BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2016 Tai Lieu C[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 Mục lục PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHƠNG GIAN VỚI K-CHUẨN 1.1 Khơng gian với thứ tự sinh nón, khơng gian với K-chuẩn 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn 10 11 nhận giá trị không gian Banach 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn nhận giá trị không gian lồi địa phương 1.4 13 18 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn 18 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định sở lân cận gốc 24 Ứng dụng vào tốn Cauchy thang khơng gian Banach 31 1.4.1 Trường hợp tốn khơng nhiễu 32 1.4.2 Trường hợp tốn có nhiễu 35 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 44 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc định lý điểm bất động 44 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị nón 44 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo độ đo định lý điểm bất động 47 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm khơng gian Banach 49 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ 53 3.1 Bậc tôpô tương đối lớp ánh xạ đa trị cô đặc 54 3.1.1 Tính nửa liên tục compact ánh xạ đa trị 54 3.1.2 Bậc tôpô tương đối 57 3.1.3 Tính bậc tơpơ tương đối cho số lớp ánh xạ ứng dụng vào 3.2 3.3 toán điểm bất động 59 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn đơn điệu 67 3.2.1 Tính liên tục tập nghiệm dương phương trình 67 3.2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm: 71 3.2.3 Ứng dụng vào dạng toán điều khiển 73 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương 79 3.3.1 Sự tồn véctơ riêng giá trị riêng dương 81 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman giá trị riêng dương, véc tơ riêng 88 MỞ ĐẦU Lí thuyết khơng gian Banach với thứ tự sinh nón phương trình chúng hình thành từ năm 1940 tổng kết bước đầu báo [35] M.G.Krein M.A.Rutman Nó phát triển mạnh mẽ đạt kết sâu sắc mặt lí thuyết lẫn mặt ứng dụng giai đoạn 1950– 1980 cơng trình M.A.Krasnoselskii học trị ơng [30, 31], E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn, [1, 12, 13, 44] Lý thuyết tiếp tục hồn thiện tận hơm với ứng dụng rộng rãi lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; phương trình xuất phát từ Vật lí, Hố học, Sinh học) lĩnh vực (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hố, Y học, Kinh tế học, Ngơn ngữ học, ) [2, 3, 9, 10, 18, 22, 23, 24, 25, 47, 48, 49, 50] Hướng nghiên cứu Lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự giống lĩnh vực Tốn học khác, có lẽ theo hai hướng Một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho lớp phương trình khơng gian thứ tự, mặt khác ứng dụng lí thuyết vào giải toán lĩnh vực khác mà ban đầu khơng liên quan đến phương trình khơng gian thứ tự Trong luận án này, chúng tơi trình bày kết nghiên cứu theo hai hướng nêu trên, nghiên cứu số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số không gian có thứ tự sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu phương trình khơng gian khơng có thứ tự Dưới nêu kết luận án, mối liên quan chúng với kết tác giả khác I Sử dụng chuẩn nón độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu phương trình Quan hệ thứ tự sử dụng cách tự nhiên nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân (nhờ Nguyên lí Maximum, bổ đề Gronwal, ), Lí thuyết điểm bất động (sử dụng tính đơn điệu ánh xạ để giảm nhẹ bỏ điều kiện liên tục, compact xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ nghiệm, ) Ngay vấn đề tưởng chừng khơng liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho việc giải tốn sáng rõ hơn, ngắn gọn Ta thấy điều qua chứng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff tích khơng gian compact (sử dụng Bổ đề Zorn), định lý điểm bất động Caristi, Nguyên lí biến phân Ekeland (với việc xây dựng thứ tự thích hợp) Khơng gian với metric nón chuẩn nón (cũng cịn gọi không gian K-metric, không gian K-chuẩn) mở rộng tự nhiên không gian metric, định chuẩn thông thường metric chuẩn nhận giá trị nón dương khơng gian có thứ tự Chúng đưa vào nghiên cứu từ năm 1950 ứng dụng Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động, cơng trình Kantorovich [32, 33, 34], Collatz [11], P.Zabreiko học trò với kết tổng kết [55] Ta thấy hữu ích việc sử dụng khơng gian với chuẩn nón qua ví dụ sau Giả sử ta có khơng gian định chuẩn thơng thường (X; q) ta muốn tìm điểm bất động ánh xạ T : X ! X Trong số trường hợp ta tìm không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh nón chuẩn K E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E chuẩn nón p : X ! K cho q (x) = kp (x)k p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y X: (1) Từ (1) ta có kp (T (x) T (y))k N: kQk : kp (x y)k : Như vậy, 9k > để q (T (x) T (y)) kq (x y) , x; y X (2) Nếu làm việc (X; q) với tính chất (2) ta có thơng tin làm việc với (1) từ (1) ta sử dụng tính chất ánh xạ tuyến tính dương tìm Lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự Gần đây, nghiên cứu điểm bất động không gian với nón metric sơi động trở lại sau báo [20] (ta tham khảo báo tổng quan [27] nghiên cứu gần với liệt kê 100 báo, chưa đầy đủ) Tuy nhiên, tác giả báo [20] phần lớn nghiên cứu đề tài giai đoạn trước; kết họ không tổng quát mang tính lí thuyết Các nghiên cứu điểm bất động không gian với metric nón giai đoạn trước gần tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach mở rộng Cho đến thời điểm chúng tơi gởi đăng báo [TG1] chưa thấy kết mở rộng định lý Krasnoslskii điểm bất động tổng ánh xạ co ánh xạ compact cho khơng gian với chuẩn nón Trong chương luận án, chúng tơi trình bày kết định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S khơng gian với chuẩn nón cho hai trường hợp Trong trường hợp chuẩn nhận giá trị không gian Banach đặt điều kiện (1) lên ánh xạ T Trường hợp chuẩn nhận giá trị khơng gian lồi địa phương E ánh xạ T thoả mãn điều kiện dạng p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn p (x y) , 8x; y; z X; n N với Qn : E ! E dãy ánh xạ dương, liên tục Tz (x) = T (x) + z Các kết trừu tượng chúng tơi áp dụng vào khảo sát tốn Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] (3) thang không gian Banach (Fs ; k:ks ), s (0; 1]: Sự tồn nghiệm (3) (cũng gọi định lý Cauchy-Kovalevkaya trừu tượng) với f thoả điều kiện Lipschitz dạng Ovcjannikov: kf (t; u) s