Chuyên đề 20 hình chóp đều

Chun đề 20 HÌNH CHĨP ĐỀU A Kiến thức cần nhớ Mơ tả hình chóp - hình chóp • Hình chóp có đáy đa giác Các mặt bên tam giác chung đỉnh Đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy gọi đường cao hình chóp • Hình chóp hình chóp có mặt đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân (h.20.1) • Trong hình chóp đều, chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy, ví dụ SH Đường cao mặt bên vẽ từ đỉnh S gọi trung đoạn hình chóp, ví dụ SM Hình chóp cụt Cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy Phần hình chóp nằm mặt phẳng mặt phẳng đáy gọi hình chóp cụt (h.20.2) Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân Diện tích xung quanh hình chóp • Diện tích xung quanh hình chóp tích nửa chu vi đáy với trung đoạn Sxq=p.d (p nửa chu vi đáy; d trung đoạn) • Diện tích xung quanh hình chóp cụt bằng: - Diên tích mặt bên nhân với số mặt bên; - Diện tích xung quanh hình chóp lớn trừ diện tích xung quanh hình chóp nhỏ; hoặc: Sxq = (p + p').d (Trong đó: - p, p' nửa chu vi đáy lớn, đáy nhỏ - d trung đoạn mặt bên.) Thể tích hình chóp V  S h (S diện tích đáy; h chiều cao) Trang • Thể tích hình chóp cụt bằng: - Thể tích hình chóp lớn trừ thể tích hình chóp nhỏ; hoặc: V S1  S  S1S h   (Trong đó: S1, S2 diện tích hai đáy; h chiều cao.) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đường cao SH Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A', B', C’ cho SA' = SB' = SC' Chứng minh rằng: a) mp  A ' B ' C '  / / mp  ABC  ; b) mp  SCH   mp  SAB  Giải (h.20.3) * Tìm hướng giải Muốn chứng minh mp  A ' B ' C '  / / mp  ABC  ta chứng minh hai cạnh ∆A'B'C' tương ứng song song với hai cạnh ∆ABC * Trình bày lời giải a) Xét ∆SAC có SA SC ; SA ' SC ' nên SA ' SC '  SA SC  A ' C '/ / AC (1) Chứng minh tương tự, ta được: A ' B '/ / AB (2) Từ (1) (2) suy A ' B ' C '/ / mp  ABC  b) Xét ∆ABC có H giao điểm ba đường trung tuyến Gọi M trung điểm AB, ta có: CM  AB;SM  AB Vậy AB  mp  SCM  Mặt khác AB  mp  SAB  nên mp  SAB   mp  SCM  hay mp  SAB   mp  SCH  Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác SA đường cao hình chóp Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh mp  SAM   mp  SBC  b) Cho biết SMA 30o chứng minh diện tích tam giác BCS tổng diện tích tam giác ABS ACS Giải (h.20.4) * Tìm cách giải Trang Vì BC  mp  SBC  nên muốn chứng minh mp  SBC   mp  SAM  ta cần chứng minh BC vng góc với AM SM * Trình bày lời giải a) SA  mp  ABC   SA  AB; SA  AC SAB SAC (c.g c)  SB  SC Xét ∆SBC cân S  SM  BC ; Xét ∆ABC  AM  BC Suy BC  mp  SAM  Mặt khác BC  mp  SBC  nên mp  SBC   mp  SAM   b) Xét ∆SAM vuông A, SMA 30o nên SA  SM hay SM 2 SA Diện tích ∆BCS là: 1 BC.SM  BC.2SA BC.SA (1) 2 Tổng diện tích ∆ABS ∆ACS là: 1 AB.SA  AC.SA  SA  BC  BC  SA.BC (2) 2 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD.A'B'C'D' Một mặt phẳng song song với đáy hình chóp cụt cắt cạnh A A' B B' C C', DD' M, N, P, Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng Giải (h.20.5) Gọi S đỉnh hình chóp sinh hình chóp cụt Vì mp  MNPQ  / / mp  ABCD  nên hình chóp cụt ABCD.MNPQ hình chóp cụt Các mặt bên hình thang cân Suy ra: NP / / BC ; MQ / / AD Mặt khác BC / / AD nên NP / / MQ Chứng minh tương tự ta MN / / PQ Do tứ giác MNPQ hình bình hành Xét ∆SBC có NP / / BC nên BC SB   1 NP SN Xét ∆SAB có MN / / AB nên AB SB  (2) MN SN Từ (l) (2)  BC AB  mà BC  AB nên NP MN NP MN Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề nên hình thoi Trang Hai đường thẳng MP AC nằm mặt phẳng (SAC) hai đường thẳng khơng có điểm chung (vì nằm hai mặt phẳng song song) nên MP / / AC Chứng minh tương tự, ta NQ / / BD Ta có: AC SC SB BD    Vì AC BD nên MP  NQ MP SP SN NQ Hình thoi MNPQ có hai đường chéo nên hình vng Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy 12cm, độ dài cạnh bên 8cm Hãy tính: a) Thể tích hình chóp; b) Diện tích tồn phần hình chóp Giải (h.20.6) * Tìm hướng giải Để tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp biết độ dài cạnh đáy cạnh bên, ta cần tính chiều cao trung đoạn hình chóp * Trình bày lời giải a) Gọi M trung điểm AC O giao điểm ba đường trung tuyến ∆ABC Ta có BM đường cao tam giác nên BM  AB 6 cm 2 BO  BM 4 cm ∆SBO vuông O nên ta có:  SO SB  OB 8   16  SO 4 (cm) Diện tích ∆ABC AB 144  36 (cm2) 4 1 Thể tích hình chóp là: V  S h  36 48 (cm3) 3 b) Tam giác SMA vuông M nên SM SA2  MA2 82  62  SM  28 2 (cm) Diện tích xung quanh hình chóp là: 12.3 S xq  p.d  36 (cm2) Diện tích tồn phần hình chóp là: Trang Stp 36  36 36    157, (cm2) Ví dụ Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' có cạnh bên 17cm, cạnh đáy lớn 28cm, cạnh đáy nhỏ 12cm Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt Giải (h.20.7) * Tìm hướng giải Để tính diện tích xung quanh hình chóp cụt biết độ dài cạnh đáy lớn, độ dài cạnh đáy nhỏ cịn phải tính chiều cao mặt bên * Trình bày lời giải Trong mặt bên A’B’BA vẽ A’H  AB ta được: AH  AB  A ' B ' 28  12  8 (cm) 2 Xét A ' AH vng H, ta có: A ' H  AA '2  AH 17  82 225  A ' H 15 (cm) Diện S xq  tích xung quanh hình chóp cụt là:  12  28 15 900 (cm2) C Bài tập vân dụng • Chứng minh song song, vng góc Tính chiều cao 20.1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Trên cạnh SA, SB, SC, SD lấy điểm A', B', C', D' cho SA ' SB ' SC ' SD ' Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A', B', C, D' thuộc mặt phẳng Có nhận xét mặt phẳng (A'B'C'D') mp(ABCD) b) mp  SAC   mp  SBD  20.2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Cho biết SA  SC Chứng minh mặt bên tam giác 20.3 Cho hình chóp S.ABC, bốn mặt tam giác có cạnh a Gọi M, N, P, Q trung điểm SC, SB, AB, AC Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng 20.4 Cho hình chóp tam giác S.ABC, mặt bên tam giác vuông cân S a) Chứng minh mặt bên vng góc với hai mặt bên lại b) Gọi độ dài cạnh đáy a, Tính chiều cao hình chóp 20.5 Một hình chóp cụt tứ giác có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy Biết cạnh đáy lớn 6cm, cạnh đáy nhỏ 4cm Tính chiều cao hình chóp cụt Trang 20.6 Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD A1 B1 C1 D1 có cạnh AB a, A1 B1 b  a  b  Một mặt phẳng song song với hai đáy hình chóp cụt cắt cạnh AA1 , BB1 , CC1 CC1 A2 , B2 , C2 , D2 chia hình chóp cụt lớn thành hai hình chóp cụt nhỏ có diện tích xung quanh Gọi c cạnh hình vng A2 B2C2 D2 Chứng minh rằng: c  a  b2 • Tính diện tích, tính thể tích 20.7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a 10 Tính thể tích hình chóp 20.8 Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF có AD = 2a diện tích tam giác SAD a Tính diện tích xung quanh hình chóp 20.9 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a Chứng minh cạnh bên vng góc với đơi thi diện tích xung quanh lớn 20.10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên dài 5cm diện tích xung quanh 48cm Tính thể tích hình chóp 20.11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 17cm chiều cao 15cm Gọi A', B', C' trung điểm SA, SB, SC Tính thể tích hình chóp cụt A'B'C'.ABC 20.12 Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' cạnh a Từ hình lập phương cắt hình chóp C.BDC' Chứng minh rằng: a) Hình chóp C.BDC' hình chóp b) Tỉ số diện tích xung quanh diện tích đáy hình chóp c) Tỉ số thể tích hình chóp thể tích hình lập phương Trang Hướng dẫn giải 20.1 (h.20.8) a) Xét ∆SAB có SA SB; SA ' SB’ nên SA ' SB '   A ' B '/ / AB SA SB Chứng minh tương tự, ta được: CD '/ / CD Mặt khác AB / /CD nên A ' B '/ / C ' D ' Từ suy bốn điểm A ', B ', C ', D ' nằm mặt phẳng Ta có: A ' B '/ / AB; B ' C '/ / BC mà A'B' B'C' cắt B'; AB BC cắt B Từ suy ra: mp  A ' B ' C ' D ' / /mp  ABCD  b) Gọi O giao điểm AC BD Vì S.ABCD hình chóp nên AO  SO; AO  DO  AO  mp  SOD  Vì AO  mp  SAC  nên mp  SAC   mp  SBD  20.2 (h.20.9) Ta đặt AB a  AC a  OA  a 2 Xét ∆SAC có SA SC ; A SC 90o  nên ∆SAC vuông cân  SAO 45o   Xét ∆SOA có  SOA 90o , SAO 45o nên ∆SOA vuông cân  SO OA 2 a 2 a 2 a2 a2 Ta có: SA  SO  OA        a 2     2 Do SA a Xét mặt bên SAB có SA SB  AB a nên tam giác Do mặt bên tam giác 20.3 (h.20.10) Xét ∆SBC có MN đường trung bình nên MN / / BC MN  BC (1) Xét ∆ABC có PQ đường trung bình nên PQ / / BC MN  BC (2) Từ (1) (2) suy MN / / PQ MN PQ Do tứ giác MNPQ hình bình hành Ta có: MN  BC a SA a  ; MQ   2 2 Trang Vậy MN MQ , suy hình bình hành MNPQ hình thoi Xét QBS có QB QS  a nên ∆QBS cân  NQ  SB Xét ∆QNS vuông N có:  a   a  a2 a QN QS  NS        QN  2 2     2 Chứng minh tương tự, ta được: MP  a QN MP Hình thoi MNPQ có hai đường chéo nên hình vng 20.4 (h.20.11) a) Ta có SC  SA; SC  SB  SC  mp  SAB  Mặt khác SC  mp  SAC  nên mp  SAC   mp  SAB  SC  mp  SBC  nên mp  SBC   mp  SAB  Do mặt bên (SAB) vng góc với mặt bên (SAC) (SBC) Chứng minh tương tự ta mặt bên (SBC), (SCA) vng góc với hai mặt bên lại b) Xét tam giác ABC Gọi O giao điểm đường trung tuyến CM BN Khi 2 a a BO  BN   3 Xét ∆SAB vuông cân S có AB a nên SB  a Xét ∆SOB vng O, ta có: 2 a 2 a 3 a2 SO SB  OB            SO  2 a 6 20.5 (h.20.12) Xét hình chóp cụt tứ giác ABCD.A'B'C'D' Gọi M M' trung điểm BC B'C' Ta có OM / / AB; O ' M '/ / A’B ' mà A’B '/ / AB nên O ' M '/ / OM Trong hình thang O ' M ' MO ta vẽ M ' H  OM Ta M ' H  OO '; OH O ' M ' Trang Ta có OM 6 : 3 (cm); O ' M ' 4 : 2 (cm); HM 3  1 (cm) 2 Tống diện tích hai đáy là: S1  S 6  52 (cm2) Diện tích xung quanh là: S xq     MM ' 20MM ' (cm2 ) Theo đề ta có: 20MM ' 52  MM ' 2, (cm) Xét M ' HM vuông H, ta có: M ' H  M ' M  HM   2.6   12 2, (cm) Do chiều cao hình chóp cụt 2,4cm 20.6 (h.20.13) Gọi S đỉnh hình chóp sinh hình chóp cụt Gọi diện tích xung quanh hình chóp S.ABCD hình chóp S A2 B2C2 D2 S S2 Gọi độ dài trung đoạn cùa hình chóp S.ABCD hình chóp S A2 B2C2 D2 d d2 Ta có: S 4a 4c d 2ad ; S  d 2cd 2 Xét ∆SBC có BC / / B2C2 nên: d SB BC a    d SB2 B2C2 c S 2ad a a a    Do S2 2cd c c c S1 b  Chứng minh tương tự, ta được: S2 c Theo đề ta có: S  S2 S2  S1 Suy ra: S S  S1 , Vậy S  S1 2 S2 2 2 2 S S1  2 hay a  b 2  a  b 2  c  a  b S2 S2 c2 c2 c2 20.7 (h.20.14) * Tìm cách giải Để tìm thể tích hình chóp biết cạnh đáy ta cần tính chiều cao hình chóp Có thể vận dụng định lý Py-ta-go để tính * Trình bày lời giải Trang ABCD hình vng cạnh a nên BD a 2 2a  OB a Vì S ABCD hình chóp nên SO  mp  ABCD   SOB vuông O  Ta có: SO SB  OB  a 10   a 9a  SO 3a 1 Thể tích hình chóp là: V  S h  a 3a 2 a 3   20.8 (h.20.15) Gọi O tâm lục giác ABCDEF Ta có: SO  AD Diện tích tam giác ADS là: 1 AD.SO  2a.SO a.SO 2 Theo đề ta có: a.SO a  SO a Gọi SM trung đoạn hình chóp, OM  BC Xét OBC đều, cạnh a, đường cao OM  a Xét ∆SOM vng O, ta có: a 3 7a a SM SO  OM a    SM      2 2 Diện tích xung quanh hình chóp là: S xq  6a a 3a  2 20.9 (h.20.16) Gọi M trung điểm AB Khi SM trung đoạn hình chóp Ta đặt AB  x thì: x2  x SM SB    a   SM  4a  x  2 2 Diện tích S xq  xung quanh hình chóp là: 3x 3x 4a  x  4a  x 2 Vận dụng bất đẳng thức a  b 2ab hay ab  a  b2 x  4a  x ta được: x 4a  x  2a 2 Trang 10 3 Do S xq  2a  a Dấu "=" xảy x  4a  x  x 4a  x  x 2a Khi SA2  SB  AB (vì a  a 2a ) Theo định lý Py-ta-go đảo ∆SAB vng  SA  SB Chứng minh tương tự, ta có: SB  SC ; SC  SA Vậy max S xq  a SA, SB, SC vng góc với đôi 20.10 (h.20.17) Ta đặt BC 2a trung đoạn SM d (a  d ) Khi S xq  2a.4 d 4ad Theo đề ta có: 4ad 48  ad 12 (1) Xét ∆SMC vng M, ta có: MC  SM SC Do a  d 25 Suy a  d  2ad 25  24   a  d  49  a  d 7 (2)  a 4; d 3 (lo¹i) a  d 7  Từ (1) (2) ta được:  ad 12  a 3; d 4 (Tháa m·n) Khi SO SM  OM d  a 16  7  h SO  (cm) Vậy thể tích hình chóp là: 1 V  S h  62 12 (cm3) 3 20.11 (h.20.18) Xét ∆SOC vuông O, ta có: OC SC  SO 17  152 64  OC 8  cm   CM 12  cm  Gọi độ dài cạnh đáy a Trang 11 Ta có: CM  a 24  a 24  a  (cm) Diện tích đáy hình chóp S.ABC là: a  24  S1   48 (cm2)   3 Thể tích hình chóp S.ABC là: 1 V1  S1.h1  48 3.15 240 (cm3) 3 Theo tính chất đường trung bình tam giác ta có A ' B '/ / AB; A ' C '/ / AC ; suy mp ( A ' B ' C ') / / mp ( ABC ) Do hình chóp cụt A ' B ' C ' ABC hình chóp cụt Xét ∆SOC có SO ' SC '    SO 7,5 cm SO SC 12 Ta có: A ' C '  AC  (cm) Do diện tích tam giác A'B'C là: 3  12  S   12 (cm )  3 1 Thể tích hình chóp S.A'B'C' là: V2  S2 h2  12 3.7,5 30 3 (cm3) Thể tích hình chóp cụt ABC.A’B'C' là: V V1  V2 240  30 210 (cm3) 20.12 (h.20.19) a) Hình chóp C.BDC' có đáy tam giác đều, cạnh dài a Ba mặt bên tam giác vng cân nhau, tam giác có cạnh bên a cạnh đáy a Do hình chóp C.BDC' hình chóp b) Diện tích xung quanh cụa hình chóp là: a2 S xq   a 2 a 2 Diện tích đáy hình chóp là: S   a2  Tỉ số diện tích xung quanh diện tích đáy hình chóp là: S xq a2  a2 :  S 2 c) Xét hình chóp C.BDC' (h.20.20) có: CB CD CC  a; BD BC  DC  a Trang 12 Gọi M trung điểm BC ', CO  DM Ta có: DM   a 2  a ; 2 a a OD  DM   3 Xét ∆COD vng O có: a 6 a2 a CO CD  DO a     CO   3   2 2 a 2 Thể tích hình lập phương là: V 1 Sh 1  3 a a3  4 Thể tích hình lập phương là: V2 a Vậy V a3  :a  V2 6 Trang 13