặt phịng, khơng đơng người, đủ rộng để chứa tồn Khoa Tốn trường Đại học Princeton dịp lễ lạt lớn Vào buổi chiều đặc biệt đó, xung quanh khơng nhiều người lắm, đủ để tơi khó xác định người Andrew Wiles Sau lát, nhận người trơng rụt rè, lắng nghe xung quanh chuyện trị, nhấm nháp ly trà, thả tư tưởng mà nhà toán học khắp giới ý theo dõi diễn vào khoảng bốn chiều Ông ta dễ dàng đốn tơi Đó thời điểm kết thúc tuần lễ phi thường Tôi gặp gỡ số nhà toán học tuyệt vời sống, bắt đầu cố gắng xâm nhập vào bên giới họ Nhưng bất chấp ý đồ tiếp cận với Andrew Wiles, để nói chuyện với ông, để thuyết phục ông tham gia vào phim tài liệu chương trình Horizon đài BBC thành tựu ông, gặp mặt chúng tơi Đó người thơng báo ơng ta tìm thấy Chiếc Chén Thánh toán học; người tuyên bố chứng minh Định lý cuối Fermat Như tơi nói, Wiles có vẻ lơ đãng rụt rè, lịch thân ái, rõ ràng ông muốn tránh xa ơng tốt Ơng giải thích đơn giản ông tập trung vào việc lúc ngồi cơng việc vào chặng định, sau này, áp lực thời giải tỏa, ơng vui lịng tham gia Tôi biết, ông biết biết, ông phải đối Chiếc Chén Thánh ly Chúa Giêsu dùng bữa tiệc ly - bữa tiệc cuối với môn đệ trước Chúa bị hành hình Đây thuật ngữ ví von thường hay dùng văn hóa Tây phương để nhấn mạnh vai trò quan trọng cốt yếu ví Trong trường hợp chứng minh Định lý cuối Fermat (ND) phần đầu mặt với sụp đổ hoài bão đời ông, Chiếc Cốc Thánh mà ông cầm tay bị phát giác đẹp đẽ, giá trị lắm, mà cốc uống nước thơng thường mà thơi Bởi ơng thấy sai lầm chứng minh công bố Câu chuyện Định lý cuối Fermat câu chuyện độc vô nhị Cho tới lúc gặp Andrew Wiles, tơi biết thật trang sử vĩ đại nỗ lực khoa học học thuật Mùa hè năm 1993, tơi nhìn thấy tiêu đề lớn đưa tốn học lên trang tờ báo tầm cỡ quốc gia khắp giới, loan báo việc chứng minh định lý Vào thời điểm ấy, có hồi ức lờ mờ Định lý cuối Fermat, thấy đặc biệt, hợp với phim chương trình Horizon Tơi dành tuần lễ để nói chuyện với nhiều nhà tốn học: người có liên hệ gần gũi với câu chuyện này, gần gũi Andrew, người đơn giản chia sẻ xúc động chứng kiến thời điểm vĩ đại lĩnh vực hoạt động họ Tất rộng lượng chia sẻ hiểu biết sâu sắc họ lịch sử toán học, kiên nhẫn nói chuyện với tơi kiến thức tốn học cỏi so với khái niệm vấn đề có liên quan Vấn đề nhanh chóng trở nên rõ ràng có lẽ đề tài mà giới có khoảng 5, người hiểu cách thấu đáo đầy đủ Trong thời gian, băn khoăn khơng biết có điên rồ định làm phim đề tài Nhưng từ nhà tốn học mà tơi trị chuyện, tơi hiểu lịch sử phong phú ý nghĩa sâu sắc định lý Fermat toán học người làm toán, cuối nhận câu chuyện thật nằm đâu Tôi nắm nguồn gốc cổ Hy Lạp toán, hiểu Định lý cuối Fermat đỉnh Himalaya lý thuyết số Tôi dẫn dắt vào đẹp đầy quyến rũ toán học, bắt đầu đánh giá tốn học mơ tả ngôn ngữ tự nhiên định lý cuối fermat Thông qua người thời với Wiles, biết rõ chất công việc ông đòi hỏi tư mạnh mẽ kinh khủng đến chừng việc tập hợp tất kỹ thuật tân tiến lý thuyết số với nhằm áp dụng cho chứng minh ông Từ người bạn ông Đại học Princeton, nghe nói tiến triển phức tạp năm nghiên cứu biệt lập Andrew Tôi dựng nên hình ảnh phi thường xung quanh Andrew Wiles toán thách đố ngự trị đời ông, dường chưa có ý định tìm gặp thân ơng Mặc dù nội dung toán học liên quan đến chứng minh Wiles nằm số vấn đề khó tốn học, nhận thấy vẻ đẹp Định lý cuối Fermat nằm đơn giản dễ hiểu thân toán Đúng câu đố phát biểu ngôn từ quen thuộc với học sinh phổ thông Pierre de Fermat người thuộc truyền thống Phục hưng, sống trào lưu tái khám phá kho trí tuệ cổ Hy Lạp, ơng đặt câu hỏi mà người Hy Lạp không nghĩ để hỏi; làm vậy, ơng đặt tốn khó gian người khác phải giải Và muốn trêu ngươi, ông để lại cho hậu dịng ghi thơng báo ông tìm lời giải, không cho biết lời giải Đó phút khởi đầu cho săn đuổi kéo dài tới ba kỷ Độ dài thời gian nói lên ý nghĩa đặc biệt câu đố Thật khó mà hình dung tốn nào, lĩnh vực khoa học nào, phát biểu đơn giản rõ ràng đến mà lại chống chọi với cơng phá trí tuệ lâu dài đến Chúng ta nhớ lại bước nhảy vọt nhận thức vật lý, hóa học, sinh học, y học công nghệ xảy từ kỷ 17 Từ “các thể dịch”1 y học, tiến tới ghép nối gene, nhận dạng Xưa người ta quan niệm thể dịch yếu tố định sức khỏe tâm trạng sinh vật (ND) phần đầu hạt nguyên tử, đưa người lên Mặt trăng; lý thuyết số Định lý cuối Fermat vượt qua Trong tìm hiểu, đơi tơi muốn biết lý Định lý cuối không gây ý người mà đặc biệt nhà toán học, quan trọng tạo chương trình nghiên cứu Tốn học có hà sa số ứng dụng thực tiễn, trường hợp lý thuyết số, ứng dụng hấp dẫn mà biết khoa học mật mã, việc thiết kế tiêu âm, việc liên lạc từ tàu vũ trụ xa xơi Nhưng chẳng có ứng dụng có hấp dẫn đặc biệt công chúng Điều hấp dẫn nhiều thân nhà tốn học, cảm xúc say sưa mà tất bọn họ biểu lộ nói tốn Fermat Tốn học dạng khiết tư duy, người ngồi ngành tốn, nhà tốn học hầu hết người giới khác Điều gây ấn tượng mạnh thảo luận với họ tính xác khác thường câu chuyện trao đổi họ Một câu hỏi trả lời tức khắc, thường phải chờ đợi cấu trúc xác câu trả lời định hình đầu họ; nói ra, lời phát biểu rành mạch rõ ràng thận trọng mà thân tơi muốn có Khi tơi nói với Peter Sarnak, người bạn Andrew Wiles, điều này, ơng giải thích đơn giản nhà tốn học khơng thích tạo mệnh đề sai Tất nhiên, họ vận dụng trực giác ngẫu hứng, lập luận hình thức phải tuyệt đối Chứng minh nằm trái tim tốn học, đánh dấu phân biệt với khoa học khác Các khoa học khác có giả thuyết kiểm chứng thực nghiệm chúng bị bác bỏ thay giả thuyết Trong toán học, chứng minh tuyệt đối mục tiêu, chứng minh, định lý cuối fermat Phụ lục Phụ lục Chứng minh định lý Pythagore Mục đích chứng minh chứng tỏ định lý Pythagore tam giác vng hình trên, tam giác vng giống hệt ghép với hình vng nghiêng tạo nên hình vng lớn Diện tích hình vng lớn chìa khóa việc chứng minh Diện tích hình vng lớn tính hai cách: Cách 1: Tính diện tích hình vng lớn Chiều dài cạnh x+y Vì vậy, diện tích hình vng lớn (x+y)2 Cách 2: Tính diện tích phần hình vng lớn Diện tích 1 tam giác xy; nghĩa × cạnh đáy × đường cao Diện 2 tích hình vng nghiêng z Do đó, diện tích hình vng lớn = × (diện tích tam giác vng) + diện tích hình vng nghiêng Cách cách cho hai biểu thức khác Tuy nhiên, hai 388 định lý cuối fermat biểu thức tương đương chúng biểu thị diện tích Do đó, diện tích tính cách = diện tích tính cách Khai triển giản ước, ta có: x2 + y2 + 2xy = 2xy+z ước lược 2xy vế, ta được: x2+ y2 = z2 Đó định lý Pythagore Cơ sở lập luận diện tích hình vng lớn phải ln cho dù tính theo phương pháp Từ suy hai biểu thức cho diện tích, cho chúng cuối kết tất yếu x2 + y2 = z2, tức bình phương cạnh huyền (z2) tổng bình phương cạnh lại (x2 + y2) Lập luận với tam giác vuông Các cạnh tam giác phần lập luận biểu thị x, y z, biểu thị cạnh tam giác vuông Phụ lục Chứng minh Euclid tính vơ tỷ Mục đích Euclid chứng minh viết dạng phân số Vì ơng sử dụng phương pháp phản chứng, nên bước giả sử điều ngược lại đúng, tức viết dạng phân số chưa biết Phân số giả thiết biểu thị p/q, với p q số nguyên Trước bắt tay vào chứng minh, tất cần biết tính chất phân số số chẵn (1) Nếu lấy số nguyên nhân với số thu số chẵn Đó định nghĩa xác số chẵn 389 phụ lục (2) Nếu bình phương số số chẵn thân số số chẵn (3) Cuối cùng, phân số rút gọn: 16/24 tương đương với 8/12; cần chia tử số mẫu số 16/24 cho thừa số chung Tiếp nữa, 8/12 tương đương với 4/6 4/6 lại tương đương với 2/3 Tuy nhiên, 2/3 tối giản, tức rút gọn khơng có ước số chung Như vậy, khơng thể rút gọn phân số mãi Nào, bây giờ, nhớ lại Euclid khẳng định viết dạng phân số Tuy nhiên, ơng dùng phương pháp phản chứng, nên ơng suy luận dựa giả thiết phân số p/q tồn từ ơng rút hệ nó: = p/q Nếu ta bình phương hai vế lên, ta có: = p /q 2 Phương trình dễ dàng viết lại thành: 2q = p 2 Bây giờ, từ (1), biết p số chẵn Thêm nữa, từ (2), ta biết p số chẵn Nhưng p chẵn theo (1) viết thành 2m với m số ngun khác Thay vào phương trình ta được: 2q = (2m) = 4m 2 Chia hai vế cho 2, ta được: q = 2m 2 Lập luận tương tự ta có q số chẵn Do q viết dạng q = 2n, với n số nguyên khác Trở lại hệ thức ban đầu, ta có: 2 = p/q = 2m/2n Giờ có phân số m/n, rút gọn p/q Tuy nhiên, đến nhận thấy lại tình trạng 390 định lý cuối fermat lặp lại cách xác q trình dẫn tới m/n, cuối tạo phân số rút gọn hơn, chẳng hạn g/h Phân số lại tiếp tục chịu nghiền nhỏ lần phân số mới, chẳng hạn e/f, rút gọn Chúng ta tiếp tục nghiền nhỏ cách lặp lặp lại q trình đó, không kết thúc Nhưng từ (3) ta biết phân số ln phải có phân số tối giản, phân số p/q theo giả thuyết ban đầu lại khơng tn theo quy tắc Vì vậy, nói cách chắn dẫn tới mâu thuẫn Nếu viết dạng phân số kết vơ lý, viết dạng phân số Vì vậy, số vơ tỷ Phụ lục Câu đố tuổi Diophantus Gọi tuổi Diophantus L Từ câu đố, ta có thống kê hoàn chỉnh đời Diophantus sau: 1/6 đời ông ta, tức L/6, thời thơ ấu L/12 thời niên L/7 thời trước nhân năm sau trai ông ta đời L/2 tuổi người năm chịu đựng đau khổ trước chết Tuổi thọ Diophantus tổng thời gian trên: Rút gọn phương trình trên, ta được: vậy: Như vậy, Diophantus chết vào tuổi 84 391 phụ lục Phụ lục Bài toán cân Bachet Để cân khối lượng số nguyên kg từ đến 40, hầu hết người đề nghị sử dụng cân: 1, 2, 4, 8, 16, 32 kg Bằng cách này, tất khối lượng dễ dàng cân cách dùng tổ hợp cân đặt lên đĩa cân: 1kg = 2kg = 3kg = + 4kg = 5kg = + 40kg = 32+8 Tuy nhiên, cách đặt cân lên đồng thời đĩa cân, nghĩa cho phép cân đặt đĩa với vật cần cân, Bachet hoàn thành nhiệm vụ với cân: 1, 3, 9, 27 kg Quả cân đặt đĩa với vật cần cân coi có giá trị âm Nhờ đó, khối lượng cân sau: 1kg = 1, 2kg = - 3kg = 4kg = + 5kg = - - 40kg = 27 + + + Phụ lục Chứng minh Euclid số lượng vô hạn ba số Pythagore Một ba số Pythagore gồm số nguyên, mà bình 392 định lý cuối fermat phương số cộng với bình phương số khác bình phương số thứ ba Euclid chứng minh có số vơ hạn ba số Pythagore Chứng minh Euclid nhận xét hiệu số bình phương hai số nguyên liên tiếp số lẻ \ /\ /\ /\ / \ /\ / \ / \ /\ / 4 5 2 10 16 25 36 49 64 81 100 11 13 15 17 19 Như vậy, số vô số số lẻ cộng với bình phương số cụ thể tạo thành bình phương số khác Bản thân phần số lẻ số phương (tức bình phương số ngun khác), phần số vơ hạn lại vơ hạn Do đó, có vơ hạn số phương lẻ mà cộng với bình phương số tạo thành số phương khác Nói cách khác, có vơ hạn ba số Pythagore Phụ lục Chứng minh giả thuyết điểm Giả thuyết điểm phát biểu vẽ giản đồ điểm cho đường thẳng chứa ba điểm Mặc dù việc chứng minh giả thuyết địi hỏi phải có số kiến thức tối thiểu toán học, song chủ yếu dựa số kỹ thuật hình học, tơi đề nghị nên xem kỹ bước Trước hết xét hình mẫu tùy ý điểm đường thẳng nối điểm với điểm khác Sau đó, điểm, ta xác định khoảng cách từ chúng đến đường thẳng gần nhất, trừ đường thẳng qua điểm Từ đó, số tất điểm, ta xác định điểm gần với đường thẳng 393 phụ lục Hình hình nhìn cận cảnh điểm D trên, gần đường thẳng L Khoảng cách điểm đường thẳng L biểu thị đường đứt nét khoảng cách nhỏ khoảng cách khác đường thẳng điểm Giờ ta chứng tỏ đường thẳng L chứa điểm vậy, giả thuyết đúng, tức khơng thể vẽ giản đồ mà đường thẳng chứa ba điểm h1 h2 Để chứng tỏ đường thẳng L chứa điểm, xét xem điều xảy chứa điểm thứ ba Nếu điểm thứ ba, D , nằm ngồi hai điểm cho ban đầu, khoảng cách biểu thị đường h ngắn đường h (biểu thị khoảng cách ngắn từ điểm đến đường thẳng) Vì vậy, D khơng thể tồn A A h1 h2 394 định lý cuối fermat Tương tự vậy, điểm thứ ba, D , nằm hai điểm cho ban đầu, khoảng cách biểu thị đường h ngắn đường h (biểu thị khoảng cách ngắn điểm đường thẳng) Do điểm D không tồn B B Tóm lại, hình ln có khoảng cách nhỏ từ điểm đến đường thẳng, đường thẳng qua điểm Vì hình ln có đường thẳng qua điểm - nghĩa giả thuyết Phụ lục Lạc vào vô lý Dưới minh họa cổ điển cho thấy mệnh đề đơn giản mà sau với vài bước logic hồn tồn khơng phức tạp lại dẫn tới kết = Trước tiên, bắt đầu mệnh đề vơ hại: a=b Sau đó, nhân hai vế với a, ta được: a2 = ab Thêm a2 - ab vào hai vế, ta có: a2+ a2- ab = ab + a2- ab Đẳng thức rút gọn thành: (a2- ab) = a2- ab Cuối cùng, chia hai vế cho a2- ab, ta được: 2=1 Mệnh đề đúng, bước có sai sót nhỏ tai hại dẫn tới vô lý kết cuối Thực lỗi chết người bước cuối cùng, chia hai vế cho a2- ab Chúng ta biết từ mệnh đề ban đầu a = b, nên chia hai vế cho a2- ab tức chia cho số 395 phụ lục Chia số cho khơng thể vào lượng hữu hạn số vô hạn lần Bằng việc tạo nên giá trị vô hạn hai vế, xé đôi hai nửa phương trình mâu thuẫn len vào lập luận Cái lỗi nhỏ dạng sai lầm ngớ ngẩn điển hình thường gặp nhiều thí sinh tham gia tranh giải thưởng Wolfskehl Phụ lục Các tính chất số học Dưới tính chất tạo tảng cho phép tính phức tạo số học Tính chất giao hốn: Với số m, n bất kỳ: m + n = n + m mn = nm Tính chất kết hợp: Với số m, n, k bất kỳ: (m+n) + k = m + (n + k) (mn)k = m(nk) Tính chất phân phối: Với số m, n, k bất kỳ: m(n + k) = mn + mk Với số n, ta ln có: n+0=n Với số n, ta ln có: n×1=n Với số n, tồn số k cho: n+k=0 Với số m, n, k bất kỳ, k ≠ kn = km m = n Từ tính chất này, ta chứng minh tất quy tắc khác Chẳng hạn, áp dụng tính chất khơng cần giả thiết thêm, chứng minh cách logic quy tắc sau đây: m + k = n + k, m = n 396 định lý cuối fermat Trước hết, có: m+k=n+k Theo tính chất 6, giả sử l số thỏa mãn k + l = (m + k)+ l = (n + k) + l Theo tính chất 2, ta lại có: m + (k + l) = n + (k + l) Hãy nhớ k + l = 0, từ suy ra: m+0=n+0 áp dụng tính chất 4, cuối suy điều phải chứng minh: m = n Phụ lục Lý thuyết trò chơi đấu tay ba Chúng ta xét khả lựa chọn ơng Black Trước tiên, ơng Black nhằm vào mục tiêu ông Grey Nếu ông ta thành cơng lượt bắn ơng White Ơng White cịn lại đối thủ ông Black ông White xạ thủ trăm phát trăm trúng nên ông Black cầm chết Lựa chọn tốt cho ông Black nhắm thẳng vào ơng White Nếu ơng thành cơng lượt bắn thuộc ông Grey Nhưng ông Grey bắn ba phát trúng hai nên ông Black có hội sống sót để bắn trở lại ông Grey người chiến thắng Dường lựa chọn thứ hai chiến lược mà ông Black nên chọn Tuy nhiên, có phương án thứ ba chí cịn tốt Ơng Black bắn thiên Ông Grey bắn lượt ơng ta nhằm vào ơng White, đối thủ nguy hiểm Nếu ông White sống sót ơng ta lại nhắm bắn ơng Grey ơng Grey đối thủ nguy hiểm ông Black Như vậy, cách bắn thiên, ông Black ông Grey trừ khử ông White ngược lại 397 phụ lục Đó chiến lược tốt ơng Black Cuối ơng Grey ơng White chết sau ơng Black nhắm bắn người cịn sống sót Như vậy, ơng Black xoay chuyển tình thế, thay người bắn phát đấu tay ba, ông trở thành người bắn đấu tay đơi Phụ lục 10 Một ví dụ chứng minh quy nạp Các nhà toán học nhận thấy hữu ích có cơng thức ngắn gọn mà tính tổng dãy số khác Trong ví dụ này, tốn đặt tìm cơng thức để tính tổng n số tự nhiên Chẳng hạn, tổng số 1, tổng hai số (tức 1+2), tổng ba số (tức 1+2+3), tổng bốn số 10 (tức 1+2+3+4), tiếp tục Và công thức tổng quát: Tổng (n) = n (n+1) Nói cách khác, muốn tính tổng n số đầu tiên, cần thay số vào cơng thức tính kết Bằng phương pháp quy nạp chứng minh công thức số đến vô hạn Bước chứng tỏ công thức với trường hợp thứ nhất, n = Điều đơn giản, biết tổng số 1, thay n = vào công thức có kết thế: Tổng (n) = n (n+1) Tổng (1) = × × (1+1) Tổng (1) = ×1×2 Τổng (1) = 398 định lý cuối fermat Như quân đôminô bị đổ Bước phép chứng minh quy nạp chứng tỏ công thức với giá trị n đó, phải với n+1 Nếu: Tổng (n) = n (n+1) thì: Tổng (n+1) = Tổng (n) + (n+1) Tổng (n+1) = n (n+1) + (n+1) Sau xếp nhóm lại số hạng bên vế phải, có: Tổng (n+1) = (n+1) [(n+1 ) + 1] Điều quan trọng cần lưu ý dạng phương trình giống hồn tồn với phương trình ban đầu, trừ điều n thay (n+1) Nói cách khác, cơng thức với n, với n+1 Nghĩa là, quân cờ đôminô bị đổ ln làm đổ qn đơminơ Chứng minh quy nạp hoàn tất 399 phụ lục định lý cuối fermat Simon Singh Phạm Văn Thiều - Phạm Việt Hưng dịch _ Chịu trách nhiệm xuất bản: Nguyễn Minh Nhựt Biên tập: hải vân - vĩnh thắng Xử lý bìa: bùi nam Sửa in: khánh vi Kĩ thuật vi tính: hà _ NHÀ XUẤT BẢN TRẺ 161B Lý Chính Thắng - Quận - Thành phố Hồ Chí Minh ĐT: 39316289 - 39316211 - 38465595 - 38465596 - 39350973 Fax: 84.8.8437450 - E-mail: nxbtre@hcm.vnn.vn Website: http://www.nxbtre.com.vn Chi nhánh nhà xuất trẻ Hà Nội Phòng 602, số 209 Giảng Võ, p Cát Linh, q Đống Đa - Hà Nội ĐT: (04)37734544 - Fax: (04)35123395 E-mail: chinhanh@nxbtre.com.vn