Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS båi dìng hsg toán thcs Chuyên đề 1: Phần I: Số phơng I- Định nghĩa: Số phơng số bình phơng số nguyên II- tính chất: 1- Số phơng có chữ số tËn cïng b»ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; kh«ng thĨ cã ch÷ tËn cïng b»ng 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phơng có hai dạng 4n 4n+1 Không có số phơng có dạng 4n + 4n + (n N) 4- Sè chÝnh ph¬ng có hai dạng 3n 3n +1 Không có số phơng có dạng 3n + ( n N ) 5- Sè phơng tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phơng tận chữ số hàng chục Số phơng tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hÕt cho Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho chia hết cho 25 Số phơng chia hết cho th× chia hÕt cho 16 III- Mét sè dạng tập số phơng A- Dạng 1: chứng minh số số phơng Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phơng Giải : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 2 2 = ( x xy y )( x xy y ) y 2 Đặt x xy y t (t Z ) th× 2 4 2 2 A = ( t y )(t y ) y t y y t ( x xy y ) 2 2 V× x, y, z Z nªn x Z , xy Z , y Z x xy y Z VËy A lµ sè phơng Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng số phơng Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp ®ã lµ n, n+1, n+2, n+3 (n Z) Ta cã: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 2 = ( n 3n)(n 3n 2) (*) Đặt n 3n t (t N ) th× (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N VËy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phơng Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chøng minh r»ng 4S + lµ sè phơng 1 Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) (k 3) (k 1) Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kÕt qu¶ bµi => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phơng Bài 4: Cho dÃy sè 49; 4489; 444889; 44448889; - D·y số đợc xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trớc đứng sau Chứng minh tất số dÃy số phơng Ta có 44 488 89 = 44 488 + = 44 10n + 11 + n ch÷ sè n - ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè 10n n 10n 10 1 = 4.102 n 4.10n 8.10n 4.102 n 4.10 n 1 9 = 2.10n 1 = Ta thÊy 2.10n + = 200 01 có tổng chữ số chia hết nã chia hÕt cho n - ch÷ sè 2.10n 1 Z hay số có dạng 44 488 89 số phơng => Các tơng tự: Chứng minh số sau số chÝnh ph¬ng A = 11 + 44 + 2n ch÷ sè n ch÷ sè B = 11 + 11 + 66 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè C= 44 + 22 + 88 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè D = 22499 9100 09 n-2 ch÷ sè n ch÷ sè E = 11 155 56 n ch÷ sè n-1 ch÷ sè 10n ; KÕt qu¶: A= 10n B ; 2.10n C 2 10n +2 D = (15.10n - 3)2 E= Bµi 5: Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Gọi số tự nhiên liên tiếp lµ n - 2, n - 1, n +1, n + ( n N, n >2) Ta cã (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vì n2 tận n2 + không thÓ chia hÕt cho ( ) Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS => (n2 + 2) không số phơng hay A không số phơng Bài 6: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n N n >1 số chÝnh ph¬ng n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Víi n N, n > th× n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Vµ n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phơng Bài 7: Cho số phơng có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phơng số phơng Ta biết số phơng có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phơng 1,3,5,7,9 tổng chúng b»ng + + + + = 25 = 52 số phơng Bài 8: Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Víi k, m N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 số phơng Bài 9: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + số phơng Vì p tích n số nguyên tố nên p2 p chia hết cho (1) a- Giả sử p + số phơng §Ỉt p + = m2 ( m N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k N) Ta cã m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) m©u thn víi (1) => p + số phơng b- p = 2.3.5 lµ sè chia hÕt cho => p - cã d¹ng 3k + => p - không số phơng Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + không số phơng Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chøng minh r»ng số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + số số ph¬ng a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Cã 2N => 2N - = 3k + (k N) => 2N - không số phơng b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N ch½n => N lẻ => N không chia hết cho 2N nhng 2N kh«ng chia hÕt cho 2N chẵn nên 2N không chia cho d d => 2N không số phơng c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hÕt cho 2N kh«ng chia hÕt 2N + không chia cho d => 2N + không số phơng Bài 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 2010 ch÷ sè Giải: 2009 chữ số Chứng minh ab số tự nhiên b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2009 ch÷ sè 2010 ch÷ sè 2010 ch÷ sè Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS ⇒ ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 √ ab+1= √(3a+1)2=3a+1 ∈ N BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN MỚI=60k; 234 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CŨ=80k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=50k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN MỚI=60k; 365 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CŨ=80k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=50k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2022-2023)=50k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 370 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CŨ=80k; 65 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=50k 52 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2022-2023)=40k; 78 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 340 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=100k; 260 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=100k 100 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CA VNH PHC=80k B dạng 2: tìm giá trị biến để biểu thức số phơng Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phơng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Giải: a) Vì n2 + 2n + 12 số phơng nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 NhËn xÐt thÊy k + n + > k - n - chúng số nguyên d ơng, nªn ta cã thĨ viÕt (k + n + ⇔ 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + = 11 k=6 k-n–1=1 n=4 2 2 b) đặt n(n + 3) = a (n N) n + 3n = a 4n + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = NhËn xÐt thÊy 2n + + 2a > 2n + – 2a vµ chúng số nguyên dơng, nên ta viÕt ⇔ ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n=1 2n + – 2a = a=2 2 c) Đặt 13n + = y (y N) 13(n - 1) = y – 16 ⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) 13 mµ 13 số nguyên tố nên y + 13 hc y – 13 ⇒ y = 13k ± (víi k N) ⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ 13k2 ± 8k + VËy n = 13k2 ± 8k + (víi k N) th× 13n + số phơng (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) ⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + > 2m – 2n > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n cã thÓ cã giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài tơng tự : Tìm a để số sau số phơng a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 KÕt qu¶: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS Bµi : Tìm số tự nhiên n cho tæng 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét sè chÝnh ph + n! lµ mét sè phơng Với n = 1! = = 12 số phơng Với n = 1! + 2! = không số phơng Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 số phơng Với n ta cã 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 cßn 5!; 6!; … + n! lµ mét sè chÝnh ph; n! ®Òu tËn cïng bëi ®ã 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét sè chÝnh ph n! có tận chữ số nên số phơng Vậy có số tự nhiên n thoả mÃn đề n = 1; n = Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phơng Giả sử 2010 + n2 số phơng 2010 + n2 = m2 (m N ) Tõ ®ã suy m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 Nh số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ sè m + n m n tính chẵn lẻ (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ m + n vµ m n số chẵn (m + n) (m – n) nhng 2006 kh«ng chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phơng Bài 4: Biết x N x > Tìm x cho x(x1).x( x1)=( x2)xx( x1) Đẳng thức đà cho đợc viết lại nh sau: x(x1) =( x2)xx( x1) Do vế trái số phơng nên vế phải sè chÝnh ph¬ng Mét sè chÝnh ph¬ng chØ cã thĨ tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nªn x chØ cã thĨ tËn chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề ta cã x ¿ N vµ < x ¿ (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ x chØ cã thể nhận giá trị 5; 6; B»ng phÐp thö ta thÊy chØ cã x = thoả mÃn đề bài, 762 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phơng Ta có 10 n ¿ 99 nªn 21 ¿ 2n + ¿ 199 Tìm số phơng lẻ khoảng ta đợc 2n + b»ng 25; 49; 81; 121; 169 t¬ng øng víi sè n b»ng 12; 24; 40; 60; 84 Sè 3n + b»ng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phơng Vậy n = 40 Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè tự nhiên cho n + 2n + số phơng n bội số 24 Vì n + 2n + số phơng nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (k, m N ) Ta có m số lẻ ⇒ m = 2a + ⇒ m2 = 4a(a + 1) + m2 −1 a (a+1) n= = =2 a( a+1) 2 Mà n chẵn n + lẻ k lẻ đặt k = 2b + (víi b ¿ N ) ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n (1) Ta cã: k2 + m2 = 3n + ¿ (mod3) Mặt khác k2 chia cho d 1, m2 chia cho d Nên để k2 + m2 ¿ (mod3) th× k2 ¿ (mod3) m2 ¿ (mod3) ⇒ m2 – k2 hay (2n + 1) – (n + 1) ⇒ n (2) Mµ (8; 3) = (3) ⇒ ⇒ k2 = 4b(b+1) + Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Tõ (1), (2), (3) n 24 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phơng Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ¿ N) th× 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q ¿ N ; p + q = n vµ p > q ⇒ a + 48 = 2p ⇒ 2p 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3 a – 48 = 2q ⇒ q = vµ p – q = ⇒ p = ⇒ n = + = 12 Thư l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802 C.dạng : Tìm số phơng Bài : Cho A số phơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đợc số phơng B HÃy tìm số A B Gọi A = abcd = k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta cã sè B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=m víi k, m ¿ N vµ 32 < k < m < 100 a, b, c, d = ⇒ Ta cã: A = abcd = k 1; 2 B = abcd +1111= m Đúng cộng nhớ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*) NhËn xÐt thÊy tÝch (m – k)(m + k) > nên m k m + k số nguyên dơng Và m k < m + k < 200 nªn (*) cã thÓ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101 ⇔ ⇔ Do ®ã: m – k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phơng gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k ta cã ab−cd=1 vµ k ¿ N, 32 ¿ k < 100 Suy : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) ⇒ k + 10 101 hc k – 10 101 Mµ (k – 10; 101) = ⇒ k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 ¿ k + 10 < 110 ⇒ k + 10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phơng có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, ch÷ sè cuèi gièng Gäi sè chÝnh phơng phải tìm là: aabb = n2 với a, b ¿ N, ¿ a ¿ 9; ¿ b ¿ Ta cã: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) NhËn xÐt thÊy aabb 11 ⇒ a + b 11 Mµ ¿ a ¿ 9; ¿ b ¿ nªn ¿ a + b ¿ 18 ⇒ a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) đợc n2 = 112(9a + 1) 9a + số ph¬ng B»ng phÐp thư víi a = 1; 2;… + n! lµ mét sè chÝnh ph; ta thÊy chØ cã a = tho¶ m·n ⇒ b = Số cần tìm là: 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phơng vừa lập phơng Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Gọi số phơng abcd Vì abcd vừa số phơng vừa lập phơng nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y N Vì y3 = x2 nên y số phơng abcd Ta cã : 1000 ¿ 9999 ⇒ ¿ 10 ¿ y 21 y phơng abcd = 4096 y = 16 Bài : Tìm số phơng gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phơng Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên abcd phơng d { 0, 1, 4, 5, 6, } ⇒ d nguyªn tè ¿ ¿ a 9; ¿ b, c, d d=5 Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ¿ k < 100 k lµ mét sè có hai chữ số mà k2 có tận k tận Tổng chữ số k số phơng k = 45 abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phơng số viết số bở hai chữ số số nhng theo thứ tự ngợc lại số phơng Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm ab (a, b N, a, b 9) Số viết theo thứ tự ngợc lại ba Ta cã ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11 ⇒ a2 – b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 V× < a – b ¿ 8, ¿ a + b ¿ 18 nªn a + b 11 ⇒ a + b = 11 Khi ®ã: ab - ba 2= 32 112 (a – b) §Ĩ ab - ba ab=4 số phơng a b phải số phơng ®ã a – b = hc NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11 ⇒ a = 6, b = , ab = 65 Khi ®ã 652 – 562 = 1089 = 332 NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11 ⇒ a = 7,5 lo¹i Vậy số phải tìm 65 Bài 7: Cho số phơng có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta đợc số phơng Tìm số phơng ban đầu (Kết quả: 1156) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phơng số lập phơng tổng chữ số Gọi số phải tìm ab víi a, b ¿ N, ¿ a ¿ 9; ¿ b ¿ Theo gi¶ thiÕt ta cã: ab = (a + b)3 ⇔ (10a +b)2 = (a + b)3 ab lập phơng a + b số phơng Đặt ab = t3 (t ¿ N), a + b = 12 (1 ¿ N) ⇒ Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS ¿ V× 10 ab NÕu ab = 27 ¿ ⇒ ab = 27 hc ab = 64 ⇒ 99 a + b = số phơng NÕu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không số phơng Vậy số cần tìm ab = 27 loại Bài : Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phơng sè cã ch÷ sè gièng Gäi sè lẻ liên tiếp 2n - ; 2n + ; 2n + (n ¿ N) Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 a với a lẻ ⇒ 12n(n + 1) = 11(101a – 1) ⇒ 101a – ⇒ 2a – ¿ a ¿ a ¿ nªn ¿ 2a – ¿ 17 vµ 2a – lẻ nên 2a { 3; 9; 15 } ⇒ a ¿ { 2; 5; } V× a lỴ ⇒ a = ⇒ n = 21 số cần tìm là: 41; 43; 45 Bài 10 : Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phơng chữ số số V× ¿ ab (a + b) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab ⇔ 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) a + b vµ a + b – nguyên tố a + b = 3a hc a + b – = 3a a+b–1=3+b a+b=3+b ⇒ a = 4, b = hc a = 3, b = VËy ab = 48 hc ab = 37 Chuyên đề 2: phơng trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên Phơng trình hệ phơng trình bậc hai ẩn Tuỳ cụ thể mà làm cách khác VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x + 3y = 11 (1) Cách 1: Phơng pháp tổng quát: Ta có: 2x + 3y = 11 ⇔ x= 11−3 y y−1 =5− y− 2 Để phơng trình có nghiệm nguyên y1 =t Z ⇔ y −1 nguyªn ⇒ y = 2t + x = -3t + C¸ch : Dùng tính chất chia hết Vì 11 lẻ 2x + 3y số lẻ mà 2x số chẵn Đặt 3y lẻ y lẻ Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS y = 2t + víi t ∈Z x = -3t + Cách : Ta nhân thấy phơng trình có cặp nghiệm nguyên đặc biệt x0 = ; y0 = ThËt vËy : + 3.1 = 11 (2) Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : 2(x - 4) + 3(y - 1) = ⇔ 2(x -4) = -3(y -1) (3) Tõ (3) ⇒ 3(y - 1) mµ (2 ; 3) = ⇒ y - Do ®ã : y = 2t + víi t ∈Z Thay y = 2t + vµo (3) ta cã : x = -3t + NhËn xÐt : Với cách giải ta phải mò cặp nghiệm nguyên (x 0, y0) phơng trình ax + by = c ; cách gặp khó khăn hệ số a, b, c lớn Các tập tơng tự : Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh a) 3x + 5y = 10 b) 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 VD2 : Hệ phơng trình Tìm nghiệm nguyên dơng hệ phơng trình sau : 3x + y + z = 14 (1) 5x + 3y + z = 28 (2) Giải : Từ hệ đà cho ta có : 2(x + y) = 14 vËy x = - y (*) Thay (*) vào (1) ta đợc z = 14 - y - 3x = 2y -7 ⇔ V× x > nªn - y > ⇒ y < mà z > nên 2y - > ⇒ y > ⇒ y∈ { ; ; } y ∈Z VËy < y < Giải tiếp hệ đà cho cã nghiÖm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) Bài tập tơng tự: a) Tìm nghiệm nguyªn cđa hƯ 2x -5y = 2y - 3z = b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già bó Tìm số trâu loại c) Tìm số nguyên dơng nhỏ chia cho 1000 d chia cho 761 d Tìm nghiệm nguyên phơng trình, hệ phơng trình bậc cao Phơng pháp : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phơng trình VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mÃn phơng trình 6x2 + 5y2 = 74 (1) C¸ch : Ta cã : (x2 - 4) = (10 - y2) (2) Tõ (2) ⇒ 6(x2 - 4) vµ (6 ; 5) = ⇒ x2 - x2 = 5t + víi t ∈N Thay x2 - = 5t vµo (2) ta cã : y2 = 10 – 6t ⇒ Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Vì x2 > y2 > 5t + > 10 - 6t > −