Đs9 cđ2 phương trình 2

BÀI 6: MỘT SỐ DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT A Kiến thức cần nhớ - Nguyên tắc: Biến đổi phương trình bậc phương trình bậc hai đơn giản - Một số dạng phương trình bậc đặc biệt khác: a) Dạng: A  ax  bx  c   B  ax  bx  c   C 0  A 0, a 0  Cách giải: Đặt (1) t ax  bx  c  At2  Bt    c 0 ptb   x  a    x  b  c      x  a    x  b  c  3 b) Dạng: Cách giải: - Đối với phương trình (2), đặt t x  a b  thay vào phương trình cho, biến đổi phương trình bậc hai - Đối với phương tình (3), đặt t x  a b  thay vào phương trình cho, biến đổi phương trình bậc hai c) Dạng:  x  a   x  b   x  c   x  d  m   với a  d b  c x  a   x  b   x  c   x  d  m   x   a  d  x  ad   x   b  c  x  bc  m Cách giải:  2 Đặt t x   a  d  x x   b  c  x    :  t  ad   t  bc  m         ptb Hoặc đặt t x2   a  d  x  ad  bc , sau biến đổi phương trình phương trình bậc hai ẩn t tìm t, sau tìm x d) Dạng:  ax  bx  c1   ax  bx  c2  m (5)  t ax  bx    t ax  bx  c1  c2 Cách giải: Đặt  tìm t  tìm x Bài 1: Giải phương trình sau: a)  x  3 4   x  1 82 b)  x  3 (1) 4   x   16 (2) Lời giải a) n Cách 1: Dùng công thức  x  y  để khai triển  x  3  x  1  x  t  t x     x  t  Cách 2: Đặt Phương trình (1) trở thành:  t  1 4   t  1 82   t  4t  6t  4t  1   t  4t  6t  4t  1 82  2t 12t  82  t  6t  40 0    t 2    t   x 4  x 0  Vậy phương trình có tập nghiệm S  0; 4 4 b) Đặt y x  4, ta có phương trình  y  1   y  1 16  y 1  y  12 y 14  y  y  0    y 1  x    5;  3  y  4 Bài 2: Giải phương trình sau: x    x    x    x  3 180 a)  x    x    x    x   1680 b)  Lời giải x    x    x    x  3 180   x    x    x    x  3 180 a)    x  3x  10   x  3x  18  180  t 8 t  t   180  t  8t  180 0    x    t  10 t  x  x  10  Đặt ta có phương trình x    x    x    x   1680   x    x    x    x   1680 b)    x  11x  28  x  11x  30  1680 Đặt y x  11x  28 , ta có phương trình y  y   1680  y 40  y  y  1680 0    x     y  42 Bài 3: Chuyên Khánh Hòa, năm học 2011 Giải phương trình x  x    x  x   24 Lời giải Ta có: x  x    x  x   24   x  1  x    x    x   24   x  1  x    x    x   24   x  x  3  x  x   24  1 2 Đặt t  x  x  phương trình (1) trở thành t  5t  24 0  t    3;8 Từ ta tính   x   2; 0;  2 Bài 4: Sư Phạm Ngoại Ngữ, năm học 2004 Giải phương trình x  3x    x  x  12  24 Lời giải Ta có x  3x    x  x  12  24   x  1  x    x    x  3 24   x  x    x  x   24  1 2 Đặt t  x  x  phương trình (1) trở thành: t  25 0  t    5;5  x    5;0 Bài 5: Giải phương trình sau: 2x a)  2  x  1  10 x  15 x  0 x b)  2  x    x  3 81 Lời giải 2x a) Ta có  2  x  1  10 x  15 x  0   x  x  1   x  x  1  0 t  5t  0  t    4;1  x    t  x  x  1, Đặt ta có phương trình: b) x 2 2 2  x    x  3 81   x  x   81   x   0   x  x    x  x     x   0   x  3 x  x  0  x  11 0     x  x  11  x 3   x 3 2 Bài 6: Giải phương trình sau: x  x     x    0 (1) Lời giải  1   x  x  Phương trình   x  x    0   Đặt t  x  x  x      t 1  t   t    0  t  2t  0     trở thành  t 1  - Nếu - Nếu t 1   x  x 1    x   5   x1,2    t 1   x  x 1   x3,4    Vậy phương trình có tập nghiệm  S    5 7;  5  Bài 7: x  1  x    x    x   2 x  12 x  30 Giải phương trình sau:  (1) Lời giải Phương trình  1   x  1  x  5  x    x   2  x  x 15    x  x    x  x   2  x  x  15  t t  3 2  t  10   t  t  20 0 Đặt t  x  x   ta phương trình:   t    x  3  t 4   Vậy phương trình có tập nghiệm  S   3  Bài 8: x  1  x    x  3  x   m Cho phương trình  (1) Biết phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Tính giá trị biểu thức S x1.x2 x3 x4 theo m Lời giải Ta có  1   x  1  x    x    x  3 m   x  x    x  x   m 2 Đặt t x  x   ta phương trình t  t   m  t  2t  m 0   Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn hệ thức Viét t1  t2   t1t  m Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x  t1 x3 , x4 hai nghiệm phương trình: x  x  t2  x1.x2 4  t1  Khi  x3 x4 4  t2 (hệ thức Viét) Ta có S  x1.x2 x3 x4   t1    t2  16        m  24  m BÀI 7: MỘT SỐ DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT (tiếp) A Kiến thức cần nhớ 1) Dạng: x  ax3  bx  c 0  a  8b 0  Cách giải:   x  8ax3  8bx  8c 0  x x  8ax    a   8c 0  x  x  a   x  2ax  a   8c 0   x  ax    x  ax   a   8c 0 Đặt t 2 x  ax  t  2t  a   8c 0  t2  a2t 8c 0 t  x an.t x  a   x  b   x  c   x  d  mx  1  ad bc   2) Dạng: Cách giải: - Xét ad bc   1    x  a   x  d     x  b   x  c   mx  chuyển thành phương trình dạng (2) Dạng:  ax  b1 x  c   ax  b2 x  c  mx   Cách giải: - Nếu x 0  c 0 (vô lý) - x 0, chia vế phương trình (2) cho x ta được: c  c   ax  b1    ax  b2   m x  x  c t  b1  t b2 m  t  x t ax   x an.t Đặt ta được: mx nx   p  m 0, n 0, p 0, a 0   3 ax  b x  c ax  b x  c 3) Dạng: - Nếu x 0   3 :  p x 0  - Nếu Đặt ax  m c ax  b1  x (vô lý)  n c ax  b2  x p m n c  p t  t  b t  b x ta được:  biến đổi phương trình phương trình bậc hai ẩn t Bài 1: Giải phương trình sau: x  x  x  0 Lời giải Cách 1: Nhẩm nghiệm (tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên có nhân tử x  ) Cách 2: x  x  x  0  x  x  x    0  x  x  x  x  x  x    0  x  x    x  x    0   x  x   x  x    0  t 1 t  x  x  t  t    0  t  4t  0    x   2;  1;3  t 3 Đặt   Bài 2: Chuyên Lam Sơn, năm học 2012 x  1  x    x  3  x   12 x Giải phương trình sau:  Lời giải Ta có:  x  1  x    x  3  x   12 x   x  x    x  x   12 x  * Dễ thấy x 0 khơng nghiệm phương trình (*)  x2  5x    x2  x       12 x x     x x  Khi , chia hai vế phương trình (*) cho ta được:  6    x     x    12  ** x  x  t x  Đặt    ** :  t    t   12  x   t 4   73    t   x   2;3;    Bài 3: 2x 3x    1 Giải phương trình: x  3x  x  x  Lời giải 4 x  x  0  *  x  x  0   Điều kiện: Nhận thấy x 0 khơng nghiệm phương trình (1) x 0   1  Khi t 4 x  Đặt 4x   x  4x   x   2 8 8  t  x   x  2 32 x x x (do 4x x dấu)  t 8  **  2 :   t  t  6 , điều kiện: t  3; t   t 0  l   12  t    18  t  3  t  3  t    t  33t 0    t 33  tm   x 8 x  33  x  33 x  0    tm   x 1 x  - Với t 33 , ta có:  1 x  8;   4 Vậy Bài 4: Giải phương trình: x  x    x  x  22  30 Lời giải 2 Ta có x  x   x    5 , dấu “=” xảy  x  2 x  x  22  x    6   Từ , dấu “=” xảy  x 2  1     x  x    x  x  22  5.6 30 x Vậy để   x    x  x  22  30 , dấu “=” xảy (1) (2)  x  Vậy x  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình sau: x  x  x  0 Lời giải Phương trình cho tương đương:  x  x  x    0  x  x   x  16   0  x  x    x  x    0 Đặt t x  x  t  t    0  t  4t  0  t    1;5 - Nếu t   x  x   x  - Nếu t 5  x  x 5  x   Bài 2: Sư Phạm Ngoại Ngữ, năm học 2005 Giải phương trình sau: x  3x  3  x  x  3 2 x (1) Lời giải Đặt t x  3x  t t  x  2 x   t  x   t  x  0 Phương trình cho trở thành:  - Nếu t  x  x  3x   x  x   1;3 2 - Nếu t  x  x  3x   x  x  x  0 (vơ nghiệm) Vậy phương trình có tập nghiệm S  1;3 Bài 3: 3x x 17   Giải phương trình sau: x  x  x  x  (1) Lời giải Rõ ràng: x 0 17   1 x   x  1 x x Chia tử mẫu phân thức cho x ta được: Đặt t x  x , ta có phương trình: 17   22     18  t  1   t   17  t    t  1  17t  63t  110 0  t  5;  t  t 1  17  - Với - Với t 5  x  t  21 5  x  x  0  x  x  22  22  x  17 x 17 (vô nghiệm) Bài 4: Trần Đại Nghĩa TPHCM, năm học 2003 Giải phương trình sau:  x    x    x  10   x  12  3 x Lời giải Nhận thấy x 0 không nghiệm phương trình x  17 x  60 x  16 x  60  x x Với x 0 , chia hai vế phương trình cho x ta được:  t   60  x t  x   16  t  t  1    x  t   Đặt 10  x 2   x  0   x   (ktm)  3x  x     3x   x       x  2  x     x   ktm    b) Vậy phương trình vơ nghiệm  11 x 2  x  5   11 2 x  5     x  ;   2   x2 1   x    c) Ta có Bài 2: Giải phương trình sau 2 a) x  x   x  x  16 7 c) b) x   x   x  4 x  x  x  y 0 Lời giải 2 a) Ta có x  x   x  x 16 7  x   x  7   x  x  7   x  x    x  x     x   x   0    x 3 b) Điều kiện x 0  x   0, x   0, x   *  x  1   x     x  3 4 x  x 6 Phương trình    (thỏa mãn) 3  x 0  x  x  y 0    x  y   c) Ta có   x    y 9  Bài 3: Giải phương trình sau x  x  x  1 Lời giải Ta lập bảng xét dấu x x2  x 2x   + - 1 - + 13  + +  x 0  x  x   x 1    x 3 (loại) + TH1: Nếu x  , phương trình  x 0  tm   x  x   x 1   x   x  1 ktm  , phương trình + TH2: Nếu  x 1 ktm   x  x  x  1   x   x 2  ktm  + TH3: Nếu , phương trình  x 1  tm   x  x  x  1    x   ktm  + TH2: Nếu x 1 , phương trình Vậy x   0;1 Bài 4: x  x  m x   m2 0  1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm: Lời giải 2 Phương trình  1   x  1  m x   m  0 Đặt t  x   t 0  Phương trình  t  mt  m  0  2 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0 + TH1: Phương trình (2) có nghiệm t 0  m 1 + TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  m      m  + TH3: Tất nghiệm phương trình (2) dương  0   S   P   m   m2  1 0   m  m2    4  3m 0  m   m2   (vô nghiệm m ) Vậy  m 1 Bài 5: Giải phương trình sau: a)  x   3x  x  14 x2   x 1 x  x  2 b) c) 1 x   x 1 Lời giải a) Ta có Vậy  3x  x    x   x   3x   x   x  x   x  x     3x    x  0    x  b) Điều kiện: x 0; 2 Xét với x  0; x 2 phương trình cho trở thành: x   x   x  x    x   x   x  x  x 0 (loại) Xét với  x  phương trình cho trở thành:  x 0 x   x   x  x    x   x   x  x    x 1  (loại) 2 Xét x   phương trình cho trở thành:  x 2 x   x   x  x    x   x   x  x  x  3x  0    x   (loại) 2 2 Vậy phương trình vơ nghiệm c) Nhận thấy x  0  x 1  x 1  x  1  x  x 0  x  x 1   x  x 0  x   x  0    x 1 Vậy phương trình cho viết thành Thử lại thấy thỏa mãn Bài 6: Giải phương trình sau: a) b) x2  x  2x2  x  x 1  3x  Lời giải a) Ta có x  x  x    x  x   x  1   x  x  x  1  x  x  x  1 0 15  x  x  0   x  x  x  x  0    x  x     Xét trường hợp giải phương trình bậc hai, đối chiếu điều kiện kết luận b) Ta có x  x   x    x  x  1  3x  1   x  x   x  1  x  x   x  1 0   x  x    x  x  0  x  8x     x  x   x  x  1 0   x 0  x 1  Bài 7: Giải biện luận cácc phương trình sau a) b) x  2mx   m  x  mx   2m mx  x  x  Lời giải  x  2mx   m x  mx   2m x  2mx   m  x  mx   2m   2  x  2mx   m   x  mx   2m  a) Ta có:  3mx  3m 0   x  mx  m  0  1  2 +) Giải phương trình (1) Nếu m 0 phương trình (1) có nghiệm với x Nếu m 0 phương trình (1) có nghiệm x  +) Giải phương trình (2) Ta có  m  8m  16 m  44 m  m  8m  16     x   m   (2) có nghiệm 1,2 - Nếu  m 4   0    m 4  (2) có nghiệm kép - Nếu  x1,2 1    x1,2 1  tương ứng - Nếu      m   (2) vơ nghiệm 16 Khi phương trình (2) có nghiệm x   m  m  0  m  Khi đó, nghiệm cịn lại x 0 Kết luận: - Với m  phương trình cho có hai nghiệm x1  x2 0 m      m  4 m  m  8m  16 m  44 x1,2  ; x3  - Với  phương trình cho có nghiệm - Với m 4  phương trình cho có hai nghiệm x1 1  2; x2  - Với 4  m 0    m   phương trình cho có nghiệm x1  - Với m 4  phương trình cho có nghiệm x1 1  2; x2  - Với m 0 phương trình cho có nghiệm với x b) Chú ý x  x   0, x nên:  mx   x  x  mx   x  x        mx  1  x  x   x   m  1 x 0  1   x   m  1 x  0   Làm tương tự câu a) Bài 8: Định a để phương trình sau có nghiệm phân biệt  x  1 2 x  Lời giải   x  1 2  x  a   x  1 2 x  a     x  1   x  a   Ta có:  x  1 0, x nên:  x  x  2 x  2a    x  x   x  2a  x  x  2a  0  1   2  x   2a 0 Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (1) (2) phải có nghiệm phân biệt, đồng thời phương trình khơng có nghiệm chung Xét phương trình (1): Xét phương trình (2):  ' 4   2a  1 3  2a   a   ' 2a    a  17 Giả sử phương trình (1) phương trình (2) có nghiệm chung x0 đó:  x02  x0  2a  0    x0   2a 0  x0  4a 0    x0   2a 0  x0 a  a 1   a   2a 0 1   a 1  1  a  Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt  Bài 9: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN I Kiến thức cần nhớ *) Phương trình nghiệm nguyên phương trình có nghiệm số ngun *) Phương pháp giải + Đưa phương trình dạng tổng tích x    y  1 7 Ví dụ:  + Dùng tính chất chia hết, số dư, chữ số tận + Dùng bất đẳng thức + Sử dụng tính chất  phương trình bậc hai (chẳng hạn: x nghiệm, x  Z  số phương   ) + Sử dụng tính chất số phương, số nguyên tố + Phương pháp đánh giá + Phương pháp hạ bậc 18 II Bài tập Bài 1: 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y 11 Lời giải 2 Từ giả thiết  x 11  y  x số lẻ  x số lẻ Đặt x 2n  1 n  Z    2n  1 2 y  21  4n  4n  2 y  21  y 2n  2n  10  y chẵn  y số chẵn Đặt y 2m  m  Z    2m  2n   10  2m2 n  n  n  n  1   *    2 Ta có VT (*) số chẵn, VP (*) số lẻ, nên (*) vô nghiệm Bài 2: Chứng minh không tồn số nguyên x, y , z thỏa x3  y  z  x  y  z  20202019 Lời giải Ta có phương trình Nhận thấy  * x3  x  x  x  1  x  1 x  x  1 3 Tương tự ta có  VT  * 3  x  x  y  y  z  z 2020 2019 y  y  3 z  z  3 2019 VP 2020 3  dpcm Bài 3: Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, năm học 2010 Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn x  x 1  y (đưa dạng tích) Lời giải Ta có x  x   y   x    y 3   x   y   x   y  3  * 19 mãn   x   y    x   y x   y  x   y   *     x   y   x   y  Nhận thấy 1   x  2  3   y 1      x       y 1   x 0    y 1   x     y 1 x; y  0;1 ; 0;  1 ;   4;1 ;   4;  1  Vậy HPT có nghiệm       Bài 4: Chuyên Đắc Lắc, năm 2010 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  xy   x  y   y  10 0  * (Dùng  ) Lời giải 2 Phương trình  *   x  y    x  y   y  16 0 Đặt t x  y  t  Z   t  7t  y  10 0  * Để phương trình (*) có nghiệm ngun (**) phải có nghiệm nguyên ẩn t Khi  0  số phương  t   y  10  9  y 0  y   y   0;1 Ta có + y 1   5 (loại) + y 0   9 (thỏa mãn)  y 0  x  x  x  10 0    x  Thay vào (*) ta x; y   2;0  ;   5;0   Vậy HPT có nghiệm     Bài 5: Chuyên Phan Bội Châu, năm học 2011 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  xy   y  x  40 0  * 2 2 (Dạng a  b c  d ) Lời giải Ta có  *   x  y  2   x  1 41 16  25 25  16  x  y  16   x  1 25 + 20